UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA INGENIERIA MECÁNICA-ELECTROMECÁNICA

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1 UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA INGENIERIA MECÁNICA-ELECTROMECÁNICA 1

2 AGRADECIMIENTO Quiero primero agradecer a Dios por haberme dado la vida, y que siempre va guiándome iluminando mi camino en la vida. A mi carrera de Ingeniería Mecánica Electromecánica por darme la oportunidad de coadyuvar a la formación de profesionales del mañana. A mi padre, ya que gracias a su constante motivación lleve siempre el compromiso de entrar en la ciencia. 2

3 CONTENIDO CAPITULO 1 CONCEPTOS, DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS Introducción Terminología Termodinámica Sistema Sistemas Termodinámicos en Ingeniería Sistema simple de producción de vapor Sistema de cogeneración con turbina de gas Sistema de calentamiento solar Sistema mecánico de refrigeración Sistema de bomba de calor Sistema aerogenerador eléctrico Sistema de desalinización por osmosis inversa Propiedad Propiedades de un sistema Densidad, densidad relativa y peso específico Temperatura Presión Variación de la presión atmosférica con la altura Estado Proceso Ciclo Equilibrio Termodinámico Ecuación de estado Problemas. 9 CAPITULO 2 PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA Sustancia pura Estados de la materia Superficie p,v,t Diagrama Presión temperatura Diagrama presión volumen específico Titulo (Calidad) Talas de propiedades de sustancias puras Programa EES Problemas

4 CAPITULO 3 RELACIONES DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR Introducción Naturaleza de la energía Medición de la energía Energía mecánica Energía cinética Energía potencial gravitatoria Energía interna Trabajo Trabajo en las máquinas Trabajo de expansión y compresión Otras formas de trabajo Potencia Calor Transferencia de calor por conducción Calor generado por la combustión Combustible Aire de combustión Eficiencia Problemas.33 CAPITULO 4 PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA Introducción Primer principio de la termodinámica Ecuación de energía de sistemas cerrados Propiedades de la energía interna Ecuación de energía de un sistema con flujo estacionario Primera ley aplicada a un proceso Entalpia Energía de flujo o corriente Reversibilidad Irreversibilidad Irreversibilidad interna Irreversibilidad externa Calor específico Calor específico a volumen constante Calor específico a presión constante Relación de calores específicos de gases ideales Calor específico molar Calor específico variable. 46 4

5 4.11 Principio de conservación de la masa Problemas.. 47 CAPITULO 5 GASES IDEALES Y REALES Gases perfectos o ideales Ley de Boye y Maiotte Ley de Charles y Gay Lussac Ley de Avogadro Ecuación de estado de los gases ideales Constante universal de los gases Ru Constante del gas Análisis de la composición de las mezclas de gases ideales Ley de Dalton Ley de Amagat Masa molecular de la mezcla Energía interna, entalpía y entropía de mezcla de gases ideales Gases Reales Ecuación de estado de VAN DER WAALS Ecuación de estado de Redlich Kwong Factor de compresibilidad Problemas 58 CAPITULO 6 PROCESOS EN GASES IDEALES Introducción Proceso a volumen constante Proceso a presión constante Proceso isotérmico Proceso isentrópico Proceso isoentálpico Experimento de Joule Thomson Proceso politrópico Problemas.. 67 CAPITULO 7 LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA Introducción Enunciados de la segunda ley de la termodinámica Enunciado de Carnot. 75 5

6 7.2.2 Según Kelvin Planck Según Clausius Según Hatsopoulos Keenan Equivalencia de los enunciados Procesos irreversibles Desigualdad de Clausius La entropía base de la segunda ley de la termodinámica Eficiencia o rendimiento de una máquina térmica El ciclo de Carnot Presión media del ciclo Ciclo de refrigeración y bomba de calor Ciclo inverso de Carnot Problemas CAPITULO 8 LA ENTROPIAY SU UTILIZACIÓN Introducción Definición de variación de entropía Obtención de valores de entropía Variación de entropía de un gas ideal Balance de entropía Rendimientos adiabáticos de dispositivos en régimen estacionario Problemas.. 90 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 6

7 PREFACIO A sugerencia de mis amigos decidí escribir un texto guía de la materia, para hacer una contribución a la biblioteca de la Carrera de Ingeniería Mecánica y que esta se utilice como material de apoyo a los estudiantes que llevan el curso de Termodinámica. Se ilustran los problemas termodinámicos con situaciones reales, de tal manera que las condiciones en que nos encontramos son diferentes a la del nivel del mar. Es importante que los estudiantes entiendan los fenómenos estudiados desde el punto de vista de la experiencia, así serán capaces de aplicar las leyes básicas de la Termodinámica para resolver los problemas que involucran proyectos de ingeniería. Este texto incluye problemas que se puede ver en el curso de un semestre, tiene material selecto que puede ser útil en aplicaciones prácticas sobre temas de vapor y gas, combustión y ciclos de refrigeración. Todos los problemas se realizan en el sistema Internacional de Unidades, de manera que el estudiante esté familiarizado para los repasos o exámenes de Termodinámica. La Termodinámica Técnica desempeña un papel vital en el diseño de múltiples procesos, dispositivos y sistemas, para su uso tanto en el hogar como en la Industria, no está demás decir que la Termodinámica constituye parte de nuestra vida diaria. En ingeniería la Termodinámica Técnica resulta ser, además muy importante en la continua búsqueda de soluciones a los problemas relacionados con la crisis energética, la escasez de agua potable, la contaminación atmosférica, la eliminación de la basura y por naturaleza la protección del ecosistema que es vital para la supervivencia del ser humano. Por eso estudiamos con la mayor importancia en nuestra búsqueda de una mejor forma de vivir. 7

8 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS, DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BÁSICOS OBJETIVOS Introducir conceptos fundamentales y definiciones usadas en el estudio de la Termodinámica. Revisar los sistemas de unidades que se utilizarán en el curso. Explicar los conceptos básicos de la termodinámica, como sistema, estado, equilibrio, proceso y ciclo. 1.1 INTRODUCCIÓN La Termodinámica Técnica es una ciencia que estudia macroscópicamente las relaciones de transformación y transferencia de energía ocasionados por los cambios físicos de la naturaleza. Para el ingeniero el estudiar Termodinámica Técnica es conocer una herramienta analítica, teórica y práctica que le ayuda a interpretar fenómenos naturales desde el punto de vista de las relaciones de materia y energía. 1.2 TERMINOLOGÍA TERMODINÁMICA Los enunciados de las Leyes de La Termodinámica se expresan con términos referidos al tema como ser: sistema, propiedad, transformación, ciclo, etc. Muchas de las explicaciones se manejan estos términos por lo que es necesario conocer para el avance del curso. 1.3 SISTEMA En Termodinámica un sistema se define como cualquier conjunto de materia o cualquier región en el espacio delimitado por una superficie o pared llamada frontera del sistema. La pared puede ser real, ejemplo un tanque que contiene un determinado fluido, puede ser imaginaria, como la frontera de determinada cantidad de fluido que circula a lo largo de un tubo. Toda materia que se encuentra fuera de la pared y que interactúan 8 con el sistema en cuestión se conoce como entorno o medio ambiente. A lo largo de la materia se distinguirán tres tipos básicos de sistemas. Un sistema cerrado se define como una cantidad determinada de materia. Dado que un sistema cerrado contiene siempre la misma materia, esto implica que no hay transferencia de masa a través de su frontera. Un sistema se denomina abierto si durante el fenómeno en estudio entra y sale masa del mismo. Los sistemas abiertos pueden subdividirse en: Sistemas circulantes cuando la cantidad de masa que penetra al sistema es igual a la que sale del mismo durante el fenómeno en estudio. Un sistema abierto está en régimen no permanente cuando solo entra masa a él y no sale, o solo sale y no entra o la cantidad que sale no es igual a la que entra o viceversa. Sistema aislado, que es aquel que no intercambia ni materia ni energía con su entorno. Un ejemplo de este clase podría ser un gas encerrado en un recipiente de paredes rígidas lo suficientemente gruesas (paredes adiabáticas) como para considerar que los intercambios de energía calorífica sean despreciables, ya que por hipótesis no puede intercambiar energía en forma de trabajo.

9 1.4 SISTEMAS TERMODINÁMICOS EN INGENIERÍA Los sistemas termodinámicos de ingeniería están formados por un conjunto de equipos o elementos que realizan la transformación de la energía, a continuación indicamos los que estudiaremos en el curso Sistema simple de producción de vapor El objetivo de este sistema es convertir la energía térmica (calor) en energía mecánica, o eléctrica, cuyo uso es mucho más conveniente. En la figura 1.1, el agua entra a la caldera como líquido a alta presión y temperaturas altas después de haber recibido energía térmica de la fuente de calor, el vapor entonces se expande en la turbina (dispositivo de producción de trabajo) a un estado de presión y de temperatura bajas, produciendo durante el proceso trabajo útil. A continuación el vapor que abandona la turbina a presión y temperatura bajas se condensa en el condensador entregando la energía térmica al sumidero de calor. La presión del líquido condensado se eleva con una bomba (dispositivo de absorción de trabajo) a la presión de entrada de la caldera para que el proceso completo se inicie de nuevo. Figura 1.1 Sistema de producción de vapor Sistema de cogeneración con turbina de gas La cogeneración es un viejo concepto de ingeniería que implica la producción simultánea de energía eléctrica y energía térmica en una sola operación, usando así el combustible de una manera más eficiente que si los productos deseados tuvieran que obtenerse por separado. El corazón de un sistema de cogeneración es un motor primario con calor de desecho a temperatura todavía utilizable, no es sorprendente que las condiciones requeridas por la cogeneración se hayan satisfecho de muchas maneras. Un sistema de cogeneración que utiliza una planta de energía con turbina de gas como 9

10 motor primario se muestra en la figura siguiente Sistema de calentamiento solar Un sistema de calentamiento solar se muestra en la figura 1.3, tiene gran importancia porque se aprovecha la energía solar para calentar agua en paneles solares. El agua caliente se usa para las duchas, saunas, piscinas, cocina para lavado de vajillas y llevar por tubos para la calefacción radiante, que ayuda a la climatización de una vivienda. evaporado que viene del evaporador (cámara fría) de modo que el calor que tomó el fluido refrigerante en el evaporador pueda ser disipado a un nivel térmico superior en el condensador. Luego de ello el fluido pasa a un expansor que es una simple válvula o restricción (orificio capilar) de modo que el fluido condensado (líquido) a alta presión que sale relativamente frío del condensador al expandirse se vaporiza, con lo que se enfría considerablemente ya que para ello requiere una gran cantidad de calor, dada por su calor latente de vaporización, que toma precisamente del recinto refrigerado. Figura 1.3 Esquema de un sistema de calentamiento solar Sistema mecánico de Refrigeración Un sistema mecánico de refrigeración se emplea para extraer calor de un recinto, disipándolo en el medio ambiente. Es de gran importancia en la industria alimentaria, para la licuación de gases y para la conservación de vapores. En la refrigeración por compresión de vapor se consume energía mecánica en un compresor que comprime el fluido de trabajo Figura 1.4 Sistema mecánico de compresión de vapor Sistema de Bomba de calor Si se pretende suministrar calor a una región de alta temperatura, el sistema se llama bomba de calor. En consecuencia, el mismo principio rige el diseño y la operación de los refrigeradores y las bombas de calor. Un sistema de bomba de calor constituido con componentes mecánicos se muestra en la figura

11 Se conoce como bomba de calor aire-aire debido a que se usa el aire exterior para proporcionar el ingreso de calor en el evaporador y se emplea el aire interior como conductor del calor al espacio que debe calentarse. Figura 1.5 Esquema de un sistema de Bomba de calor Sistema aerogenerador eléctrico Un sistema de aerogenerador incorpora una hélice montada en una torre que tiene su generador acoplado al eje de la hélice, aprovechando la fuerza del viento que actúa de forma constante sobre las aspas se genera electricidad de forma que se almacena en un sistema se baterías Sistema de desalinización por osmosis inversa Se necesita gran cantidad de agua dulce para beber, para la irrigación y otros fines industriales. En muchas partes del mundo, esta necesidad la satisface la naturaleza con la lluvia. Pero existe escasez de agua en algunas partes del mundo, lo que provoca grandes sufrimientos humanos. Afortunadamente se han desarrollado diferentes métodos para producir agua dulce. Un esquema prometedor de desalinización que aplica el principio de osmosis inversa (también conocido como 11 Figura 1.6 Sistema aerogenerador eléctrico. hiperfiltración) se muestra en la figura siguiente. Figura 1.7 Esquema de un sistema de desalinización de agua.

12 1.5 PROPIEDAD Una propiedad es cualquier parámetro o cantidad que sirve para describir a un sistema. Las propiedades comunes son presión, temperatura, volumen, velocidad y posición; el color es importante cuando se investigan la transferencia de calor por radiación. Las propiedades termodinámicas se dividen en dos tipos generales, extensivas e intensivas. Una propiedad extensiva es aquella que depende de la masa del sistema, ejemplos; masa, volumen, cantidad de movimiento y energía cinética. Una propiedad intensiva es la que no depende de la masa del sistema, ejemplos; temperatura, presión, densidad y velocidad. Si dividimos una propiedad extensiva entre la masa, resulta una propiedad específica. El volumen específico se define como el cociente del volumen sobre su masa. 1.6 PROPIEDADES DE UN SISTEMA Densidad y densidad relativa La densidad se define como la masa por unidad de volumen. (1.1) Para un elemento de volumen diferencial de masa y volumen, la densidad se puede expresar como. (1.2) La densidad de una sustancia depende de la temperatura y la presión. Para los líquidos y sólidos son en esencia sustancias no compresibles y la variación de su densidad con la presión es por lo general insignificante, pero depende más que de la temperatura. En muchos análisis de ingeniería la densidad de una sustancia se da con el nombre de gravedad específica o densidad relativa, y se define como el cociente de la densidad de una sustancia entre la densidad de alguna sustancia estándar a una temperatura específica, (por ejemplo, para el agua a 4 ºC su densidad es 1000 kg/m 3 ). (1.3) El análisis de unidades para la densidad relativa de una sustancia es una cantidad adimensional, sin embargo los textos de Termodinámica dan densidades relativas de algunas sustancias a 0 ºC. El peso de un volumen unitario de una sustancia se llama peso específico y se expresa como. (1.4) Donde; ρ; es la densidad de la sustancia, en kg/m 3 g; es la aceleración gravitacional, en m/s 2. 12

13 1.6.2 Temperatura No hay una definición exacta sobre la temperatura, las personas están familiarizadas con una medida de sensación fisiológica expresada como calor o frío. Gracias a las propiedades de los materiales que cambian con la temperatura se puede establecer una referencia para la medición de la temperatura. A través de la historia se han introducido varias escalas de temperatura que se basan en ciertos cambios de estado como el de congelamiento y ebullición del agua. La temperatura usada actualmente en el sistema internacional es la escala Celsius, y en el sistema Ingles la escala Fahrenheit. La escala de temperatura termodinámica en el sistema internacional es la escala Kelvin desarrollada posteriormente. Entonces las relaciones matemáticas para su conversión corresponden a lo que sigue. La escala Kelvin se relaciona con la escala Celsius mediante. La escala Fahrenheit se relaciona con la Celsius. La escala Rankine se relaciona con la Fahrenheit. La escala Rankine se relaciona con la Kelvin Presión º (1.5) (1.6) (1.7) 1.8 (1.8) La presión se define como la fuerza normal que ejerce un fluido por unidad de área, tiene como unidad el Newton por metro cuadrado (N/m 2 ), también conocida como pascal (Pa). En países de Europa las unidades de presión son el bar, atmósfera estándar y kilogramo fuerza por metro cuadrado y la libra fuerza por pulgada cuadrada. La presión solo se analiza cuando se trata de gas o líquido, mientras que la presión en los sólidos es la fuerza normal. La presión real de una determinada posición se llama presión absoluta, y que para las mediciones se relaciona mediante la siguiente relación. é (1.9) Variación de la presión atmosférica con la altura El aire que respiramos es un gran océano de gas que rodea la Tierra, y que se estima tiene una profundidad entre 50 y algunos centenares de kilómetros. Fuera de esta capa atmosférica se halla el espacio exterior, llamado éter, donde existe prácticamente un vacío perfecto. La presión va aumentando a medida que nos dirigimos hacia el centro de la Tierra debido al peso de la capa de aire soportada desde arriba. Y conforme baya subiendo en altura la presión atmosférica disminuye. 13

14 Figura 1.8 Alturas de las capas de tropósfera, estratósfera, mesósfera y la ionósfera con respecto a la superficie terrestre. Para fines prácticos se considera al aire como una mezcla compuesta de sólo dos gases, el vapor de agua y el aire seco que comprende el conjunto de todos los demás gases. La presión atmosférica en función de la altura es: Donde: (1.10) P(z); es la presión atmosférica local, en kpa. P 0 = [kpa] T 0 = 293 ºK temperatura normal a nivel del mar. β; es el coeficiente local de variación de la temperatura. R = 287 [J/kg ºK] constante del gas de aire seco. z; altura sobre el nivel del mar, en [m] (1.11) Siendo, T la temperatura promedio local, en ºK. Ya afectando el factor de altura empírico establecido por la Comisión Internacional de Navegación Aérea, 1 la presión atmosférica en función de la altura es: (1.12) 1 Kohlrausch, F.; Praktische Physik, Stuttgart, Alemania, 1962, Tomo I, pág

15 1.7 ESTADO En termodinámica se denomina estado a una situación particular de un sistema y está descrita por el valor de sus propiedades. El estado de un sistema es su condición cuando se describe dando valores a sus propiedades en un instante particular. El estado del sistema se representa por un punto en un diagrama p -V. Podemos llevar al sistema desde un estado inicial a otro final a través de una sucesión de estados de equilibrio. El proceso cuasiestático o de cuasiequilibrio, es un proceso ideal, suficientemente lento, en el cual las desviaciones a partir del equilibrio son infinitesimales. La mayoría de los procesos reales son fuera del equilibrio, puesto que el sistema se desvía por más de una cantidad infinitesimal. 1.9 CICLO Cuando un sistema en un estado inicial determinado experimenta una serie de procesos y regresa al estado inicial del que partió, se dice que el sistema a experimentado un ciclo. El estado final del ciclo tiene propiedades iguales a los valores que tenía al principio. Figura 1.9 Representación de un punto de estado en un diagrama presión volumen. 1.8 PROCESO Cuando un sistema cambia de un estado a otro, la evolución de estados sucesivos por los que pasa el sistema se denomina proceso. Figura 1.10 Esquema de un proceso Ciclo Figura 1.11 Gráfica de ciclos (a) Ciclo de dos procesos b) Ciclo de cuatro procesos. 15

16 1.10 EQUILIBRIO TERMODINÁMICO Se puede decir que un sistema está en equilibrio cuando las propiedades no se modifican de punto a punto, y cuando no existe posibilidad de cambio con el tiempo. Este concepto general de equilibrio termodinámico implica la coexistencia de tres equilibrios particulares que son: equilibrio mecánico, equilibrio térmico, y equilibrio químico. Está en equilibrio mecánico, cuando la presión tiene el mismo valor en todas partes del sistema o, el valor de la presión en el sistema coincide con la presión que el medio ejerce contra el propio sistema. Está en equilibrio térmico, cuando no hay intercambio de calor con el medio externo. El sistema estará en equilibrio químico, cuando su composición química no se modifica ECUACIÓN DE ESTADO Se denomina ecuación de estado a la relación que existe entre las propiedades p, V, T. Es decir que conocido un par de las tres propiedades, presión, volumen y temperatura el estado está definido y por lo tanto la tercera propiedad queda determinada. Por lo tanto existirá una función que vincula.,, 0 (1.13) Esta función es lo que se denomina ecuación de estado. La ecuación de estado de un gas ideal es el más conocido es: (1.14) Donde n representa el número de moles, y R la constante universal de los gases que tiene valores R= atm L/(K mol) = J/(K mol) 1.12 PROBLEMAS Los problemas que en Termodinámica se estudian, trata sobre la energía por lo que tiene amplia aplicación desde lo microscópico y equipos domésticos hasta los sistemas de generación de potencia. 16

17 PROBLEMA 1.1 Determine la diferencia de presión entre el tubo de agua y el tubo de aceite (figura 1). La parte superior de la columna de mercurio está a la misma elevación que la media del tubo de aceite. DATOS: 1000 g= 9.81 [m/s 2 ] x 1 = 4 [m] x 2 = 2 [m] SOLUCIÓN: Figura 1. - La variación de presión es debido a la columna de mercurio....(1) Siendo:...(2) - La densidad del mercurio se calcula por (3) Sustituyendo en (2) se obtiene. - Convirtiendo a bar. = [Pa] = 5,14044 [bar] 17

18 PROBLEMA 1.2 Se conecta un medidor y un manómetro aun recipiente de gas para medir su presión. Si la lectura en el medidor es 80 kpa. Determine la distancia entre los dos niveles de fluido del manómetro si este es a) un líquido mercurio ( =13600 kg/m 3 ) o b) agua (ρ=1000 kg/m 3 ) DATOS: g= 9.81 [m/s 2 ] SOLUCIÓN: Figura La variación de presión es debido a la columna de mercurio. (1) - a) Si el líquido es mercurio se tiene: - b) Si el líquido es agua. h= [m] h= [m] 18

19 PROBLEMA 1.3 En la figura se muestra un depósito dentro de otro depósito, conteniendo aire ambos. El manómetro A está en el interior del depósito B y su lectura es 1,4 bar. El manómetro de tubo en U conectado al depósito B contiene mercurio. Con los datos del diagrama, determine la presión absoluta en el depósito A y en el depósito B, ambas en bar. La presión atmosférica en el exterior del depósito B es 101 kpa, la aceleración de la gravedad es 9,81 m/s 2. D A T O S P man A = 1.4 [bar ] P atm =101 kpa g = 9.81 m/s 2 S O L U C I O N Por definición la presión absoluta es. (1) La lectura del manómetro indica una presión y se calcula por: 9.81 (2) Sustituyendo en (1) ,276 Como el depósito A está dentro del depósito B, la presión de este se convierte en Patm, para el depósito A (P abs ) A =2.676 [bar] 19

20 PROBLEMA 1.4 El aire atmosférico en la ciudad de Oruro, a 3706 metros sobre el nivel del mar, esta compuesto por aire seco y vapor de agua, calcular la presión atmosférica para la temperatura promedio local 15 ºC. S O L U C I O N La presión atmosférica en función de la altura esta dado por:.(1) Siendo: P 0 = [kpa] T 0 = ºK temperatura normal a nivel del mar. R = 287 [J/kg ºK] constante del gas de aire seco. z=3706 [m] altura sobre el nivel del mar. El coeficiente local de variación de la temperatura esta dado por: (2) El exponente es adimensional Ahora aplicando la ecuación (1) se tiene

21 CAPÍTULO 2 PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA OBJETIVOS Presentar la superficie tridimensional para una sustancia pura, con los diagramas proyectados. Introducir las tablas necesarias para obtener propiedades de sustancias que cambian de fase. Presentar problemas de práctica que ilustran los conceptos estudiados. 2.1 SUSTANCIA PURA Una sustancia pura tiene su composición química fija definida en cualquier parte e igualmente unas propiedades físicas definidas. Una mezcla de varios elementos también califica como una sustancia pura siempre y cuando la mezcla sea homogénea. El aire por ejemplo, es una mezcla de varios gases, pero con frecuencia se considera como una sustancia pura, porque tiene una composición química uniforme. 2.2 ESTADOS DE LA MATERIA La materia está constituida por átomos que están igualmente espaciados de manera continua en la fase de gas. Esta idealización permite tratar a las propiedades como funciones puntuales y suponer que los estados son casi estáticos. La materia está en uno de los tres estados: sólido, líquido o gas: En los sólidos, las posiciones relativas (distancia y orientación) de los átomos o moléculas son fijas. En los líquidos, las distancias entre las moléculas son fijas, pero su orientación relativa cambia continuamente. En los gases, las distancias entre moléculas, son en general, mucho más grandes que las dimensiones de las mismas. Las fuerzas entre las moléculas son muy débiles y se manifiestan principalmente en el momento en el que chocan. Por esta razón, 21 los gases son más fáciles de describir que los sólidos y que los líquidos. El gas contenido en un recipiente, está formado por un número muy grande de moléculas, moléculas en un mol de sustancia. Cuando se intenta describir un sistema con un número tan grande de partículas resulta inútil (e imposible) describir el movimiento individual de cada componente. Por lo que mediremos magnitudes que se refieren al conjunto: volumen ocupado por una masa de gas, presión que ejerce el gas sobre las paredes del recipiente y su temperatura. Estas cantidades físicas se denominan macroscópicas, en el sentido de que no se refieren al movimiento individual de cada partícula, sino del sistema en su conjunto. El estado en que se encuentra una sustancia va a variar en función de la presión y temperatura a que están sometidas. Así por ejemplo, el anhídrido carbónico es normalmente un gas pero se licua a -60 ºC y se solidifica a -80 ºC, a presión atmosférica normal. El plomo por ejemplo normalmente es sólido, pero se licua a 328 ºC y se vaporiza a 1620 ºC. El agua que es un elemento que se utiliza en muchas aplicaciones de ingeniería, se encuentra en estado líquido a la temperatura ambiente y la presión atmosférica normal. Si

22 la temperatura aumenta a 100 ºC a la presión atmosférica normal a nivel del mar, el agua hierve es decir pasa del estado líquido al estado de vapor o gaseoso. El vapor en el estado gaseoso está constituido por moléculas suficientemente más separadas, y con velocidades moleculares mucho mayores. Si por el contrario se enfría el agua hasta 0ºC a presión atmosférica normal a nivel del mar, el agua se solidifica, formándose hielo. Este hielo está constituido por moléculas muy juntas unas con respecto de otras, quedando inmovilizando su movimiento a vibraciones. Pero los estados de la materia no solo dependen de la temperatura, sino también de la presión a que están sometidos. Así por ejemplo, si para el agua se aumenta su presión, el punto de vaporización es mayor a 100 ºC y al contrario, si la presión a que está sometida disminuye, puede hervir o cambiar de estado a temperaturas menores a 100 ºC. Para su estudio se construyen líneas que representan su cambio de estado, para el agua en particular se establecen en la figura 2.1. Se observa en la figura 2.1, que a medida que se eleva de temperatura existe un adicionado de calor, a este calor se lo denomina calor sensible y si el calor suministrado es a temperatura constante se denomina calor latente. Calor sensible, es el calor que suministrado a una sustancia o extraído de ella, produce un efecto sensible en la misma, como ser una variación de temperatura. Figura 2.1 Gráfica del comportamiento del agua. 22 Calor latente, es el calor que suministrado o sustraído de una sustancia produce un cambio de estado, sin variar la temperatura. En el caso del cambio de estado de sólido a líquido, se denomina calor latente de fusión y se necesitan 80 kcal por cada kg de hielo (sólido) a 0 ºC que pase a 1 kg de agua (líquido) a la misma temperatura. Tan pronto como se haya fundido la última porción de hielo si se sigue agregando calor, la temperatura

23 del agua comienza a aumentar en la relación de 1 ºC por cada Kcal de calor entregada, este calor es sensible, con un calor específico igual a 1. Cuando se ha alcanzado la temperatura de 100 ºC comienza el proceso de ebullición, si se sigue agregando calor se observará que 2.3 SUPERFICIE P,V,T Los estados de equilibrio de una sustancia simple compresible pueden representarse como superficie en un espacio la temperatura deja de aumentar, comenzando la transformación del agua en vapor, el calor agregado es el calor latente de vaporización. Se necesitan 539 kcal para vaporizar completamente 1 kg de agua a 100 ºC. tridimensional. La figura 2.2 muestra un diagrama cualitativo de una sustancia que se contrae al congelarse. Figura 2.2 Diagrama p, v T para una sustancia que se contrae al solidificar. Un punto de estado representado en la figura 2.2 sobre la línea de separación de una región monofásica 2 a otra bifásica se conoce como estado de saturación. La línea curva que separa de la región líquido vapor, línea a-m-c, se conoce como línea de líquido saturado y cualquier estado representado por un punto sobre esta línea se conoce como un estado de líquido saturado. De igual manera, los estados representados sobre la curva c-nb, son estados de vapor saturado. El punto de estado donde la línea de líquido saturado y vapor saturado se llama punto crítico. La existencia del punto crítico demuestra que la distinción entre la fase 2 Sustancia que se encuentra en una sola fase. 23 líquida y la gaseosa, para la sustancia agua en particular las propiedades del punto crítico son T c = 373,95 ºC, P c =22,06 MPa, V c =0, m3/kg. 2.4 DIAGRAMA PRESIÓN - TEMPERATURA La superficie p-v-t puede proyectarse sobre el plano p-v y el plano T-v, y el p-t. En la figura 2.3 (c) un punto de estado a lo largo de la curva de vaporización la presión y la temperatura en este estado se conoce como la presión de saturación y temperatura de saturación, la presión de saturación se conoce también como presión de vapor. Otro estado único de la materia está

24 representado por el punto triple y señalado como estado triple, implica que en este estado triple coexisten los tres fases. El punto triple del agua se le asigna T= 0,01ºC y p = 0,6117 KPa. Figura 2.3 Diagramas p v; T v; p T para una sustancia. 2.5 DIAGRAMA PRESIÓN - VOLUMEN ESPECÍFICO En la figura 2.4 se muestra la proyección de la superficie P,v.T sobre el plano P-v. Donde se puede representar un punto en la región bifásica indicando que es una mezcla líquido y vapor saturados. Figura 2.4 Diagrama P v de una sustancia que se contrae al solidificarse. En el diagrama presión volumen se observa las regiones de líquido comprimido, zona de líquido-vapor y la región de vapor sobrecalentado. Se denomina líquido comprimido o líquido subenfriado, a un líquido que está sometido a una presión mayor de equilibrio liquidovapor correspondiente a la temperatura que 24 se encuentra, es decir cuando no está a punto de evaporarse. Un líquido a punto de evaporarse se llama líquido saturado, se encuentra en condiciones de equilibrio con su vapor. Un vapor que está a punto de condensarse se llama vapor saturado.

25 Se denomina vapor sobrecalentado a un vapor que se encuentra a una temperatura superior a la de equilibrio con su líquido correspondiente a la presión a que está sometido. Para diferenciar un estado de líquido saturado o vapor saturado, se hace uso del subíndice f para indicar que el estado es de líquido saturado, mientras que el subíndice g se aplica para señalar un estado de vapor saturado. El subíndice combinado fg se utiliza para indicar el cambio de una propiedad de líquido saturado a vapor saturado. 2.6 TÍTULO (CALIDAD) El título del vapor húmedo es el porcentaje de vapor que contiene una sustancia en su proceso de cambio de fase, normalmente representada mediante el símbolo x, también se expresa en fracción de unidad. El líquido saturado sólo tiene una calidad de 0 % ( x = 0). El vapor húmedo que se genera es un vapor saturado cuyo título es igual a la unidad es decir que no tiene humedad. Matemáticamente se expresa como la fracción de la masa de vapor sobre la masa total de la mezcla. (2.1) Conocido el título de un vapor, será posible calcular el valor específico de cualquier propiedad intensiva de una sustancia, en base a las propiedades de vapor saturado y líquido saturado que integran el vapor húmedo. Por ejemplo el volumen específico del vapor húmedo con calidad x valdrá: (2.2) La diferencia de los valores de volumen de vapor saturado y volumen de líquido saturado aparecen con frecuencia en los cálculos, denotamos con el subíndice fg, esto es, (2.3) Por lo tanto la ecuación 2.2 es, (3.4) 2.7 TABLAS DE PROPIEDADES DE SUSTANCIAS PURAS Las propiedades específicas del vapor de agua, tanto del vapor saturado como del vapor sobrecalentado se encuentran en tablas a diferentes presiones y temperaturas. Estas propiedades específicas que se deben conocer son: v ; volumen específico. u ; Energía interna específica h ; Entalpía específica s ; Entropía específica Estas propiedades pueden ser por ejemplo de líquido saturado, de vapor saturado, o de cambio de líquido saturado a vapor saturado. El subíndice f se utiliza para indicar: v f ; volumen específico de líquido saturado. u f ; energía interna especifica de líquido saturado h f ; entalpía específica de líquido saturado. s f ; entropía específica de líquido saturado. El subíndice g se utiliza para indicar: v g ; volumen específico de vapor saturado. u g ; energía interna especifica de vapor saturado h g ; entalpía específica de vapor saturado. s g ; entropía específica de vapor saturado. 25

26 Un ejemplo de las propiedades termodinámicas del vapor de agua se muestra en la siguiente tabla. TABLA 2.1 Propiedades del vapor de agua saturada. Se han elaborado tabulaciones para numerosas sustancias de las propiedades termodinámicas p,v,t, y en los capítulos siguientes se estudiaran de otras sustancias. 2.8 PROGRAMA EES En lugar de usar tablas para hallar propiedades del vapor, puede usarse el software de programa EES (Engineering Ecuation Solver). Las funciones básicas que vienen en el EES son para la solución de ecuaciones algebraicas, también puede resolver ecuaciones diferenciales y ecuaciones con variables complejas. Tiene muchas funciones de propiedades termo físicas para usar en cálculos de ingeniería. Similarmente las tablas del vapor son obtenidos por funciones de otras propiedades. 2.9 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Figura 2.5 Ventana del software de programa E.E.S. 26

27 PROBLEMA 2.1 Complete los espacios en blanco en la siguiente tabla de propiedades del vapor. En la última columna describa la condición del vapor. SOLUCIÓN: T, ºC P, kpa v, m 3 /kg u, kj/kg Descripción de la fase ,3 0,05 777,68 Mezcla líquido-vapor 155, , ,38 Líquido saturado ,4496 Vapor sobrecalentado , ,1 Vapor sobrecalentado -20 0, , ,8 Saturación sólido - vapor Cálculo del título o calidad 0,05 0, ,5089 0, ,09633 Cálculo de la energía interna 588,74 0, ,3 777,67 27

28 PROBLEMA 2.2 Una masa de vapor de agua, inicialmente se encuentra a 3 MPa y 400 ºC (Estado 1), se enfría a volumen constante hasta una temperatura de 200ºC (Estado 2). Después se extrae calor del agua a temperatura constante hasta que se alcanza el líquido saturado (Estado 3). Determínese, a) La presión final en el estado 3, b) La calidad al final del proceso a volumen constante. c) La variación total de volumen específico en m 3 /kg, d) La variación de energía interna específica en kj/kg entre los estados 2 y 3, finalmente e) Dibujar un esquema de los procesos en el diagrama Presión-volumen. SOLUCIÓN: a) De tablas de vapor de agua con P 1 =3 MPa y T 1 = 400 ºC, el volumen específico es. V 1 = 0,09936 m 3 /kg T 2 = 200 ºC, se obtiene la presión final en el estado 3, que corresponde a. P 3 = 1,5538 [MPa] 15,538 b El estado 2 se encuentra a T 2 = 200 ºC y el volumen específico es el mismo del estado 1, 0, , , , c) La variación total del volumen específico es: 0, , ,0982 d) La variación de la energía interna específica se evalúa por 850, , ,6 X 2 = 77,8 % 28

29 PROBLEMA 2.3 Un recipiente rígido y aislado contiene al inicio 1.4 kg de agua líquida saturada y vapor de agua a 200 ºC. En este estado el agua líquida ocupa 25 % del volumen y el resto lo ocupa el vapor. Se enciende una resistencia eléctrica colocada en el recipiente y se observa que después de 20 minutos éste contiene vapor saturado. Determine a) el volumen del recipiente, en litros, b) la temperatura final, en ºC, y c) la potencia nominal de la resistencia, en kw. DATOS m=1,4 kg T =200 ºC V= 0,25 V R t = 20 min SOLUCIÓN a) El volumen del agua líquida ocupa el 25 % del volumen del recipiente (1) De tabla de propiedades del agua saturada con T=200 ºC, se tiene, v f = 0, [m 3 /kg] Sustituyendo en ecuación (1) 1,4 0, / 0,25 El volumen del recipiente es: 0, o V R = [litros] La masa de vapor contenida el 75 % del volumen del recipiente es:...(2) Siendo v g =0,1274 m 3 /kg kg La masa de la mezcla, kg 29 El volumen específico en el estado final es: b) De tablas de propiedades de agua saturada, corresponde a temperatura final. T final = ºC Para un sistema aislado el trabajo eléctrico de la resistencia es...(3) Donde con temperaturas de T 1 = 200 ºC, u 1 = [kj/kg], y T 2 = 370 ºC, u 2 = [kj/kg]. Sustituyendo en (3) kj c) Finalmente la potencia nominal de la resistencia es: kj 1200 s Ŵ = 1.65 [kw]

30 CAPÍTULO 3 RELACIONES DE ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR OBJETIVOS Introducir el concepto básico de Energía y trabajo. Introducir los conceptos básicos de transferencia de calor incluyendo conducción, convección y radiación. Presentar ejemplos y problemas de práctica que ilustran los conceptos estudiados. 3.1 INTRODUCCIÓN En la Física se analizan formas de energía como energía cinética y la potencial gravitatoria, así como otras formas de energía incluyen la energía almacenada en una batería energía almacenada en un condensador eléctrico, energía potencial electrostática y la energía química debida al enlace de átomos y entre partículas subatómicas que tiene una gran importancia para el químico. El estudio de los principios de la termodinámica permite relacionar los cambios de estas y otras formas de energía dentro de un sistema con las interacciones energéticas en las fronteras de un sistema. 3.2 NATURALEZA DE LA ENERGÍA Al mirar a nuestro alrededor se observa que las plantas crecen, los animales se trasladan y que las máquinas y herramientas realizan las más variadas tareas. Todas estas actividades tienen en común que precisan del concurso de la energía. 30 La energía es una propiedad asociada a los objetos y sustancias y se manifiesta en las transformaciones que ocurren en la naturaleza, es decir, la energía se manifiesta en los cambios físicos, por ejemplo, al elevar un objeto, transportarlo, deformarlo o calentarlo. La energía está presente también en los cambios químicos, como al quemar un trozo de madera o en la descomposición de agua mediante la corriente eléctrica. La energía puede existir en varias formas: térmica, mecánica, cinética, potencial, eléctrica, química y nuclear, cuya suma conforma la energía total E de un sistema. Todos los tipos de energía E pueden clasificarse o como energía cinética (Ec) debido al movimiento de un cuerpo, o bien como energía potencial (Ep) debida a la posición de un cuerpo relativa a un campo de fuerzas de otros cuerpos. Además los tipos de energía pueden clasificarse o en extrínsecos (ext) o en intrínsecos (int). (3.1)

31 De la física clásica puede demostrarse que la energía cinética total de un sistema de partículas puede expresarse como suma de tres términos.,,, (3.2) La energía potencial total de un sistema puede expresarse como suma de cuatro cantidades separadas.,,,,, (3.3) Las energías electrostáticas, magnetostática y macroscópica rotacional, no se consideran en este capítulo. Despreciando estos términos la ecuación es:.. (3.4) De la ecuación 3.4, los dos últimos términos no se pueden medir directamente, y la suma de estas dos contribuciones microscópicas a la energía se define como energía interna U de la sustancia del sistema. (3.5) La función de energía interna, como se ha definido por la ecuación anterior, es una propiedad extensiva, intrínseca de una sustancia en estado de equilibrio. En ausencia de cambios de fase, reacciones químicas y reacciones nucleares, la energía interna U se denomina a veces energía sensible del sistema. Tomando como base el estudio anterior la ecuación de la energía total de un sistema se convierte en:,, (3.6) energía que pueden experimentar cuerpos o sistemas y se los hace dicha medida con algún punto de referencia seleccionado. La unidad de energía que se usó en el pasado y que actualmente se usa en forma de calor es Caloría o kilocaloría y para la energía en forma de trabajo se usaba el kilopondio-metro [kp.m] en el sistema técnico. En el sistema internacional de unidades como unidad de energía se utiliza el Julio, kilojulio, para todas las formas de energía y en casos especiales en kwh (unidad derivada de la energía). El Btu es una unidad de energía en forma de calor en el sistema Ingles y se define la cantidad de calor que se suministra a una libra de agua para elevar su temperatura 1º F. 1 Btu = 0,252 Kcal 1 Btu = 1, KJ 1 Kcal = 4,186 KJ 1 KWh = 3600 KJ 1 KWh = 3412,14 Btu 1 termia = 10 5 Btu = 1,055x10 5 KJ (gas natural) 3.4 ENERGÍA MECÁNICA La energía mecánica se puede definir como la forma de energía que se puede convertir completamente el trabajo mecánico de modo directo mediante un dispositivo mecánico. Las formas más familiares de energía mecánica son la energía cinética y la energía potencial gravitacional. La energía mecánica de un fluido en movimiento es: á kj (3.7) 3.3 MEDICIÓN DE LA ENERGÍA La termodinámica no proporciona información acerca del valor absoluto de la energía total de un cuerpo o sistema, pero sí la variación de energía que se experimenta en los procesos, ya que es más fácil determinar estas variaciones de 31

32 3.4.1 Energía cinética Un cuerpo de masa m tiene energía cinética cuando está sometida a una fuerza que la desplaza con una cierta velocidad, por lo tanto podemos decir que esta energía cinética de dicho cuerpo es el trabajo para que adquiera cierta velocidad. (3.8) kj (3.9) Energía potencial gravitatoria La energía que posee un sistema como resultado de su elevación en un campo gravitacional se llama energía potencial y se escribe matemáticamente. (3.10) kj (3.11) Figura 3.1 Variación de energía interna en un sistema cerrado. 3.6 TRABAJO En termodinámica, el trabajo puede ser considerado como energía que se transfiere a través de la frontera de un sistema, por ejemplo el sistema que contiene gas en un cilindro, tal como muestra la figura ENERGÍA INTERNA La energía interna de un cuerpo o sistema (fluido de trabajo) se debe a su actividad interna atómica o molecular, es decir, la energía interna de un cuerpo variará si dicho cuerpo se le comunica o extrae por ejemplo calor y trabajo, como muestra la figura 3.1, el proceso de evaporación del agua, debido a esto puede producirse un alejamiento entre átomos o moléculas, lo que se traduciría en una energía potencial interna. También puede producirse al comunicar o extraer energía movimiento en los átomos o moléculas, movimiento de traslación, rotación, o vibratorio traduciéndose en este caso en energía cinética interna. Figura 3.2 sistema cerrado que contiene un gas. La convención escogida para el trabajo positivo es que si el sistema realiza trabajo sobre el entorno, es positivo, por el contrario si se adiciona energía o trabajo al sistema, es trabajo negativo. Las unidades de trabajo en el sistema SI, Newton metro (N-m) o Joules [J], en el sistema inglés, las unidades son ft-lbf. 1 Btu= 778 ft-lbf Trabajo en las máquinas En las máquinas alternativas se conocen tres clases de trabajo; Trabajo ideal, trabajo indicado y trabajo al freno (llamado también efectivo, útil, en el eje). 32

33 El trabajo ideal es el que efectúa el fluido operante o sistema en el interior del cilindro sin tomar en cuenta las pérdidas y puede calcularse. El trabajo indicado es el trabajo que efectúa el fluido de trabajo en el interior del sistema tomando en cuenta las pérdidas. El trabajo para el freno o trabajo efectivo, útil o en el eje es el trabajo medido precisamente en el eje de salida del motor. W ; Trabajo ideal (calculable) W i ; Trabajo indicado (medible) W B ; Trabajo al freno (medido a la salida del motor) Trabajo de expansión y compresión Se efectúa trabajo cuando al desplazarse el pistón que va desalojando la frontera del fluido operante o sistema desde el estado 1 hasta el estado 2, se dice que ejecuto trabajo de compresión, pudiendo graficarse esta variación de estado que experimenta el fluido operante en un diagrama presión-volumen. Por el contrario si consideramos un gas como fluido operante, de modo que este se encuentra inicialmente comprimido, luego al expandirse efectúa trabajo de expansión. Figura 3.3 Pistón que realiza un trabajo en un proceso de compresión. El trabajo total de compresión o expansión en cuasiequilibrio durante un cambio finito de volumen es el sumatoria de los términos PdV para cada cambio de volumen diferencial. Matemáticamente esto se expresa mediante la relación. / (3.12) Téngase en cuenta que cuando el volumen disminuye, el valor del trabajo es negativo. La presión P debe expresarse en unidades absolutas. Una interacción de trabajo PdV está asociada con un proceso y su valor depende del camino del proceso. 33

34 3.6.3 Otras formas de trabajo a) Trabajo eléctrico Cuando se mueve una pequeña carga del punto 1 al punto 2 en un campo electrostático (por ejemplo un circuito eléctrico), el trabajo necesario para mover la carga en el campo se denomina trabajo eléctrico, puede calcularse como. (3.13) En el análisis de pilas químicas, baterías y condensadores, la diferencia de potencial es una propiedad intensiva del sistema. En estas condiciones, el trabajo eléctrico en equilibrio realizado sobre el sistema es. (3.14) Donde dq c es la carga eléctrica transportada bajo el potencial eléctrico (en pilas electroquímicas se denomina fuerza electromotriz), que es el potencial máximo de la pila. b) Trabajo en el eje Puesto que el movimiento rotatorio del eje se suele expresar en función del número de revoluciones por unidad de tiempo n, a menudo es mas fácil calcular la potencia en el eje antes de calcular el trabajo en el eje, puede calcularse por. Siendo, 2 (3.15) Si el par es constante durante el proceso, la expresión anterior conduce a. 2 (3.16) c) Trabajo de un resorte Si se modifica la longitud de un resorte mediante una fuerza de tracción o compresión que produce un desplazamiento, se dice que ha experimentado un trabajo en el resorte, se calcula por la expresión. (3.17) d) Trabajo hecho sobre barras sólidas elásticas En la barras elásticas la longitud cambia por el esfuerzo que se realiza sobre el mismo, por lo tanto se dice que ha generado un trabajo elástico, y se calcula por. Á 3.7 POTENCIA (3.18) La velocidad a la que se realiza trabajo sobre o por el sistema se define como la Potencia. En función de la potencia, el trabajo diferencial puede escribirse como. (3.19) La potencia mecánica suministrada a un sistema por una fuerza exterior se define como el producto escalar del vector fuerza exterior por el vector velocidad. á (3.20) En cálculos de ingeniería con frecuencia se utiliza como unidad básica el vatio o también el kilovatio (kw) 1W = 1 J/s 1 hp = kw 1 hp = Btu/s 34

35 3.8 CALOR A mediados del siglo XIX se llegó a una verdadera comprensión física sobre la naturaleza del calor, gracias al desarrollo en ese tiempo de la teoría cinética la cual considera a las moléculas como diminutas esferas que se encuentran en movimiento y que por lo tanto poseen energía cinética. Los experimentos del Ingles James P. Joule ( ) publicados en 1843 son los que finalmente convencieron a los escépticos de que el calor no era una sustancia, así que se desechó la teoría del calórico, el calor es una forma de energía que puede existir independientemente de la materia. La termodinámica analiza la interacción entre el sistema y su entorno que se denomina interacción de calor o transferencia de calor, por eso el calor se puede transferir de tres formas distintas: conducción, convección y radiación. El hecho de que no haya flujo de energía en forma de calor entre cuerpos que están a igual temperatura se suele llamar principio cero de la Termodinámica, y dice: Si dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercero, entonces ellos deben estar en equilibrio térmico entre sí Transferencia de calor por conducción La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las adyacentes menos energéticas como resultado de sus interacciones. La conducción puede ocurrir en sólidos, líquidos o gases; en estos dos últimos la conducción se debe a las colisiones de las moléculas durante su movimiento aleatorio mientras que en los sólidos se debe a la combinación de la vibración de las moléculas en una red y el transporte de energía mediante electrones libres. La ecuación 3.21 se conoce como ley de Fourier de conducción de calor. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente, y el gradiente de temperatura se vuelve negativo cuando la temperatura disminuye con x creciente. La convección es el modo de transferencia de energía entre una superficie sólida y líquido o gas adyacente que está en movimiento, y tiene que ver con los efectos combinados de conducción y movimiento del fluido: mientras más rápido sea éste mayor es la transferencia de calor por convección. (3.22) Radiación es la energía que emite la materia en la forma de ondas electromagnéticas (o fotones) como resultados de cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. A diferencia de la conducción y la convección, la transferencia de energía por radiación no requiere la presencia de un medio. De hecho, este tipo de transferencia es la más rápida, las ondas electromagnéticas viajan a la velocidad de la luz (c=3x10 8 m/s) y no experimenta ninguna atenuación en un vacío. (3.23) Donde:,es la emisividad de la superficie. σ; es la contante de constante de Stefan- Boltzmann (3.21) 35