E L N Ú M E R O D E O R O. Federico Riquelme Riquelme IES BADIA DEL BAVER (ALACANT)
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- María Jesús Ayala Cáceres
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1 E L N Ú M E R O D E O R O Federico Riquelme Riquelme IES BADIA DEL BAVER (ALACANT)
2 E L N Ú M E R O D E O R O Φ El hombre de Vitruvio El Pentagrama místico La Sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
3 EL HOMBRE DE VITRUBIO (LEONARDO DA VINCI) En el libro de Luca Pacioli La Divina Proporción editado en 1509 se propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Resulta que el cociente entre la altura o la envergadura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo al suelo o a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo Φ.
4 LA PROPORCIÓN ÁUREA Aunque los egipcios ya conocían esta proporción, aparece formulada por primera vez en los Elementos de Euclides (s. III a.c.), en la construcción División de un segmento en media y extrema razón. Se trata de dividir un segmento en dos partes a y b tal que la razón o proporción entre la mayor a y la menor b sea igual a la razón entre el total a+b y la mayor a La sección áurea fue empleada por filósofos, científicos y artistas que terminaron llamándola en el Renacimiento la Divina proporción.
5 CÁLCULO DE LA PROPORCIÓN ÁUREA AC BC BC = = Φ AB Tomamos BC = x AB =1, resolvemos la ecuación y nos saldrá para x el valor exacto de Φ Tomando AB = 1 y BC = x x + 1 x = x 1 2 x = x x x 1 = 0 x = 1 ± La solución positiva x = = 1' es el número de oro Φ
6 LA PROPORCIÓN ÁUREA EN LA PIRÁMIDE DE KEOPS Los egipcios ya conocían esta proporción y la emplearon en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.c.) La clave es el hecho de que el área del cuadrado formado sobre la altura coincide con el área de cualquier cara lateral (h 2 = a l / 2) Si tomamos Por Pitágoras l = 2 2 a 1, = h la 2 igualdad + ( l ) 2 2, h de a l = 2 donde 2 a se 2 convierte = a + 1 en a h 2 2 = a a 1 1 = = a 0 El número de oro aparece hasta tres veces en la pirámide de Keops: a l 2 = Φ A A total lateral = Φ A A lateral base = Φ
7 CONSTRUCCIÓN DE LA SECCIÓN ÁUREA Para hallar la Sección Áurea del segmento AB se levanta en un extremo (B) otro segmento que mida exactamente la mitad. A la hipotenusa se le resta el cateto menor (arco de la derecha) y la diferencia Aφ, que llevamos sobre el segmento AB con otro arco, es sección áurea de éste.
8 EL NÚMERO DE ORO EN EL HOMBRE DE VITRUBIO La distancia del ombligo al suelo (radio del círculo) es sección áurea de la altura del hombre (lado del cuadrado)
9 HERMES DE PRAXÍTELES Y EL NÚMERO
10 NÚMERO DE ORO EN LA ESCULTURA Venus de Milo Artemis (Diana cazadora ) Cariátides del pórtico del Erecteión
11 EL RECTÁNGULO DE ORO Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, deducimos (por teorema de Pitágoras) el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo y, por construcción, el lado mayor del rectángulo que vale 1+ 5 Por lo tanto la proporción entre los dos lados del rectángulo es exactamente el número áureo
12 EL NÚMERO DE ORO EN EL DNI
13 EL PARTENÓN ( a.c.)
14 RECREACIÓN DE LA PORTADA DEL PARTENÓN
15 EL NÚMERO DE ORO EN EL PARTENÓN En la figura se puede comprobar que AB / CD = Φ. Otros cocientes que también dan el número áureo son: CD / CA = CA / AD = Φ y DA / DE = DE / EA = Φ
16 RECTÁNGULOS ÁUREOS EN NOTRE DAME Múltiples rectángulos áureos de diversos tamaños
17 LA ANUNCIACIÓN, (LEONARDO DA VINCI) Cuadrado central y dos rectángulos de proporción aúrea en los extremos que nos sitúan al Arcángel Gabriel a la izquierda y a la Virgen María en la derecha
18 NACIMIENTO DE VENUS, 1484 (BOTICELLI)
19 NACIMIENTO DE VENUS (BOTICELLI)
20 ENTIERRO DEL CONDE DE ORGAZ, 1586 (EL GRECO) Las llamas de los cirios sobre el friso de rostros delimitan el rectángulo áureo grande. El manípulo que cuelga del brazo del sacerdote de la derecha y su mano marcan el segundo y el tercero.
21 REGLA DE LOS TERCIOS Y RECTÁNGULOS ÁUREOS En vertical los puntos B y C marcan la sección áurea del segmento AD en ambos sentidos. En horizontal los puntos H y L son las secciones áureas del segmento DO. Los rectángulos grandes verticales ADLI y EHOM son áureos, así como los horizontales ACÑM y BDON. Las intersecciones de ambos dan lugar a la cruz. También son áureos los cuatro verticales y cuatro horizontales intermedios, así como los cuatro pequeños que forman los brazos de la cruz griega.
22 MARTIRIO DE SAN FELIPE, 1639 (RIBERA)
23 PIET MONDRIAN ( )
24 AD PARNASSUM, 1932 (PAUL KLEE) El lienzo es un rectángulo doble áureo, la puerta define un rectángulo áureo adosado a la división áurea del lienzo
25 RECTÁNGULOS ÁUREOS Y ESPIRAL
26 CONCHA DEL NAUTILUS (ESPIRAL LOGARÍTMICA)
27 SEMITAZA GIGANTE VOLANTE, CON ANEXO INEXPLICABLE DE CINCO METROS DE LONGITUD (SALVADOR DALÍ)
28 PENTAGRAMA PITAGÓRICO
29 PENTAGRAMA PITAGÓRICO Los pitagóricos utilizaban como símbolo de identificación la estrella pentagonal o pentagrama místico, dotado de bellísimas propiedades geométricas y numéricas como la unicursalidad y las proporciones áureas) Todos los segmentos que aparecen en la estrella pentagonal corresponden a uno de esos cuatro tamaños. Dos cocientes cualesquiera entre ellos tienen relación con el número de oro Φ. (1/Φ 3, 1/Φ 2, 1/Φ, 1, Φ, Φ 2, Φ 3 )
30 PENTAGRAMA PITAGÓRICO Los tres tamaños de triángulos isósceles que aparecen sombreados son semejantes porque sus ángulos coinciden: 36º, 72º y 72º Llamando 1 a la base y x al lado del triángulo azul, la base y el lado del triángulo gris son respectivamente x y x+1 Aplicando la semejanza de los triángulos gris y azul, obtenemos: x + 1 x = x 1 2 x = x x x 1 = 0, cuya solución x = = 1' es Φ
31 CASTEL DEL MONTE (BARI)
32 CASTEL DEL MONTE (BARI) Obra de Federico II. edificio construido entre Refleja la obsesión por el número ocho: planta octogonal, posee un patio octogonal, y ocho torres octogonales saliendo de cada vértice. En la portada, se evidencia otra clara referencia geométrica
33 SAGRADA FAMILIA, 1508 (MIGUEL ANGEL)
34 SAGRADA FAMILIA (MIGUEL ANGEL) Cuando el pentágono ABYXZ se inscribe dentro de un círculo, las diagonales forman una estrella pentagonal inscrita. Las proporciones derivadas de ello son todas de sección áurea: AX AG = AG GX = GX GH = Φ
35 LEDA ATÓMICA (SALVADOR DALÍ, 1949) Representación de la de la figura mitológica de Leda, mortal seducida por Zeus disfrazado de cisne. Fruto de esta relación fue el huevo de donde salieron los gemelos Cástor y Pólux (inmortalizados en la constelación de Géminis).
36 LEDA ATÓMICA (SALVADOR DALÍ, 1949) En el boceto superpuesto realizado en 1947 se advierte la precisión del diseño geométrico basado en el pentagrama místico pitagórico
37 EL SACRAMENTO DE LA ÚLTIMA CENA (SALVADOR DALÍ, 1955)
38 NÚMERO DE ORO EN EL DODECAEDRO En el Dodecaedro, la arista es sección áurea de la diagonal de cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan la altura total en proporción áurea en ambos sentidos. Desde arriba, los radios de la circunferencias que pasan por los vértices de la base y por los vértices intermedios, están en razón áurea.
39 SUCESIÓN DE FIBONACCI Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos precedentes: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa )
40 LIBER ABACI: UN PROBLEMA DE CONEJOS Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."
41 SUCESIÓN DE FIBONACCI: PROPIEDADES a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 a 19 a Cada término, a partir del tercero, se obtiene si sumamos los dos precedentes (a n + a n+1 = a n+2 ): 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, La suma desde a 1 hasta a n es igual a a n+2 1: = 7 = 8-1, = 54 = 55-1 Si tomamos tres términos seguidos cualesquiera, el producto de los extremos es igual al cuadrado del central más 1 o menos 1 (a n x a n+2 = a n+12 ±1): 3x8 = 24 = 5 2-1, 5x13 = 65 = , 8x21 = 168 =
42 SUCESIÓN DE FIBONACCI Y EL NÚMERO DE ORO a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 a 19 a a 2 a1 a 3 a2 a 4 a3 a 5 a4 a 6 a5 a 7 a6 a 8 a7 a 9 a8 a 10 a9 a 11 a10 a 12 a11 a 13 a12 a 14 a13 a 15 a Los cocientes (razones) entre dos términos consecutivos de la sucesión, se aproximan más y más al número áureo (1' )
43 SUCESIÓN DE FIBONACCI ESPIRAL DE DURERO Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.
44 SUCESIÓN DE FIBONACCI Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión también aparece en la distribución de las ramas y hojas de las plantas (filotaxis), en la formación de la concha de algunos moluscos... Siempre que en la Naturaleza nos encontremos con un fenómeno que comparta una rotación y una dilatación o contracción, aparecerá una espiral de Fibonacci
45 FIBONACCI EN LA NATURALEZA En borrascas y tornados Y en muchas de las Galaxias Las galaxias son concentraciones de estrellas unidas por fuerzas gravitatorias que las obligan a girar sobre su centro, pero como la velocidad es mayor en el centro que en los bordes se producen las magníficas espirales
46 ESPIRALES DE FIBONACCI 5 espirales en sentido horario (dextrógiras)
47 SUCESIÓN DE FIBONACCI 5 espirales levógiras (amarillas) y 8 espirales dextrógiras (rojas)
48 SUCESIÓN DE FIBONACCI Ocho espirales dextrógiras y trece espirales levógiras
49 SUCESIÓN DE FIBONACCI 13 espirales dextrógiras y 21 espirales levógiras
50 SUCESIÓN DE FIBONACCI En este girasol se pueden contar 21 espirales en un sentido y 34 en el otro
51 SUCESIÓN DE FIBONACCI Echinacea purpurea, con 34 espirales levógiras y 55 dextrógiras
52 FLORES DE FIBONACCI Cala, lirio de agua (Zantedeschia aethiopica) Espina de Cristo (Euphorbia splendens). Trillium blanco (Trillium grandiflorum) Adelfa (Nerium oleander).
53 FLORES DE FIBONACCI Sanguinaria (Sanguinaria canadensis) Rudbeckia ojo negro (Rudbeckia hirta) Margarita del shasta Margaritas de campo
54 A LA DIVINA PROPORCIÓN A TI, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro. Rafael Alberti (1946)
LA DIVINA PROPORCIÓN
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