ESTUDIO NUMÉRICO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE TESIONES DE FISURAS SEMIELIPTICAS CONTENIDAS EN UN EJE GIRATORIO

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1 Estudio Numérico del Factor de Intensidad de Tensiones de Fisuras Semielípticas Contenidas en un Eje Giratorio Anales de Mecánica de la Fractura, 31 (2014) ESTUDIO NUMÉRICO DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE TESIONES DE FISURAS SEMIELIPTICAS CONTENIDAS EN UN EJE GIRATORIO P. Rubio, B Muñoz-Abella, L. Montero y L. Rubio* Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Carlos III de Madrid, Avda. de la Universidad, 30, Leganés, Madrid, España. * lrubio@ing.uc3m.es RESUMEN Los fallos debidos a la propagación de fisuras de fatiga en los ejes es uno de los problemas más frecuentes en máquinas rotatorias pues pueden provocar daños irreversibles y poner en riesgo vidas humanas. Una variable imprescindible para conocer la propagación de las fisuras es el factor de intensidad de tensiones. Cuando un eje fisurado gira, la fisura transversal que contiene presenta el mecanismo de apertura y cierre ( breathing crack ) con situaciones intermedias de apertura/cierre parcial. Aunque la mayoría de los estudios sobre ejes fisurados consideran que las fisuras son rectas, en realidad las fisuras reales de fatiga presentan un frente semi-elíptico. En este trabajo, se presenta el estudio numérico del factor de intensidad de tensiones a lo largo de todo el frente de una fisura semi-elíptica durante el giro del eje, en el que se considera el mecanismo de apertura y cierre de la fisura. ABSTRACT Failures due to the propagation of fatigue cracks in shafts is one of the most common problems in rotating machines as they can cause irreversible damage and put lives at risk. The main parameter for the study of crack propagation is the stress intensity factor. When a cracked shaft rotates, the transverse crack contained presents the opening and closing mechanism ("breathing crack") with intermediate positions of partial opening / closing. Although most of the studies on cracked shafts consider straight cracks, the real fatigue cracks have a semi-elliptical front. In this work, the numerical analysis of the stress intensity factor along the entire front of a semi-elliptical crack during the rotation of the shaft has been developed taking into account the opening and closing mechanism. PALABRAS CLAVE: Factor de intensidad de tensiones, fisuras elípticas, ejes rotatorios. 1. INTRODUCCIÓN El conocimiento de la propagación de fisuras resulta de gran interés para el establecimiento de planes de mantenimiento y reparación de elementos mecánicos que sufren el fenómeno de la fatiga, y cuya integridad se ve amenazada por su presencia. Como paso previo al estudio de la propagación de las fisuras es necesario determinar el factor de intensidad de tensiones (FIT), ya que es precisamente su variación la que determina la velocidad de crecimiento de las fisuras como se pone de manifiesto en la Ley de Paris. El estudio del FIT en elementos tipo viga está muy extendido, encontrándose trabajos muy diversos en los que la fisura se encuentra siempre abierta. Sin embargo, para el caso de ejes estos estudios están menos extendidos y en menor medida en el caso de ejes giratorios en los que la fisura presenta el mecanismo de apertura y cierre [1-5]. Asimismo, la mayoría de los trabajos se centra en fisuras de frente recto [6-9] aun cuando las fisuras de fatiga en ejes suelen presentar una forma elíptica [10-13]. En este trabajo se ha analizado numéricamente la evolución del FIT en el frente de una fisura semielíptica durante un giro del eje giratorio que la contiene, en el que se presenta el fenómeno de apertura y cierre de la misma. Para realizar este estudio pormenorizado, se han considerado distintas profundidades de fisura y distintas formas del frente, así como distintas posiciones angulares que simulan, cuasi-estáticamente, el giro y distintas posiciones a lo largo del frente de la fisura. 2. MODELO DE EJE FISURADO 2.1. Modelo geométrico Se ha considerado un eje de aluminio (E=72GPa, = 0.3 y = 2800 kg/m 3 ) de longitud L= 900mm y 141

2 diámetro D = 20mm que contiene en su sección central una fisura transversal de frente semi-elíptico de profundidad a. El eje se encuentra biapoyado y sometido a sendas cargas puntuales F=100 N, que se aplican a una distancia d de los extremos del mismo (figura 1) asegurando estado de flexión pura en la sección fisurada. Figura 1. Modelo geométrico del eje fisurado Los parámetros característicos que definen la fisura elíptica son: la profundidad de la fisura a/d; el factor de forma = a/b; y la posición relativa en el frente = w/h. El estudio se ha centrado en el análisis de 5 profundidades de fisura (de 0 a 0.5 en intervalos de 0.1), 5 factores de forma (0 a 1, correspondiendo el valor 0 a fisura recta y 1 a fisura semicircular) y 11 posiciones en el frente como se muestra en la figura Modelo numérico El estudio numérico se ha llevado a cabo mediante el código de elementos finitos ABAQUS [14]. Se ha realizado un modelo 3D con elementos hexaédricos de integración reducida (C3D8R según la nomenclatura de ABAQUS ). La simulación de la fisura se ha realizado considerando dos tramos de eje con una interacción entre las superficies que constituyen la parte intacta de la sección fisurada, mientras que la zona fisurada se ha definido mediante un contacto entre las dos superficies correspondientes a las caras libres que evita la penetración en situación de cierre de fisura. El mallado se ha refinado en la zona correspondiente a la fisura hasta llegar a la convergencia tras realizar un análisis de sensibilidad. El estudio numérico se ha realizado mediante el módulo específico de fractura del código denominado crack que permite definir el frente de la fisura y la dirección de propagación y el cálculo del FIT en los distintos puntos del frente. 3. OBTENCIÓN DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE TENSIONES De acuerdo con lo indicado en el apartado precedente, se ha obtenido el FIT en todos los casos considerados. Como ejemplo de los resultados obtenidos, en la figura 4 se muestran los valores del FIT adimensionalizados para una fisura de parámetros 0.25, = 0 y para tres posiciones de giro (= 0; /2; ). Figura 2. Parámetros característicos del frente Con el fin de considerar el giro, se ha analizado el comportamiento del eje en distintas posiciones angulares entre 0 y 2 en intervalos 272 que se corresponden con incrementos de 5º. Figura 4. FIT a lo largo del frente de la fisura (0.25, = 0) En esta gráfica se observa cómo, cuando la fisura está completamente abierta el FIT es positivo, cuando está totalmente cerrada es negativo, y cuando está parcialmente abierta el FIT pasa de valores positivos a negativos. Es precisamente esta variación la que permite identificar la apertura parcial de la fisura. Figura 3. Algunas posiciones angulares durante el estudio El comportamiento encontrado en el frente de la fisura en las distintas posiciones de giro utilizando el módulo crack se ha comparado con los resultados obtenidos a partir del cálculo del FIT mediante los desplazamientos de los puntos de las caras de la fisura (CTOD). Esta comparación se muestra en la figura 5. En ella se 142

3 observa que, mientras la fisura está abierta, los resultados son prácticamente idénticos con ambos procedimientos. En la situación de cierre de fisura, el cálculo del FIT mediante desplazamientos conduce al valor cero, mientras que con la utilización del módulo de fractura el FIT se hace negativo. Figura 5. Comparación del FIT para fisura 0.25, = 0 y = 3/2 Con el fin de validar los resultados obtenidos numéricamente para fisuras que presentan el mecanismo de apertura y cierre, se han comparado los mismos con los correspondientes a modelos tomados de la literatura. En concreto se han comparado los resultados para fisuras completamente abiertas (sin giro) [11] y para fisuras parcialmente abiertas (con giro) [10]. Shin y Cai [11] obtienen una expresión del FIT en función de la posición en el frente, de la profundidad de la fisura y de la forma que presenta la misma, pero lo hacen para una fisura que está siempre abierta, es decir, no presentan resultados para posiciones de giro del eje. La comparación del modelo numérico desarrollado mediante el módulo crack y los resultados de [11] se muestran en la figura 6. Se observa que para el caso de fisura completamente abierta los resultados del presente trabajo son muy similares a los obtenidos por estos autores. que los resultados son muy similares cuando la fisura está abierta, pero se producen discrepancias cuando la fisura comienza a cerrarse. Cabe mencionar que en la gráfica mostrada, el modelo propuesto por Carpinteri [10] considera que en la posición de giro = 3/2, la fisura está medio abierta aunque la realidad contrastada con otros autores, por ejemplo [7], es que en esta situación, más de la mitad de la fisura está abierta como se corrobora en los resultados del modelo numérico estudiado. Es necesario indicar que el modelo propuesto en [10], parte del conocimiento del valor del FIT en dos valores angulares, y extrapola a otras posiciones del giro, lo que puede conducir a la introducción de errores. Adicionalmente, el modelo considera el mismo valor absoluto del FIT, pero distinto signo, cuando la fisura está cerrada y cuando está abierta, posiblemente porque en ese estudio no se ha evitado la penetración entre las caras de la fisura cuando esta se cierra, aspecto de suma importancia cuando se está simulando el comportamiento real de un eje giratorio. Figura 7. Validación del modelo para fisura parcialmente abierta (0.25, = 0 y = 3/2). Estas comparaciones con diversos resultados de la literatura (fisuras total y parcialmente abiertas) han permitido validar el modelo numérico utilizado, y avalan su utilización para realizar estudios posteriores y para alcanzar otras conclusiones que se resumen en los apartados siguientes. 4. ESTUDIO DE LA APERTURA Y CIERRE Y LA VARIACIÓN DEL FIT DURANTE EL GIRO Figura 6. Validación del modelo para fisura completamente abierta (= 0.25). Por otro lado, para el caso de fisura parcialmente abierta, se han comparado los resultados obtenidos con los presentados en el trabajo de Carpinteri [10] (figura 7). En este caso, los resultados corresponden a distintas posiciones de giro del eje y muestran resultados de FIT para fisuras parcialmente abiertas. Se puede observar En este apartado se muestran y discuten los resultados más relevantes del estudio realizado. Se muestran dos tipos de resultados, los primeros orientados a estudiar la apertura y cierre de la fisura a lo largo de un ciclo completo del eje, y los segundos destinados a estudiar la variación del FIT a lo largo del frente durante el mismo periodo. 143

4 4.1. Estudio de la apertura y cierre El estudio del mecanismo de apertura y cierre de la fisura tiene como objetivo determinar qué zona de la sección fisurada se encuentra abierta durante un giro del eje. En la figura 8 se muestra un ejemplo de los resultados obtenidos para una fisura de parámetros 0.25 y =0. Se presentan las zonas abiertas y cerradas de 8 de las 72 posiciones angulares analizadas. La zona blanca de la sección se corresponde con la porción de la misma que se encuentra cerrada para ese ángulo de giro, mientras que en colores aparece la zona abierta. Se puede observar que la fisura gradualmente se va cerrando a medida que el eje gira, y que en las posiciones /2 y 3/2 el porcentaje de fisura abierta es superior al 50% a diferencia de los resultados aportados por [10], pero similares a los obtenidos por [3] (ver figura 9) Estudio del Factor de Intensidad de Tensiones Se ha llevado a cabo la determinación del FIT en todos los casos indicados en apartados precedentes, es decir para fisuras con distintas profundidades y formas, en distintos puntos del frente y para distintos ángulos de giro. Se exponen en este apartado los valores del FIT obtenidos para distintas tipologías (tamaños y formas de frente) de fisura y para distintos ángulos de giro. En la figura 10 se muestran los resultados del FIT para una fisura con un factor de forma = 0.5 y distintos valores de la profundidad (= 0.1; 0.2; y 0.4). En cada gráfica, cada curva representa la evolución del FIT de cada punto del frente en un giro completo. Se observa como el FIT para un punto del frente (eligiendo una de las curvas de cada gráfica) varía pasando de valores máximos cuando ese punto del frente está abierto, a valores nulos cuando se cierra, para después volver a tomar valores positivos hasta alcanzar el máximo nuevamente cuando la fisura está abierta. Figura 8. Resultados de apertura y cierre en algunas posiciones durante el giro (= 0.25, = 0). Figura 10. Valores del FIT para una fisura con = 0.5 y = 0.1; 0.2; y 0.4, respectivamente. Figura 9. Comparación de apertura y cierre con otros autores: a) [2], b) [3] y c) modelo propuesto Los resultados correspondientes a fisuras de otros tamaños y formas de frente son análogos a los mostrados para este caso. Para otros valores de los parámetros y los resultados son análogos a los mostrados en la figura 10. Resulta de interés analizar la evolución del FIT en cada punto del frente durante el giro para cada caso de fisura, ya que de esta manera es posible determinar los instantes de comienzo de cierre o de comienzo de apertura del frente, las posiciones angulares para las que 144

5 el frente está parcialmente abierto, y las posiciones angulares para las que la fisura está completamente cerrada o completamente abierta (ver figura 11). cierre) de cada punto del frente en función del tamaño de la fisura y de la forma que presente el frente. El interés radica en la posibilidad de analizar aspectos más aplicados como puede ser la propagación de la fisura, entre otros. La figura 12 muestra el detalle de la figura 11, en la que se indican los puntos, durante un giro, de comienzo de apertura de la fisura, correspondiente al ángulo en el que el primer punto del frente se abre (toma valores del FIT distintos de cero), y de apertura completa de la fisura, el correspondiente al momento en que todo el frente presenta valores del FIT positivos. Figura 11. Evolución FIT en el frente durante una vuelta para una fisura de = 0.3 y = 0. A la vista de los resultados mostrados en las figuras, y que como se ha indicado son análogos a los obtenidos para el resto de los casos, se puede concluir lo siguiente: Cuando el eje gira, la fisura se abre y se cierra con simetría. Esto quiere decir que, para una posición de giro, la porción de fisura abierta es la misma que para una posición de giro simétrica. Por ejemplo cuando el eje ha girado un ángulo =/2, la cantidad de fisura abierta coincide con la correspondiente a un ángulo de giro =3/2 (figura 11). Independientemente del tamaño y forma iniciales de la fisura siempre hay unas posiciones en las que la fisura está completamente abierta (FIT positivo en todo el frente) y otras en las que está completamente cerrada (FIT nulo en todo el frente). Por ejemplo en el caso mostrado (figuras 10 y 11), para un ángulo de giro entre =y algo mayor de /4 el FIT positivo en todo el frente (todas las curvas tiene valores positivos), lo que indica que la fisura está completamente abierta, mientras que para ángulos ligeramente inferiores y superiores a =, el FIT es siempre nulo (todas las curvas toman valor cero), lo que significa que la fisura está completamente cerrada. Para una misma forma de frente, el número de posiciones en el frente con FIT nulo disminuye a medida que aumenta la profundidad de la fisura, por lo tanto el tiempo de apertura de la fisura aumenta (figura 10). Un dato muy interesante de este estudio, como se ha indicado previamente, es el conocimiento de la posición angular concreta en la que se produce la apertura (o el Figura 12. Ángulos particulares de la apertura de la fisura para el caso = 0.3 y = 0. La tabla 1 recoge el resumen de los ángulos de giro (expresados en radianes) en los que se produce el comienzo de la apertura de la fisura en función de los parámetros de la misma para todos los casos analizados. Tabla 1. Ángulo (rad) en que se produce el comienzo de la apertura para cada caso de fisura =0 =0.25 =0.5 =0.75 =1.0 = = = = = Los datos de la tabla 1 muestran como, a medida que la fisura crece, para una misma forma del frente, la apertura se produce para ángulos de giro más pequeños, y que cuanto más elíptica es la fisura, más tarda en abrirse. 5. RESUMEN Y CONCLUSIONES En este trabajo se ha realizado un estudio pormenorizado de la evolución del FIT en el frente de una fisura elíptica que presenta el mecanismo de apertura y cierre como consecuencia del giro del eje que la contiene. Se ha analizado dicho parámetro considerando distintas profundidades de las fisuras y distintas formas elípticas. 145

6 Las conclusiones más relevantes a las que se ha llegado se resumen en las siguientes: Se ha evaluado el FIT mediante el módulo de fractura del código ABAQUS que permite su determinación mientras que la fisura está abierta, aunque no permite la evaluación precisa cuando la fisura está cerrada. Se ha evaluado el FIT en el frente de las fisuras durante un giro del eje. La variación de este parámetro durante el giro ha permitido establecer las aperturas y cierres del frente. Se han validado los resultados iniciales con los de la literatura, y a partir de dicha validación se han extraído otras conclusiones de interés. A diferencia de lo indicado en algunos trabajos previos de la literatura, cuando el eje ha girado un cuarto de vuelta la fisura está abierta más de la mitad de la misma. Independientemente del tamaño y de la forma iniciales de la fisura, durante el giro del eje siempre hay zonas de apertura completa (FIT positivo), zonas de cierre completo (FIT negativo), y zonas de apertura parcial (FIT positivo y cero en distintos puntos del frente). El número de posiciones en el frente con FIT nulo disminuye con la profundidad de la fisura, por lo que el tiempo de apertura aumenta al aumentar el tamaño de la fisura. AGRADECIMIENTOS Los autores quieren agradecer al Ministerio Ciencia e Innovación la financiación recibida a través del proyecto DPI , que ha hecho posible el desarrollo de este trabajo. REFERENCIAS [1] Gasch, R., A survey of the dynamic behavior of a simple rotating shaft with a transverse crack, Journal of Sound and Vibration 160, pp , [2] Darpe, A., Gupta, K., and Chawla, A., Transient response and breathing behavior of a cracked Jeffcott rotor, Journal of Sound and Vibration 272, pp , [5] Rubio, L. and Fernández-Sáez, J., A new efficient procedure to solve the nonlinear dynamics of a cracked rotor. Nonlinear Dynamics, 70, pp [6] Dimarogonas, A. and Papadopoulos, C., Vibrations of cracked shafts in bending. Journal of Sound and Vibration 91 pp , [7] Mayes, I. and Davies, W., Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor, Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reability in Design 106, pp , [8] Papadopoulos, C. and Dimarogonas, A., Coupled longitudinal and bending vibrations of a rotating shaft with an open crack. Journal of Sound and Vibration 117 pp , [9] Patel, T. and Darpe, A., Influence of crack breathing model on nonlinear dynamics of a cracked rotor, Journal of Sound and Vibration 311, pp , [10] Carpinteri, A., Brighenti, R. and Spagnoli A., Surface flaws in cylindrical shafts under rotary bending, Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 21, pp , [11] Shin, C. and Cai, C., Experimental and finite element analyses on stress intensity factors of an elliptical surface crack in a circular shaft under tension and bending, International Journal of fracture, 129, pp , [12] Zhou, T., Sun, Z., Xu, J. and Han, W., Experimental analysis of a cracked rotor, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 127, pp , [13] Rubio L., Muñoz-Abella, B. and Loaiza, G. Static behaviour of a shaft with an elliptical crack, Mechanical System and Signal Processing 25, pp , [14] ABAQUS, Abaqus theory manual, version 6.7, in: Dassault Systemes Inc, [3] Bachschmid, N., Pennacchi, P. and Tanzi, E., Some remarks on breathing mechanism on non-linear effects and on slant and helicoidal cracks, Mechanical Systems and Signal Processing 22, pp , [4] Kulesza, Z. and Sawicki, J., New finite element modeling approach of a propagating shaft crack, Journal of Applied Mechanics 80., art ,