Aproximaciones. Su respuesta viene dada por la siguiente función:

Transcripción

1 Aproximaciones A la hora de diseñar un filtro se tiene que hacer cumpliendo ciertas especificaciones que normalmente vienen dadas en requerimientos de atenuación en la banda pasante, frecuencia de corte, etc. Existen ciertas funciones de aproximación que cumplen con estos requerimientos en determinadas regiones y con ciertas características y transferencia particulares. Un problema práctico con el que se encuentra es la realización en forma activa o pasiva de la función de aproximación más adecuada. Otra cosa importante al diseñar un filtro mediante alguna de las aproximaciones, es mantener el orden de la función lo más bajo posible para minimizar el número de componentes. Aproximación de Butterworth: Su respuesta viene dada por la siguiente función: H n 1,,3, ( w / w ) n donde es la ganancia correspondiente a una frecuencia w nula; w es la frecuencia de corte y n el orden del filtro. En este punto se hace necesario explicar el concepto de orden de un filtro. En términos matemáticos es el número de polos de su función de transferencia y en términos físicos el número de redes de retardo presentes en su estructura.

2 El gráfico 05 muestra diversas curvas de respuesta, obtenidas de la ecuación anterior, tomando 1, y n, 5 y 10. Gráfico 05 función Butterworth. Si se observa la figura anterior, puede comprobarse cómo la curva de respuesta se aproxima gradualmente a la ideal del filtro a medida que n aumenta. A partir de las estructuras utilizadas para construir filtros pasa bajos se consiguen los demás tipos de filtros. La curva de respuesta Butterworth se denomina también de respuesta plana, debido a que no presenta rizado. Es, pues, una curva monótona decreciente en todas las frecuencias. La máxima aproximación a la curva ideal tiene lugar en las proximidades del punto w 0, como puede verse en el gráfico 05. Si se hace w >> w la ecuación queda en: w n y expresándolo en decibeles,

3 w ( db) 0log 0nlog lo que permite calcular la atenuación: At w 0 log esto es, un filtro Butterworth de primer orden tiene una atenuación de 0dB/década, uno de segundo de 40dB/década, uno de tercero de 60dB/década, etc. Estas atenuaciones son relativas al valor de ganancia máximo, que es 0log. Aproximación de hebyshev: Para frecuencias próximas a la de corte (w ), la curva de respuesta Butterworth no es aceptable, sobre todo si el filtro es de orden bajo. Por ello estudiamos los filtros de hebyshev, que poseen mejor respuesta para frecuencias cercanas a w. onsiderando un filtro de Butterworth y otro de hebyshev, ambos del mismo orden e idéntica estructura, la respuesta del filtro hebyshev será mejor en las proximidades de la frecuencia de corte, es decir, en la banda de transición su curva tendrá una pendiente mayor que la correspondiente al filtro de Butterworth. Sin embargo, el filtro hebyshev presenta rizado en la banda pasante. La función dada por hebyshev es la siguiente: H (0 < n 1,,3,... E 1) 1+ E n ( w / w )

4 donde es la ganancia del filtro pasa bajos cuando la frecuencia es nula (w0), w es la frecuencia de corte, E una constante que determina la amplitud del rizado y n el polinomio de hebyshev, cuya expresión es: n ( w) cos( n *arccos w) Se puede demostrar la siguiente fórmula recurrente: 1( w) wn( w) n 1( w) n+ El gráfico 06 muestra la función de hebyshev para 1 y w 1 rad/s, para diversos valores de n. Gráfico 06 función hebyshev. El número de rizados presentes en la banda de paso es igual al orden del filtro y su amplitud dependiente del parámetro E. Obsérvese que en el punto w0 los rizados toman su valor máximo y mínimo según que el orden sea impar o par, respectivamente. El porcentaje de atenuación del filtro hebyshev es, en la mayoría de los casos, superior a 0ndB/década. Su valor puede calcularse por la siguiente expresión: H ( db) 0log 0log E 6( n 1) 0n log( w / w )

5 de la que se obtiene At 0log E 6( n 1) 0nlog( w / w ) La amplitud del rizado en decibeles está relacionada con E por la expresión de donde se deduce que E 10 riz /10 1 riz ( db) 0log 1+ E El valor de rizado caracteriza al filtro de hebyshev. Así, por ejemplo, filtro hebyshev de 0.5dB, de 1.0dB, etc. El valor máximo permitido para rizado es 3dB (E ). onviene observar un hecho curioso, y ala vez contradictorio, sobre los filtros de hebyshev: a mayor amplitud del rizado corresponde una mayor atenuación en la banda de transición. Esto coloca al diseñador del filtro en una situación confusa, ya que, por una parte, el rizado no es conveniente, y por otra, es importante conseguir un porcentaje de atenuación alto en la banda de transición. Habrá, pues, que elegir lo que mejor se adapte a las necesidades del proyecto. Por último, hay que entender que cuando E1 y n1 los filtros Butterworth y hebyshev tienen la misma atenuación, 0dB/década, por lo que no se acostumbra a diferenciar los filtros de primer orden en términos de la función de respuesta.