SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CODIFICACIÓN DE DECIMAL A BINARIO

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1 SISTEMS DE NUMERIÓN Y ODIFIIÓN DE DEIML INRIO Sistema decimal: es un sistema de numeración en base 0, tiene 0 posibles dígitos (p i ). En cada número, el valor que toman sus dígitos depende de la posición respecto del primer dígito de referencia (0 i ). ada número decimal se obtiene mediante la suma ponderada de sus dígitos: N= Σ(p i *0 i ) 85=*0 +8*0 +5*0 +*0 0 Sistema binario: sistema de numeración en base, tiene posibles dígitos (0,), al igual que en el sistema de numeración decimal, el valor de cada dígito en un número depende de su posición. sí, para convertir un número binario (en base ) a decimal: 000 () = 0* 4 +0* + * + 0* +* 0 = 5 (0) Para convertir un número decimal a binario hay que realizar la operación inversa: dividir entre el número hasta descomponerlo y ordenar inversamente la secuencia. 9 (0) = * + 0* + 0* + * Sistema hexadecimal: sistema de numeración en base 6, tiene 6 posibles dígitos (0,...9,,,,D,E,F). (=0, =,...). Para convertir un número hexadecimal a decimal o viceversa se procede igual que con el sistema binario: 5E0 (6) = 5*6 + *6 + 4*6 + 0*6 0 = 776 (0) ÓDIGOS INRIOS: Existen diversas formas de codificar números decimales en binario. Los más usuales son: - ódigo binario natural: a cada número decimal se le hace corresponder su equivalente número binario (en base ). El número decimal 6 ( ) codificado en binario natural sería : 00 - ódigo decimal codificado en binario (ódigo D): cada número decimal se descompone primero en cifras y a cada cifra se le asigna cuatro dígitos: o ódigo D natural: cuatro dígitos por cifra decimal siendo sus pesos 8,4, y (equivalente binario de cada cifra): 6 El número decimal 6 codificado en D natural sería : o ódigo D iken: cuatro dígitos por cifra decimal siendo sus pesos,4, y : 6 El número decimal 6 codificado en D iken sería :

2 DISEÑO Y SIMPLIFIIÓN DE FUNIONES LÓGIS.. INTRODUIÓN La información de tipo digital (que utiliza señales con un número finito de valores, generalmente basados en un sistema binario) es más precisa que la analógica (que utiliza señales que pueden tener un número infinito de valores), es menos sensible al ruido y a las perturbaciones externas y utiliza un número reducido de circuitos básicos (llamados puertas lógicas) que se repiten muchas veces. Estas características y gracias a las técnicas que han permitido incrementar la velocidad a la que se procesa y envía la información, justifica el uso creciente de los sistemas digitales, cuyo campo de aplicación es muy amplio, siendo sus aplicaciones más representativas en los sistemas de control industrial (controladores o autómatas programables), equipos de procesamiento de datos (ordenadores,...) y otros equipos y productos electrónicos como electrodomésticos, alarmas,... El Álgebra de oole fue desarrollada por George oole durante el siglo XIX con objeto de representar y sistematizar el razonamiento lógico, utiliza: - Variables binarias que sólo pueden adoptar dos valores o estados: 0 y que representan los valores lógicos verdadero y falso - Relaciones algebraicas (suma, producto,...) que representan las conjunciones lógicas ( 0, Y,...) En 98, laude Shannon adaptó el álgebra de oole al estudio de circuitos electrónicos que podían adoptar dos estados posibles: nivel 0 o nivel de las diferentes variables eléctricas (tensión, corriente, potencia,...), llamando puertas lógicas a los circuitos equivalentes a operaciones lógicas básicas, de forma que en lugar de representar todos los elementos del circuito que intervendrían (resistencias, diodos, transistores,...) se representa su esquema de conexionado mediante símbolos que relacionan el/los valor/es lógico/s de entrada con el valor lógico de salida a través de una puerta lógica.. ÁLGER DE OOLE.. Elementos y operaciones - Es una lógica bivaluada (binaria): cada variable puede tomar dos valores: Verdadero (), falso (0). - Las variables se designan por letras. - Las operaciones son reglas de combinación de elementos y se representan mediante operadores. Funciones básicas: o o dición o unión o función O (OR): f(,) = + Producto o intersección o función Y (ND): f(,) = * o omplementación o inversión, negación o función NO (NOT) : f() = (también podéis verlo escrito como ) - Otras operaciones: o o o Función No O (NOR): f(,) = + = * Función No Y (NND): f(,) = * = + Función O Exclusiva (EXOR): f(,) = = * + * o Función equivalencia (EXNOR): f(,) = = = * + *

3 .. Teoremas en el álgebra de oole - Teorema de dualidad: a cada ley lógica le corresponde una dual construida intercambiando + con y y con 0.. REPRESENTIÓN DE FUNIONES LÓGIS.. Expresión algebraica ombinación de constantes (0,), variables (,,,..) y operadores (+, *, expresión algebraica de una función no es única. ). La.. Tabla de verdad Es la representación en una tabla o cuadro de la función lógica. La tabla de verdad de una función es única. Está formada por: o columna por variable (n columnas) o fila por cada combinación posible de variables ( n filas) o columna para registrar el valor de la función según la combinación de variables.. Formas canónicas de una función lógica: - Primera forma canónica: expresión algebraica de una función en forma de suma de minterms (m i ). Minterm es un término de una función constituido por el producto de las n variables de la función. ada variable aparece una y sólo una vez, ya sea en su forma normal o complementada. Ejemplo: f(,,) = Σ (,,4,6,7) f ( X, X,..., Xn ) = f ( i) * m i i= 0 i f(i) Segunda forma canónica: expresión algebraica de una función en forma de producto de maxterms (M i ). Maxterm es un término de una función constituido por la suma de las n variables de la función. ada variable aparece una y sólo una vez, ya sea en su forma normal o complementada. n f ( X, X,..., Xn ) = ( f ( i) + M n ) i= 0 i Ejemplo: F(,,) = Π (7,6,) = M 7 * M 6 * M = ( + + ) * ( + + ) * ( + + ) n

4 Paso de una forma canónica a la tabla de verdad: - Primera forma: cada minterm genera un en la columna de la función. En cada minterm se hace la siguiente sustitución: variables sin complementar =, variables complementadas 0. - Segunda forma: cada maxterm genera un 0 en la columna de la función. En cada maxterm se hace la siguiente sustitución: variables sin complementar = 0, variables complementadas. 0=; = 0 =; = Para el ejemplo anterior: i f(i) (S) m i salidas M n--i salidas m 0 M m M m * * M 5 0 m * * M m 4 * * M m 5 M m 6 * * M 7 m 7 * * M 0 Podemos expresar la función como primera o segunda forma canónica: minterms maxterms Σ (,,4,6,7) Π (7,6,) m +m +m 4 +m 6 +m 7 M 7 * M 6 * M ( * * ) +( * *) + ( * * ) + ( * * ) + ( * *) (++) * (++ ) *( ++ ) ---LS FORMS NÓNIS DE UN FUNIÓN LÓGI SON ÚNIS Mapa de Karnaugh El mapa de Karnaugh de una función de n variables es una tabla de n casillas, cada una de ellas asociada a un minterm (o maxterm) de forma que al pasar de una casilla a otra adyacente horizontal o verticalmente sólo cambia el estado de una variable. variables variables 4 variables 4

5 4. SIMPLIFIIÓN DE FUNIONES LÓGIS 4.. Métodos algebraicos En el ejemplo anterior, se demuestra mediante métodos algebraicos que ambas funciones son equivalentes a otra más sencilla, que sería: a) S= * + * = ( +) = * = b) S=(+) * (+ ) = *+* +*+ * = + [ ( +)] + 0 = + = 4.. Métodos numéricos El más conocido es el de Quine-Mcluskey, basados en procesos de simplificación de funciones por medios informáticos. 4.. partir de mapas de Karnaugh Utilizado para funciones con menos de seis variables. Se basa en los teoremas: a) S = * + * =. (Si obtenemos la función más simple como suma de productos) b) S= ( + ) * ( + )= (Si obtenemos la función más simple como producto de sumas). Se trata de agrupar por tanto dichas simplificaciones mediante bucles que comprendan cuadros contiguos. En el primer caso agruparemos y en el segundo 0. a) Haciendo bucles con las salidas que valen : 0 0 S = * + * =. b) Haciendo bucles con las salidas que valen 0: 0 + S = ( + )* ( + ) = El procedimiento para la simplificación será por tanto agrupar las casillas que contienen, procurando realizar el menor número de bucles posibles que agrupen el mayor número de (o de 0 ) posible y teniendo en cuenta que los extremos opuestos también son adyacentes:

6 5. DISEÑO E IMPLEMENTIÓN DE FUNIONES LÓGIS Implementar una función lógica es realizar el circuito digital que efectúe la función lógica deseada. Para ello, tras ser deducida y simplificada la función lógica, se debe proceder a su diseño mediante la representación gráfica de las puertas que en él intervienen y posteriormente conectar los circuitos integrados diseñados. omo esto implicaría disponer de un número elevado de circuitos integrados, generalmente, las funciones lógicas suelen implementarse utilizando sólo las dos puertas lógicas universales antes descritas: NOR y NND, y que toda operación lógica básica (suma, multiplicación o negación) puede transcribirse en forma de negación de suma (NOR) o negación de multiplicación (NND) tal y como se muestra en la tabla: Símbolo y función Equivalencia NOR Equivalencia NND NOT OR + = + * = * = + ND * = * + = + = * 6

7 6. IRUITOS OMINIONLES Los circuitos integrados digitales se clasifican según su densidad de integración (número de puertas lógicas que integran) en: - aja escala de integración (SSI): menos de 0 puertas - Media escala de integración (MSI): entre 0 y 00 puertas - lta escala de integración (LSI): puertas - Muy alta escala de integración (VLSI): más de 00 puertas Los circuitos combinacionales son circuitos integrados MSI que se clasifican según la función que realizan en: - ircuitos de comunicación: codificadores, decodificadores, convertidores de código, multiplexores, demultiplexores,... - ircuitos aritméticos: sumadores, restadores y comparadores. 6.. odificadores odifican información digitalizada en su equivalente binario (o bien natural o bien D). Los codificadores son circuitos combinacionales formados por n entradas y n salidas. l accionarse una de las entradas, en la salida aparece el código binario asignado a esa entrada. El diagrama funcional sería N n entradas odificador n salidas Por ejemplo un codificador de 8 a líneas tendría =8 entradas: 0,,,..., 7 y salidas:,,. Si este codificador lo conectamos con los pulsadores de los números 0 a 7 de la calculadora, los codifica en binario natural Decodificadores Los decodificadores realizan la operación inversa, convierten información binaria en su decimal equivalente. Su diagrama funcional sería: sí, un decodificador D tendría 4 entradas y 0 salidas (0 4 ). n entradas Decodificador N n salidas D La salida del decodificador puede ser por nivel alto (la salida 0 tendrá un nivel alto de tensión cuando la combinación de las entradas sea 0000, o bien por nivel bajo (la salida 0 tendrá un nivel bajo de tensión cuando la combinación de las entradas sea 0000). En los decodificadores con salida por nivel bajo se añade un cerito antes de la línea de salida: 7

8 Los decodificadores se suelen emplear como generadores de funciones lógicas. sí por ejemplo, la función lógica: F = * * + * * + * * + * * quedaría implementada : on un decodificador de nivel alto con uno de nivel bajo: onvertidores de código Son en realidad decodificadores (convierten información binaria en información digitalizada) el más común es el decodificador de D a código de 7 segmentos (sus salidas se conectan a un visualizador de 7 segmentos, como los que utilizan las calculadoras) convirtiendo el número codificado en binario a través de un visualizador de 7 segmentos en su equivalente decimal. decodificador de 7 segmentos pantalla o visualizador de 7 segmentos 6.4. Multiplexores y demultiplexores Son circuitos que se caracterizan por dirigir la información que se presenta en unas vías de entrada a otra de salida, mediante unas entradas de control. Los diagramas funcionales de cada uno de estos circuitos serían: Multiplexor n entradas de información S E Demultiplexor n salidas n entradas de control o selección n entradas de control Los multiplexores se han utilizado como circuitos para comprimir información (incorporan en una única señal varías señales de entrada en paralelo, que viaja a través de la red telefónica y una vez en destino un demultiplexor se encarga de volver a separarlas para que cada señal llegue a su destino. 8

9 Los multiplexores también se utilizan como generadores de funciones. En un multiplexor de 4 entradas de información y de selección su salida respondería a la función: D 0 D D D 4 S S = D0 + D + D + D Para implementar funciones con multiplexores: - Elijo multiplexor con m- entradas de control (m=nº de variables de la función a implementar) - Escribo la función de forma que aparezcan todas las combinaciones posibles de las variables asignadas a las entradas de control - signo un valor o la variable a las entradas de información. Por ejemplo, la función : S = Necesito un multiplexor de entradas de control. signo y a las entradas de selección, por lo que la función quedaría de la siguiente forma: S = * + * 0 + *+ * - Luego D ; D = 0; D = D = y por 0 = ; tanto el diagrama sería: Vcc 4 S 6.5. omparadores Son circuitos capaces de establecer las relaciones mayor (>) menor (<) e igual entre dos configuraciones binarias. Por ejemplo, un comparador de dos dígitos respondería a la tabla de verdad: S0 S S S0 es la salida > S0 = * S es la salida < S= * S es la salida = S= * + * Sumadores y restadores Son circuitos que realizan la suma o resta de dos números binarios, uniendo las entradas de los diferentes dígitos con el acarreo anterior se pueden sumar o restar números binarios de varias cifras. Tabla de verdad de un sumador total o S o: acarreo anterior : acarreo o Su ma dor S Tabla de verdad de un restador total o S

10 7. IRUITOS SEUENILES Son circuitos digitales en los que los valores de las salidas, en un determinado momento, no dependen exclusivamente de los valores de las entradas en ese instante, sino que también dependen del propio estado anterior de estas salidas. Son por tanto circuitos con memoria, que responden al siguiente diagrama de bloques: Los circuitos secuenciales más simples son los biestables, que poseen capacidad para almacenar información binaria de bit. La unión de biestables da lugar a contadores y registros de desplazamiento, y aquellos integrados por un número mayor de biestables origina autómatas finitos y memorias integradas. Los biestables se clasifican a su vez en - síncronos: aquellos que no necesitan un señal de reloj para ser activados. ada estado se mantiene hasta que cambian las entradas. o iestable R-S o iestable J-K o iestable T - Síncronos: aquellos que se activan con una señal de reloj, de manera que cada estado se mantiene hasta que cambian las entradas y una señal de reloj activa el biestable. o ctivados por nivel o biestables LTH o ctivados por flanco o biestables FLIP-FLOP 7.. IESTLES SÍNRONOS El más simple es el biestable R-S, cuyas salidas son complementarias excepto en el caso de que ambas entradas sean simultáneamente. Según su construcción pueden ser de inscripción o borrado prioritario. El biestable J-K elimina el defecto de funcionamiento del R-S cuando ambas entradas valen, siendo ambas salidas siempre complementarias. 0

11 El biestable T se construye uniendo las dos entradas de un J-K 7.. IESTLES SÍNRONOS TIVDOS POR NIVEL En estos los cambios de estado en las salidas se producen cuando además de variar las entradas, una señal de reloj activa el biestable. Se dice que tienen por tanto dos modos de trabajo: modo retención, cuando la señal de reloj está inactiva y por tanto el biestable no cambia el estado de las salidas aunque cambien las entradas y modo transparente, cuando la señal de reloj está activa y por tanto las salidas responderán a los cambios que se produzcan en las señales de entrada. Se construyen biestables R-S y J-K síncronos, que responderían a las siguientes tablas de verdad: Uno de los biestables síncronos más empleados es el biestable D, empleado para construir registros de desplazamiento:

12 7.. IESTLES SÏNRONOS TIVDOS POR FLNO En este tipo de biestables se pretende que la señal de reloj dure sólo un instante, evitando que el reloj esté activo más tiempo que el de respuesta del biestable. Este tipo de biestables pueden estar activados por flanco de subida o de bajada y pueden adoptar alguna de las dos configuraciones que aparecen en el libro página 49: edgetriggered (disparo por flanco) o master-slave (maestro-esclavo) ONTDORES Un contador es un circuito secuencia cuyas salidas representan, en un determinado código, el número de impulsos que se aplican en la entrada. Pueden ser ascendentes o descendentes. El contador más simple que podemos construir sería un contador asíncrono de cuatro bits, cuyo símbolo y construcción con biestables JK sería: 7.5. REGISTROS DE DESPLZMIENTO Son circuitos secuenciales de aplicación general formados por una serie de biestables conectados en cascada, normalmente D, de tal forma que son capaces de almacenar una palabra binaria formada por tantos bits como biestables contenga. Normalmente se emplean en sistemas en los que además de almacenar la información sea necesario efectuar conversiones de datos de serie a paralelo o paralelo a serie. El dispositivo más sencillo es aquel que recibe la información en serie y la transmite también en serie como se muestra:

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