Filtrado Digital. Lectura 2: Diseño de Filtros IIR

Transcripción

1 Lectura 2: Diseño de Filtros IIR

2 Diseño de filtros IIR La principal desventaja de los filtros FIR es: Longitud larga del filtro. Los filtros IIR conducen a filtros mas cortos con las mismas especificaciones; por lo tanto es más eficiente. Una preocupación principal de los filtros IIR es:. Diseño de filtros IIR: 1. Convierta las especificaciones del filtro digital a especificaciones de un filtro análogo pasa bajas. 2. Determine la función de transferencia del filtro análogo pasa bajas y su correspondiente Butterworth/ Chybshev/ Elíptico/ Bessel 3. Transforme a la función de transferencia digital deseada H(z) Transformaciones Bilineal y Bilineal Inversa para mapear del plano s al plano z.

3 Transformaciones de frecuencia: Análoga Digital El parámetro Ts frecuentemente no juega un papel importante en el diseño, y por lo tanto Ts=2 es escogida por conveniencia. Entonces, tenemos La mitad izquierda del plano-s corresponde a la parte interior del circulo unitario en el plano z. El eje jw corresponde al circulo unitario. El requerimiento de estabilidad del filtro análogo es llevado al filtro digital: Análogo: Los polos de la respuesta en frecuencia del filtro deben de estar en la mitad izquierda del plano. Digital: Los polos de la respuesta en frecuencia del filtro deben de estar dentro del circulo unitario; es decir, la ROC debe de incluir el circulo unitario.

4 Efectos de la transformación Bilineal Desde que la respuesta en frecuencia es definida en el circulo unitario,

5 Transformación Bilineal Pasos en el diseño de un filtro digital: Pre-distorsionar wp, ws para encontrar sus equivalentes análogos Wp, Ws Diseñe el filtro análogo Ha(s) Diseñe el filtro digital H(z) aplicando la transformación bilineal a Ha(s) Como diseñar el filtro análogo? Filtro Butterworth máximamente plano Filtro Chebychev (Tipo I y II) Rizos iguales en las bandas de paso y de rechazo. Filtro Elíptico Banda de transición aguda pero fase no lineal y rizos no iguales. Filtro Bessel Fase lineal en la banda de paso, pero con el detalle de tener una banda de transición amplia. Todos estos filtros son definidos para características pasa bajas. Las transformaciones espectrales son entonces usadas para convertir de pasa bajas a cualquiera de los siguientes: pasa altas, pasa banda, o rechazo de banda.

6 Aproximación Butterworth El cuadrado de la respuesta en magnitud de un filtro Butterworth análogo pasa bajas de orden N es: Wc es la frecuencia de corte a 3 db (20log H(Wc) =-3), N es el orden del filtro. La propiedad más interesante de esta función es que las primeras 2N-2 derivadas de esta función es cero en W=0. Por lo tanto la función es plana, tanto como sea posible, sin llegar a ser constante. El LPF Butterworth se dice que tiene una magnitud máxima plana en W=0.

7 Diseño del filtro Butterworth El filtro Butterworth tiene 2 parámetros a ser calculados: El orden del filtro N, y la frecuencia de corte del filtro Wc Para determinar el orden del filtro: Una vez que N es determinado, encontramos el valor de W=Wc, para el cual H(W) se reduce en 3 db. Una vez que H(W) es obtenida, es normalmente representada en forma de fracciones parciales para obtener los zeros y los polos:

8 Diseño de un LPF usando la aproximación Butterworth 1. Pre-distorsionar wp, ws para encontrar sus equivalentes análogos Wp, Ws: 2. Diseñe el filtro análogo: Determine N y Wc a) De dp, ds, Wp y Ws obtenga el orden del filtro N Note que el orden N debe ser entero, así que el valor obtenido de esta expresión debe ser redondeado a la parte superior para exceder las especificaciones. b) Use N, dp y Wp para calcular la frecuencia de corte en 3 db de Wc c) Determine la correspondiente H(s) y sus polos Si el orden del filtro es grande, calcular manualmente H(s) no es sencillo y normalmente es echo usando un software como Matlab. 3. Aplique la transformación bilineal para obtener H(z)

9 Implementación en Matlab Matlab tiene varias funciones para implementar este filtro: [N, Wn]=buttord(Wp, Ws, Rp, Rs) proporciona el orden N mas bajo del filtro Butterworth, el cual no tiene una perdida mayor a Rp db en la banda de paso y tiene al menos Rs db de atenuación en la banda de rechazo. Wp y Ws son las frecuencias de corte en las bandas de paso y en la banda de rechazo respectivamente. buttord( ) también retorna Wn, que es la frecuencia natural Butterworth (la frecuencia de 3 db) para usarla con butter( ) para que aplique el filtrado con las especificaciones indicadas. [N, Wn]=buttord(Wp, Ws, Rp, Rs, s ) realiza el calculo de un filtro análogo, en cuyo caso Wp y Ws están en rad/seg. Hay que aclarar que para el diseño de un filtro análogo, Wn no esta restringida a el rango de [0 1].

10 Implementación en Matlab [B,A]=butter(N, Wn) Sirve para diseñar un filtro digital pasa bajas Butterworth de orden N y retorna los coeficientes del filtro en los vectores de longitud N+1 B (numerador) y A (denominador). Los coeficientes son listados en potencias descendentes de z. La frecuencia de corte Wn, debe de ser 0.0<Wn<1.0, con 1.0 el cual corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo. Si Wn es un vector de dos elementos, Wn=[W1 W2], entonces butter( ) retorna un filtro pasa bajas de orden 2N con banda de paso dada por W1<W<W2. [B,A]=butter(N, Wn, high ) sirve para diseñar un filtro pasa altas. [B,A]=butter(N, Wn, stop ) sirve para diseñar un filtro rechazo de banda si Wn=[W1 W2]. Cuando es usada con 3 argumentos en la parte izquierda, así como en [Z,P,K]=butter(.. ), los polos y los zeros son retornados en vectores columna Z y P de longitud N, y la ganancia en el escalar k. butter(n, Wn, s ), butter(n, Wn, high, s ) y butter(n, Wn, stop, s ) sirve para diseñar filtros Butterworth análogos. En este caso, Wn esta en rad/seg y puede ser mayor a 1.0.

11 Implementación en Matlab [Zd,Pd,Kd] = bilinear(z,p,k,fs) convierte la función de transferencia en el dominio s, especificada por Z, P y K a una transformada discreta Z equivalente, usando una transformación bilineal. donde los vectores columna Z y P especifican los zeros y polos, el escalar K especifica la ganancia, y Fs es la frecuencia de muestreo en Hz. Si es normalizada Ts=2 es usada, entonces Fs=0.5 [NUMd,DENd] = bilinear (NUM,DEN,Fs), donde NUM y DEN son vectores renglón que contienen los coeficientes de la función de transferencia para el numerador y denominador, NUM(s)/DEN(s), en potencias descendentes de s, y la transforma a coeficientes de la transformada Z, de la forma de NUMd(z)/DENd(z).

12 LPF fc = 2kHz, Fs=20 KHz Orden 5 s = 2 T z z 1 1 w = 2 tan 1 WT 2 Frecuencia de corte digital es: wc = 2p(2000/20000) = 0.2 p La frecuencia de corte análoga se halla con la ecuación: Wc = (2/T)tan(wc/2) Wc = (2/T)tan(0.2p/2) = (2/T)tan(0.1p) Wc = /T El valor T puede ser arbitrario, se toma T=1 Wc =

13 LPF fc = 2kHz, Fs=20 KHz Orden 5 Se calcula en Matlab un filtro Butterwoth análogo con Wc = , de orden n=5 con la función: [num,den] = butter(n,wn,'s') [num,den] = butter(5,0.6498,'s') La función de transferencia es: ( b(1) s b(2) s b(3) s b(4) s H s) = s a(2) s a(3) s a(4) s H ( s) = s s s s 2 b(5) s b(6) a(5) s a(6) s

14 LPF fc = 2kHz, Fs=20 KHz Orden 5 Aplicar la transformación bilineal: Obtener las raices del numerador y denominador con el comando roots. Reemplazar s por z de acuerdo a la empleando la función bilinear de Matlab. z = roots(num); p = roots(den); [zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,1);

15 Ejemplo Diseñe un filtro IIR pasa bajas análogo usando la aproximación Butterworth que satisface las siguientes especificaciones: fp=2 KHz, fs=3 KHz, ap<2db, as>50db, Fs=10 KHz. [N Wn]=buttord(0.7264, , 2, 50, 's') [b a]=butter(n, Wn, 's'); [H W]=freqs(b,a); %Notemos que freqs() es para análogo subplot(211) plot(w, abs(h)); grid; axis([ ]) xlabel('frecuencia, rad/s') ylabel('magnitud') title('filtro Analogo H(\Omega)') subplot(212) plot(w, 20*log10(abs(H))); axis([ ]) grid xlabel('frecuencia, rad/s') title('filtro Analog H(\Omega) Ganancia en db') ylabel('ganancia en db') axis([ ])

16 Ejemplo [N Wn]=buttord(0.7264, , 2, 50, 's') [b a]=butter(n, Wn, 's'); [H W]=freqs(b,a); % Respuesta en frecuencia análogo subplot(311); plot(w, abs(h)); grid xlabel('frecuencia, rad/s') title('filtro Analog H(\Omega)') %Caso I: si fueramos a diseñar completamente digital [Nd, Wnd]=buttord(0.4, 0.6, 2, 50); [bd ad]=butter(nd, Wnd); [HD WD]=freqz(bd,ad); % respuesta en frecuencia digital subplot(312); plot(wd/pi, abs(hd)); grid xlabel('frecuencia, rad/\pi') title('filtro Digital H(\omega)') % Convierte análogo a digital [bdd add]=bilinear(b, a, 0.5); %veamos que tomamos a Ts=2 [HDD WDD]=freqz(bdd,add); subplot(313); plot(wdd/pi, abs(hdd)); grid xlabel('frecuencia, rad/\pi') title('filtro Digital usando la transofrmacion Bilineal H(\omega)')

17 Ejemplo Comparación con filtro FIR Ahora diseñemos un filtro FIR con exactamente las mismas especificaciones, usando una ventana kaiser [N,Wn,beta,type] = kaiserord([ ], [1 0], [ ], 2) b = fir1(n, Wn, type, kaiser(n+1,beta)); [H w]=freqz(b, 1, 1024); plot(w/pi, 20*log10(abs(H))); grid xlabel('frecuencia, \omega/\pi') title(' Filtro FIR con ventana Kaiser, N=30')

18 Filtro Chebyshev Existen dos tipos de filtros Chebyshev: Tipo I: Tiene un rizo idéntico en la banda de paso, y un funcionamiento monotónico en la banda de rechazo. Tipo II: Tiene un rizo idéntico en la banda de rechazo, y un funcionamiento mono-tónico en la banda de paso.

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20 Como diseñar un filtro Chebyshev Diseñar un filtro Chebyshev requiere que el orden del filtro sea adecuado; al igual que la frecuencia de corte sean determinadas de tal forma que el filtro satisfaga las especificaciones. Dado los cuatro parámetros: frecuencias de corte en las bandas de paso y de rechazo (Wp, Ws), y los rizos en las bandas de paso y de rechazo (dp, ds), determine el orden del filtro: No existe una formula para el calculo de Wc. Por lo tanto para el tipo I, tomamos Wp= Wc Calcule el polinomio de Chebyshev. Uppss, nada fácil Determine los polos del filtro y de ahí el filtro análogo bastante complicado Aplique la transformación bilineal para obtener el filtro esto es fácil, pero para este punto estarán perdidos..

21 Matlab al RESCATE!!!!!!! cheby1( ): Diseño de filtros Análogos y Digitales Chebyshev tipo I cheby2( ): Diseño de filtros Análogos y Digitales Chebyshev tipo II [B,A] = cheby1(n, R, Wn) diseña un filtro digital Chebyshev pasa bajas de N-esimo orden tipo I con un rizo pico-pico de R decibeles en la banda de paso. cheby1 retorna los coeficientes del filtro en vectores B (numerador) y A (denominador) de longitud N+1. La frecuencia de corte Wn, debe ser 0.0 < Wn <1.0, donde 1.0 corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo. Usamos R=0.5 como valor de inicio, si no sabemos que valor elegir. [B,A] = cheby2(n, R, Wn) diseña un filtro digital Chebyshev pasa bajas de N-esimo orden tipo II con un rizo en la banda de rechazo de R decibeles y frecuencia de corte en la banda de rechazo de Wn. cheby2 retorna los coeficientes del filtro en vectores B (numerador) y A (denominador) de longitud N+1. La frecuencia de corte Wn, debe ser 0.0 < Wn <1.0, donde 1.0 corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo. Usamos R=20 como valor de inicio, si no sabemos que valor elegir. Si Wn es un vector de 2 elementos, Wn=[W1 W2], cheby1 retorna un filtro pasa banda de orden 2N con banda de paso W1< W <W2. [B,A]=cheby1(N, R, Wn, high ) diseña un filtro pasa altas. [B,A]=cheby1(N, R, Wn, stop ) diseña un filtro rechazo de banda si Wn=[W1 W2]. Cuando es usada con tres argumentos a la izquierda, como en [Z,P,K]=cheby1( ), los polos y ceros son retornados en vectores columna Z y P de longitud N, y la ganancia en el escalar K.

22 Efecto del Orden del Filtro Vamos a crear 3 filtros Chebyshev de diferentes ordenes con una frecuencia de corte de 5 rad/s. w=linspace(0, 10, 1024); %Creamos la frecuencia analoga base [b1 a1]=cheby1(3, 0.5, 5, 's'); [b3 a2]=cheby1(5, 0.5, 5, 's'); [b2 a3]=cheby1(10, 0.5, 5, 's'); %Obtenemos la respuesta en frecuencia analoga en "w" H1=freqs(b1, a1, w); H2=freqs(b2, a2, w); H3=freqs(b3, a3, w); %Normalizamos la magnitud para graficarlas en conjunto H1=abs(H1)/ max(abs(h1)); H2=abs(H2)/ max(abs(h2)); H3=abs(H3)/ max(abs(h3)); plot(w, abs(h1)); grid; hold on plot(w, abs(h2), 'r') plot(w, abs(h3), 'g') legend('n=3', 'N=5', 'N=10') title('espectro de Magnitud de los filtros Chebyshev'); xlabel('frecuencia Analoga Angular, \Omega (rad/s)')

23 En Matlab cheby1ord( ): Selecciona el orden del filtro Chebyshev tipo I cheby2ord( ): Selecciona el orden del filtro Chebyshev tipo II [N, Wn] = cheb1ord(wp, Ws, Rp, Rs) retorna el orden mas bajo N del filtro digital Chebyshev tipo I que no tiene una perdida mayor a Rp db en la banda de paso y tiene al menos Rs db de atenuación en la banda de rechazo. Wp y Ws son las frecuencias de corte en las bandas de paso y rechazo, normalizadas de 0 a 1 (donde 1 corresponde a p rad/muestra). Por ejemplo: Pasa Bajas: Wp=.1 Ws=.2 Pasa altas: Wp=.2, Ws=.1 (note la inver. de frec.) Pasa Banda: Wp=[.2.7], Ws=[.1.8] Rechazo de Banda: [.1.8], Ws=[.2.7] cheb1ord( ) También retorna Wn, la frecuencia natural Chebyshev para usarla con cheby1( ) para ejecutarla con las especificaciones requeridas. [N, Wn] = cheb1ord(wp, Ws, Rp, Rs, 's') realiza el calculo de un filtro análogo, en cuyo caso Wp y Ws estan en rad/seg. Si se diseña un filtro análogo, use bilineal( ) para convertir los coeficientes del filtro análogo a coeficientes del filtro digital.

24 Ejemplo wp=input(' Introduzca la frecuencia de paso digital: '); ws=input(' Introduzca la frecuencia de rechazo digital: '); rp=input(' Introduza el rizo en la banda de paso en db(<1): '); rs=input(' Introduzca el rizo en la banda de rechazo en db (>20) : '); %pre-distorcion, asumimos Ts=2) Wp=tan(wp/2); Ws=tan(ws/2); [N Wn]=cheb1ord(Wp, Ws, rp, rs, 's'); [b a]=cheby1(n, rp, Wn, 's'); [H w]=freqs(b, a); subplot(311); plot(w, abs(h));grid %Disenando esto completamente en el dominio digital title( Espectro de Magnitud del filtro Chebyshev'); xlabel( Frecuencia angular analoga, \Omega (rad/s)') [Nd, Wnd]=cheb1ord(wp/pi, ws/pi, rp, rs); %Frecuencia Normalizada [bd ad]=cheby1(nd, rp, Wnd); [HD WD]=freqz(bd,ad); subplot(312); plot(wd/pi, abs(hd));grid %Convirtiendo de Analogo a Digital xlabel('frecuencia, rad/\pi'); title( Filtro Digital Chebyshev H(\omega)') [bdd add]=bilinear(b, a, 0.5); %Tomamos Fs=0.5, % ya que Ts fue tomada como 2 [HDD WDD]=freqz(bdd,add); subplot(313); plot(wdd/pi, abs(hdd)); grid xlabel('frecuencia, rad/\pi'); title( Filtro Digital usando transformacion Bilinear H(\omega)')

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27 Diseñar un filtro pasa bajas de orden 6 tipo Chebyshev II con 40 db de atenuación en la banda de rechazo y una frecuencia de corte en 600 Hz y frecuencia de muestreo de 1 KHz. [b,a] = cheby2(6,40,0.6); freqz(b,a)

28 Diseñe un filtro Chebyshev rechazo de banda de 6 orden y tipo II con frecuencias de corte normalizadas en 0.2 y 0.6 y 50 db de atenuación en la banda de rechazo. [b,a] = cheby2(3,50,[ ],'stop'); freqz(b,a)

29 Comentarios sobre los filtros IIR Los filtros IIR son generalmente diseñados como filtros análogos, los cuales son entonces transformados a filtros digitales usando transformaciones bilineales. Con las herramientas de software para el diseño de filtros digitales, el diseño analógico ya no es una parte importante en el diseño digital, sin embargo es aun comúnmente usada. Los filtros IIR, con un conjunto de especificaciones dados, proporcionan un filtro de un orden menor comparado al filtro FIR, sin embargo, los detalles de estabilidad y fase lineal deben ser tomados en cuenta. La transformación bilineal toma en cuenta estos detalles.

30 Filtros Elípticos Proporciona una banda de transición mucho mas pronunciada, pero con el costo de mayores rizos en la banda de paso y de rechazo. Y tiene un funcionamiento no lineal en la banda de paso. Donde nuevamente controla la cantidad de rizo y U es la función N elíptica Jacobiana de orden N. Las funciones ellipord() y ellip() determinan los parámetros del filtro elíptico y el diseño del filtro elíptico respectivamente. La sintaxis y forma de usar son muy similares a los de Chebychev. [N, Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs, s ) [b,a]=ellip(n,rp,rs,wn, s )

31 Ejemplo Diseñe un filtro IIR pasa bajas con 7 coeficientes, rizo en la banda de paso de 1 db, atenuación en la banda de rechazo de 30 db y una frecuencia de corte de 1 KHz. %diseño de un filtro Eliptico [num,den]=ellip(7,1,30,2000*pi,'s'); w=0:200:12000*pi; h=freqs(num,den,w); gain=20*log10(abs(h)); subplot(2,1,1); plot(w/(2*pi),gain); grid; ylabel('ganancia en db'); w=0:200:2000*pi; h=freqs(num,den,w); gain=20*log10(abs(h)); subplot(2,1,2); plot(w/(2*pi),gain); grid; xlabel('frecuencia en Hz'); ylabel('ganancia en db');

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33 Filtro Bessel Este filtro es usado en las situaciones mas desesperadas: Ventaja: Tiene (casi) una fase lineal en la banda de paso, a pesar que no hay garantía que la linealidad no sea conservada cuando la transformación bilineal sea aplicada. Desventaja: Banda de transición demasiado amplia. En Matlab: [B,A]=bessel(N,Wn) diseña un filtro Bessel análogo pasa bajas de orden N y retorna los coeficientes del filtro en vectores A y B de longitud N+1. La frecuencia de corte Wn, debe ser mayor que 0.

34 Efectos de Cuantización Un filtro IIR originalmente estable con buena precisión en los coeficientes, puede llegar a ser inestable despues en su implementación debido a los errores de cuantización de sus coeficientes!!! 1 H z) = z z ( 1 Filtro IIR estable H Despues de la cuantización Filtro IIR inestable ( z) = z z

35 %Demostracion de los efectos de la cuantizacion % de los coeficientes del filtro L=100; %L es la longitud de la respuesta al impulso h[n] num=[1]; den=[ ]; den2=[ ] [h1 t]=impz(num,den,l); subplot(2,1,1); stem(h1); ylabel('amplitud'); xlabel('indice de tiempo n'); [h2 t]=impz(num,den2,l); subplot(2,1,2); stem(h2); ylabel('amplitud'); xlabel('indice de tiempo n');

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37 Tarea 1. Diseñe un filtro Butterworth pasa bajas usando la transformación bilineal que satisfagan las siguientes caracteristicas: a) 3.01dB en la frec. de corte en 0.5π, y 15dB en w=0.75π (considere Ts=1) (Se pide que encuentre solo Ha(s) y H(z) usando la transformación bilineal).

38 2.- Determine la función de transferencia y grafique la respuesta en ganancia de un filtro IIR de 5to orden eliptico con una frecuencia de corte en la banda de paso de wp=0.4, rizo en la banda de paso de 0.5 db y un rizo en la banda de atenuación de 40 db. Implemente su representación en un diagrama de polos y ceros de este filtro para verificar su estabilidad.

39 3.- Determine la función de transferencia y grafique la respuesta en ganancia para un filtro digital Butterworth pasa banda de 8vo orden con frecuencias de corte en la banda de paso en 0.4 y 0.7. Implemente su representación en un digrama de polos y ceros para garantizar su estabilidad

40 FIN