JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS

Transcripción

1 JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS ELISA SCHAEFFER Programa de Posgrado en Ingeniería de Sistemas (PISIS) INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

2 JUEGOS DE SUMA CERO Los pagos de cada combinación se suman en cero. Ejemplos: jugar poker, apostar. Lo que gana uno, pierde el otro. Muchas veces no se juega solamente una vez, sino varias veces de forma repetida.

3 ASIGNACIÓN DE PRECIOS Dos empresas producen una bebida. Tienen un costo fijo de operación mensual y dos posibilidades de asignar precio a su producto: precio bajo o precio alto. Las ventas dependen del precio elegido; los consumidores no tienen fondos infinitos a gastar. Además, ellos siempre compran lo más barato.

4 REGLAS DE JUEGO DE VENTAS Costo de operación/mes = 200 Precio alto/botella es 2 Precio bajo/botella es 1 Se vende en total 200 botellas de precio alto entre las dos empresas Se vende en total 400 botellas de precio bajo entre las dos empresas Si las empresas venden al mismo precio, venden cantidades iguales Si uno vende caro y otro barato, nadie compra caro

5 FORMA TABULAR Corona Cuauhtemoc Precio bajo Precio alto Precio bajo 0, 0 200, -200 Precio alto -200, 200 0, 0

6 CÓMO ELEGIR QUE JUGAR? Si se manufactura siempre con precio caro, nunca se gana nada. Tampoco si se manufactura siempre con precio bajo. La situación es simétrica. Hay que elegir una estrategia y justificar la elección... Jugar barato las dos empresas es un NE, jugar caro las dos no lo es (vale la pena cambiar). Hay otro criterio?

7 CRITERIO MAX-MIN = cada jugador elije la estrategia que maximiza el pago mínimo Cuahutemoc: si Corona vende barato, vender barato resulta en 0 y vender caro en -200; si Corona vende caro, vender barato resulta en 200 y vender caro en 0 vender barato maximiza el mínimo beneficio. Corona razona igual, y ambos venden barato cada mes. No hay ganancia nunca. Realístico? Vamos a ver...

8 EMPAREJAMIENTO DE MONEDAS (ingl. matching pennies) Iguales Diferentes Sol Águila Sol 1, -1-1, 1 Águila -1, 1 1, -1 Un jugador se nombra a jugar diferentes y el otro iguales. Cada jugador elije mostrar el sol o la águila de una moneda de un peso. Si muestran diferentes los dos, el jugador de diferentes gana la moneda del otro. Si iguales, el jugador de iguales gana.

9 ESTRATEGIAS MIXTAS No hay una solución max-min única para el juego de las monedas. En vez de jugar siempre sol o siempre águila, se puede elegir al azar cuál jugar, con una probabilidad p para sol y una probabilidad q = 1 p para águila. Elegir siempre una cierta opción es una estrategia pura; definir un vector de probabilidades es una estrategia mixta.

10 JUEGO DE MONEDAS: SOLUCIÓN p = q = 0.5 para los dos. Si se juega una cierta opción con probabilidad mayor que 0.5, el otro jugador puede ganar con una estrategia pura no es un NE jugar otro valor. (0.5, 0.5) es una estrategia max-min para los dos

11 SOLUCIONES DE JUEGOS DE SUMA CERO Para cada juego de suma cero de dos jugadores existe una solución max-min por lo menos de estrategias mixtas si no puras. (von Neumann)

12 NE DE ESTRATEGIAS MIXTAS En situaciones donde no existe un equilibrio Nash (EN) de estrategias puras, puede ser que hay equilibrio(s) de estrategias mixtas.

13 GANANCIA ESPERADA Si se conoce las estrategias de los demás, la ganancia esperada por una estrategia mixta (p 1, p 2,...,p m ) sobre las m opciones entre cuales el jugador i elija se calcula como E(G i ) = m p k g k, k=1 donde g k es la pago de jugar la opción k cuando los demás juegan sus estrategias fijadas.

14 FUNCIÓN DE MEJOR RESPUESTA La respuesta mejor del jugador i a una combinación de estrategias de los demás es la estrategia con la ganancia esperada más alta. Se puede construir una función con las estrategias de los demás como parámetros y la estrategia de mejor respuesta del jugador i como el valor de la función. Los ENs de están en las intersecciones de tales funciones. (Las matemáticas involucradas son un poco pesadas para este curso.)

15 A CONTINUACIÓN... Aplicaciones de la teoría de juegos (colaborativos y competitivos).