Matemáticas Evolutivas: Algoritmos Genéticos

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1 Matemáticas Evolutivas: Algoritmos Genéticos María Teresa Iglesias Otero Departamento de Matemáticas Universidade da Coruña

2 Cuál es la mejor forma de...? cuál es el camino más corto a...? cuál es la más barata entre...? Problemas de Optimización Encontrar la mejor entre un conjunto de opciones (en un espacio de búsqueda) cómo medir la idea de mejor?

3 Problemas de Optimización Encontrar el elemento de D en el que f ( 0) es máxima D: Conjunto de posibles soluciones (finito/infinito) números, vectores, grafos,... f: D R f: función objetivo (de coste)

4 Cómo proceder para encontrar el máximo? Métodos tradicionales f = 0 f < 0 { f/ x = 0, f/ y = 0,...} f(x)=x²+exp(cos(x))-x, f (x)=2x-sen(x)exp(cos(x))+1=0

5 Cómo proceder para encontrar el máximo? Métodos Alternativos Método del alpinista (Hill-climbing)

6 Cómo proceder para encontrar el máximo? Métodos Alternativos Búsqueda aleatoria Búsqueda exhaustiva: Travelling Salesman Problem (TSP) b a c e d a d c b e N=100 99! 10 1 ⁵⁶ Átomos del universo 10⁷⁸ N=5 4!

7 Algoritmos Genéticos e inspiran en la teoría de la evolución de Darwin y en las ideas de Mendel Definición (Koza, 1993) El AG es un algoritmo matemático altamente paralelo que transforma un conjunto (población) de objetos matemáticos individuales, cada uno de los cuales se asocia con una aptitud, en una población nueva (la siguiente generación) -usando operaciones modeladas de acuerdo con el principio Darwiniano de reproducción y supervivencia del más apto- y tras haberse utilizado de forma natural una serie de operaciones genéticas (sobre todo la recombinación sexual)

8 Esquema general de un Algoritmo Genético 1. Generar aleatoriamente una población de posibles soluciones de un problema, representadas por una estructura de datos adecuada 2. Evaluar cada uno de los individuos de la población, asignándoles una puntuación 3. Escoger de la población aquella parte que tenga una mejor puntuación 4. Mutar (cambiar) y cruzar (combinar) las diferentes soluciones de la parte elegida para reconstruir la población 5. Repetir hasta que se encuentre la solución deseada

9 Cómo se modela el fenómeno de la evolución? Población no estática (P P(t)) Tamaño de la población es fijo ( P =N) Se permiten individuos repetidos f: P R f: función de idoneidad

10 Algoritmos Genéticos Individuos (cromosomas): datos codificados (cadenas binarias) f: P {0,1} R s P, s = s -1s -2...s i...s 1 s 0 gen s i {0,1} alelos s = (2 = (10

11 Representación del Problema del Viajante b a c e d b a e c d a c e b d s = acebd s = 13524

12 Esquema general de un Algoritmo Genético 1. Generar aleatoriamente una población de posibles soluciones de un problema, representadas por una estructura de datos adecuada 2. Evaluar cada uno de los individuos de la población, asignándoles una puntuación 3. Escoger de la población aquella parte que tenga una mejor puntuación 4. Mutar (cambiar) y cruzar (combinar) las diferentes soluciones de la parte elegida para reconstruir la población 5. Repetir hasta que se encuentre la solución deseada

13 Algoritmos Genéticos selección mediante ruleta w s r t s= prob(s) = f(s)/ r P f(r)

14 AG: Selección mediante torneo se baraja la población se escogen n individuos (normalmente 2) compiten entre sí: gana el más apto debe barajarse n(=2) veces para seleccionar N padres N=4 cadena calidad barajar ganador barajar ganador s s 2 s 4 s 2 47 s 4 s 4 s 1 s 1 s 4 y s 1 s s 1 s 2 s 3 s s 3 s 3 s 3 s 3 y s 3

15 Operadores genéticos cruce p 1 = p 2 = h 1 = h 2 = mutación d 1 = d 2 =

16 Cruce: s = t = s = t = Problema del viajante cruce? abc de ace db abcdb acede mutación? abcde ab_de

17 Un cruce para el TSP p 1 = p 2 = h 1 = ### 1876 ## h 2 = ### 4567 ## h 1 = # #9 h 2 = ## h 1 = #9 h 2 = ## mutación? h 2 = h 2 =

18 Algoritmos Genéticos begin t 0 iniciar P(t) evaluar P(t) while (condición de parada) do t t+1 seleccionar P(t-1) de P(t-1) aplicar cruce a P(t-1) aplicar mutación a P(t-1) P(t) P(t-1) end end

19 Algoritmos Genéticos f: D = {0, 1}⁵ R s s² P(0) f (1/10) f(s) = (2 =31 ( máximo

20 Algoritmos Genéticos P (0) P(1) f (1/10) f(s)=613 f(11111 (2 )=f(31)=961 máximo!!

21 Algoritmos Genéticos Poblaciones P(0) P(1) P(2) P(3) P(4) máximo poblacional multiplicidad media poblacional

22 Algoritmos Genéticos P(1) P (1) P(2) f (1/10) f(s)=814

23 Algoritmos Genéticos Poblaciones P(0) P(1) P(2) P(3) P(4) máximo poblacional multiplicidad media poblacional

24 Algoritmos Genéticos Poblaciones P(0) P(1) P(2) P(3) P(4) máximo poblacional multiplicidad media poblacional

25 Por qué funcionan estos algoritmos? P(0) f #### es mejor que 0#### f(1####) = f(s) 10 =375 Biología: Individuos que presentan semejanzas están emparentados

26 Por qué funcionan estos algoritmos? Esquema: Conjunto de cromosomas que siguen un patrón H = 01##1 {01001, 01011, 01101, 01111} o(h) = 3 δ(h) = 4 H = 2 o(h) = = 4

27 Efecto del cruce sobre los esquemas δ(01##1)=4 δ(1####)=0 0 1##1 0 1##1 1 #### 1#### _#### 01# #1 01# #1 δ(h)<< prob(destrucción) <<

28 Efecto de la mutación sobre los esquemas o(h)=3 H = 01##1 11##1 00##1 01##0 o(1####)=1 1#### 0#### p destruc (01##1) > p destruc (1####) o(h)<< prob(destrucción) <<

29 Por qué funcionan estos Algoritmos? P(0) f = 1#### es mejor que 0#### f(1####) 6 f(s) (=375) =593.66

30 Por qué funcionan estos Algoritmos? valor medio de H P(t) f(h,t) = q H P(t) f(q) n(h,t) valor medio de P(t) f(p,t) = r P(t)f(r) N H buen esquema f(h,t) f(p,t) > 1

31 Por qué funcionan estos Algoritmos? Teorema de los esquemas (Holland 1975) n(h, t+1) n(h, t) f(h,t) f(p,t) α(h,t) α(h,t) = 1- prob mut o(h) - prob cruce δ(h)/( -1) Los buenas estructuras presentes en la población incrementan el nº de representantes generación a generación

32 Algunas aplicaciones Adam Marczyk: Algoritmos genéticos y computación evolutiva (2004) Problema del viajante (NP completo NP hard problem ) Ingeniería aeroespacial: diseño de la forma del ala de un avión supersónico RoboCup: proyecto internacional para promocionar la robótica, la inteligencia artificial y campos relacionados. (Torneo internacional de fútbol cuyo reto es desarrollar un equipo de robots humanoides autónomos que ganen a los humanos en 2050!) Ingeniería de sistemas: diseños de turbinas de molinos de parques eólicos

33 Algunas aplicaciones Diseño de una sala de conciertos con propiedades acústicas óptimas, (2002) similar al Grosser Musikvereinsaal de Viena Reconocimiento de imágenes: Resonancia Magnética Radioterapia: Optimización de la forma, orientación e intensidad del haz de los emisores de rayos X Localización de puestos de urgencias John Deere & Co.: generar programas de montaje en la planta de Moline (Illinois) para la fabricación de maquinaria agrícola pesada Volvo: OptiFlex para el diseño del montaje de la planta de Dublín (Virginia) de un millón de metros cuadrados United Distillers and Vintners: para administrar su inventario y sus suministros

34 Algunas aplicaciones: Elaboración de horarios (NP completo) - Juegos Paralímpicos de Aterrizajes en London Heathrow, Toronto, Sydney, Las Vegas,... - Horarios de centros de enseñanza Un conjunto de profesores {P 1,..., P m } Un conjunto de clases {C 1,..., C k } Un conjunto de intervalos de tiempo (horas) {H1,...,Hn} Restricciones: R. severas Número predefinido de horas por profesor un sólo profesor por clase un profesor no puede estar en dos clases R. débiles Preferencias personales

35 Mafalda: La vida es linda, pero nadie confunda linda con fácil Oscar Wilde: La verdad rara vez es pura, y nunca simple

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