en una Economia en Crecimiento

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1 Rolf R. Mantel Compatenc ia Perfecta y Eficiencia en una Economia en Crecimiento,Docummn to de TrabaJ o Diciembre 196ü Instituto Torcwto Di Tella Centro de Xnvestigacio~es Econbmicaei Virrey del Pino 3210 Buenos Aires (26) Argentina

2 1 Un reauitado conocido de la teoria eetdtica- es que ba- jo cierto8 tupuestos una economia de mercado competitiva es efi- ciente, en el 8~ntid0 de que el sistcm de precios que mantiene el equilibrio de los mercados Iriduc.e tanto a los productores que buscan el &imo beneficio como a loa individuos que buscan su 4 xima satisfaccidn a asignar los recursos escasos de modo tal que es imposible hallar otra asignacibn que permita aumentar e l bie- nestar de cnda uno de los agantea econdmi coa (6ptFmo de Pareto), La situacibn no es tan clara cuando el tiempo se conai- dera ex~lfcitmente; en este campo hay una considerable conftmfbn acerca de si la tnsa naturai de Interee debe o no aér igwl is la tana de crecimiento de la economfa. La introduccibn do la8 pre- ferencias temporales de loe aqentes econdmicos presenta alpas dificultades, en eepecial si se considera una ~conomfa sin un horisonte temporal dado, debido a que en ciertos cason pueden no es tnr definidos los valores de las activo. de familias o emprozaa. En el presente trabajo presentar6 un sencilla modolo dinbico de equilfbrio general, por media del cual analisaré la existencia dk una soiucidn de equilibrio competitivo. El primer paso consistir4 en hallar una aolucibn a aemejansa del caso est8- Ver por ejemplo Debre u (1959).

3 tico, en la que 3.a tasa de interh cofncidfrd con la de creci- miento. Al anal.iaarae este coso con datenfmiento se ver6 que tal süluci6n no padrh preoeetnrse en la real.idsd, puea habxd activos o paetvoa s!.n Lii;l~,Zares, Ei scprido p~so consistird eatonces en tener en cuenta que aci;ivos ;7 pm.i.vgs r"inanciero8 deben estar balanec &dos, El resdtado so.-5, suhlvo coincidencias, que 1.a tasa de Interes Zi- fiere de la E crcrimiento, Sin embargo, demostrsr6 que en tal caso la so;.u.cjl6i~ competitiva es ineliciense, F.L~~mente indicar6 cho la presancin d ~ i gobierno, maatcniendo ima po:~.lt ica monet,nria g de ir,vsr6iones adec~adaa puede corregir eeta sf tuacibn, 1.ogrrs.do que el aiciema econdmi- co iititice sus recursos eficientemente. La base del alaterna economico la Cornian las unidades f-miliares, que clasifich~ernos en ti~os in=lfc~dos con el indi- ce = 1,,.., m. Las unidades fa;n2.7.is;.es que fntegrm cada mo de estos grefria con IdEnticaa entre si, en 50 que se refiere a gustos y habij.idsdea, caracteristicas en base a las cuales tipi- fiemoe h a fami:.iaa, fb unidad familiar representativa de tipo - i hace aw planen abarcando un horisonte ecandmico de h perioi dos, durnnte los cuales subsiste como unidad, En un momento de-

4 terminado los hijos se independiran, formando una nueva unidad fa millar, no neceaisrlamente del mismo tipo que la de ew progenitores. Durante los periodos que abarca su horiionte econbmico, las familias comprarán o vondsrh bienes en el mercado, a los pre cios vigentes. Representaremos con xi a 1. lista de demandas de bienes y servicios netaa de lo fmilfn 2 durante el periodo de su existencia. Por 10 tanto, 2 torner6 loa valores de 1,..., m, mientras que t = 1,..., hi. Cmndo debmos referirnos al plan econdmico completo d~ la fmilia lo repr~sentnremos como i x 3 P t i Cada lista de bienes o servicio8 \ contiene elementos, p arajzl,..., n; _nes elnbnerode bienes oservicios que se corn~rcinn en la economia. Cantidades com~radas para con- sumo se indican con valores positivos de la demenda neta x i j,t ' mientras que valores negativos indican ventas. E~tas dltimas eluyen ventas dr servicios productivos (mano de obra) y de rccur_ sos empresariales, que son los que le dan acceao a la unidad fa- milisr a cierta parte de los conocimientos tecnoldgicoa de la e- 2 conomia,- Por supue~to que laa posibilidades da entregar bibnes o aervicfos d mercado son limitadas para cada familia, Por lo Esta fom de describir los beneficias drrivadcs de la produccibn como rotribucidn al factor empresa ha sido utilisg da por Mc Renaia (1959) 4

5 tanto, no todas los planes xi son factibles. Las demandas nei tns x factibles, qu~ representan la^ posibilidadas de co~arciar de ln unidad 1-- Esinui, lonue.ran un conjunto xi, que estar4 rico- tado inferiormente; es d-sir hnbrd cierta lista de requisitos 5 mfnl~os b (r~quiaito minimo para los elementos de eata liata que sean positivos; los elementos negativas representan poaibl- lidadea dxims de oferta^ netas de bienee o servicios) te1 que 1 i i cunlquier plm xi del conjunto X satisface la relncidn b I x, indicando la limitacidn ref erfda anterionnent e. f Haremos el su- puesto poco realista de que cadn unidad fsmili~r podria subsis- tir por si misma, con SUE pr~pio~ recumos y conocimientoe y prg ducir u ofrecer en un periodo dado de su existencia cierta c#t& dnd dz cada uri de los bienes, Es decir, hay una liata de dei das x en xi, y un plm de producemn y en Y (wr punto 111) tn- lee que i Y 2 x. yt > xt para d$dn t. Este supucsto ea para asegurar a cad~ familla un ingl so minimo por enclm9 del estrictamente necesario pera subsistir. Puede justificarse suponiendo que el gobierno interviene en 1~ nedids suficiente como para. asegurar la ~ubeiistencia de squdllas h, relaciones entre lista8 de bienes, tales cono la indicad3 por el aímbolo <, deben entenderse como referidas a cada uno de 3-03 pares de elementos correspondientea de ambas liatae,

6 que no poseen las habilidadea requeridas por el mercado. Tmi biqn supondremos que cada X es cerrildo y co~ve~o.~ Para la e finicfbn de convexo, ver nota 5, pdgina 11. Las familias tienen en general una amplia gama de pla- nes entre los cuales pueden elegir; tratar& de elegir aqudl que, dentro de sus posibilidades le brinde la mayor aatisfacci6n. ra ello deber& poder decidir cudl es el plen preferido, de modo Pg que supondremos que siempre cuando se hallen enfrentados a dos planes factibles, puedan fndicnr cuál prefieren. Para dos planea i -1 x y x factibles, es de-ir, del conjunto xi, indicaremos can i -i x Ri x a la relacidn ds ~refsrencias entre las lista^ dadas; i esta símbolo significa que zi no es preferido a x, o en otroe tdrmincs, que lo fm.ilia o bien ~reficre el plan xi nl otro o es indif ersnte entre ambos. Supondre~ios que esta relac i6n ordena por completo tudos loe planes factibles, de modo que para tres i -i =i i planea x, x, x Gel ccnjunto X, siempre se sabe si Un conjunta S es cerrada si siempre que sk sea un elemento de S para todo valor d~ k, y si la secuencia (sk) tiene un limite S = lirn sk, entonces F tmbien pertenece a S. Dada k -3- la imprecisidn de las medicinnes en la prdctica, este supuesto no es verificable. Lo adoptamoe porque simplifica la exposic ibn, al evitnrnos de tener que referirnos continuamente a limites de secuencias en S.

7 mientrna que La condicidn a) indica que todas loa planes son compi rables, mientras que b) exclilye ineoneiatencias de tipo cf rcular, como ocurririan si la primera lista fuera preferid6 la segunda, la segunda a la tercera, y finalmente la tercera a la primera. Tambien excluiremos casos en que una lista sea preferida a si mii m, de modo que siempre tendremos Haremos tambi&n el supueeto de que los conjuntoa de li~ i 1 tar x preferidas o indifarentea a una lieitn si dada (x Ri 3), i 1 y de liatas no preferidas a si (5' R I ), son cerradoa en X i, por el motivo dado en la nota 4, 51 TJn supuesto dtil es que la relacidn de preferencias es i -i conveur, es decir, que si x Ri x, y si o 5 1, tendremos Eata condicidn no8 dfce que unn mezcla de do8 listas de demandas netas nunca es inenos desenble que la menos deseable de las componentes. Si bien aato no en necesariamente cierto pa ra rvla unidad familiar dada, coma surge de ejemplos de mezclar tb con caf 4, o cuando la preeencia de biense indlvisibles impide

8 hacer la dfvisibn, en el caso de que el número de unidades que integran ande tipa es elevado puede efectuarse con bastante a- proximacidn realisando la f~rnern~la'~ de otro modo, Si hay que nmszclarn las dos listas en proporcion~s U y 1 - a, la demanda neta pnra todo el grupa n x + 1 -a ) $1 puede diatri- 1 i -i buirse dando x a cada unidad de unn parte a ni del grupo y X a cnda unidad de la otro porte, (1 - o) ni. Supond.remos tambidn que lae familia8 no son sac iablea, por lo menos a los niveles E conuuno obteni blea de la economfa, En otraa palabras, si dos listns satisfacen e i -P i -i x 2 x, con x > xt para al& & t ea decir, una lista ofr~ce, para algún periodo,, mds de todos los bienes, y no menos en las dcds perfodoe, entonces la primern 112 ta es factible y estrictnmsnte preferida a la segunda, o sea x 1 Findments debemos menr ionar laa caracterf s t icas que posee la pobleci6n. En un momentc dado se forinarb ni nueva8 u- nidades familiares d~ tipo 2, Supondrsmos que los factores que afectan a la tasa de crecimiento de ln poblacidn aon externos al modelo, de modo que 6sta se determina por raaones ext.raecon6micas. Cofic no? intei-esnn principalmente situaciones de crecimiento a

9 largo plazo, analiaarsinoe poblac ione~ que erth en equilibrio demografico, de modo que las nuevas unidsdee se forman on cada periodo msnteniendo la proporcidn dc nada tipo de unidad cona- tnnte, de nodo que 4 periodo8 deepuea de haber surgido las ni t mencionadas, se formarán g ni nuevas, donde g es el factor de crecimiento de In poblncibn (g = 1 + la tasa de crecimiento de la pablacibn ). La produrei61i s~ttirb n cargo de empresss, utilizando los recursos natursles y servicios de factoree provistos por las familias y otros bienes y servicios adquiridos a otras empresas, y produriendo los bienes y ssrvicioa que serkn luego consuniidos por ES fx~ilias y denbs eaprescs. E3 ccnccimiento tecnol6gico de la comunidad puede ser deecripto por el conjunto de planes posibles de produccidn y = (yi,..., yh). El horiionte econ6- mico del sistema productivo eatd dado por 5, el nicmoro m6xirno de periodos que tarda en fhalfzar nunlquier programa ds produc cidn. Los alementos positivos de la lista g representan canti- dades ~roducidas por la economía en su conjunto, mientras que Ics elementos negativos indican los cantidades de los mismos de materiales, mano de obra, etc, necesarloe para ll~var a cabo esa producci4n. LRS enlprcsas estnrh f ormndaa por ~grupaciones da

10 individuos, cada uno aportando aua recuraos y ronoclmientos, Estos úitfmos eatardn dados por su dotacidn de recursos empresariales, que 10 perrnit5x.h tenor aceeao B parte de lo8 conoclmiento3 reflejados en el conjunto 1, y por loa que recibir4 una retribucibn en forinc dc baneflcioa, dividendoe, pstentes, ragalias o mejoras de salarios. Supondremos que es irnpoaible producir algo de la nada, de modo que si la lista de bienes y representa un plan de produc cidn posible (es decir, y eatd en Y), y al ninguno de sus elme tos es negetivo (ni y 2 o) Indicando que na usa ningún insumo, ya sea de servicice de factorea productivos, de recursos empre- sariales, o de al& otro tien, entonces ninguno de sus elemen- tos puede ssr positivo (es detlr, y = o). Aún mas, por raaanes ffafcas no son poslbles los proceaoa productivos que une ves en marcha genarm ~ o r si miamoa los recurma necesarios para perpe twr so ( per~etuum mobile ), sin intervencibn externa alguna. Por lo tanto, es impasible hallar y = y, "., yh) tnl que sea un plan de produccidn factibie, y sig ee el factor de cre- cimiento dc la poblacidi, E ft yt 2 o, a menoa que y = o. t=7 De otro modo seria posible, una ver de iniciado el proceeo, mag tener indcfinibmente une producridn sin utilizar recurso algu- no. Es suficiente que exista algún grupo de bienes no produci- bles que sea indispensable para lo producción, como ser los se2

11 vicios del factor trabajo. ~ambien supondremos que cualquier bien que se yrodue- ca en exccso puede ser eliminado sin coato. Si bien este su- puesto no es sstrictam~nte necesario, y pude no cumplirse En slgunoe caeos como el de le eliminacidn de loe residuos rndio- artlvos en la produccidn de enerqfa nuclear, ainiplifica la ex- posici6n sin afect~~r demasiado los rs~ultados, Formalmente, si y es uri plan de producci6n factible, y si Y es otro plan quo no produce m63 que e1 anterior ni utiliza menores cantidades de i~ sumos ( e decir, ~ si conjunto 1 de posibilidndc~ de produccidr,. < p), entonces y tanbien es un plan en el Otrn propiedítj del conjunto 2 er que loa distintos p- cesos no interfieren sntrc E$, lista y +Y ser4 fsetible, de nodo que con y e p teinibibn la Adeda si un plan y ea factfble, tn:r;bi&n lo ser& eualqufer nrliltiplo no negetivo del mismo (es de cir para p en 1 y, 2 o tendremos que a y e~t6 en - Y), Ndtg se que estns doa supuestos no son tan re~trictfvos cono parecen a prhera vist,n. El conjuntc 3 ee refiere a loa conocimicntaa tecnolb:;icss, ~i.n tener er: eucnta en absoluto ln existencia de los recureos neeesnrios para llevar a cabo l n produccidn. Es perfectamente concebible que dada un plan de producclbn, sea posible producfr el doble de cada uno do los blenea si ee du-

12 plican las cantidades de todos loa recursos, incluyendo las ca- ~acidades c-r~resariales, e~pncio ffsico, etc. por el simple er- bitrio de reproducir exactamente el Fmceso, conatruycndo por eje~plo una planta similar. LE impo~ibilidad prdctica do llevnr el plan a cabo vendrd en todo cnso por el lado de las limitacig nes de recursos dc la aconomfa, El primero de Ics do8 eu~ueetoa es el d e fdcil de justificar por medfo de este ra~onamfento, ya que se puede plmear ln inatdsetbn de la nueva planta de foz me tal que las dos no interfieran entre ef. El ~sgundo ~upues- to puede pre~cnt~r problema cuando hay bienes indivisible o ren dfmientoa creciente^ n escnl~. Si bien nc esth excluidos estos casos del modelo, supandrernos que las industrias estdn coinpues- t,ns por un grnn nhero de en precie.^, ninguna can rendirisntos cr~cient~s do t~l magnitud como para llegar a dominer el merca- do. Bajo tales condiciones a6n si las posibilidadus individua- les de produccidn rese en tan rendimientos crecientes a eecala, el conjunto de posibilidades de producci6n para toda la econornla pr~~.cntar& rendimientos constantes R escala, La consecuencia de loa dos dltfmos supueetos os quc el conjunto dc posibilidades de ~roducci6n as un cono convexo, 2 Un cono es un conjunto que siempre que contenga una lista de bienes y contiene todos los rndltiplos a y con g un nhero no nsgativo. Un conjunto 2 es convexo si dados dos de SUS elmento=, 2 y, C contiene c.1 promedio 1/2 (5 -t %)

13 Coma en el caso de los deda conjuntos supondremos tarobidn que es cerrado. Puede apreclcrce que eupanembs una tecnologia conatg te, El progreso tecnol6gico s~ incompatible con una expnsidn proporcionnl de toda ln economia, excepto en 19s casos más trl- viales. S610 aceptaremos la poeibilidad de que el progreeo t 4 ~ nieo Purge a rala de escaseces de recursos no raproduciblea que Fe e:otan, como ser la tierra cultivable, y entonces sdlo en la medida en que compense loa efectos de los rendimientos decreciec tes. No es necesario suponer quo la economia estb cerrada al comcrcio internacional. Si se trata de un pis que no pesa mucho en los mercados inhornacionalee, por ejemplo, sa ver& en- frentado a tkrminoe de intercambio dados. En tal caso, tanto lna actividade~ de export~~eibn como las de im~ortacibn ~uaden tr~tfirse como cunlquier otro sector ~rnductivo, lan primera8 prg duciendo divisas y 13s segundae utilirn6ndola~. Si el pafs en cuestidn se expande a 1~ misma tasa que el reeto de3 mundo, ae puede inelu~fve pcrmftir que loa tdrminos de intercambio depen- dan del vrilmen del cornercffi, e incluir los movimiantos de capi tales. Finalmente, analienremos sdlo el caso en que el con-

14 junto 1 tiene contarnos aunves, sin Bngulos, de podo que lna ra sones rsrginalss de euatitucibn eatb definidas en todos los punto8 de prohceibn ef icicntc, fv* LOS HERRAWS fe B m S Y SFRVftfOS El lugar en quie las faniliaa y empremas comercian en- tre ~f es el rercndo. Aqui ee donde. se cnrnpstibilisan loa din- tintas planes de produccf dn y d~ consumo, yn que iuia vea con- frontadas las demandas nctaa de la8 familias con la oferta neta de las empresas podrd notfrse si es posible llevar a cab aim& theamentc todos los planeg, rcmcncenos por calcular la demanda nata glokd de laa familias. La unidild familiar repreeentativa de tipo tendrd 1 i uno lista do deecndos netas x = x,,. ' ), quo para ser 1 %i factible debz estar en X. Por lo tnnto, para las ni nuevaa u- nidades que se form!tron en el ~criodo bajo considcracibn, la 95 1 manda net2 agregada Fara ese periodo es n I X,. ara las generacicnes entcricres, debsrcca tener en cuenta que la pblacidn he cr~~ldo. Por lo tato habril?-' "i unidadce de ti~o en el segundo pariodo de su vidn, jiendo su demanda neta por lo tanto de g-' ni 4, En general, para 13s unidades que eetdn

15 -t+l on el perlo$o 4 de su existencia, la demanda neta ser6 de g n x ' Sumando las 6cmsndes netas dr todas 1 ~ generaciones s y i t. tipos de familias, tendremos la desends neta agregada gel mismo modo, el ~lan de produccidn agregado de to- das les empreses que comenzaron su giro en el porfodo en cues- tidn ser& uns lista de bienes y servicios, y = (y,,..., yh) del conjunto o de posibilidades de producci6n. En consecuencia, su oferta neta para el periodo ser6 y,. r.orna estamos consideran do una expansfbn betlsnceada de 1~ economis, el ritmo de la pro- duccidn sdlo pede ser mantenido a ur~a tasc constante si el si2 tema productivo crece a la mi sr11a tara qw la püblacibn, es decir, g - 1. Cualquier otra tasa llevar4 tarde c temprano a una escg eez irremediable de mano de obrs, recursos empresariales y otros servicios de factores de la produccibn, o bien a una supernbun- danciñ tal. de bienes y servici~s producidos que le. baja de sus precfoa inducirdn a un mayor conauvo y un menor ritmo de creci- miento. Por lo tanto, en el periodo anterior se habrfin formdo menos empresas, siendo su oferta neta para el periodo de t g y2. la oferta net~ de empresns en el t - Qsímo periodo de

16 su geetidn aera de 2 -tt' y, y la afarto neta agrcgedp de t las generaciones de empresas ser& toda^ entonces la ecuacibn Ls condicidn de igusldad de oferta y demandn nos dn donde es el mayor de los ndmeros h, hi, i = 1,.+e, m, Y las demandas netas de 1 ~ familics s y ofertn~ netas de las em- presas son nulus para los ~crf0d03 ~osteriares a su horizonte Una consecwncia de los auruastos enumerados hasta ahora es que si se cum~le ln condicidn de balmce del nmcado (3), con todas las demandas y ofertns netaa fnctiblss desde el punto de vista del agente corre~yondiente, entonces las dírnandas y ofertaa notas estb acotadas. Suyidngaee por el contrsi-io que para todo valor de k > o h~y planes de produccidn y de consumo factibles que ~atiéifacen la relacidn (3), y que la produccidn de algún bien exceda a k. Teniendo en cuenla que las demndas ne-

17 i tos estdn ncotndas par bi = (b,,..., ), de (3) se deduce Mvidicnd? Flr k, obtc:!enirs un plrx do j.rldil.ccid?i yk - Gambikn Ini:t l5le que sr. Asface (?,t'k) y Ahora bian, In sacuenzia (2) tendrh algún p t o de aoumu*acii)n fx mient,ras que por ei otxn lada al mieinbm driecho de 15 d e iguaedad (5) se mula, re~u1tnnd.c k Como y ea.lactible para t~dri C e X es z~rrado~ tondmme qtie tmhibn OR factible. Poi.0 ei.lcx2es IFI re3,~cidn (6), quo as 33 ecnli cj.h para u'i perl;ctxvm rnobile, noe incli~a que debemos tenor F-' = O. Sin omhrgo, d9th 83 w ecntrndic~:'t,il, ya que y k time ay::< 1 e!,d:n3nto no flr,nrir que 33 uni nd pai-a todo i.7' - 3 or de Ir, pi--~pj~ge.d qu3 d~5e nic~tniis~~e Fsrr, el?.+?!.te y, 32t.a?ora- t~e.diccifn ijemt!e~;trn que I?,,bwL valor clc k > o qiin eact.2~

18 a cualquier c~i!t:.dad producida. Si q representa una lista de bfenes con todfis sus elmontos Rayores que, tendremos De (3) cbtinarnas nhrra, pare 5 O, to arbitrario do nodo q1.m Hastn aquf nos he.mas reierido al aercadc como el lugar dcrid.~ 3e com~stibili ann los p: eiia3, Pei'~ adri no henos!.a.l;ro2il.r: 5do o:! canismo por medio del cual 5s llega a 3 ~igwlacidn de oferta y demanda. L-1s individaos llegnn al mercado o:?r=ciendo sus blenea

19 o r?ervicfos a un recio, e fin do poder adquirir otros, Sea e; tonces E una lista de procio~; En ella se incluyen lo^ precios p3grdos por los bienee y sen~icios, los sucldos, salarios y re; ta:, pagncios ri los vend-edores de serrticios de fsctores de produc- cibn, y 13s ben2ficios y regallas pndados por el usc de loa fa2 toros em~re~~rizles. Poeenos suponer que debida a la expansibn reguiar de la err;noisfa los precios permanecerh constantes, de- biendo ser descontndoz a una cierta tasa de inter6s r - l, Con estos preciss y tor2 de inter63 podemoe c~lcular los gn~tos e ingresos de los fioer~oz agcntes esocdnicos. Pars la fmiliu represent~~tivn de tipo 2 tenernos que el g-istt~ netc; rezlizsdo en el periodo t da su uxistencia es que descontado al comienso de su existencia y sumado de lü re2 triecidn de ~~esupuestc Fish~rianc ya que la unidad fmiilior deber6 terminar su existencia sin deudas. Suponemos que no hay trunsferencias de una familis a otrr; toda herericie o dont:ci6n estd inclufdrr como consuno prci-

20 pio del donsnte. En una segunda aproxi~seibn hnbrk que tener en cuent~ los efectos del legado sobre 1s satf~faccibn del re- cipiente. ikl ir,i.srrio rno$o, para las ernprepa? obtcnemos un ingre- eo neto (beneficio e~trnor~linario, ya que la retribucidn da1 factor e::il:resa cst& inclufqa cn lo listn de para el pe rfodo 4 de su gestih que descontado 31 cornienao de su existenej.~ y switido dn el valoi actual del proyectn de lnvsr~idn (positivo si arroja un beneficlo, negatlvri si una p&rdida). V m EQUILIBRIO dn UNA SIN mrpaws FMANr TEROS E~taxos ahora en sitmci6n de comprobar la existencia de equilibrio coz~etitivo Fara nue~tra econonin regularmente pro gresivq. Para tal fin nctamo~ que debfdo a la nusencie de nercg dos financiero^, la economie es formabiente equivalente a una e- conomia estfitica.

21 En primer lugar definirexios un equilibrio competitivo. Un equilibrio para nuestra modelo ccnsiste de im eistena de p o. cios E no negativo ni nulc, una taen de interds r - 1, de un plan ds ~roducci&g del conjunto Y de posibilidades de produc- cibn, y de nsign~~ionee de biene~ x" para las fnmiliaa, elegi- da? entre lee listas factible' X' de mc?c te1 que aa cwplen 1~13-4 a) Los planes san compntibles, es decir b) El plan de produccidn maximizn c1 beneficio entre todo^ los planee posibles, ea dficir c) par^ ceda fnmilin, la li~ta zi se ajusta o1 presupuesto y mbximlzn su ~~tf-sfaccibn entre todas l n dernaridris ~ factibles que ee sjustan n su prcsupue~to, e8 decir hi,t -i i E r E xt o i<i R~ xi parn todo x1 en X tal t=?

22 Si seg~lmos 1s pista dad^ For laa diacusionee sobre ln relacidn entre tasa de crecimiento y tasa de fnteres, pode- 6 mos tratar de ver qu& Sucade si suponemos tnl igualdad,- lo tanto y por Gomparondo las relacionas (3), (12) y (14) una vez hg cha esta sustituci6n, Fuede notarse que si en ellas reemplazamos obtenemos Podemos entonces reducir el modelo al caso estgtico si 6 Ver Smuelaon (1958 ).

23 (21 1 Z - - -t Y = [ y ] - y.g y, para al& (y,,..., yh) en Y}; t=l i a los conjuntos de posibilidsdee de comercio X por (22) x'; [ ri 1 x = n i i hi -t f t- t y a las relac2oiies R por R donde i f 9 Z g xt para el& (xi,..., hi) en $1 i i --f si para todo (x,,.,, i ;h,) Cn x tai que existe por lo menos un (x, i,,., 4,) en x i tai que Puede demostrnrse que la eeonomfa asf definida satis- Lo nottci6n { xl P} debe leerse como l1el canjunto de elementos 2 que tienen In r,ropiedsd Ptt,

24 face los supueztcs usu~lcs en la tcorin estdticn de equilibrio general, y pnr lo tanto Fcjsee un eq;iilibrio competitivo. cir, existe un ristcn- de precios 6, un plan de produccldn y i en T, y planes dt consunio?i en X tales que Es de bt) - * p y 2?y para todo y en Y - -i i i i ct) p x < o, y zi Ri x pra tcdo xi en X tal que P x <; o.v Como Y e~ un cono, necesarianente tendremos que ya que 7 está cri para todo > o, de modo que para h = o, bi ) implica mientras que prnx= 2, b' ) implica De 21 ) obtenemcs, multiplicandc por los prscias Pero cf ) 4ndics que nin* término de esta suma es ne-

25 g~tivo, de modo que ln suma s6lo puede nnulcrse si cada termino es nulo. k shl Volviendo a nuestra ecnnomfa en expansidn regular, de (21) concluímos que existe nl& plcn do prodxcidn (Y1.,., Y2) en Y tal que y, debido R la crmndici6n bi) y ln relncidn (24), teniendo en cues ta ln definicidn de Y para todo (y,,..., yh) en Y. Del mismo modü se puede obtener para cadc fnmilin W- -1 i. lista do Gemm3cs netas (5:,..., iii) en X tal ~ U Q de mcdo que, con la ayuda de (25),

26 - Ri, las durmndas netas de equilibrio pueden ser elegidas dc tal fcrma que Debidc u la forma en que ha eido definidn la r~iacjbn i i pra todo (x,,..., 2 ) en x l1 i tal qua A fin de verificar esta dltima afimacihn debe tener- se en caentn. qce los supuestos ~ obrs la relacidn de preferencias carantizsn que un dximc de satiofacci5n existe, sujeto a la rg loción (28), ~plicmdo luego ln definicih de 5 i ' Hemos por lo tmto cbtenido un precia de equilibrio E, i un plan de producción y en y planes de camerciu zi en X rrespondientes a la tnaa d~' interes g - 1, igual a Iri te.nn de crecinifcnto. Pcr IR farm en quk hcmos obtenido ate restiltado, todas las ~ropicdndes del modelo eet6tlco de equilibrio gensral son aplicables; en particulnr, ln propiedad de la asignaci6n do recursos de ser eficiente, en el sentido de Pnreto de no pdzr inej orar a ninguna farriilir~ sin afectar des1 a~orablemo~?c a a3.g~- na de las dem!~, se mantiene psrc la presente solucihr conteti-

27 VI ACTIVOS Y PASiVCC FINPLh'SEriOS: LA PARADOJA DEL IflINXTO m SA- MEL,SON A pesar de no haber introducido explicitamsnte un nez cndo financiero en el i~odelo, hcmcs supuesto implfcftanente que al& mecnnisnio de cr6d:to debe hallarse presente, Sf ae obaef: vnn Ics ecuacione~ (27) y (29) pcdr4 notarce que a610 exigimos que las praccu~uestos de las empresns y de las familias esth b& lanceados a l final de aus existencine, Smlvo cofncidenclas, 45 tos no estsrh balzncendo~ en los perfodas lntermedioa, indican do ahorros o gast~s excedentes. Para una fnniilia de tipo 2, el gasto neto durante el primor ~erfodo dc su eri.tencia ser6 ds p x: ; si Bste es negn- tivo ser6 un ahorro: i y el ahorro neto del perfodc, - p x, se sumnrh a los actit vos del periodo anteriúr, r = 1 + la tasa de iutere~, dc modo que, actualiandos enn o1 factor donde se supone que ni = a ya que no hay transferencias entro C las fnriikiias. Te~íendo un cuer,ta (311, puede verse qde para

28 que cxfresa el hechc que la familia liquida todos sus act2uos a; tes ds desaprecer. Eri uri rr,r,s:snta dadc habrd ni nuevas fnmilins de tipo i, 1 ' cuyos zctivcs ascenderfin G n: Los activos de las familias i que esth eri el sermdc nñc de su existancba, serh de a por u- 2 nidad, sicndr g1 n su n&noru; el total dc rus activas oscandg -1 rb a K i F.n oanornl, hnbrd g -t tl ni fzmilias de 2 pc- a~ -t 4-1 riodos de edad., con un activo de 5 ni Rt * ~l totnl de ac- t i ~ c de ~ s todss 1~1s zeneracionef y tipos de unidades f~miliare~ ser6 entonces Vemos ahora cid1 e,s la aituncidn de Iris enipresas, bid0 a l hechc que lrt pr~duccibn necesita al& tienpo, es pro- bable que durante lns priineros periodos los g ~etos excedan a los De in~rc..qns la instaltei6r de equipo, etc.) de modo que ln di- ferencia deba ser cub!.srta con cnpftal financiero, El vdor de las ompresns despu6s da1 ~riiner p~pf0dc ser&

29 y en genernl, C~;~.;I cn 21 caso de 10s ~ctivos de las fmiliaa, el valor nctualizadc de la inversidn en las empreeas sera ya que antes de inici?+o= los preyectos no hay invereien. :onn en el caso de las fami!aas, la ecuxcidn (27) que indica que el v~lcr actual de la corriente de ingresos d~ las e? ~ presas en conpetcncin cs nulo, &e reduce a Teniendo en cuenta que el nbriero de emrrcsns de 1, 2, ,.. años ds existencis es proporcional a 1, g, g,..., abtl-nemos el valor del conjunta de las empreaes en un niomento ds do Ahora bien, plir 1~:s principios c(wtab1es bbsicas de la partid^ doble, a cada ncr~cdor corrcspc7nde un deudor. En consecuencia, los pnsirns de las ernprcxs, 1 dcberh coinci- dir con los activos netas de la? fmiili~is, ti, es ~ G C ~ T,

30 nos d~ la ccndicidn do equilibrio ffra~nciero. Se cmrle eu%n condicidn pera la soluci6n competitiva hallada en la seccitn cntericr? El siguiente ejem~lo sencillo rriu~stra que no es as1 naceszrlmente, Consid&rese el caso de un a610 tipo de familias, que viven do? perfodos, con ls poblaci6n estacionr.ria (g = 1). El conjunto 1 estd dado I,»r donde Ct y Tt mprescntnn conewio del dnico bien producidc y servicios dcl fsctcr trchajo, rerpectivmentc. Sea Y el con- junto de ~ cibilidades r de produccihn, que dur~. un ~610 periodo y sup6ngase que 1s relccidn de preferencias oste dada por Puede vcrse que Is solueian conpeti.tiva estdtica co- rresponde s p = (1, l), y = (2, -21, 5; = (413, -1, 213, -1). Evaluando loe ccti\~s de las familias y el capital. de lns m- presas, obtcn~.:~cs a = - 1/,?, v = o. Esta diferencia es ur~a

31 consecuencia directa del hecho que ln ~roduccf6n dure un sdlo pg riada, y por 1ot~r;to el cnpitol invertido en La empreea se li- q~idn inattintar.emente, rn1entr.s que los individuos tielen una preferencia por el consumo en el primer p~ricdc de su existencia, lo que los induce a pedir un crsdito n 1s tnsa de interes ccrrien te g- 1=0. Ln explicaci6n de lo euccdido reside en el hecho de que la economln que considormos estd en un Froceso de expmsibn regular que siempre se mantuvo y se msntendrd. El balanceo autg nititico de daudas y cr6ditoa que se ~r~duce cumdo el proceso ecg ndmico tiene prirlcipir, o fin no se mantiene, ya que es posible que haya una dcuda que ~ cvengs - arrastrando desde tieriipos inm~mg riales y que no deber6 saldarse j ada. Estc conclusidn se con- firm si calctac!l~s a cuanto asciend~ ln diferencia entre acti- vos financieros y psivos de 1ns emprems. Esto caculo ~uede realizzrse en forma completamente general, ya que no depsode del hecho que 1% econ~rnia este en crg cirliento rizgulcr c no, Ni siquiers infkyo que la econada se halle en ~quilibrio; s6ln en necesnrio suponer que los presupuei tns de las familics y de las ernpresna estdn balanceados, y que oferta sea igxl I d~nznda, Scn 2 = P - Ft+S Xs o1 vclor de la edici6n nets n sus activas por parte de 3 s f~rniliils de 13 kenerscibn 2 en el perio

32 do de su uxistcncia, que ES igual al exceso de sus ingreso8 cg rrientee ~nbrt SUS gnsto~ corrifntrs. Sea vt = - pt* S versifin neta en emtresss creadas en el per5odo ut la ig durante el Fe- rizdo S de su yestidn, igual al exceso de ~us qaatce corrientss sobre sus ingreens. t t lnclcnes. Ln djfcrencin n - v Entcncus podamos escribir laa sfgientes rg S St entre creacidn de activos y pg sivos por agentes d~ la geccraci6n t en el periodo 2 de su exint tencia 1s denotwenos con a. Suponiendo que todos e~tos vaio-,s res esth actualizndos o desccntados nl presente, tener~os las zi - los activos tctal~s de 1~ generacibn 2 cwndo cumple la ednd S; los pasivos de las emrresas craadas en el periodo despues de 2 perfodon ; T T a t-s (41) = At-3 S = 2 aa P At S=, s=l a=1 los activos agregados de todaa les generaci~nes en al periodo t;

33 el valor do los pasivos de todns las empresas existentes en el periodo t; T 3 t,.-s t-.s t,~ (A?) Dt=At-Vt= Z L (ed - T ) = E Z z,, ti s.? d=? 3=l d=t la diferencia entre activos y pasivos, En consecuencia, el incremento en esta?.iferencla de un perfodo al ~iguiente ser6 Par otra parte, de la ccndici6n de presupuestos fani- liares y de las eiriprwas ba.lanceados, tenemos es decir, cl ahorro neta de las ft),xilias es nulo durmte su exis tencia; T (2.5) C vt = o c9 S- i de modo q~r: la in-ver~i6n neta se rcciipt?rc. n!, finaliztr 3.2 Fiqre- sa, Restandc una ecuaci6n de otra se obtiene

34 Ls cc:i,jiclljn de iguulded eritrs cfarta y demanda puede eqresnrse p o 1s ~ ccnocida i,?aaldad entx raorro e inversih. de modo que Sustitzgendo las ecuacicnos (47) y (49) en (44) llega- mos a la concl~sibn qiie A D = o, de modo que I)t = D, una const tanta qiie no depende de t. Yur tal raa6n, si se sabe que la eco nomfr tuvo u? prjncipio, o Fe conoce que tendr& un fin, habrd a& qh periodo 4 cn el cual nc hay furiilios ni emprefao, de niodo que At = Vt = c, y en consccu.encia D = o para todo t, El prot bleina surge cuü.ado el pis~dn y el. futuro se e::t,isndcn indsfinid~ mente, por lo cual ha sido b~utia~d~ con el combihe de Paradoja del Infinito por Sarniic.lzon (19~6), VI1. EQ,?J?I.rD;iT? T273 SI, T,TRi:-qDr)?TNd"rC TER? I * _-&.**-A -.I-r...,.*..-.I...-m De ricilerdo con las obsei~m:.ines reelicadas eri 13. scc- ci6n ani;araior, lrernc>s que a fin dc hnllzr wti. solucibn conpexiti-

35 va para nues tr~t econolnia re,aularn:ente progre siva debernos suple- iwntar nuestras c~ndiciones de equilibric con la del mercado de ac+.ivos y psivos finrncieros. En erte caso ya no podezios supo- ner que 13s tmae de interes y de crecliic~to de la poblaci6n coinciden; la tasa de interda se deber6 deteminar jw~to con la8 de;?& cent iriade s de eq~i lj brio. ",n E:: ;ti ngra ;.:.do, podenios pre- se:stsr e?. ccn j ~ito coúi;-ilei;o de condici~r~t:;; que def ir!en e7 fiquiq brio eo~petitivo: un ~ Fst~mq de precios nc negativo ni n~ilo, uri factcr de i:lter&s pnsitl-<o r, un p l de ~ prodc.cci6n ~ posil-le F,.., 5 y una 1isi.a de de:~lnixias natss fo.c-lib2ez x pera cada ti.po di: uni- 3sd farnil iar tsles quc se c~mplen lns cond:.ciones s), b) y c) de la seccien V, con el agrozado de d) El mercado financiero esta en equilibric Se denxze~tra en e3 apgnll; ce oiir dados nucstras sucues- tos siempre exf~te prir lo mcno8 una S O ~ I ~ ~ I. T $. conpet:l-hiva ~ S ~ :P.e ra- tislaee estas coridiciones. Por su;lues' o, en geacral no tizne por qd esgerp-rse que r = g, En particuiar, para el eje~.r;lo de la seccidr, VI, la ta~s de interbs necesariamente tendrii qv.e di-

36 ferir de la de crecimientc. V ITI CO!.IFETE;!? 1; ~i~2~-~~~~~lt,~-~~~;~-t~a romo ya hemos visto en la seccidn VI, no todas las pro piedades del rnodelc ec-tbtico srin v$l.irios para una econilinfa en ex ~ansixn ro'yiar. Pnr lo tanto no poc?cnos dar por sentado que la solucirin h.-;llsda sea eficiente, MSe bien lo cantrario será 10 8 usual. Bas&ndcn,x en un teorema de la economia del bienestar,- sabemos que ri la asignaci6n de planes gi e? a las familias y empresas, respect'vamente, es eficiente, habrd un sistema de pre K cios p y uria reasiqnaci6n de in~resos entre las famillas, de - I tal modo que px, g, x e cum~lcn las condiciones a), b) y c) para un equilibrio competitivo. En articular la candicidn b) -t ;i iios indica entonces que debemos tener nocesarfamente g p = - -t - - r p para t = 1,,.., h, ya que las razones margineirs de sustitucidn en la pi.31l:icclh eetkn de.tz-r.iiii.~?as en forma univoea... por el r.!.sn üs pru.lucr~.bn y, Esto a FE vea significa que la ta- sa de iirlolht':s r - 1 dcbe i.;iular a liz t~tga de crecix;~rto g - 1, a mznos que el horir:onte scan61nico de i-orlas 1 us empresas es de uri sdlo periodo (t = 1), es decir, a iiit..i~3 qiw la prcdilzci6n sea 8 - Ver Dobr~u (1929).

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46 X. CONCLUSIONES Hemos vitto que no siempre una solucidn competitiva, alcanzada por el libre juego de demanda y de oferta, garantisa una efiaiente asigoci6n de recursos. En el caao da una econo- mic. reyularmente progresiva (o estacionaria, o inclwo regresi- va: no hemos irn~u~eto limitacfdn alguna al factor de crecimien- to 3, excepto la condicidn de ser positivo) hemos demostrada que la eficiencia depende del rendimiento red de los activos financieros, que debe ser igual a la tasa de crecimiento de la econonin, Tambihn hemos sefialado cómo el gobierno puede inter- venir, por medio de la emisidn de bonos o la adquisicidn de em- presae, para corregir eetae ineficienciae. En especial en loe casor de tasas de interes demasiado bajas, hemos lleg~dc a la concluei6n de que e1 Estado deberla intervenir emitiendo bonos, a fin de aprovechar plenaente los recuraos e~casos be la econo mfa.

47 DEBTiEU, G. (1959), Theory of Value, Neu York: Wiley. MC UNZIE, L.W. (1959)~ I10n the Existence of General Equilibrium for a Cornpetitive Market", Econometricn, 27, ppi 54-71, y lion the Existence of General Equilibrium: Some Corrections", Ec~ncm~tri.ca, 29 (19611, pp , NEGISHI, T.(1960), "Welf~~e Economics and Existonce of an Equi- librium for a Cornpetitive E~onnmy'~, Metrneconomica, 12, pp* MANTEL, R. (19681, '!Toward ri Constructivc Proof of the Existence of Equilibri-um in a Competitive Ecoriony", Yale Economic EERRYS, 8, pp , SAMüELSON, P.A. (19581, "An Exact Consumption - Laan Model of Interest with or uithout the Social Contrivance of MoneyI1, The Journ~t of Political Econmy, 66, pp, CASS, D., y M.E. Yaari (19661, "Individual Saving, Aggregate Capital Accumulatfon, and Efficient Growthu, on K, Shall (cd. ), E~says on the T&-%og of Ciptimal Economic C~owth, Cambridge: The M. 1.T. Press,

48 APENDICE EXISTENCTA DE EQUILIBRIO CWETITWO.- EN UNA ECONJIA REGULAEiMEN- TE PflOGFESTVA?ON --. MERCAN FTNANCiE;IO A fin de demostrar la sfimncibn hacha en la sacci6n VII, de que el modelo presentado tiene una soluei6n de equili- brio, seguiremgs lo^ siguientes pasos. En la seccibn 1. com- probaremos aue todas las v~rinblea e~thn acotadas. En la 3cc- cidn 2, definiremos 13s correepondencias de demanda y ofertfi, y los procepos de ejuste de los precios y la tasa de interd~ que nos permitirh en la reccidn 3. definir una transformacidn de cierto conjunto en si mismo, Fsra aplicar a ella un teorema de punta fijo. En la ~eccidn 4, veri~icaremos que ese punto fijo nos proporciona una soluci6n de equilibrio, darlos ciertos limites entre los que sc permite que varíe el P~ctor de inter&s. Finalmente, on la seccf6n 5. demostraremos que si se eligon 10s limites de vnriacibn del factor du interes convenientemente se obtiene la solucidn dcaoada. 1. Ya hemos visto en la seccidn iv del texto que al los merca- dos ssthn balanceados, tanto el pla;i do producción y como la8 demandas netas xi estarh acotndas si son factibles. Es par lo tanto posible hnll~r un conjunto ic, convexo y compacto, tal que contenga en su inturior todos los planes de produccidn y deman-

49 da^ netas alcrulzable~ para la eeonmfa ain violar In reatricci6n de balancc del mercado. Ad~rds supondremos que contienc los puntos m n y i i i i, m nix, i = 1,,,.,m, donde y E Y, i x < X' satisfacen la condicidn expuesta en la saccidn 11, es 1 i i decir, x 5 Yi, can xt < yt par. algún t. De tal modo nos ase guramas que lag correspúndtnc.ias de dfmanda (definicibn (1) de In seccidn siguiente) e ~tdn bien definidas, En consecuencia, podernos reemplazar sin afectar la demostracidn n los conjuntos de posibilidades de prcduccidn y ar. demer-da par los convcxcs cm- pactos i i = Y fl X, R = X n K, rezpcctivrunsnte. romo toda^ las relacicnes de equilibrio son homogéneas en los precios, podemos nomlizar ketas axigiendo que esten an n sl conju1'1to P = {p 2 O /,E, Pj = 1 3, que 8s convexo y conrpg to. Finalmente, para cl factor de intcr6s elegimos dos mftes O < r, < g < rs ; estudinrmos la existencia del equili- brio para valores de r eo el intsrvalo = bien es un convexo compacto. Veremos lwgo que ai elagimoa las limites convenientenente, Bstoa no serh ofectivoz, 2. ikfinsmos las siguientes correspondsncias; - Demandas netas de. l ü familias ~

50 I -t -i implica Z r p xt 2 M/m ni ), t= 1 T donde M = mnx E rmt p yt ( y ( y 1. Ndteso que, como ni m y i t= 7 estd en P, tendremos -t T i Mmnit Z r yt2 r t= 1 t=1 1 -t xi para xi en x, de modo que la definicibn no ee vacw. - Oferta neta del sector productivo - Demanda excedente do bienes y servicios m donde Z = Z xi - os convexo y compacto. i= 1

51 - Ahorros netos donde S es el convexo compacto que contiene los elementos S co- - Proceso de ajuste de precios E51 p (s) = ( ~é P I p m.ximiaa E g p st para p E P } t=f T -t r (a) = ( r E R( r maxiinisa r g-t st pra r E R 1 t=l Un ar,gmento conidn en este tipo de andlisie demuestra que si p 6 P r reh, y?. x i é ~ ', ~ 2 ses,, todas sst~s definiciones son no vacuns, y proporcionm correspondan - cias semi continuas supcriomentc, con valores convexos (una cg t rrezpondencia f (v) cs semi continua superlomente st v j v ; t t t u + u ; u E f (v ) implican u f (v) ). 3. Definamos ahora una transfomcidn formando el producto ca; tesiano de las correspondencins de la seccidn 2.

52 Como puede versa, esta correspondencia compuestn tr~nsforma al conjunto convexo y compacto en si mismo. Por lo visto an la seccidn anterior, cado factor en (7) es convexo, no vacuo y semi-continuc superiormente. En consecuencia, las mismas propiedades valen para la corresponde; cia w, Aplicando el teorema del punto fijo de Kakutani podamos - concluir que habrd al& punto u = (6, ;, 7, zi, Z, 8) en W tal que es decfr

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