Fundamentación matemática del cubo de Rubik
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- María Ángeles Soler Guzmán
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1 Fundamentación matemática del cubo de Rubik Universitat Politècnica de València Bogotá, 30 de abril de
2 Esquema
3 El cubo de Rubik El cubo de Rubik El cubo de Rubik o cubo mágico es un rompecabezas mecánico inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernő Rubik el año 1974.
4 El cubo de Rubik El cubo de Rubik El cubo de Rubik consta de: 8 piezas-vértice de 3 colores, 12 piezas-arista de 2 colores, 6 piezas centrales y la estructura.
5 El cubo de Rubik El cubo de Rubik Posición inicial: cada cara de un color. Juego: devolver el cubo a su posición inicial. 4 movimientos bastan para descomponer el cubo totalmente. Récord: 6,65 segundos, Feliks Zemdegs, Melbourne Summer Open, 2011.
6 El cubo de Rubik Notación Caras: A: Arriba B: Bajo D: Derecha I: Izquierda F: Frontal T: Trasera I I I I A A A T I T I A A A T A A A B B B B B B F F F F F F F F F T T T D D D D D D D D D Podemos referirnos con esta notación a caras, piezas, posiciones.
7 El cubo de Rubik Notación Movimientos básicos: A: Movimiento de la cara A 90 en sentido horario B: Movimiento de la cara B 90 en sentido horario D: Movimiento de la cara D 90 en sentido horario I: Movimiento de la cara I 90 en sentido horario F: Movimiento de la cara F 90 en sentido horario T : Movimiento de la cara T 90 en sentido horario (siempre vistos desde delante de la cara)
8 El cubo de Rubik Notación Movimientos básicos: A: Movimiento de la cara A 90 en sentido horario B: Movimiento de la cara B 90 en sentido horario D: Movimiento de la cara D 90 en sentido horario I: Movimiento de la cara I 90 en sentido horario F: Movimiento de la cara F 90 en sentido horario T : Movimiento de la cara T 90 en sentido horario (siempre vistos desde delante de la cara) Un movimiento del cubo es una secuencia de movimientos básicos. El movimiento identidad consiste en no mover ninguna pieza.
9 El cubo de Rubik Notación D 2 : mover la cara D 180. D 3 o D 1 : mover la cara D 90 en sentido antihorario. FD: primero efectuar el movimiento F, luego el movimiento D. Los movimientos del cubo forman un grupo: la composición de dos movimientos es un movimiento, la composición de movimientos es asociativa, el movimiento identidad es elemento neutro, el inverso de un movimiento es otro movimiento.
10 El cubo de Rubik Notación D 2 : mover la cara D 180. D 3 o D 1 : mover la cara D 90 en sentido antihorario. FD: primero efectuar el movimiento F, luego el movimiento D. Los movimientos del cubo forman un grupo: la composición de dos movimientos es un movimiento, la composición de movimientos es asociativa, el movimiento identidad es elemento neutro, el inverso de un movimiento es otro movimiento.
11 Grupos de permutaciones Las simetrías del cuadrado Id R (1, 2, 3, 4) R 2 (1, 3)(2, 4) R 3 = R 1 (1, 4, 3, 2) V (1, 2)(3, 4) 1 2 H (1, 4)(2, 3) 2 3 D 1 (2, 4) 4 1 D 2 (1, 3) RV = (1, 2, 3, 4)(1, 2)(3, 4) = (2, 4) = D 1
12 Grupos de permutaciones Las simetrías del cuadrado Id R (1, 2, 3, 4) R 2 (1, 3)(2, 4) R 3 = R 1 (1, 4, 3, 2) V (1, 2)(3, 4) 1 2 H (1, 4)(2, 3) 2 3 D 1 (2, 4) 4 1 D 2 (1, 3) RV = (1, 2, 3, 4)(1, 2)(3, 4) = (2, 4) = D 1
13 Grupos de permutaciones Las simetrías del cuadrado Id R (1, 2, 3, 4) R 2 (1, 3)(2, 4) R 3 = R 1 (1, 4, 3, 2) V (1, 2)(3, 4) 1 2 H (1, 4)(2, 3) 2 3 D 1 (2, 4) 4 1 D 2 (1, 3) RV = (1, 2, 3, 4)(1, 2)(3, 4) = (2, 4) = D 1
14 Grupos de permutaciones Las simetrías del cuadrado Id R (1, 2, 3, 4) R 2 (1, 3)(2, 4) R 3 = R 1 (1, 4, 3, 2) V (1, 2)(3, 4) 1 2 H (1, 4)(2, 3) 2 3 D 1 (2, 4) 4 1 D 2 (1, 3) RV = (1, 2, 3, 4)(1, 2)(3, 4) = (2, 4) = D 1
15 Grupos de permutaciones Las simetrías del cuadrado Una permutación de un conjunto X es una aplicación biyectiva de X en X (o, en otras palabras, una manera de ordenar los elementos de X). El grupo simétrico sobre el conjunto X está formado por todas las permutaciones de X. Un grupo de permutaciones de un conjunto X es un subgrupo del grupo simétrico sobre X, es decir, un subconjunto cerrado para la composición y la toma de inversos. La descomposición de una permutación como producto de ciclos es única.
16 Grupos de permutaciones Permutaciones pares e impares Llamamos trasposición a un ciclo de longitud 2. (a 1, a 2, a 3,..., a n ) = (a 1, a 2 )(a 1, a 3 ) (a 1, a n ) La descomposición de una permutación como producto de trasposiciones no es única: (1, 2, 3) = (4, 5)(3, 6)(1, 2)(1, 6)(4, 5)(3, 6) = (1, 2)(1, 3) Sin embargo, no es posible que una permutación admita una descomposición en número par de trasposiciones y otra en número impar de permutaciones.
17 Grupos de permutaciones Permutaciones pares e impares Definition Una permutación es par (impar) si es producto de un número par (impar) de trasposiciones. Teorema El producto de dos permutaciones pares es par. El producto de dos permutaciones impares es par. El producto de una permutación par y una impar es impar. El producto de una permutación impar y una par es impar. La inversa de una permutación par es par. La inversa de una permutación impar es impar.
18 El grupo del cubo de Rubik Algunas observaciones El cubo de Rubik es un grupo de permutaciones de las 48 pegatinas no centrales del cubo. Las pegatinas de los vértices van a vértices, y las de las aristas van a aristas: las pegatinas de las aristas forman una órbita y las de los vértices forman otra órbita. Si nos fijamos en la acción de los movimientos sobre las pegatinas de los vértices, no es posible separar las tres pegatinas de cada vértice: constituyen un bloque para esta acción (Bg = B o B Bg = ). Lo mismo pasa con las aristas y sus dos pegatinas.
19 El grupo del cubo de Rubik Algunas observaciones El grupo del cubo de Rubik no es abeliano: FD DF.
20 El grupo del cubo de Rubik Notación cíclica para el cubo de Rubik Adaptamos la notación de ciclos para que respete los bloques (piezas) F = (FA, FD, FB, FI)(ADF, DBF, BIF, IAF) Torcer un vértice en sentido horario (antihorario): (ADF, DFA, FAD) = (ADF ) + (ADF, FAD, DFA) = (ADF ) Torcer una arista: (AF, FA) = (AF) + Ciclos con torsión: (ADF, DBF, DFA, BFD, FAD, FDB) = (ADF, DBF) + (AF, BF, FA, FB) = (AF, BF) +
21 El grupo del cubo de Rubik Notación cíclica para el cubo de Rubik FD = (FA, FD, FB, FI)(ADF, DBF, BIF, IAF) (FD, AD, TD, BD)(ADF, TDA, BDT, FDB) = (FA, FD, FB, FI)(FD, AD, TD, BD) (ADF, DBF, BIF, IAF)(ADF, TDA, BDT, FDB) = (FA, AD, TD, BD, FD, FB, FI) (ADF ) + (DBF, BIF, IAF, TDA, BDT ).
22 El grupo del cubo de Rubik Movimientos posibles e imposibles en el cubo de Rubik Cada movimiento básico es un producto de un 4-ciclo de vértices y un 4-ciclo de aristas: es una permutación par de las piezas del cubo. F = (FA, FD, FB, FI)(ADF, DBF, BIF, IAF) Teorema Cada uno de los movimientos del cubo induce una permutación par en el conjunto de las piezas del cubo. Por tanto, es imposible intercambiar solo dos vértices del cubo o solo dos aristas del cubo, porque una trasposición es una permutación impar.
23 El grupo del cubo de Rubik Movimientos posibles e imposibles en el cubo de Rubik: torsiones de vértices Fijamos una orientación para los vértices: {ADF, ATD, AIT, AFI, BFD, BDT, BTI, BIF} El movimiento A los traslada a {AFI, AIT, ATD, ADF, BFD, BDT, BTI, BIF} (igual orientación).
24 El grupo del cubo de Rubik Movimientos posibles e imposibles en el cubo de Rubik: torsiones de vértices Recordemos la orientación para los vértices que habíamos fijado: {ADF, ATD, AIT, AFI, BFD, BDT, BTI, BIF} El movimiento F los traslada a o sea, {DBF, ATD, AIT, DFA, IFB, BDT, BTI, IAF}, {DFA, ATD, AIT, IAF, DBF, BDT, BTI, IFB}. La torsión de las piezas es (2, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 2) (múltiplo de 3).
25 El grupo del cubo de Rubik Movimientos posibles e imposibles en el cubo de Rubik: torsiones de vértices y aristas Teorema La torsión total de los vértices es múltiplo de 3. Análogamente, Teorema La torsión total de las aristas es múltiplo de 2. Es imposible obtener (ADF ) +, (ADF ) (AFI) o (AF) + con movimientos del cubo.
26 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución P 1 (F, D) = (F 2 D 2 ) 3 = (AF, BF)(AD, BD).
27 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Y si queremos permutar (DF, IF)(AD, BD)? 1 Con F giramos a una posición en la que DF, IF pasan a AF, BF, respectivamente, 2 efectuamos P 1 (F, D), 3 deshacemos el movimiento F (efectuamos F 1 ). Entonces F(F 2 D 2 ) 3 F 1 = (DF, IF )(AD, BD).
28 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Definición h 1 gh es el conjugado de g por h. Mediante conjugados adecuados, podremos obtener todos los posibles productos de dos trasposiciones.
29 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Definición h 1 gh es el conjugado de g por h. Mediante conjugados adecuados, podremos obtener todos los posibles productos de dos trasposiciones.
30 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Y si queremos un 3-ciclo? Notemos que (1, 2, 3) = (1, 2)(2, 3) = (1, 2)(4, 5) (1, 3)(4, 5). Como sabemos obtener los productos de dos trasposiciones, podemos obtener nuestro 3-ciclo. Con esta misma técnica: Teorema Es posible obtener cualquier permutación par de aristas con movimientos legales del cubo.
31 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Y si queremos un 3-ciclo? Notemos que (1, 2, 3) = (1, 2)(2, 3) = (1, 2)(4, 5) (1, 3)(4, 5). Como sabemos obtener los productos de dos trasposiciones, podemos obtener nuestro 3-ciclo. Con esta misma técnica: Teorema Es posible obtener cualquier permutación par de aristas con movimientos legales del cubo.
32 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución (AF, FB)(AD, BD) (AF, BF )(AD, BD) = (AF) + (FB) +. Teorema Es posible torcer dos aristas con movimientos legales del cubo.
33 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Consideremos el conmutador P 2 (F, D) = FDF 1 D 1 = (ADF, AFI) + (DBF, DTB) (AF, DF, DB). y su cuadrado y su cubo: P 3 (F, D) = ( P 2 (F, D) ) 2 = (ADF)+ (AFI) + (DBF ) (TBD) (AF, DB, DF ) P 4 (F, D) = ( P 2 (F, D) ) 3 = (ADF, FIA)(BDT, DBF).
34 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución P 3 (F, D) = ( P 2 (F, D) ) 2 = (ADF)+ (AFI) + (DBF ) (TBD) (AF, DB, DF ) P 4 (F, D) = ( P 2 (F, D) ) 3 = (ADF, FIA)(BDT, DBF). Si la permutación total de vértices no es par, hacemos A. Con conjugados de movimientos P 4 podemos colocar los vértices en su sitio si forman una permutación par. Con conjugados de movimientos P 3 podemos orientar los vértices (tal vez moviendo las aristas). Con conjugados de movimientos P 1 podemos colocar (si forman una permutación par) y orientar las aristas.
35 El grupo del cubo de Rubik Procedimientos interesantes y método de resolución Es habitual que los métodos de resolución del cubo se sigan varias etapas, de manera que en cada una de las etapas vayamos colocando varios elementos del cubo de Rubik y no modifiquemos los que estén resueltos antes, como hemos visto en el método anterior.
36 El grupo del cubo de Rubik Otro método de resolución 1 colocar las aristas de una cara (por ejemplo, A), 2 colocar los vértices de esa cara sin mover sus aristas, 3 colocar las aristas de la parte central (paralela a la cara), sin alterar la cara ya hecha, 4 orientar las aristas de la cara opuesta B sin mover las piezas de A ni la sección central, 5 colocar las aristas de B de manera que formen una permutación par si es necesario mediante un giro de B, 6 colocar en su sitio las aristas de B sin alterar las piezas de A ni la sección central, 7 colocar los vértices de B sin alterar los demás vértices ni las aristas y, finalmente, 8 orientar los vértices de B sin mover las demás caras.
37 El grupo del cubo de Rubik Mecanismo de los métodos de resolución = S 0 S 1 S 2 S n 1 S n donde cada S i es un conjunto de elementos o atributos del cubo que fijamos en cada fase del proceso de resolución. Si H i es el estabilizador de S i, H n = 1 H n 1 H 2 H 1 H 0 = G.
38 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El número de elementos del cubo de Rubik Cuántos elementos tiene el cubo de Rubik? Podemos ordenar las aristas de 12! maneras y los vértices de 8! maneras, pero la permutación total ha de ser par, podemos torcer las aristas de 2 12 maneras, pero la torsión total ha de ser par, podemos torcer los vértices de 3 8 maneras, pero la torsión total ha de ser múltiplo de 3. El número de posiciones distintas del cubo es 12! 8! 2
39 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El número de elementos del cubo de Rubik Cuántos elementos tiene el cubo de Rubik? Podemos ordenar las aristas de 12! maneras y los vértices de 8! maneras, pero la permutación total ha de ser par, podemos torcer las aristas de 2 12 maneras, pero la torsión total ha de ser par, podemos torcer los vértices de 3 8 maneras, pero la torsión total ha de ser múltiplo de 3. El número de posiciones distintas del cubo es 12! 8!
40 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El número de elementos del cubo de Rubik Cuántos elementos tiene el cubo de Rubik? Podemos ordenar las aristas de 12! maneras y los vértices de 8! maneras, pero la permutación total ha de ser par, podemos torcer las aristas de 2 12 maneras, pero la torsión total ha de ser par, podemos torcer los vértices de 3 8 maneras, pero la torsión total ha de ser múltiplo de 3. El número de posiciones distintas del cubo es 12! 8!
41 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El número de elementos del cubo de Rubik Cuántos elementos tiene el cubo de Rubik? Podemos ordenar las aristas de 12! maneras y los vértices de 8! maneras, pero la permutación total ha de ser par, podemos torcer las aristas de 2 12 maneras, pero la torsión total ha de ser par, podemos torcer los vértices de 3 8 maneras, pero la torsión total ha de ser múltiplo de 3. El número de posiciones distintas del cubo es 12! 8! = =
42 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El número de elementos del cubo de Rubik Si desmontamos el cubo y lo montamos de nuevo, el número total de configuraciones es 12! 8! = = , 12 veces la cantidad anterior. Si se desmonta el cubo al azar, la probabilidad de volver a la configuración inicial con movimientos legales del cubo es 1 12.
43 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik Órdenes de elementos Si, partiendo de la configuración inicial, repetimos un movimiento, llega un momento en el que se vuelve a la configuración inicial. El número de repeticiones más pequeño es el orden del movimiento. El orden de un movimiento es el mcm de las longitudes de los ciclos en que se descompone (multiplicadas por 2 o 3 si son con torsión):
44 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik Órdenes de elementos Los movimientos básicos tienen orden 4. (F 2 D 2 ) 3 tiene orden 2. F 2 D 2 tiene orden 6. El movimiento FD = (FA, AD, TD, BD, FD, FB, FI) (ADF ) + (DBF, BIF, IAF, TDA, BDT ) tiene orden mcm(7, 3, 15) = 105.
45 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik Estructura El grupo que corresponde a todas las posibles configuraciones que se pueden obtener al desarmar el cubo y volverlo a armar es (C 3 Σ 8 ) (C 2 Σ 12 ). El grupo del cubo de Rubik es un subgrupo de índice 12 de este grupo.
46 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El cubo con orientación Si las pegatinas tienen figuras que deban ir con orientación, es necesario fijarse en la orientación de los centros (el color de las otras piezas determina su orientación). Cada movimiento básico corresponde a un giro de 1/4 de vuelta de un centro. Una permutación par de vértices corresponderá a un número par de cuartos de vuelta del cubo. Por tanto: Teorema El número total de cuartos de vuelta de los centros en movimientos legales del cubo orientado es de la misma paridad que la permutación de vértices (o de aristas).
47 Otras cuestiones sobre el cubo de Rubik El cubo con orientación En particular, si colocamos los vértices y las aristas en su sitio, el número total de cuartos de vuelta que han girado los centros es par. El movimiento (FD) 105 gira el centro de la cara F 1/4 de vuelta y la cara D 1/4 de vuelta. Deja las otras caras fijas. El movimiento (F 2 D) 30 gira el centro de la cara D media vuelta y deja las demás piezas fijas. Este tipo de movimientos nos permitirá orientar los centros de las caras si el total número de cuartos de vuelta que ha girado es par.
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