Desarrollo del concepto de medición en la escuela elemental por Héctor W. Colón Rosa

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1 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 1 Desarrollo del concepto de medición en la escuela elemental por Héctor W. Colón Rosa Abstract De acuerdo con el Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés), los conceptos de medición deben ser enseñados con mayor énfasis en los grados elementales e intermedios (NCTM, 2000, p. 44). Es por ello que para analizar y entender mejor este énfasis, a través de este documento se estudiarán diferentes aspectos sobresalientes sobre el rol de la medición en la educación en matemáticas en el nivel elemental. En primer lugar, se presentará un resumen sobre los principios y estándares relacionados con el desarrollo del concepto de medición en el nivel elemental. En segundo lugar, se resumirán los resultados más relevantes sobre varias investigaciones realizadas sobre cómo debe desarrollarse el concepto de medición en el nivel elemental. Finalmente, se reflexionará sobre la información presentada, con una visión de lo que debe ocurrir en el futuro con respecto al estudio del concepto de medición en el nivel elemental. Introducción He descifrado que medir es matemáticas. Niña de 1er grado (Castle & Needham, 2007, p. 218) El Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) define medición como la asignación de un valor numérico a un atributo de un objeto (NCTM, 2000, p. 44). Este concepto constituye una de las aplicaciones de las matemáticas que mayor uso tiene. Por lo tanto, estudiar medición se considera importante a través de todo el currículo escolar, debido a su sentido práctico, integración a diferentes disciplinas y utilidad para desarrollar la capacidad para entender diversas situaciones del mundo natural y del diario vivir (Crosby, 1997, como se cita en Lehrer, 2003, p. 187). En el caso de las matemáticas, el estudio de la medición representa una oportunidad para aprender, integrar y aplicar otros conceptos en áreas tales como: operaciones numéricas, geometría y estadística. Estudiar medición permite acentuar las conexiones que existen, no sólo entre diferentes áreas de las matemáticas, sino también con otras disciplinas externas tales como el arte, además de las ciencias sociales, naturales y del ejercicio. Es por ello que NCTM establece que los conceptos y destrezas de medición pueden ser desarrollados y usados a través del año escolar, en lugar de ser discutidos exclusivamente como una unidad de estudios separada (NCTM, 2000, pp. 44, 103, 241). Principios, estándares y expectativas de la educación en matemáticas: medición en la escuela elemental Concilio Nacional de Maestros de Matemáticas, NCTM A través de la publicación Principles and Standards for School Mathematics, el NCTM establece la visión de que en todos los niveles escolares los estudiantes deberán tener acceso a una enseñanza de las matemáticas que se fundamente en parámetros de calidad. Asimismo, como apoyo a esa visión, se establecen los seis principios para la educación en matemáticas: de igualdad, de currículo, de enseñanza, de aprendizaje, de avalúo y de tecnología. Para complementar y guiar el logro de estos principios para la educación en matemáticas se establecen

2 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 2 diez estándares que especifican el entendimiento, [el] conocimiento y [las] destrezas que los estudiantes deben adquirir en todos los niveles escolares (NCTM, 2000, p. 29). Entre estos estándares se enfatizará el estándar de contenido sobre medición en los niveles elementales desde prekinder hasta el quinto grado. Para los grados preescolares hasta el segundo, NCTM (2000, pp ) recomienda que la enseñanza de la medición se construya a partir de un discernimiento intuitivo de los estudiantes y de sus experiencias informales de medición. Igualmente, recomiendan que los estudiantes sean expuestos a experiencias para comparar objetos, contar unidades, además de hacer conexiones entre los conceptos espaciales y numéricos. Los niños deben comenzar a desarrollar entendimiento de los atributos o características medibles cuando éstos miran, tocan, comparan y ordenan directamente los objetos. Como parte de este proceso, la comunicación entre el instructor y el aprendiz es esencial. A través de la explicación de los resultados de sus acciones, no sólo los estudiantes tienen la oportunidad de construir su conocimiento sobre medición, sino que también los maestros obtienen información valiosa sobre el progreso de los estudiantes para así planificar los próximos pasos a seguir. Esta comunicación le permite al estudiante adquirir vocabulario, mientras el maestro aprende sobre cuánto el estudiante está entendiendo y cuáles de sus ideas son equivocadas. En el caso de los grados tercero a quinto, NCTM (2000, pp ) establece que la medición es un proceso de la vida diaria, según los estudiantes indagan sobre situaciones relacionadas con sus ambientes escolar y domiciliario. En estos grados, los conceptos de medición ayudan a los estudiantes a conectar ideas entre áreas de las matemáticas y con otras disciplinas; ayudan a entender conceptos matemáticos importantes como las fracciones, las figuras geométricas, además de las formas para describir datos. Los estudiantes profundizan y amplían su entendimiento sobre el uso de la medición si prestan mayor atención al grado de precisión cuando miden, además de usar una variedad mayor de herramientas para medir. Asimismo, comienzan a desarrollar y usar fórmulas para medir atributos, tales como el área. Como parte de su aprendizaje sobre medición, los estudiantes en este nivel deben medir objetos y espacios en sus salones de clase, o usar mapas para determinar distancias en su comunidad. Durante este proceso los estudiantes deben decidir cuál unidad de medida es más apropiada para medir el área del piso de un salón, cómo estimar el tiempo que les tomaría completar una tarea, además de medir y representar los cambios de tamaño de atributos, tales como su propia estatura. Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico El Programa de Matemáticas del Departamento de Educación del Estado Libre Asociado de Puerto Rico (PMDEPR) presenta a través del documento Estándares de Contenido y Expectativas de Grado, los criterios de excelencia necesarios para lograr cambios significativos en la enseñanza de matemáticas en Puerto Rico (Departamento de Educación de Puerto Rico, 2007, p. 1). A través de este documento se presentan enunciados que servirán de ayuda a los educadores para definir el currículo en matemáticas en todos los grados escolares. De los estándares que se han presentado en este documento y sus correspondientes expectativas, se enfatizarán aquéllos relacionados con el área de la medición en el nivel elemental. En el caso de Puerto Rico este nivel incluye la misma cantidad de grados presentados por NCTM (siete grados), pero abarca desde el kinder hasta el sexto grado.

3 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 3 El estándar de contenido para medición establece que el estudiante debe ser capaz de utilizar sistemas, herramientas y técnicas de medición para establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos (Departamento de Educación de Puerto Rico, 2007, p. 7). A través de este único estándar para medición se pretende resumir los dos estándares relacionados presentados por NCTM. Por otro lado, al igual que NCTM, el PMDEPR establece que estudiar medición es importante debido a que es aplicable y generalizable en diferentes situaciones del diario vivir, además de que sirve para integrar dominios diferentes de las matemáticas, como la numeración, la geometría y la estadística. En el nivel elemental, se establece que la medición muestra una oportunidad para comprender no sólo que los espacios y los objetos son medibles, sino también a cómo usar diferentes sistemas de medidas. Asimismo, la medición es útil para aprender porqué es importante integrar conceptos matemáticos en la búsqueda de soluciones a problemas sobre medición que están presentes en el contexto práctico y real (Departamento de Educación de Puerto Rico, 2007, pp. 7-8). Las expectativas para cada estándar presentadas por el PMDEPR son similares a las de NCTM, excepto porque las primeras son un poco más específicas. En su documento, el PMDEPR presenta las expectativas para cada grado individualmente, proveyendo una imagen más clara de lo que se espera de los estudiantes en cada grado. Otra diferencia con la información presentada por NCTM, es que el PMDEPR toma en consideración entre sus expectativas el hecho de que los estudiantes reconozcan el valor del dinero. Debido a la especificidad y el detalle de las expectativas, las mismas no son reproducidas en este escrito. Para el nivel elemental, las mismas pueden verse detalladamente a través del documento en cuestión (Departamento de Educación de Puerto Rico, 2007, p. 15, 20, 25-26, 31, 36, 40-41, 46). Estudios sobre cómo se desarrolla el concepto de medición en la escuela elemental De acuerdo con Lehrer (2007, p. 179) mucha de la investigación sobre el desarrollo del entendimiento del concepto de medición se basa en las contribuciones de Piaget. El análisis de Piaget sugirió que las ideas de medida espacial no estaban aisladas, sino que consistían de una red de conocimientos relacionados que precedían a la construcción y la coordinación de las unidades estándares. Los estudios realizados en los últimos 20 años sugieren que el desarrollo del sentido de medición por los niños está marcado por la coordinación y consolidación gradual de los ocho componentes que se presentan a continuación. Éstos son considerados como constituyentes de una teoría informal sobre medición (Lehrer, 2007, pp ). 1. Relaciones unidad-atributo. Se refiere a la correspondencia que debe establecerse entre las unidades y el atributo que será medido. En ocasiones, los niños utilizan erróneamente las unidades de longitud para designar las mediciones espaciales como área, volumen y ángulos. Seleccionar apropiadamente una unidad de medida particular conlleva un intercambio entre los modelos del espacio medido y las herramientas disponibles para hacer la medición. Qué suposiciones deben hacerse para medir la distancia entre dos ciudades? Se medirá en unidades de tiempo o de longitud?

4 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 4 2. Iteración. [Repetición]. [Implica que las] unidades pueden ser reusadas [o repetidas]; se refiere a la acumulación de unidades de medidas para obtener una cantidad (p. 182). Para repetir una unidad de medida, un niño debe entender la longitud como una distancia que puede ser subdividida. Esas subdivisiones pueden ser acumuladas y, de ser necesario, reorganizadas para medir una longitud. Por tanto, dados [un objeto con] una longitud fija de ocho unidades de largo y una unidad simple para medirlo [sic], se medirá la longitud [del objeto] subdividiéndolo [sic] en ocho partes congruentes [o iguales]. Para realizar esta tarea, la unidad será trasladada sucesivamente desde el punto de inicio al punto final. 3. Embaldosando (Tiling). [Rellenando espacios con figuras]. Las unidades rellenan líneas, planos, volúmenes y ángulos. Para medir longitud, las unidades necesitan ordenarse sucesivamente. Aunque los niños encuentran útil este proceso, en ocasiones no están conscientes de las consecuencias de dejar rajas [o partes sin cubrir]. Por consiguiente, usar cuentas de unidades como representaciones de longitud es problemático. Rellenar los espacios está implícito por la subdivisión de longitudes, áreas, volúmenes y ángulos, pero este proceso no es transparente para todos los niños. [Se presume que el educador debe estar alerta al tomar en consideración este componente.] 4. Unidades idénticas. Si las unidades son idénticas, contarlas representará la medida. [Sin embargo], la mezcla de unidades debe estar marcada explícitamente, por ejemplo, 5 yardas y 3 pulgadas, no Estandarización. Acuerdos sobre las unidades que facilitan la comunicación. 6. Proporcionalidad. Las medidas con unidades de tamaños diferentes implican que diferentes cantidades puede representar la misma medida. Estas cantidades serán inversamente proporcionales al tamaño de las unidades. [un objeto cuya] longitud es de 1 pie, tendrá [sic] [también] una medida de 12 pulgadas, o de 24 medias pulgadas. 7. Aditividad. Las unidades en el espacio euclidiano pueden ser descompuestas y recompuestas, de manera que la distancia total entre dos puntos es equivalente a la suma de las distancias de cualquier conjunto arbitrario de segmentos que subdividan el segmento lineal. 8. Origen (punto cero). En ocasiones, la medición involucra el desarrollo de una escala. Aunque las propiedades de una escala varían de acuerdo con diferentes sistemas de medida, las medidas en el espacio euclidiano son razones, por tanto, la distancia entre 0 y 10 es la mismas que entre 30 y 40. Ello implica que cualquier localización en la escala puede servir como el origen.

5 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 5 La investigación sobre estos componentes ha sido orientada hacia el seguimiento de las transiciones a través de un perfil y una escala de entendimientos. En lugar de una idea unitaria sobre la medición, un niño puede subdividir una línea, pero puede fallar al hacerlo en subdivisiones idénticas. Longitud De acuerdo con Lehrer (2003, p. 182), los estudios sobre desarrollo cognitivo sugieren que la adquisición del entendimiento sobre longitud involucra la coordinación de ideas múltiples, especialmente aquéllas relacionadas con los componentes unidad y origen. Igualmente, sugieren que las ideas sobre la longitud son adquiridas durante los grados elementales, lo que es cónsono con la recomendación del NCTM sobre cómo el estándar de contenido de medición debe recibir mayor énfasis en los grados desde prekinder hasta sexto (NCTM, Fig. 3.1., p. 30). Los primeros entendimientos de los niños sobre la longitud se relacionan con la comparación directa de objetos (Lindquist, 1989; Piaget et al., 1960, como se citan en Lehrer, 2003, p. 182). Los niños de primer grado también comprenden que pueden comparar la longitud de dos objetos representándolos con una cuerda o una tira de papel. Estos usan unidades dadas para hallar la longitud de objetos diferentes, además de que asocian conteos mayores con objetos más largos (Hiebert, 1981a, 1981b, como se cita en Lehrer, 2003, p. 182). Los niños en ocasiones tienen dificultades creando unidades de igual tamaño (Miller, 1984, como se cita en Lehrer, 2003, p. 183). Aun cuando se le proveen unidades iguales, algunos niños de primer y segundo grado no entienden sus propósitos, por lo que mezclan pulgadas y centímetros contándolos todos para medir longitud, lo cual es indicativo de que para ellos medir no está significativamente diferenciado de contar. Igualmente, una minoría de ellos falla en repetir unidades idénticas cuando se les acaban las unidades (Castle & Needham, 2007, p. 215), a pesar de demostrar competencia en el uso de la regla (Hatano & Ito, 1965, Lehrer et al., 1998b, como se citan en Lehrer, 2003, p. 183). Para lidiar mejor con esta dificultad, McClain y sus colaboradores (1999, p. 94) realizaron un experimento con estudiantes de primer grado, para desarrollar secuencias instruccionales que apoyaran la construcción de entendimiento con significado del concepto de medición. En este estudio la primera actividad instruccional tenía como objetivo que los niños, en vez de medir con precisión, razonaran matemáticamente la medición interpretándola como la acumulación de distancias (por repetición). Los autores argumentan que esta actividad difiere de las que frecuentemente se realizan en las escuelas estadounidenses, pues el enfoque de las mismas está en desarrollar entendimiento del proceso de medir, en lugar de aprender a usar correctamente herramientas para medir. Por otro lado, algunos niños en kinder o primer grado coordinan algunos de los componentes de la repetición, pero no el componente sobre relleno de espacios (tiling). En el caso del componente sobre el origen, sólo una minoría de los niños en grados elementales lo entiende (Lehrer, 2003, p. 183). Los estudios recientes para investigar el desarrollo de conceptos bajo condiciones controladas en el salón de clases, se enfocan en el entendimiento de medición lineal que promueve la representación y la comunicación. Estos estudios sugieren que las ganancias más importantes ocurren cuando el aprendizaje está mediado por los sistemas de inscripción (qué el

6 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 6 niño escribe) y notación (Greeno & Hall, 1997, como se cita en Lehrer, 2003, p. 183). Entre los hallazgos más relevantes están los siguientes (Lehrer, 2003, pp ): 1. El uso de las herramientas computadorizadas que medien en la experiencia del niño con los conceptos de unidad y repetición, ayudan a que el niño reestructure mentalmente las longitudes como unidades. 2. La inscripción y simbolización de medidas de longitud como los pasos (pacing), entre otras herramientas de medición, ayudan a que los niños razonen acerca de los componentes matemáticamente importantes de la medición; los pasos se transforman en unidades de medida. 3. La importancia de proveer oportunidades a los niños para dividir longitudes repetidamente, con el objetivo de entender las particiones de una unidad. Estas acciones también ayudaron a que los niños desarrollaran entendimiento sobre las ideas operatorias con fracciones. Área El área es un tópico importante no sólo dentro del concepto de medición, sino en matemáticas en general. El mismo es considerado como la base para muchos modelos usados por educadores para enseñar las fracciones y sus multiplicaciones, la multiplicación de números enteros, además de la multiplicación algebraica (Freudenthal, 1983; Hirstein, Lamb, & Osborne, 1978; Schultz, 1991, como se citan en Outhred & Mitchelmore, 2000, p. 144). En un estudio longitudinal realizado durante 3 años con 37 estudiantes de primer a tercer grado, Lehrer y sus colaboradores (1998b, como se cita en Lehrer, 2003, pp ), encontraron que los niños de primer y segundo grado trabajaban la longitud como un concepto subrogado o sustitutivo para determinar el área. Algunos niños determinaban el área de un cuadrado midiendo la longitud de los lados de forma repetida, tratando la longitud como un atributo para llenar espacios. No obstante, a medida que se pasaba a un grado elemental posterior, los autores encontraron que el componente sobre embaldosar (rellenar) era más usado por los niños. Asimismo, en este estudio se encontró que aunque los estudiantes podían usar fórmulas para hallar áreas de cuadrados y rectángulos, a éstos se les hacia muy difícil descomponer y recomponer áreas de una figura, para ver como ésta podría ser la composición de otras subfiguras más pequeñas. En otro estudio, Outhred y Mitchelmore (2000) encontraron diferentes conceptualizaciones de los niños con respecto al área antes de haber recibido instrucción formal relacionada con este tópico. Como parte del estudio, a los niños se les presentaron tres ejercicios en diferentes niveles de complejidad para determinar qué estrategias éstos usaban, entre primer y cuarto grado, para cubrir un rectángulo en cada caso. Muchos de los niños de primer y segundo grado no realizaron los ejercicios correctamente; los de tercer grado fueron exitosos en usar unidades concretas, pero no en usar estructura; mientras que la mayoría de los estudiantes de cuarto grado usaron la estructura dimensional para medir la figura. Para ello, usaron una de las

7 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 7 dimensiones a fin de determinar las unidades necesarias en cada columna, y la otra dimensión para determinar las unidades necesarias en cada fila. Como resultado del estudio se clasificaron las estrategias usadas por los niños en 4 niveles de desarrollo del concepto de área (pp ): 1. Nivel 0: Cubrimiento incompleto. Las unidades no cubrían completamente el rectángulo. 2. Nivel 1: Cubrimiento primitivo. Las unidades cubrían completamente el rectángulo sin solaparse, pero la organización no era sistemática. 3. Nivel 2: Cubrimiento por arreglo, construido a partir de una unidad. La estructura del arreglo era correcta, con la misma cantidad de unidades aproximadamente rectangulares en cada fila y columna. Sin embargo, el tamaño de cada unidad fue determinado a partir de la unidad dada sin relacionarlo con las dimensiones del rectángulo. 4. Nivel 3: Cubrimiento por arreglo, construido por medición. La cantidad de unidades en cada dirección se determina a través de la medición y el dibujo. Una dimensión fue usada para hallar la cantidad de unidades en cada fila, y la otra fue usada para hallar la cantidad de filas. 5. Nivel 4: Arreglo supuesto, solución a través del cálculo. La cantidad de unidades se calcula a partir del tamaño de la unidad y las dimensiones del rectángulo sin que se haga ningún dibujo. El procedimiento de cálculo fue por multiplicación o por adición repetida. Por último, los autores sugieren las siguientes dos secuencias de enseñanza (p. 163): (a) Introducir el concepto de área al comienzo, trabajar la medición del área como el cubrimiento de una región con una unidad fija, y, finalmente, investigar el cubrimiento rectangular en el contexto de la medición del área; o (b) investigar el cubrimiento rectangular como un problema en sí mismo, introducir el concepto de área, y, finalmente, usar lo aprendido sobre cubrimiento para medir el área de regiones rectangulares. Otros niveles similares han sido propuestos por Battista (2004, ), basados en los procedimientos sofisticados que los estudiantes usan para entender los conceptos de área y volumen. La descripción de estos siete niveles se basa en estrategias de avalúo que se apoyan en cognición (Cognition-Based Assessment, CBA por sus siglas en inglés). La consideración de estos niveles es importante para el estudio del desarrollo del concepto de medición en la escuela elemental. Sin embargo, y debido al detalle de los mismos, su discusión está fuera del alcance de este trabajo. Se exhorta al lector a que lea el artículo para conocer más información. Para analizar el desarrollo de destrezas sobre área, Lehrer y sus colaboradores (1998a, como se cita en Lehrer, 2003, p. 185) encontraron que la solución de problemas de partición (unidades) y reconfiguración de áreas (regulares e irregulares) sin hacer mediciones, era una forma efectiva para que los estudiantes de segundo grado comenzaran a trabajar con conceptos

8 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 8 sobre área. Al finalizar el año académico los estudiantes tenían poca dificultad en crear arreglos en unidades con dos dimensiones para rectángulos. Igualmente, desarrollaban destrezas para hallar soluciones aproximadas para un área de forma irregular. Volumen Battista y Clements (1998, como se cita en Lehrer, 2003, p. 186), encontraron una serie de estrategias que los estudiantes de tercer y quinto grado usaron para estructurar mentalmente un arreglo tridimensional de cubos: 20% de los de tercer grado y la mayoría de los de quinto, estructuraron el arreglo a partir de una serie de capas o estratos. Este proceso les permitió a los estudiantes contar la cantidad de unidades en una capa y luego multiplicar para obtener el total de unidades cúbicas. Estos hallazgos sugieren que los modelos estudiantiles de la estructura espacial influyen en sus ideas sobre medición. Por otro lado, los estudios realizados en salones de clases sugieren que las formas de representación influyen grandemente en cómo los estudiantes conciben la estructuración del volumen. En este caso, estudiantes de tercer grado que fueron expuestos a experiencias y representaciones para medir volumen. Se descubrió que éstos estructuraban el espacio como arreglos tridimensionales, además de que muchos de ellos concibieron el volumen como un producto del área por la altura (Lehrer et al., 2000, como se cita en Lehrer, 2003, p. 186). Ángulos En el caso de los ángulos, varios autores encontraron que los estudiantes en los grados elementales desarrollan esencialmente dos modelos mentales diferentes a partir de los conceptos: movimiento y forma (Lehrer et al., 1998b; Mitchelmore, 1997, 1998, como se citan en Lehrer, 2003, p. 186). Igualmente, los estudios sobre aprendizaje usando programas computadorizados confirman la existencia de modelos distintivos del ángulo, como estático o dinámico. Asimismo, estos programas permiten el desarrollo de la noción del ángulo como rotación, aunque los estudiantes en ocasiones confunden el interior y el exterior de los ángulos de las figuras trazadas (Lehrer, et al., 1989, como se cita en Lehrer, 2003, p. 186). Sobre los ángulos, Lehrer (2003, p. 186) hace hincapié en que el diseño de actividades educativas para ayudar a los estudiantes a desarrollar entendimiento sobre el ángulo y su medida es todavía un reto significativo. Reflexión del presente hacia el futuro El ser humano vive en un mundo altamente sofisticado, lleno de experiencias en las que debe usar los conceptos sobre medición, incluso antes del momento de nacer, pues la medición del tiempo le persigue en cada momento de su vida. Por otro lado, además de la edad, el cuerpo humano lleva consigo un conjunto de características ineludiblemente medibles: la masa, la estatura, el tamaño de la cintura, la circunferencia del cuello, la longitud del brazo, entre muchas otras. Por consiguiente, es sumamente importante entender y desarrollar el concepto de medición. Asimismo, es trascendental que la enseñanza del concepto se dé no sólo desarrollando la medición conductistamente, sino a través de la competencia algorítmica de solución de problemas. Esto es, establecer relaciones usando diferentes fórmulas o instrumentos de medición a través de actividades pragmáticas que permitan desarrollar el concepto de medición

9 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 9 involucrando la mayor parte de los sentidos. Igualmente, resulta indispensable considerar que para mejorar el aprendizaje de las destrezas relacionadas con la medición, este concepto debe integrarse a través de todo el currículo (Presto & Thompson, 2004), tanto en matemáticas como en otras disciplinas. Como se mencionó al comienzo de este escrito, estudiar medición acentúa las conexiones que existen con otras disciplinas externas, como son las artes y las ciencias. No obstante, algunos autores han atribuido la pobre ejecución de los estudiantes en diferentes tópicos sobre medición al hecho de que estas destrezas se aprenden mediante la memorización y la aplicación rutinaria de las herramientas de medición y sus diversas fórmulas (Clements & Bright, 2003; Kamii & Clark, 1997, como se citan en Castle & Needham, 2007, p. 215; Battista & Clements, 1996; Simon & Blume, 1994; Tierney et al., 1990, como se citan en Outhred & Mitchelmore, 2000, p. 145; Kamii, 2006, p. 156). En el caso de los principios, estándares y expectativas relacionados con la medición, tanto del NCTM como del PMDEPR, es fundamental analizar si los mismos son cónsonos con la realidad de la educación en Puerto Rico. En el caso del NCTM, autores como Hiebert (2003, pp ), establecen que, en términos generales, los estándares propuestos son más ambiciosos que aquéllos de los programas tradicionales debido a que estos últimos no proveen a los estudiantes con muchas oportunidades para alcanzar los mismos. De igual modo, Castle y Needham (2007, p ), basado en los hallazgos de su estudio con niños de primer grado, sugieren que para ese nivel no debe incluirse como objetivo la habilidad para iterar o repetir unidades. Estos autores recomiendan que las actividades para el primer grado sean enfocadas hacia que los niños aprendan qué significa medir, en lugar de cómo se mide o cualquier otro procedimiento empírico. En cuanto a Puerto Rico, el PMDEPR debe considerar analizar la situación particular de los estudiantes puertorriqueños, pues su realidad en relación con la medición no debe ser distinta. Para remediar el problema se deben crear, implantar y estudiar programas alternos, o pilotos, que provean oportunidades para alcanzar los estándares y las expectativas, tanto para los estudiantes como para sus maestros. Los resultados de los estudios sobre estos programas pilotos deben ser rigurosa y cuidadosamente documentados como evidencia de que los programas funcionan o no funcionan. Si funcionan, los mismos deben ser reproducidos y si no funcionan, se debe auscultar el porqué, y tomar decisiones acerca de si serán reimplantados o se crearán nuevas alternativas. La literatura sugiere que esos estudios deben realizarse a partir de la teoría constructivista, usando una metodología cualitativa. Estas consideraciones les permitirán a los investigadores documentar cómo los estudiantes razonan la solución cuando se enfrentan a diferentes problemas relacionados con los tópicos de medición. Para ello, los maestros deben fomentar la escritura de bitácoras (Castle & Needham, 2007, p. 221) y las discusiones abiertas que permitan a los estudiantes reflexionar sobre sus razonamientos, además de razonar acerca de los métodos que usan otros compañeros para solucionar un mismo problema. Estos eventos de intercambio de ideas son considerados como valiosos (McClain, et al., 1999, p. 104), pues la interacción con los compañeros ayuda a que los niños construyan su conocimiento, aprendan otras formas de pensar sobre una misma idea, y aclaren su pensamiento. Los niños aprenden el lenguaje a través de la comunicación verbal, por consiguiente, es importante proveerles de oportunidades para que hablen matemáticas (NCTM, 1989, p. 26, como se cita en Rhone, 1995, p. 124).

10 Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 10 Como establece Lehrer (2003, p. 187), es crucial tomar en consideración el hecho de que el desarrollo del concepto de medición puede ayudar a entender mejor los fenómenos naturales en el entorno inmediato, domiciliario o escolar, de los estudiantes. Es importante que los niños experimenten situaciones que les permitan pensar sobre problemas de medición y que expresen preguntas relacionadas al concepto según surgen espontáneamente de sus experiencias diarias (Castle & Needham, 2007, p. 220). En ese contexto natural y del diario vivir, es importante que se consideren también las ideas de los estudiantes con relación al concepto de error, pues el error es considerado una cualidad fundamental de la medición, además de una idea fundamental en la investigación científica. El error puede estar presente tanto en el objeto que será medido, como en el instrumento de medición (Kerr y Lester, 1976; Mayo, 1996; Porter, 1986, como se citan en Lehrer, 2003, p. 187). Referencias Batista, M. T. (2004). Applying cognition-based assessment to elementary school students development of understanding of area and volume measurement. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), Battista, M. T., & Clements, D. H. (1998). Students understanding of three-dimensional cube arrays: Findings from a research and curriculum development project. In R. Lehrer & D. Chazan (Eds.), Designing learning environments for developing understanding of geometry and space (pp ). Mahwah, NJ: Erlbaum. Castle, K, & Needham, J. (2007). First graders understanding of measurement. Early Childhood Education Journal, 35, Recuperado el 2 de marzo de 2008 de la base de datos de Springer Science+Business Media, LLC. Clements, D. H., & Bright, G. (Eds.). (2003). Learning and teaching measurement, 2003 yearbook. Reston, VA: NCTM. Departamento de Educación de Puerto Rico (2007). Estándares de Contenido y Expectativas de Grado. Programa de Matemáticas. San Juan, Puerto Rico: Autor. Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht, The Netherlands: Reidel. Hatano, G., & Ito, Y. (1965). Development of length measuring behavior. Japanese Journal of Psychology, 36, Hiebert, J. (1981a). Cognitive development and learning linear measurement. Journal for Research in Mathematics Education, 12, Hiebert, J. (1981b). Units of measure: Results and implications from National Assessment. Arithmetic Teacher, 28,

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