Laboratorio 4 Diseño de filtros analógicos en Matlab

Transcripción

1 10 Laboratorio 4 Diseño de filtros analógicos en Matlab Como ya se ha señalado, existen varios métodos de diseño de filtros analógicos. En esta práctica se revisan estos métodos empleando las funciones provistas en Matlab. Se muestran, para los filtros Butterworth, Chebyshev y Elípticos, las funciones de Matlab que permiten obtener sus funciones de transferencia Filtros Butterworth La instrucción: [z,p,k]=buttap(n) nos entrega z, p, k (ceros, polos, y ganancia) de un filtro analógico Butterworth pasa-bajas prototipo de orden n. La función de transferencia es H(s) = k (s p 1 )(s p 2 )... (s p n ) (10.1) donde p n son los polos de H(s). Note que en este caso z es una matriz vacía, ya que el numerador se compone de la ganancia k. La respuesta en magnitud tiene una respuesta máximamente plana en la banda de paso y monotónica a toda frecuencia. Para el filtro pasa-bajas, las primeras 2n- 1 derivadas de la magnitud de respuesta al cuadrado son cero en Ω = 0. La respuesta en magnitud corresponde a una función de transferencia con polos igualmente espaciados alrededor de un círculo en el lado izquierdo del plano-s. A la frecuencia de corte la magnitud al cuadrado es siempre 1/2 sin 207

2 FILTROS BUTTERWORTH importar el orden del filtro. Note que Matlab usa Ω = 1 para un resultado normalizado. Para encontrar el orden mínimo de un filtro Butterworth analógico o digital que cumpla con las especificaciones de diseño se tiene la función buttord. En esta práctica usaremos: [n,wn]=buttord(wp, Ws, Rp, Rs, s ), donde Wp = esquina superior de la frecuencia de paso, Ws = esquina superior de la frecuencia de rechazo, Rp = atenuación deseada en db en la banda de paso, Rs = atenuación deseada en db en la banda de rechazo, además, Wp y Ws están dadas en rad/sec y pueden ser mayor a uno para filtros analógicos. Realice los siguientes ejercicios: Ejercicio 10.1 Encuentre el orden n para un filtro Butterworth pasa-bajas con las siguientes especificaciones: frecuencia de corte de 2000 Hz con 2 db de atenuación, y al menos 10 db de atenuación a 3000 Hz. Ejercicio 10.2 Usando el orden n encontrado en el paso anterior, diseñe un filtro Butterworth pasa-bajas prototipo con buttap. Note que esta función regresa un resultado en formato [z,p,k]. Cambie el formato z,p,k a función de transferencia con la función zp2tf. Recuerde que siempre se tiene la opción de ayuda si tiene duda en el llamado de las funciones, sólo introduzca, por ejemplo help zp2tf. El polinomio del denominador debe ser igual al polinomio dado en las tablas de polinomios de Butterworth. Ejercicio 10.3 Trace la gráfica de respuesta en frecuencia usando freqs que equivale a la respuesta en frecuencia en el domino de la transformada de Laplace. H=freqs(B,A,W) regresa la respuesta en frecuencia compleja en un vector H del filtro B/A, donde H(s) = B(s) A(s) = b(1)snb 1 + b(2)s nb b(nb) a(1)s na 1 + a(2)s na a(na) (10.2) dados los coeficientes del numerador y denominador en los vectores B, y A. Es ésta una respuesta en frecuencia normalizada?

3 10.2. CHEBYSHEV TIPO I 209 Ejercicio 10.4 Ahora diseñe el filtro pasa-bajas que cumpla con las especificaciones dadas previamente usando escalamiento en frecuencia o butter directamente: a) Usando escalamiento en frecuencia, encuentre la función de transferencia usando la función lp2lp, dada en Matlab. Dibuje la respuesta en frecuencia y asegúrese que cumple con las especificaciones. b) Usando directamente la función butter,encuentre la función de transferencia para las especificaciones dadas. Compare ambas funciones de transferencia y ambas gráficas de la respuesta en frecuencia Chebyshev Tipo I La función [z,p,k]=cheb1ap(n,rp), regresa los ceros, polos, y ganancia de un filtro analógico Chebyshev tipo I de orden n. Los filtros Chebyshev tipo I tienen rizo en la banda de paso y respuesta monotónica en la banda de rechazo. Los polos están uniformemente espaciados alrededor de una elipse en el lado izquierdo del plano-s. En la frecuencia de corte la magnitud de la función de transferencia es igual a 10 Rp/20 1. La selección del orden del filtro se hace con [n,wn]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs, s ), donde Wp frecuencia de corte Ws frecuencia de rechazo Rp rizo en la banda de paso Rs rizo en la banda ed rechazo. Cheby1 diseña filtros analógicos Chebyshev tipo I pasa-bajas, pasa-altas, pasa-banda y rechazo de banda. La función usada es: [z,p,k] = o cheby1(n,rp,wn, Ftipo, s ) [num,den] = cheby1(n,rp,wn, Ftipo, s ), donde Wn es la frecuencia natural del filtro, que se obtiene de cheb1ord y Ftipo puede ser high para pasa-altas. Para filtros pasa-banda y rechazo de banda, Wn debe ser un vector de dos elementos. Ejercicio 10.5 Repita los ejercicios 10.1 a 10.4 para un filtro Chebyshev tipo I analógico empleando una atenuación de al menos 20 db.

4 CHEBYSHEV TIPO II Chebyshev Tipo II Para filtros tipo II tenemos la función [z,p,k]=cheb2ap(n,rp) que regresa los ceros, polos, y ganancia de un filtro Chebyshev tipo II analógico. Los filtros Chebyshev tipo II son monotónicos en la banda pasante y presentan rizo en la banda de rechazo. Para seleccionar el orden del filtro se usa [n,wn]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs, s ). Para diseñar filtros Chebyshev tipo II, pasa-bajas,pasa-altas, pasa-banda o rechazo de banda se emplea la función [z,p,k]= cheby2(n,rp,wn, Ftipo, s ) o [num,den] = cheby2(n,rp,wn, Ftipo, s ) \end{verbtaim} \bexer Repita los pasos \ref{ej:paso1} a \ref{ej:paso4} para un filtro Chebyshev tipo II, que cumpla las especificaciones dadas. \eexer %\item {\bf Filtros elípticos}\\ \section{filtros elípticos} El prototipo analógico de un filtro elíptico se obtiene con \begin{verbatim} [z,p,k]=ellipap(n,rp,rs) lo cual regresa los ceros, polos, y ganancia para un prototipo analógico elíptico de orden n. Los filtros elípticos presentan rizo en la banda pasante y rizo en la banda de rechazo. Para encontrar el orden del filtro se emplea: [n,wn]=ellipord(wp, Ws, Rp, Rs, s ). Una vez encontrado el orden n, podemos diseñar el filtro elíptico con [z,p,k]=ellip(n,rp, Rs, Wn, Ftype, s ). Ejercicio 10.6 Repita los pasos 10.1 a 10.4 para un filtro analógico elíptico que cumpla con las especificaciones dadas. Ejercicio 10.7 Basándose en los resultados anteriores, compare los cuatro métodos de diseño e incluya en su reporte algunas conclusiones acerca de ellos. Trate de hacer una comparación cualitativa y cuantitativa entre los diferentes tipos de filtros.

5 BIBLIOGRAFÍA 211 Bibliografía [1] The Student Edition of Matlab, Version 5 User s Guide. The Math- Works, Inc., Prentice Hall, Upper Sadle River, NJ 07458, (1997).

6 212 BIBLIOGRAFÍA