Representaciones Gráficas en el Análisis Multivariado

Transcripción

1 Cómo observar en un espacio de tantas dimensiones? Una etapa importante en el análisis y modelación de datos multivariados es su representación gráfica. John Tukey (1977) en su trabajo sobre análisis exploratorio de datos recomienda mirar a los datos para ver que pretenden decir. Los gráficos, además de servir para la presentación de datos y resultados, permiten identificar observaciones raras, tendencias y/o agrupamientos preliminares e hipotetizar posibles modelos para su análisis. Debido al gran número de variables involucradas, no es una tarea fácil examinar gráficamente datos multivariados. Por ejemplo, para construir todos los gráficos de dispersión de a pares se requiere p(p-1)/2 gráficos, donde p es el número de características. Además de realizar histogramas, gráficos de tallos y hojas, box-plot, sobre las observaciones (preferentemente estandarizadas) de cada variable, existen diversos tipos de gráficas para representar observaciones multivariadas, muchas de ellas son verdaderas técnicas de reducción de dimensión. En general se persigue la graficación en espacios visuales de menor dimensión que preservan las relaciones entre las observaciones en el espacio original. Matriz de gráficos de dispersión. Corresponde a la matriz p p de gráficos de dispersión de todos los pares de variables en estudio. En la diagonal principal pueden graficarse los histogramas, gráficos de cajas o simplemente identificarse cada una de las p variables en orden. Se pueden introducir variables clasificatorias o de agrupamiento en este tipo de gráficos a través de la selección de colores y formas de símbolos en cada gráfico de dispersión. A continuación se grafican las relaciones de a pares de las variables de un conjunto de datos sobre biomasa, Ph, Zinc, Salinidad y Potasio registrados en un experimento fisiológico de laboratorio diseñado para analizar relaciones entre la biomasa de plántulas y las condiciones del medio de cultivo donde se desarrollan las mismas. 1

2 Biomasa ph Salinidad Zinc Potasio Figura 1: Matriz de diagramas de dispersión Gráfico de estrellas. Los gráficos de estrellas (Chambers, et al., 1983) son útiles para visualizar observaciones multivariadas. Una observación p-dimensional es representada en el plano por una estrella construída sobre un círculo con p radios o rayos igualmente espaciados que nacen desde el centro del círculo. La longitud de la estrella sobre cada radio representa el valor de la variable asociada al rayo. Observaciones estandarizadas ayudan a la interpretación simultánea. Para eliminar valores negativos, se puede seleccionar como centro del círculo al valor más pequeño y expresar a los otros en relación a esta. Otra técnica usada con el mismo fin es el uso de la transformación rango. Las estrellas son usualmente presentadas en un arreglo matricial. Los patrones dominantes permiten clasificar visualmente las observaciones. A continuación se presenta el gráfico de estrella para la primera y última observación del ejemplo anterior. 2

3 45 1 Figura 2: Gráfico de estrellas de dos observaciones multivariadas Caras de Chernoff. Chernoff (1973 ) sugirió representar observaciones p-dimensionales a través de rostros donde cada característica del mismo depende del valor de una de las variables analizadas. Johnson y Wichern (1998) encuentra interesante este tipo de gráficos diciendo que las personas reaccionan a las caras; presenta un ejemplo de un archivo con 22 observaciones multivariadas, cada una de ellas correspondiendo a una compañía de servicios públicos. Para cada compañía se registraron 8 variables, las magnitudes de estas variables son representadas según distintas características de las caras: la altura de la mitad superior de la cara, el alto, la posición del centro de la boca, las cejas, la excentricidad de los mismos, la longitud de la nariz, la longitud de los ojos y la curvatura de la boca. Las caras resultantes permiten agrupar visualmente a las 22 firmas en 7 grupos. 3

4 Figura 3: Caras de Chernoff (Johnson & Wichern,1998) Gráficos de perfiles multivariados. Cuando se tienen medidas repetidas en el tiempo de una variable o varias variables medidas en un mimo sujeto o unidad experimental, se pueden visualizar los perfiles multivariados de cada sujeto. Si los perfiles que se muestran son el 4

5 Altura (cm) Representaciones Gráficas en el Análisis resultado de promediar la respuesta de varias repeticiones o unidades, entonces tiene sentido mostrar barras de error estándar para cada variable. Como ejemplo se presenta el diagrama de perfiles multivariados para la evolución de altura desde la siembra y hasta el día 505 en 3 procedencias de Prosopis chilensis Titulo D030 D060 D090 D120 D197 D324 D434 D498 D505 Figura 4: Gráfico de Perfiles s Biplots. Los gráficos de dispersión son usados para visualizar directamente las observaciones o las variables, las relaciones en otra dimensión son sólo implícitas. Los gráficos Biplots propuestos por Gabriel (1971,1981), muestran las observaciones y las variables en el mismo gráfico, de forma tal que se pueden hacer interpretaciones sobre las relaciones conjuntas. El prefijo "bi" en el nombre biplot refleja la característica de que tanto observaciones como variables, son representadas en el mismo gráfico. En los Biplots, las observaciones son generalmente graficadas como puntos. La configuración 5

6 de los puntos es obtenida a partir de combinaciones lineales de las variables originales. Las variables son graficadas como vectores desde el origen. Los ángulos entre las variables representan la correlación entre las variables. Las dimensiones seleccionadas para el biplot son aquellas que mejor explican la variabilidad de los datos originales. Distintos análisis multivariados permiten encontrar los ejes óptimos para la graficación de observaciones y variables en un espacio común. Veremos aplicaciones de estos gráficos en Análisis de Componentes Principales, en Análisis de Correlaciones Canónicas y en Análisis Discriminantes. En los biplots la distancia entre símbolos representando observaciones y símbolos representando variables no tiene interpretación, pero las direcciones de los símbolos desde el origen si pueden ser interpretadas. Las observaciones (puntos filas) que se grafican en una misma dirección que una variable (punto columna) podría tener valores relativamente altos para esa variable y valores bajos en variables o puntos columnas que se grafican en dirección opuesta. Dependiendo de las condiciones de optimalidad especificadas, las distancias entre los puntos filas o entre los puntos columnas pueden ser estadísticamente interpretadas, los ángulos entre los vectores que representan las variables pueden ser interpretados en términos de las correlaciones entre variables y las longitudes de los rayos pueden hacerse proporcionales a las desviaciones estándar. Cuando las longitudes de los vectores son similares el gráfico sugiere contribuciones similares de cada variable en la representación realizada. Gráficos de escalamiento multidimensional. La técnica de escalamiento multidimensional explora las similitudes (o distancias) entre observaciones y permite mostrarlas entre ellas de manera gráfica. Son útiles para mostrar distancias entre datos para los cuales las medidas Euclídeas no son apropiadas o se desea, por alguna otra razón, usar una medida de distancia alternativa (por ejemplo, una función de un índice de asociación). El objetivo es mostrar las relaciones entre observaciones, representadas por distancias o similitudes, en un plano tal que 6

7 las distancias verdaderas sean preservadas tanto como sea posible. Ejemplo. Los datos originales corresponden a la matriz de distancias aéreas entre ciudades de USA. Es importante notar que a pesar de representar los datos en dos dimensiones, i.e. en el plano, la ubicación de los puntos en la gráfica reproduce su posición relativa en un mapa físico (con el Sur en la parte superior de gráfico). Se presentan los gráficos del EM métrico que luego será presentado mas detalladamente como ACoorP (Figura 5) Figura 5: Escalamiento Multidimensional Métrico Arboles de Recorrido Mínimo (Mínimun Spanning trees). Los árboles de recorrido se 7

8 construyen uniendo puntos que representan observaciones multivariadas y que se proyectan en un plano como resultado de alguna técnica de reducción de dimensión. Los puntos son conectados con segmentos de líneas rectas tal que todos los puntos quedan unidos directa o indirectamente y no hay loops (Gower y Ross, 1969). El árbol de mínimo recorrido es un árbol de recorrido con segmentos conectados de tal manera que la suma de las longitudes de todos los segmentos es mínima. El árbol de mínimo recorrido puede calcularse a partir de la matriz de distancia de las observaciones multivariadas en el espacio p-dimensional en el que viven o a partir de matrices de distancia en espacios de menor dimensión. Cuando puntos p- dimensionales (con p>2) son conectados, en el plano, en función de su distancia en el espacio original, el árbol de mínimo recorrido puede proveer información sobre similitudes de las observaciones en otras dimensiones no directamente representadas en el plano. Por ejemplo, algunos puntos que se encuentran muy cerca en el espacio bidimensional podrían estar, en su espacio original, más lejos de lo que aparentan en el plano. Los árboles de mínimo recorrido conceptualmente se ligan al algoritmo de agrupamiento conocido como encadenamiento simple y en ese sentido son usados no solo para representación gráfica sino también para formar conglomerados de puntos. Ejemplo: una investigación involucró la identificación de 18 especies vegetales en un gradiente de humedad de 10 niveles. La Figura 23 corresponde al gráfico BIPLOT de este conjunto de datos y la Figura 24 a los árboles de recorrido mínimo para las observaciones (arriba) y para las variables (abajo) (Moser, 1994). Los árboles permiten ordenar las especies en relación a la salinidad y humedad decreciente de izquierda a derecha. 8

9 Figura 6: Biplot (Moser, 1994) 9

10 Figura 7: Arboles de Mínimo Recorrido (Moser, 1994) 10

11 Referencias Chambers, J. M., Cleveland, W. S., Kleiner, B., & Tukey, P. A. (1983). Graphical Methods for Data Analysis. Belmont, CA: Wadsworth. Chernoff, H. (1973). Using faces to represent points in K-dimensional space graphically. JASA,68,342, Gabriel, K. R. (1971). The biplot graphic display of matrices with application to principal components analysis. Biometrics, 58(3), Gabriel, K. R. (1981). Biplot display of multivariate matrices for inspection of data and diagnosis. In V. Barnett (Ed.), Interpreting Multivariate Data. London: Wiley. Gower J.C., Ross, G.J.S. (1969) Minimum spanning trees and single linkage cluster analysis. Applied Statistics 18, Johnson R.A., and Wichern, D.W.(1988). Applied Multivariate Statistics Analysis, 2 nd Edition. Prentice-hall, New Jersey, 607 pp. Moser, E.B. (1994). Graphical Analysis of Multidimensional Ecological Community Data. Proceedings of the 19 th Annual sas Users Group International Conference, Dallas, TX Tukey, J. W. (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, MA 11