Estado del Arte. Capítulo Marco teórico. Módelo de Placas / Láminas Estrategias de Modelado Modelo Shell

Transcripción

1 Capítulo 2 Estado del Arte 2.1. Marco teórico. Módelo de Placas / Láminas Las placas son elementos estructurales planos, cuyo espesor es mucho menor que las otras dos dimensiones. Es habitual dividir el espesor en dos mitades iguales, por un plano paralelo a las caras, este plano es denominado como el plano medio. Son clasificadas en función de la relación entre el espesor y la dimensión característica, se denomina espesor placa delgada si se cumple que dim. característica < 1 20 ; o placa gruesa, en caso contrario [9, 11, 12] Estrategias de Modelado A la hora de realizar el modelado existen diversas estrategias a seguir, que permiten obtener los resultados deseados. En este apartado se detallan en profundidad cada una de las técnicas empleadas, exponiendo sus características. Adicionalmente, se exponen los tipos de elementos seleccionados para cada técnica, teniendo en consideración que el elemento elegido debe mantener equilibrio entre precisión de resultados y tiempo de cálculo. La información aquí comentada está ampliamente desarrollada en la documentación de Abaqus [1] Modelo Shell El modelo más sencillo y menos costoso computacionalmente. Frente a otras técnicas, se tiene la desventaja principal de que por lo general (excepto en continuum shell) no es posible obtener directamente las tensiones transversales en el plano, es por ello que se necesita de procesos y cálculos posteriores para estimar dichas tensiones. Se consideran dos posibles opciones a seguir, Convencional Shell. Discretizan el sólido definiendo la geometría sobre una superficie de referencia, definiéndose el espesor en las propiedades de la sección. Como grados de libertad constan de tres traslaciones y dos/tres giros, dependiendo del tipo de elemento. 12

2 Continuum Shell. Respecto a las placas convencionales, se discretiza el sólido completo en tres dimensiones, con lo cuál el espesor viene determinado por la propia geometría. Además solo disponen de grados de libertad en traslaciones. Sin embargo cuentan con una gran ventaja frente a las anteriores, ya que proporcionan estimaciones de las tensiones transversales. El modelado de los elementos continuum shell se realiza de igual modo que el modelado de sólidos continuos tridimensionales, aunque las ecuaciones constitutivas son similares a las ecuaciones de láminas convencionales. Las diferencias entre ambos modelados shell se ilustran en la figura Figura 2.2.1: Comparación de las opciones para modelado de láminas A continuación se decide que tipo de elementos shell serán empleados en adelante, ver cuadro 2.1. Elemento Nodos Tipo Puntos de integración Grados de libertad por nodo Estimación de tensiones cortantes transversales Fuerzas cortantes transversales por unidad de espesor S4 4 Conventional 4 6 NO SI S4R 4 Conventional 1 6 NO SI S4R5 4 Conventional 1 5 NO NO SC8R 8 Continuum 1 3 SI SI Cuadro 2.1: Elección de elementos shell Las razones de dicha elección está motivada por las consideraciones que se exponen, Todos los elementos son lineales (o de primer orden), por varias razones, El elemento cuadrático por defecto (S8R) no es adecuado para problemas de placa delgada, la geometría de la placa tiene un ratio espesor longitud = , dónde el ratio 1 /15 es un valor orientativo a partir del cuál considerar placa gruesa. El elemento lineal es menos costoso computacionalmente. 13

3 El elemento S4R5 sólo es recomendable en problemas de placa delgada, además consta de un grado de libertad menos por nodo (tres traslaciones y dos rotaciones) respecto de los demás conventional shell, por lo que puede ser más ecónomico. Cuenta con la desventaja de que no obtiene como salida el cálculo de las fuerzas cortantes por unidad de espesor (Q x, Q y ), que permiten el cálculo posterior de las tensiones transversales. Los elementos S4R, S4 y SC8R son válidos para problemas tanto de placa gruesa como delgada. El elemento continuum shell, SC8R, permite la obtención directa de una estimación de las tensiones transversales cortantes σ 13, σ 23, ahorrando así tiempo de postprocesado de las salidas. Además permite obtener también de manera directa la tensión media transversal σ zz = 1 t/2 t σ t/2 zzdz. El uso de integración reducida permite reducir el tiempo de computación, para ello se reduce el número de puntos de integración en cada elemento. En la figura se aprecia la posición, número de nodos y puntos de integración de los elementos seleccionados. (a) Elemento S4 (b) Elementos S4R, S4R5 (c) Elemento SC8R Figura 2.2.2: Comparación, puntos de integración de diversos elementos shell Modelo Sólido Otra técnica para la realización del modelo, consiste en la utilización de elementos sólidos. La ventaja fundamental respecto de los anteriores, radica en la obtención directa de las tensiones transversales. Sin embargo, la utilización de esta técnica supone mayor tiempo de simulación. En cada nodo existen tres grados de libertad, correspondientes a los tres traslaciones de un problema tridimensional. Elemento Nodos Orden Puntos de integración Grados de libertad por nodo Variables adicionales Modos incompatibles C3D8 8 Lineal NO C3D8R 8 Lineal NO C3D8I 8 Lineal SI C3D20 20 Cuadrático NO C3D20R 20 Cuadrático NO Cuadro 2.2: Elección de elementos sólidos 14

4 Se exponen a continuación los motivos de la elección de los elementos mostrados en el cuadro 2.2, Se hace uso de elementos lineales y cuadráticos, la distribución nodal de ambos se aprecia en la figura 2.2.3, sus principales propiedades son, Los elementos lineales son más económicos, cuentan con menor número de nodos y puntos de integración. Los elementos cuadráticos aproximan mejor superficies curvas con menor número de elementos, son muy efectivos en problemas dominados por la flexión. Figura 2.2.3: Posición de nodos en elementos sólidos lineales y cuadráticos Debido a la forma del modelo, se hará uso de elementos hexaédricos. La integración reducida disminuye el tiempo de cálculo, En elementos reducidos de primer orden, C3D8R, puede aparecer el problema de Hourglass. Sucede cuando el elemento inicialmente rectangular, deriva en un elemento trapezoidal, pero sin producirse desplazamiento alguno en sus puntos de integración; por ello se deforma sin producir esfuerzos en la estructura. Se hace necesaria la implementación de rigidez artificial que evite este tipo de desplazamiento sin esfuerzo, Abaqus dispone de un control de Hourglass. Los elementos con integración completa no sufren de Hourglass, pero son sensibles a sufrir comportamiento de Locking o bloqueo (volumétrico y cortante). El bloqueo a cortante ocurre en elementos de integración completa de primer orden, C3D8, sometidos a flexión; la formulación numérica da lugar a esfuerzos cortantes ficticios (tensiones parásitas cortantes), por lo que estos elementos se hacen muy rígidos ante flexión. El bloqueo volumétrico en cambio, ocurre cuando el comportamiento del material es (casi) incompresible; unas tensiones de presión ficticias aparecen en los puntos de integración, provocando un comportamiento demasiado rígido ante deformaciones que no deberían ocasionar cambios de volumen. Los elementos de funciones de forma incompatible, C3D8I, son elementos de primer orden enriquecios con la inclusión de funciones de forma incompatibles con el fin de hacer más preciso su comporta- 15

5 miento a flexión. El principal efecto producido es el de eliminar el bloqueo por cortante, típico del elemento C3D Modelo Shell-Solid-Shell Una tercera alternativa, que puede encontrarse en la bibliografía [6], se basa en la idea de que si las tensiones σ xz, σ yz, σ zz han de ser calculadas mediante elementos sólidos o continuum shell, a priori también debe ser posible introducir una capa de sólidos de pequeño espesor allí donde las tensiones σ iz sean máximas, de manera que se encuentre inmersa entre dos láminas de elementos conventional shell, siendo el espesor total de las tres capas igual al espesor total del modelo. Para una mejor visualización de esta propuesta, basta observar el modelo tipo sandwich en la figura Figura 2.2.4: Detalle del modelo shell-solid-shell Es recomendable tener en cuenta una serie de consideraciones en el caso de hacer un modelo formado por varias partes. En primer lugar se deben imponer una serie de ligaduras, que obliguen a los elmentos shell y solid que componen el modelo a moverse de forma solidaria. Para ello se hace uso de la herramienta tie de Abaqus, que permite ligar los grados de libertad de los nodos de una superficie esclava a otra superficie maestra. Se ha tomado como superficie esclava aquella perteneciente al sólido, mientras que el maestro pertenece al shell, esto se debe a que el elemento shell consta de grados de libertad en giros, cosa que no sucede a los elementos sólidos, así que con dicha solución no se perderían estos grados de libertad. Por otro lado, es aconsejable dotar de conformidad a la malla, es decir, la malla de sólido y de shell deben coincidir de tal modo que sus nodos coincidan en las superficies de contacto, ya que en caso contrario, las restricciones del tipo tie no se realizan correctamente. 16