EL NUMERO DE ORO. Rectángulo áureo Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones.

Transcripción

1 EL NUMERO DE ORO Qué es? Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, (FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. está ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte. Algo de historia Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.c.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento. Su valor El valor numérico de es de 1, es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periódico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al igual que PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la mayoría de sus aplicaciones. Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor, etc. Ahora bien, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que guarden el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial entre =1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor. Rectángulo áureo Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vertices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo. 1

2 Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1 más la raíz de 5, por lo que la proporción entre los lados es 1 más la raíz de 5 todo ello dividido entre 2: Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos más adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...). La Estrella Pentagonal Según la tradición, la estrella pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenía cabida los números fraccionarios. La casualidad (o quizás no) hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro, el irracional como puedes ver en la figura, donde QN, NP y QP están en proporción áurea. La Sucesión de Fibonacci Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa ). Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1, ). FI en la Naturaleza Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura. La Espiral Logarítmica Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, 2

3 obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica. Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus. En el Hombre 3

4 Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo. En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número. Genealogía El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo. Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. Botánica La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89. 4

5 La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice. Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por F n el término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F 1 =1, F 2 =1, F 3 =2, F 4 =3, F 5 =5, F 6 =8, F 7 =13), en la mayoría de los casos la característica viene dada por una fracción del tipo F n /F n+2. Así, en el caso del sauce llorón sería F 4 /F 6. Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente. 5

6 FI en el Arte y las Construcciones El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso. Pirámide de Keops El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.c.. Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple. 6

7 El Partenón Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego. En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=. El Templo de Ceres El Templo de Ceres en Paestum (460 a.c.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico. 7

8 Tumba Rupestre de Mira La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo, en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo. Apolo de Belvedere 8

9 Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618. Leda Atómica El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. FI en nuestra vida diaria El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuanta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc. 9