TEMA 1: Control y programación de sistemas automáticos

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1 Esquema: TEMA : Control y programación de sistemas automáticos TEMA : Control y programación de sistemas automáticos....- Introducción Representación de las señales digitales Sistemas de numeración Transformaciones Binario (2) Decimal () Decimal () Binario (2) Binario (2) Hexadecimal (6) Hexadecimal (6) Binario (2) Decimal () Hexadecimal (6) Hexadecimal (6)) Decimal () Octal (8) Decimal () Decimal () Octal (8) Binario (2) Octal (8) Octal (8) Binario (2) Codigos binarios Código binario natural Códigos BCD (decimal codificado en binario) Operaciones con binarios Álgebra de Boole Funciones básicas Combinaciones entre funciones básicas Propiedades de las funciones. Teorema de Morgan Función Exclusive OR, XOR Función Exclusive NOR, XNOR Representación de puertas lógicas según distintas normativas Representación de funciones lógicas Por manipulación algebraica Tablas de Karnaugh Implementación de circuitos con puertas NAND y NOR Funciones múltiples o incompletas Introducción Los circuitos electrónicos untilizados en el control de sistemas automáticos se clasifican en dos tipos: analógicos y digitales. Ambos trabajan con señales. Una señal es la variación de una magnitud que permite transmitir información. Señales analógicas. Pueden adquirir infinitos valores entre dos extremos cualesquiera. La variación de la señal forma una gráfica continua. La mayoría de las magnitudes físicas de la naturaleza varían de esta forma: temperatura, velocidad, presión, tiempo,.. Página

2 Señales digitales. Pueden adquirir únicamente valores concretos, es decir, no varían a lo largo de un continuo. Por ejemplo, el estado de una bombilla sólo puede tener dos valores ( apagada, encendida). A cada valor de una señal digital se le llama bit y es la unidad mínima de información. Las principales ventajas de las magnitudes digitales son: Se pueden transmitir, procesar y almacenar con mayor facilidad y de forma más fiable y eficiente. Mayor exactitud y precisión. Los sistemas digitales son más fáciles de diseñar. Son circuitos de comnutación, donde no son importantes los valores exactos de corriente y voltaje, sino el rango donde se encuentran. El inconveniente más importante es que las variables reales humedad, temperatura,..., son analógias por tanto se necesita un conversor...- Representación de las señales digitales Si nos fijamos, con un ordenador, que es un sistema digital, podemos escuchar música o ver películas. La información que está almacenada en el disco duro son números. En la figura se muestra un sistema digital. La señal acústica se convierte en una señal eléctrica, y a través de un conversor analógico-digital se transforma en números, que son procesados por un circuito digital y finalmente convertidos de nuevo en una señal electrónica, a través de un conversor digital-analógico, que al atravesar el altavoz se convierte en una señal acústica. El utilizar circuitos y sistemas que trabajen sólo con números tiene una ventaja se pueden realizar manipulaciones con independencia de la señal que se esté introduciendo: datos, voz, vídeo... Un ejemplo muy claro es internet. Internet es una red digital, especializada en la transmisión de números. Y esos números pueden ser datos, canciones, vídeos, programas, etc... La red no sabe qué Página 2

3 tipo de señal transporta, sólo ve números. Los sistemas digitales, como por ejemplo el ordenador, usan lógica de dos estados representados por dos niveles de tensión eléctrica, uno alto, H y otro bajo, L.Dichos estados se sustituyen por ceros y unos, lo que facilita la aplicación de la lógica y la aritmética binaria. Si el nivel alto se representa por y el bajo por, se habla de lógica positiva y en caso contrario de lógica negativa. A cada valor binario, le hacemos corresponder un nivel de tensión determinado. En general al valor de tensión le hacemos corresponder el cero binario y a un valor de tensión el binario. Las señales digitales pueden representarse de dos maneras distintas: Cronogramas. Son diagramas señal-tiempo, Tabla de verdad. En este tipo de representación no se utiliza como en los gráficos anteriores en analógico el tiempo. Es una tabla en la que se presentan las señales de y como se señalan en digital. entrada sí como las señales de salida que corresponden a cada estado. Página 3

4 2.- Sistemas de numeración. El concepto de número todos lo tenemos, pero un mismo número se puede representar de muchas maneras. Por ejemplo, el número, lo representamos mediante dos dígitos, el y el. Si utilizásemos numeración romana, este mismo número lo representaríamos sólo con un único dígito X. Pero está claro que ambas representaciones, y X hacen referencia al mismo número diez. Nosotros estamos acostumbrados a representar los números utilizando diez dígitos:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Por eso nuestro sistema de representación se denomina sistema decimal o sistema en base diez. Podemos emplear un sistema de representación octal (Base 8), que utiliza sólo ocho dígitos (,,2...7). el caso del sistema hexadecimal, en el que se emplean 6 dígitos:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F, donde las letras representan los números,, 2, 3, 4 y 5 respectivamente. Los pesos de los dígitos son pontencias de 6. Los ordenadores y en general todos los sistemas que utilizan electrónica digital utilizan el sistema binario. En la electrónica digital sólo existen dos estados posibles ( o ) por lo que interesa utilizar un sistema de numeración en base 2, el sistema binario Transformaciones Binario (2) Decimal () Se multiplica cada una de las cifras del número en binario en potencias sucesivas de 2. Ejemplo : Paso de (2) a decimal (2) = =8 () Página 4

5 Ejemplo 2: Paso de, (2) a decimal,(2)= = =54,625() Decimal () Binario (2) NUMEROS ENTEROS: Se divide el número en decimal por dos hasta que el último cociente sea inferior a 2. Ejemplo : Paso de 8 en decimal a binario Ejemplo 2: Paso de 27 en decimal a binario NUMEROS FRACCIONARIOS: Si el número decimal no es entero sino que es una fracción menor que uno se multiplica la parte fraccionaria por dos, todas las veces necesarias hasta que se no se obtenga fracción o se obtenga la precisión deseada. Ejemplo : Paso de,36 de decimal a binario con seis dígitos de precisión,36.2 =,72 Primer dígito:,72.2 =,44 Segundo dígito:,44.2 =,88 Tercer dígito:,88.2 =,76 Cuarto dígito:,76.2 =,52 Quinto dígito:,52.2 =,4 Sexto dígito:,362, Ejemplo2: Paso de 8,36 de decimal a binario con seis dígitos de precisión en la parte fraccionaria. Realizaremos la parte entera y la fraccionaria por separado: 8,36, El resultado será: 8,36, Binario (2) Hexadecimal (6) Se debe tener en cuenta : Décimal Hexadecimal A B C D E F Página 5

6 Se hacen grupos de 4 bits, hacia la izquierda, a partir de la coma. Ejemplo : Paso de de hexadecimal a binario AD Hexadecimal (6) Binario (2) Se realiza el paso contrario a lo anterior. Ejemplo : Paso 4DF (6) = 4, 3, 5 = (2) = (2) Decimal () Hexadecimal (6) Se divide el número en decimal por 6 hasta que el último cociente sea inferior a 6. Ejemplo : Paso de 75 en decimal a hexadecimal EF Hexadecimal (6)) Decimal () Se multiplica cada una de las cifras del número en hexadecimal en potencias sucesivas de 6. Ejemplo : Paso de 2EF (6) a decimal 2EF (6) = E.6 +F.6 = =75 () Octal (8) Decimal () Se multiplica cada una de las cifras del número en potencias sucesivas de 8. Ejemplo : Paso de 354 (8) a decimal 354 (8) = = =236 () Decimal () Octal (8) Se divide el número en decimal por 8 Página 6

7 Ejemplo : Paso de 36 en decimal a octal Binario (2) Octal (8) Se hacen grupos de 3 bits, hacia la izquierda, a partir de la coma. Ejemplo : Paso de, de binario a hexadecimal., ,54 (8) Octal (8) Binario (2) Se realiza el paso contrario a lo anterior. Ejemplo : Paso 325,6 (8) = 3, 2, 5,, 6 =, (2) =, (2) Codigos binarios El sistema de numeración más adecuado para los circuitos digitales es el sistema binario. Se pueden establecer distintas correspondencias biunívocas entre los números en sistema decimal y en sistema binario Código binario natural Consiste en la representación directa del número decimal a binario. Es decir, cada número se corresponde con su equivalente en binario. Ejemplo: 25 () (2) Códigos BCD (decimal codificado en binario) Representan el número transformando a binario cada una de las cifras decimales que lo componen por separado. Es decir para representar el número 25 se representa por un lado la cifra 2 y por otra la cifra 5. a) Código BCD natural(842). Es un código ponderado, es decir, el número decimal equivalente se obtiene mediante la suma ponderada de los dígitos binarios que forman el código. Los pesos son 8(2 3 ), 4(2 2 ), 2(2 ) y (2 ), de ahí su nombre. Simplemente se transcriben las cifras decimales por separado a binario y viceversa. Ejemplo: 25 2() 5(); donde 2= = Página 7

8 b) Código BCD (7 segmentos). Representan dígitos decimales por medio de una codificación binaria. Necesito 4 bits, es decir, 2 4 =6 combinaciones y sólo usa. Decimal BCD a,b,c,d,e,f b,c 2 a,b,g,e,d 3 a,b,g,c,d 4 f, g,b,c 5 a,f,g,c,d 6 f,e,d,c,g 7 a,b,c,g 8 a,b,c,d,e,f,g 9 a,b,g,f,c c) Codigo Aiken(242). Es también un código ponderado, pero ahora los pesos son 2,4,2 y. Siempre se empieza a sumar por la derecha Ejemplo 25 2() 5() ; 2= = d) Código exceso tres: Es no ponderado. Se suma a cada dígito 3 y luego se pasa a binario cada cifra. Ejemplo 25 2 () 5() Correspondencia entre el código decimal y los BCD ponderados y no ponderados Decimal BCD natural BCD Aiken BCD Exceso tres Operaciones con binarios SUMA: Se opera de forma análoga al sistema decimal, sabiendo que el acarreo es el resultado de la operación anterior. + = + = + = acarreo Ejemplo: 543 () () RESTA: Con convenio de complementos. En la realización de las operaciones básicas suma y resta en el sistema binario es necesaria distinta circuitería física para cada caso. Este problema se solventa utilizando estos convenios que permiten realizar ambas operaciones por medio de un sumador. Los circuitos digitales realizan la resta binaria de números sumando el primer número con el opuesto del segundo. Esta suma se realiza bit a bit, incluyendo el bit de signo y despreciando el acarreo final (el bit superior al bit de signo) - = - = y llevamos - = - = Página 8

9 Convenio a dos: Es su diferencia con 2 n ; esto es 2 n -N. Cambio los por y los por y sumo a la resultante el valor de. Ejemplo: 5 () -26 () 5 () = (2) -26 () = (2) (2) + = (2) (2) (2) + = (2) = =8+2+=- Con signo negativo Convenio a uno: Cambio los por y los por Ejemplo: 5 () -26 () 5 () = (2) -26 () = (2) (2) ) (2) (2) = =8+2+=- Con signo negativo 3.- Álgebra de Boole 3..-Funciones básicas Función igualdad Dos variables son iguales cuando hay una correspondencia biunívoca entre ellas. Cuando una es cierta la otra lo es también y viceversa. REPRESENTACIÓN a=b TABLA DE VERDAD a b ANALOGÍA ELÉCTRICA PROPIEDADES. Reciprocidad: Si a=b b=a Función complemento o negación Es aquella función en la que el valor de una variable es el contrario del de la otra REPRESENTACIÓN a=b ANALOGÍA ELÉCTRICA PROPIEDADES TABLA DE VERDAD a b.reciprocidad: a=b b=a 2. Doble negación: a=a Página 9

10 Función suma OR Es aquella función que es cierta () si una o las dos entradas son ciertas () REPRESENTACIÓN a+b=s ANALOGÍA ELÉCTRICA PROPIEDADES TABLA DE VERDAD a b S Función producto AND Es aquella función que es cierta () cuanto todas y cada una de las variables de entrada son ciertas (). REPRESENTACIÓN TABLA DE VERDAD a b S a. b=s.elemento neutro: a+=a 2. Suma con : a+= 3.Suma consigo mismo: a+a=a 4.Suma con complemento: a a= 5.Conmutativa: a+b=b+a 6. Asociativa: a+(b+c)=(a+b)+c ANALOGÍA ELÉCTRICA PROPIEDADES. Elemento neutro: a.=a 2. Producto por : a.= 3. Producto consigo mismo: a.a=a 4. Producto con complemento: a. a= 5. Conmutativa: a.b=a 6. Asociativa: a.(c)=(a.b).c COMBINACIONES ENTRE FUNCIONES BÁSICAS Función suma NOR REPRESENTACIÓN (a+ b)=s ANALOGÍA ELÉCTRICA Página

11 TABLA DE VERDAD a b S Función NAND REPRESENTACIÓN (a. b)=s ANALOGÍA ELÉCTRICA TABLA DE VERDAD a b S Propiedades de las funciones. Teorema de Morgan. Distributiva: (a+b).c=a.c+c (a.b)+c=(a+c).(b+c) 2. Conmutativa: a+b=b+a a.b=a 3. Elemento neutro: a+=a a.=a 4. Elemento complementario: a+a= a.a= Página

12 5. Idempotencia: a+a=a a.a=a 6. Otras: a+= a.= 7. Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) (a.b).c=a.(c) 8. Involución: a=a 9. Absorción: a.(a+b)=a a+(a.b)=a Teorema de Morgan Siempre se verifican las siguientes igualdades (a+b)=a. b (a.b)=a + b Extendiendolo a variables (a+b+...n) = a. b.c...n (a.b.n)= a+ b+ c n Función Exclusive OR, XOR Es aquella función en la que si las dos entradas son iguales la salida vale y si son distintas vale. REPRESENTACIÓN a + b = S TABLA DE VERDAD a b S Página 2

13 EXPRESION MEDIANTE SUMAS Y PRODUCTOS a + b=a. b + a. b=(a + b).(a + b) PROPIEDADES a + b = a. b + a. b a + b =(a + b).(a + b) a b=a b a b=a b a b=a b Función Exclusive NOR, XNOR Es aquella función en la que si las dos entradas son distintas la salida vale y si son iguales vale.es la negada de la OR REPRESENTACIÓN a + b = S TABLA DE VERDAD a b S EXPRESION EQUIVALENTE a + b=a.b + a. b Página 3

14 3.6.- REPRESENTACIÓN DE PUERTAS LÓGICAS SEGÚN DISTINTAS NORMATIVAS 4.- Representación de funciones lógicas. Existen varios métodos de simplificar funciones lógicas, veremos las siguientes: 4..- Por manipulación algebraica Se simplifica sustituyendo las operaciones usando todas las propiedades anteriormente descritas en cada uno de las operaciones lógicas, las leyes de Morgan, etc De las diversas representaciones que puede tomar una función, hay dos especialmente importantes llamadas formas canónicas. Primera forma canónica de una función lógica es la suma de productos lógicos en los que interviene todas las variables de la función ya sea de forma directa o negada. Cada término o producto canónico se representa por la combinación binaria que se obtiene al sustituir, por las variables que aparecen en forma directa en el producto, y por las que lo hacen de forma negada. Así en una función de cuatro variables A, B, C, D, m 5 representa el producto A. B.C. D, ya que sustituyendo cada variable negada por cero y cada variable directa por se obtiene que es la representación binaria del número 5. Se obtiene directamente a partir de la tabla de verdad figurando los términos de la salida que corresponden a, y no figurando los que corresponden a un. Las entradas con se Página 4

15 consideran negadas y las no negadas Segunda forma canónica de una función lógica es un producto de sumas lógicas en las que interviene todas las variables de la función, ya sea de forma directa o de forma inversa. Cada término o producto canónico se representa por Mi donde i tiene el mismo significado que en la primera forma canónica. Así que en una función de cuatro variablas A, B, C, D, M 5 representa la suma A + B + C + D => que es la representación binaria del número 5. Se obtiene a partir de la tabla de verdad figurando aquellos términos cuya salida es y no apareciendo aquellos cuya salida es. Las entradas con se consideran negadas y las entradas con no negadas Ejemplo: A partir de la siguiente tabla de verdad halla las formas canónicas A B C S Primera forma canónica S = m2 + m3 + m4 + m5 + m6 = A. B. C + A. B. C + A. B. C + A. B. C + Segunda forma canónica A. B. C S = M. M 6. M 7 = ( A + B + C).( A + B + C).( A + B + C) Tablas de Karnaugh Es un sistema para simplificar funciones lógicas complejas. Como bases fundamentales se deben establecer Se puede simplificar únicamente en potencias de 2, es decir (2 ), 2(2 ), 4(2 2 ), 8(2 3 ), 6(2 4 ), 32(2 5 ), etc En cada celda solo puede cambiar un bit (dato) respecto de la anterior Los agrupamientos se pueden hacer de múltiples modos Página 5

16 Ejemplo: Supongamos que al plantear el problema obtenemos la siguiente tabla de verdad a b c S. Lo siguiente que hacemos es plantear la tabla de Karnaugh, trasladando las combinaciones de la tabla de verdad a esta nueva tabla.obsevese como de una columna a otra sólo cambia un bit. A B C 2. A continuación nos fijamos en que tiene en comun cada agrupación y obtenemos la función lógica S= C. B + C. A + A. B 3. Por último planteamos el esquema o circuito lógico Página 6

17 4.3.- IMPLEMENTACIÓN DE CIRCUITOS CON PUERTAS NAND Y NOR Los fabricantes suelen fabricar los circuitos lógicos con puertas NAND o NOR debido a su bajo precio. Para convertir un circuito a puertas NAND o NOR hay que usar los teoremas de Morgan tantas veces como sea necesario hasta que toda la función se exprese con circuitos negados. Ejemplo: Implementar con puertas NAND la función : S = a. c + a. c + a. c Aplicamos la doble negación a la suma S = ( a. c + a. c + a. c) = ( a. c).( a. c).( a. c) Ejemplo: Implementar con puertas NOR la función : S = a. c + a. c + a. c Aplicamos la doble negación S = ( a. c + a. c + a. c) Aplicamos una doble negación a cada término S = ( a. c) + ( a. c) + ( a. c) = ( a + b + c) + ( a + b + c) + ( a + b + c) FUNCIONES MÚLTIPLES O INCOMPLETAS Son funciones cuyo valor puede ser indistintamente o para algunas combinaciones de entrada. Se pone una X, porque: Dichas combinaciones no se van a dar nunca. El valor de la función para dichas combinaciones es indiferente. Ejemplo: Circuito lógico que detecta si BCD es par incluido el cero A B C D S x x x x x x Así: f=d; f = D + AC + AB; f= A D + B C D = D (A+B C) Página 7

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