3.- RESISTENCIA A FLEXION DE PERFILES W LAMINADOS EN CALIENTE

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1 3.- RESISTENCIA A FLEXION DE PERFILES W LAMINADOS EN CALIENTE 3.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES. Las vigas son miembros estructurales sujetos a flexión cortante. La flexión cortante se deben principalmente a la aplicación de cargas transversales al eje longitudinal del miembro, aunque la flexión también puede originarse debido a la aplicación de momentos concentrados en el claro /o en los extremos. Debido a los esfuerzos de flexión, se generan zonas de compresión de tensión en la sección de la viga, delimitadas por el eje neutro. Para el diseño, se asume que dichos esfuerzos se concentran en los patines de las vigas que el alma solo resiste el esfuerzo cortante. Por consiguiente, en cualquier viga sujeta a flexión existirá un patín de compresión uno de tensión. Los patines de compresión se consideran elementos sujetos a compresión uniforme, por lo que serán susceptibles a inestabilidad local o global. Sin embargo, dado que en los perfiles laminados típicos dicho patín normalmente está unido de forma continua al alma, la cual a su vez está unida al patín de tensión (patín estable), el pandeo en el plano del alma será mu poco probable, por lo que predominará el pandeo perpendicular al plano del alma (pandeo laterotorsional). Se puede lograr que la viga flua de forma uniforme, es decir, que el patín de compresión flua, junto con el alma el patín de tensión. Esto se logra impidiendo el pandeo laterotorsional, mediante el uso de apoos laterales adecuados al patín de compresión (pueden ser apoos continuos provistos por losas, cubiertas o muros, o apoos a intervalos provistos por otros miembros estructurales). La fluencia total de la sección permite alcanzar la resistencia máxima a flexión de la viga. En las vigas se pueden detectar diferentes formas de fallas, conocidas como "estados límites": A. Estados Límites de Flexión:

2 A.1.- Momento Plástico con Formación de Articulación Plástica. En este caso, toda la sección alcanza la fluencia se forma una articulación plástica antes de que ocurra el pandeo laterotorsional o local. Para desarrollar una articulación plástica se requiere que la sección exhiba la capacidad de generar deformaciones unitarias considerablemente maores a las requeridas para alcanzar la fluencia. A..- Momento Plástico sin Formación de Articulación Plástica. En este caso, toda la sección alcanza la fluencia, pero se pandea local o laterotorsionalmente antes de que se forme la articulación plástica. A.3.- Momento Crítico de Pandeo Laterotorsional Inelástico. En este caso, la sección presenta fluencia parcial de la sección al ocurrir el pandeo laterotorsional. Además, el pandeo local de los patines o almas no ocurre antes del pandeo laterotorsional. A.4.- Momento Crítico de Pandeo Local. La sección presenta pandeo local de patines o almas antes de que ocurra el pandeo laterotorsional. A.5.- Momento Crítico de Pandeo Laterotorsional Elástico. La sección presenta pandeo laterotorsional antes que alguna fibra de la sección alcance la fluencia /o de que los patines o almas se pandeen localmente. B. Estados Límites de Cortante: B.1.- Fluencia del Alma. El alma de la sección alcanza la fluencia antes de que ocurra el pandeo del alma debido al esfuerzo cortante. B..- Pandeo Inelástico del Alma. El alma de la sección presenta fluencia parcial de la sección al ocurrir el pandeo del alma. B.3.- Pandeo Elástico del Alma. El alma de la sección presenta pandeo antes de que alguna fibra de la sección alcance la fluencia.

3 C. Estados Límites Debidos a Cargas Concentradas: C.1.- Aplastamiento Local del Alma. La base del filete de la unión alma-patín alcanza la fluencia se "aplasta" debido a la acción de una carga concentrada o reacción. C..- Aplastamiento del Alma. El alma presenta problemas de inestabilidad debido a la acción de una carga concentrada o reacción. C.3.- Pandeo Traslacional del Alma. La zona de tensión de la viga (patín de tensión una porción del alma) presenta pandeo traslacional con respecto al patín de compresión bajo cargas concentradas. D. Estados Límites de Servicio: D.1.- Deformaciones Máximas. Las deformaciones verticales máximas producen problemas funcionales que impiden que la estructura o miembro cumpla con los objetivos para el cual fue diseñado. C..- Encharcamiento. Las deformaciones verticales máximas en vigas de cubierta o azotea generan encharcamientos de agua que incrementan las cargas vivas, las cuales incrementan las deformaciones, permitiendo que se acumule mas agua, generando problemas funcionales o posiblemente el colapso. D.3.- Vibraciones Máximas. La excesiva flexibilidad de un miembro bajo cargas dinámicas generan vibraciones excesivas que producen problemas funcionales. Esta disertación solo considera los estados límites asociados a la flexión de perfiles W (IR). Sin embargo, el diseño típico de una viga deberá considerar estados límites asociados al cortante cargas concentradas, así como los estados límites de servicio. Las especificaciones LRFD 1999 contiene las ecuaciones procedimientos de diseño requeridos para cumplir con dichos límites. 3. DISEÑO POR FLEXION.

4 3..1 Ecuaciones Generales para Determinar la Resistencia de Diseño por Flexión. Los esfuerzos máximos de flexión en perfiles simétricos con simetría simple, producto de una carga aplicada a través del centro de cortante en el plano de uno de los ejes principales, se calcula por el método LRFD mediante las siguientes fórmulas: M ux M φ M (3.1) φbm nx ; u b n donde: M ux, M u = momentos factorizados con respecto al eje x, respectivamente, calculados a partir de la combinación de cargas aplicable. φ b = factor de resistencia por flexión. M nx, M n = momentos nominales con respecto al eje x, respectivamente, calculados en función del estado límite a flexión gobernante. 3.. Comportamiento de Vigas no Sujetas a Pandeo. El estado límite del momento plástico puede ser alcanzado por vigas no sujetas a pandeo local o laterotorsional. La Fig. 3.1 muestra la distribución de esfuerzos de flexión con respecto al eje x de un perfil W típico sujeto a incrementos en el valor del momento. Para cargas de servicio la distribución de esfuerzos es elástica (Fig. 3.1a) se mantiene elástica hasta que las fibras extremas alcanzan la fluencia F (Fig. 3.1b). Una vez que la deformación unitaria ε alcanza el valor de fluencia ε, el aumento en ε no producirá un aumento en el esfuerzo (rango plástico de la Fig. 3.). Este comportamiento elastoplástico es una idealización aceptable de aceros estructurales con esfuerzos de fluencia hasta F = 4568 kg/cm.

5 Fig. 3.1 Distribuciones de esfuerzos a flexión para diferentes niveles de carga Cuando la fibra extrema alcanza por primera vez el valor de F se puede considerar la ocurrencia de un estado límite (Fig. 3.1b). Al momento nominal M n correspondiente a este estado límite se le conoce como el momento de fluencia M se calcula mediante la siguiente expresión: M = F S (3.) x Se puede considerar la ocurrencia de otro estado límite cuando todas las fibras de la sección han alcanzado o excedido el valor de ε, como se muestra en la Fig. 3.1d. Al momento correspondiente a dicho estado límite se le conoce como el momento plástico está dado por la siguiente expresión: M = F Z (3.3) p x donde Z = da = módulo plástico con respecto al eje x. (3.4) x A Se puede observar que la relación M p /M es una propiedad de la sección no del material. A esta relación se le conoce como el factor de forma ξ está dado por: M p Z ξ = = (3.5) M S Para perfiles W sujetos a flexión con respecto al eje fuerte (eje x) el factor de forma presenta un rango de valores entre , con un valor típico de

6 1.1. Se puede suponer conservadoramente que el momento plástico M p de un perfil W flexionado con respecto a su eje fuerte es 10% maor que el momento de fluencia M. Fig. 3. Comportamiento esfuerzo deformación de la maoría de los aceros estructurales Un perfil W flexionado con respecto al eje débil (eje ) presenta una sección equivalente a un rectángulo, donde b = t f d = b f ; por lo tanto, para flexión con respecto al eje débil, el momento plástico M p será un 50% maor que el momento de fluencia M. Además, se estableció anteriormente que para flexión con respecto al eje fuerte se tiene que M p es de 9% a 18% maor que M. Por consiguiente, los perfiles W tendrán maor resistencia de reserva, después de alcanzar M, cuando son flexionados con respecto al eje débil que cuando son flexionados con respecto al eje fuerte. Una vez que se alcanza el momento plástico, la sección a no puede ofrecer resistencia adicional a la rotación inducida por la flexión, podrá formarse, sin incremento adicional en el momento flexionante, una articulación plástica o podrá ocurrir el pandeo local o laterotorsional de la viga antes de que se genere totalmente dicha articulación. Si la viga puede desarrollar las deformaciones unitarias requeridas para la formación de la articulación, el pandeo no ocurrirá antes de la formación de dicha articulación. En una viga isoestática, como es el caso de una viga en simple apoo, la formación de la articulación plástica genera una condición inestable conocida como mecanismo de colapso. En general, cualquier combinación de articulaciones en un claro, a sean articulaciones reales (apoos simples) o plásticas, generará un mecanismo de colapso.

7 Se puede observar en la Fig. 3.3 que existe una relación elástica lineal entre el ángulo de rotación θ el momento flexionante desde el rango de cargas de servicio hasta que la viga alcanza M. La relación M-θ se torna inelástica cuando el valor del momento está entre M M p. Al alcanzar M p, la curva M-θ se vuelve horizontal, por lo que la deformación de la viga (rotación de la articulación plástica) incrementa sin restricción. Cuando se presenta el mecanismo de colapso, la deformación elástica debida a la flexión de los segmentos de la viga entre los extremos la articulación plástica es despreciable, comparada con la rotación que ocurre en dicha articulación. Por consiguiente, se puede considerar a la viga bajo colapso como dos cuerpos rígidos con una discontinuidad angular al centro. Fig. 3.3 Comportamiento plástico de una viga simplemente apoada Solo en vigas isoestáticas se puede considerar que cada punto en el diagrama de momentos factorizados es proporcional al diagrama de momentos elásticos. En vigas hiperestáticas, se presenta redistribución de momentos una vez que el momento excede el rango elástico; esto es, la viga redistribue el momento de las zonas del claro que alcanzan primero la fluencia a las zonas que aun se conservan elásticas, hasta que dichas zonas a su vez alcanzan la fluencia. Por consiguiente, el diagrama de momentos después de que se genere la articulación plástica a no será proporcional al diagrama de momentos elásticos.

8 Es importante establecer que aunque una viga presente apoo lateral adecuado al patín de compresión que le permita alcanzar el estado límite de momento plástico, la viga eventualmente fallará por inestabilidad debido pandeo laterotorsional o local, aun cuando la viga haa podido generar una articulación plástica. En otras palabras, toda viga falla por inestabilidad, el apoo lateral adecuado al patín de compresión solo permite que dicha inestabilidad ocurra en el rango plástico en lugar del rango elástico o inelástico. Por consiguiente, si se desea prevenir que dicha inestabilidad ocurra antes de alcanzar el rango plástico, se deberán establecer límites en la distancia entre apoos laterales para prevenir el pandeo laterotorsional se deberán establecer límites en las relaciones ancho-espesor del patín de compresión el alma para prevenir el pandeo local Relación Ancho-Espesor λ r para Vigas. En el diseño de vigas se debe tomar en cuenta el hecho de que puede ocurrir pandeo local del patín de compresión o del alma antes de alcanzar los valores considerables de deformación unitaria a compresión requeridos para desarrollar M p. Cuando la relación ancho-espesor cumple con el límite λ r dado por LRFD-B5, solo se garantiza que la viga alcanzará M (es decir, se previene que ocurra el pandeo local a esfuerzos menores o iguales a F ). Los límites λ r para prevenir el pandeo local en vigas están dados en la Tabla 3.1 solo garantizan que si los valores de b/t = λ de los patines de compresión almas no exceden a λ r, las fibras extremas desarrollarán los valores de ε requeridos para alcanzar F en las fibras extremas (o sea, que ε alcanzará el valor de ε = F /E) Relación Ancho-Espesor λ p para Vigas. Para poder desarrollar M p se requiere que los patines almas puedan alcanzar valores de ε maores que ε. Por consiguiente, se deberá restringir aun más el valor de λ. El AISC establece el valor de λ p como el nuevo límite a cumplir por λ, si se desea que ε ε. El valor de λ c no deberá exceder aproximadamente

9 0.46 para elementos a compresión no atiesados 0.58 para elementos a compresión atiesados. Para elementos no atiesados, usando λ c = 0.46 k = 0.46 se obtiene: ke (0.45 )E E b / t 0.951(0.46 ) = = 0.85 (3.6) F F F La Ec. (3.6) representa el valor de la relación b/t requerida para que el material alcance el rango de endurecimiento por deformación, al cual corresponden valores de deformaciones unitarias del orden de 15 a 0 veces el valor de ε. Se ha demostrado que para alcanzar el momento plástico solo se requieren deformaciones unitarias del orden de 7 a 9 veces el valor de ε, por lo que la restricción impuesta por la Ec. (3.6) es mu severa el valor de λ c puede ser incrementado. Dicho incremento implicaría entrar a la curva de transición de esfuerzos residuales; sin embargo, en el rango plástico el efecto de los esfuerzos residuales desaparece, a que todo el material presentará fluencia. LRFD-B5.1 establece λ p, como el valor máximo de la relación b/t para el cual pueden desarrollarse las deformaciones unitarias requeridas para alcanzar el momento plástico. Para elementos no atiesados sujetos a compresión uniforme, dicho valor es: E b / t λ p = 0.38 (3.7) F El cual representa un incremento del 5% del valor establecido por la Ec. (3.6) Para elementos atiesados, usando λ c = 0.58 k = 4.0 se obtiene: ke (4.0 )E E b / t 0.951(0.58 ) = 0.55 = (3.8) F F F Para elementos atiesados sujetos a compresión uniforme, LRFD-B5.1 establece el siguiente valor de λ p :

10 E b / t λ p = 1.1 (3.9) F El cual representa un incremento del 8% con respecto al valor establecido en la Ec. (3.8) corresponde a un valor de λ c = El incremento del 8% es menor que el 5% considerado en elementos no atiesados, pero el valor de λ c es mu similar, lo cual parece indicar que los elementos atiesados alcanzan el rango de endurecimiento por deformación a valores de deformaciones unitarias cercanas a las requeridas para desarrollar el momento plástico. Los valores de λ p considerados en LRFD-B5.1 están dados en la Tabla 3.1. Tabla 3.1 Relaciones Máximas de Ancho-Espesor λ r λ p en Elementos a Compresión de Vigas. Caso Descripción del Elemento Valor de Valor de λ r λ p 1 Patines (no atiesados) de vigas I rolladas canales en flexión 0.38 E F 0.83 E F L Patines (no atiesados) en vigas I híbridas o vigas soldadas en flexión E F f 0.95 E (F / k L c ) 3 Patines (atiesados) en perfiles tubulares cuadrados rectangulares otros perfiles tubulares de espesor uniforme (excepto tubulares cilíndricos; patines de cubreplaca placas

11 diafragma entre líneas de tornillos o soldaduras. Para compresión uniforme 1.1 E F 1.40 E F Para análisis plástico E F 4 Almas bajo compresión debido a flexión E F 5.70 E F 5 Perfiles tubulares cilíndricos bajo flexión. Para análisis elástico 0.07(E/F ) 0.07(E/F ) Para análisis plástico 0.045(E/F ) Como se observa en la Tabla 3.1, el LRFD-B5.1 impone restricciones adicionales al valor de λ p para elementos a compresión atiesados tubulares cilíndricos cuando se considera análisis plástico en el diseño de la viga. El valor considerado por LRFD-B5.1 para patines atiesados es mu similar a la relación b/t Vigas Lateralmente Estables. Las vigas lateralmente estables son aquellas que pueden desarrollar los estados límites a flexión contemplados en el Art. 3.1, excepto aquellos estados que involucren pandeo laterotorsional elástico o inelástico Diseño por LRFD. La ecuación general de LRFD para diseño por flexión está dada por la siguiente expresión: donde: φ b = 0.90 φ M M (3.10) b n u

12 M u = combinación aplicable de momentos factorizados. M n = resistencia nominal determinada en función de la categoría de la viga. Las vigas lateralmente estables se pueden clasificar en tres categorías, dependiendo de la relación ancho-espesor de los elementos a compresión λ: (a) Vigas Compactas (si λ λ p ), (b) Vigas No Compactas (si λ = λ r ), (c) Vigas Parcialmente Compactas (si λ p < λ λ r ) (d) Vigas Esbeltas (λ > λ r ). A continuación se presentan las ecuaciones de momento nominal M n para cada categoría. (a) Vigas Compactas: Según LRFD Apéndice F1, la resistencia nominal M n para secciones compactas lateralmente estables está dada por la siguiente expresión: M n = M p (3.11) donde: M p = ZF = momento plástico Z = módulo plástico definido según el Art F = esfuerzo de fluencia del acero (b) Vigas No Compactas: La resistencia nominal M n para secciones no compactas lateralmente estables, donde λ = λ r, es la resistencia a flexión disponible cuando el esfuerzo en la fibra extrema alcanza F. Debido a la presencia de esfuerzos residuales F r, la resistencia disponible en la sección para resistir cargas será F - F r. Por consiguiente: M n = M = (F F ) S (3.1a) r r x donde M r es el momento residual que provoca que el esfuerzo en la fibra extrema incremente desde el esfuerzo residual F r (presente en la ausencia de cargas) hasta F. También se le conoce a dicho momento como el momento elástico máximo en la presencia de esfuerzos residuales. S es el

13 módulo elástico definido según el Art Para incluir el caso de vigas híbridas, donde el esfuerzo de fluencia del patín F f es típicamente maor al del alma F w, LRFD-F1-a establece la siguiente ecuación general para M r : M = F S (3.1b) r L x donde F L se toma como el menor de (F f - F r ) F w. Las especificaciones del AISI recomiendan un valor típico de F r = 700 kg/cm para perfiles laminados F r = 1150 kg/cm para perfiles soldados. (c) Vigas Parcialmente Compactas: Según LRFD Apéndice F1.7, la resistencia nominal M n de secciones no compactas lateralmente estables, donde λ p < λ λ r, se obtiene de la siguiente interpolación lineal entre M p M r : M = M (M M n p p r ) λ λp λr λp (3.13) donde: λ = b f /(t f ) para patines de perfiles de sección I. = h/t w para almas de perfiles. b f = ancho del patín. t f = espesor del patín. h = d k más una holgura para prevenir subdimensionamiento de filetes internos en la unión del patín de compresión el alma (aproximadamente 6 mm) en perfiles laminados de sección I. El Manual LRFD 1993 del AISC tabula los valores de h/t w (Ver anexo A donde se incluen las características de los perfiles IR) para propósitos prácticos dichos valores deberán ser usados en diseño, a que los valores mínimos de los filetes no están fácilmente disponibles para el diseñador. d = peralte del perfil.

14 k = dimensión desde el paño exterior del patín a la base del filete de unión entre patín el alma (propiedad geométrica tabulada en Manual LRFD). (d) Vigas Esbeltas: Las vigas cuos elementos presenten la condición λ > λ r se consideran esbeltas deben ser tratadas según el procedimiento indicado en LRFD Apéndice B, a que pueden presentar pandeo local de elementos. Según el Apéndice B5.3a los elementos no atiesados de miembros a flexión deben diseñarse para un esfuerzo máximo de φ b Q s F, donde φ b = 0.90 Q s es un factor de reducción de esfuerzo que depende del tipo de perfil. Para el caso de los elementos atiesados, el Apéndice B5.3c establece que cálculo del momento de inercia el módulo elástico de las secciones debe realizarse considerando los anchos efectivos reducidos b E de los elementos atiesados en lugar de sus anchos reales Vigas Lateralmente Inestables. Hasta este punto se han presentando el tratado de la resistencia a flexión de vigas que se conservan lateralmente estables hasta alcanzar el momento plástico M p. Como se mencionó anteriormente, no todas las vigas lateralmente estables pueden alcanzar M p, de hecho, algunas de éstas vigas no pueden desarrollar ni el momento de fluencia M debido a problemas de inestabilidad local elástica de patines /o almas (vigas esbeltas), pero siempre conservan la estabilidad lateral hasta alcanzar su estado límite de falla. En esta sección se presenta el tratado de la resistencia a flexión de vigas que presentan inestabilidad lateral, también conocida como pandeo laterotorsional, antes de desarrollar una articulación plástica. Solo las vigas sujetas a flexión con respecto al eje fuerte exhiben pandeo laterotorsional, por lo que las vigas sujetas a flexión pura con respecto al eje débil se diseñan según los criterios expuestos en el Art

15 Considere el patín de compresión de la viga mostrada en la Fig La teoría de flexión establece que dicho patín estará sujeto a una distribución uniforme de esfuerzos a compresión si la viga es cargada en el plano del alma, por lo que los puntos A B en las orillas longitudinales del patín tendrán esfuerzos idénticos. Cabe mencionar que la presencia de esfuerzos residuales, así como excentricidades accidentales de carga e imperfecciones geométricas de la viga generan una distribución no uniforme de esfuerzos, lo cual ocasiona que los esfuerzos en los puntos A B sean diferentes. Sin embargo, para efectos prácticos de diseño, la distribución de esfuerzos en el patín de compresión se asumirá uniforme. El patín de compresión una parte de la porción a compresión del alma pueden ser considerados como un elemento columna, normalmente dicho elemento se pandearía con respecto al eje débil (eje 1-1); sin embargo, el alma provee arriostramiento continuo e impide dicho pandeo. A esfuerzos de compresión maores, dicho elemento presentará tendencia al pandeo con respecto al eje fuerte (eje -). Es este pandeo súbito con respecto al eje fuerte lo que produce el pandeo lateral. Dicho pandeo no será un pandeo local, donde el patín de compresión se desplaza lateralmente con respecto al patín de tensión, sino que la rigidez a flexión de la unión continua alma-patín provocará que toda la viga participe en el pandeo lateral. Como se puede observar en la Fig. 3.4a, la viga no solo presenta una deformación lateral, sino también un giro. Dicho giro es provocado por el desarrollo de momentos torsionantes generados por la descomposición de los momentos flexionantes en los extremos de la viga (ver Art ). La combinación de la deformación lateral el giro da origen a lo que comúnmente se le conoce como pandeo laterotorsional.

16 Fig. 3.4 Viga lateralmente apoada solo en los extremos Apoos Laterales. Los apoos laterales son puntos en el claro de la viga donde se impide el pandeo laterotorsional. Normalmente el apoo lateral de vigas en un sistema de piso es provisto por la unión a la losa o por la unión transversal de otras vigas o arriostramientos. Existen por consiguiente, dos categorías de apoos laterales: 1. Apoo Lateral Continuo: Provisto por el embebido del patín de compresión en una losa de concreto (ver Fig. 3.5a b). Como se muestra en la Fig. 3.5b, el patín no requiere embeberse completamente, sino que pueden embeberse solo conectores mecánicos soldados al patín.. Apoo Lateral a Intervalos: Provisto por vigas, armaduras, u otros miembros estructurales que se unen transversalmente a la viga (ver Fig. 3.5c a la g). Dichos miembros deberán a su vez tener apoo lateral rigidez adecuada. Es típico que el diseñador encuentre en la práctica condiciones de apoo lateral que no se ajustan a éstas dos categorías. Por ejemplo, se puede considerar el caso donde la losa se apoa directamente sobre la viga, pero sin que el patín de compresión quede embebido. Se puede establecer que existen

17 fuerzas de fricción en la superficie de contacto entre losas vigas que puede ofrecer un cierto grado de restricción lateral. Sin embargo, debido a la incertidumbre en los valores de dichas fuerzas, el diseñador podría asumir conservadoramente la inexistencia de apoo lateral en el claro de la viga. Otros casos similares, aunque menos inciertos, lo representan el apoo provisto por un deck de acero soldado a intervalos a las vigas o el de un deck de madera unido con tornillería a intervalos. En estos casos, la soldadura tornillería pueden considerarse como apoos laterales al patín de compresión, aunque sería prudente considerar la posibilidad de que algunas soldaduras o tornillos pudieran haber sido mal colocados, por lo que la distancia entre apoos laterales considerada para el diseño pudiera considerarse como dos o tres veces la distancia real entre soldaduras o tornillos. Dado que una gran cantidad de fallas en vigas están asociadas a la falta de apoo lateral adecuado, el diseñador deberá emplear su criterio para evaluar la viabilidad de la existencia de un apoo lateral adecuado en los casos que no se ajustan a las dos categorías antes expuestas. Si existe duda, será siempre preferible asumir en diseño la inexistencia del apoo evaluado. El diseñador también deberá cuidar las condiciones de apoo lateral durante el proceso constructivo, cuando no todos los apoos considerados en diseño estén colocados.

18 Fig. 3.5 Tipos de apoos laterales No solo debe analizarse el apoo lateral de vigas individuales, sino el de todo el sistema de piso. La Fig. 3.6a muestra como la viga AB con apoo lateral provisto a la mitad del claro por una viga transversal puede ser parte del pandeo lateral de todas las vigas paralelas del sistema de piso. Dicho pandeo puede evitarse usando un sistema de contraventeo en diagonal en el plano del piso (ver Fig. 3.6b). (a) Sistema no arriostrado (b) Sistema arriostrado Fig. 3.6 Pandeo lateral de un sistema de piso o cubierta

19 3..6. Resistencia de Vigas de Sección W Sujetas a Momento Iguales en sus Extremos. En el desarrollo de la teoría de pandeo laterotorsional es conveniente identificar el caso crítico de carga que maximice la propensidad de la viga a fallar por este tipo de pandeo. Usando la analogía del elemento columna presentado anteriormente, el caso crítico lo representaría un estado de esfuerzos de compresión uniforme que no presente variación en su magnitud en toda la longitud del elemento. Esto puede lograrse aplicando momentos idénticos en los extremos, flexionando a la viga en curvatura simple (ver Fig. 3.7), lo cual produce un momento máximo constante en todo el claro. Si existe gradiente de momentos, i.e. variación de la magnitud del momento en el claro, la magnitud de los esfuerzos uniformes a compresión será directamente proporcional a la variación del momento, por lo que su valor promedio en el claro será menor al del caso crítico. Si se presenta una reducción neta en la magnitud del esfuerzo de compresión, obviamente disminue la probabilidad de que ocurra el pandeo laterotorsional. Fig. 3.7 Comportamiento a flexión de vigas de perfil W El comportamiento a flexión de una viga de sección W sujeta al caso crítico se ilustra también en la Fig Como se discutió en el Art. 3..5, la

20 resistencia máxima está determinada por el momento plástico M p. También se discutió en el Art. 3.. que toda viga falla por inestabilidad, a sea antes o después de haber alcanzado M p ; por consiguiente, los modos de falla a considerar en vigas sujetas a pandeo laterotorsional serán: (a) Pandeo local del patín de compresión, (b) Pandeo local del alma bajo compresión por flexión (c) Pandeo laterotorsional. Se identifican en la Fig. 3.7 cuatro tipos de comportamientos: 1. Desarrollo del momento plástico M p articulaciones plásticas. La formación de una articulación plástica demanda una gran capacidad de rotación (ver Fig. 3.8) para poder desarrollar los valores de deformaciones unitarias requeridas por dicha articulación sin que se presente inestabilidad.. Desarrollo del momento plástico M p sin articulaciones plásticas. La articulación plástica no puede formarse debido a que la capacidad de rotación se ve mermada por pandeo local del patín de compresión /o alma o por pandeo laterotorsional inelástico. 3. Desarrollo de un momento entre M r M p. La viga exhibe comportamiento inelástico, pero es impedida para alcanzar M p debido a pandeo local del patín de compresión /o alma o por pandeo laterotorsional inelástico. 4. Desarrollo del momento M cr. La viga exhibe comportamiento elástico es impedida a desarrollar una resistencia maor debido a pandeo elástico, a sea debido a pandeo local del patín de compresión /o alma o por pandeo laterotorsional.

21 Fig. 3.8 Requisitos de deformaciones unitarias para desarrollar el momento plástico La maoría de los perfiles W cumplen con la condición λ λ p en patines almas, por lo que el pandeo local no es un modo de falla común antes de alcanzar M p. Por consiguiente, dichos perfiles podrán desarrollar M p si se restringe el valor de la distancia entre apoos laterales L b, de tal manera que el pandeo laterotorsional ocurra después de que la viga alcance M p. Los perfiles que cumplen con éstas características se les denomina compactos se diseñan según los procedimientos establecidos en el Art En general, para valores grandes de L b, los perfiles estarán sujetos a pandeo laterotorsional elástico Pandeo Laterotorsional Elástico. Se presenta a continuación el desarrollo de la ecuación diferencial que describe el pandeo laterotorsional elástico de una viga prismática sujeta a momentos de extremo M o con respecto al eje fuerte. La Fig. 3.9a muestra dicha viga en su posición de pandeo lateral. Se observa que el momento M o, que genera curvatura en el plano z, generará también componentes de momento M x, M M z, con respecto a los ejes x, z, respectivamente, lo cual significa se generará curvatura también con respecto a los planos x z z, además de curvatura torsional con respecto al eje z. Asumiendo deformaciones pequeñas, se puede establecer la siguiente expresión: d v EI x = M x' = Mo (3.14) dz

22 Donde v es el desplazamiento del centroide en la dirección (ver Fig. 3.9b). Además, como puede observarse en la Fig. 3.9c, la curvatura en el plano x z está dada por: d u EI = M ' = Moφ (3.15) dz donde u es el desplazamiento del centroide en la dirección x. Por otro lado, se puede demostrar que el momento torsionante M z puede expresarse en función del giro φ mediante la siguiente ecuación diferencial: M z' 3 dφ d φ = GJ ECw dz 3 (3.16) dz De la Fig. 3.9a se puede establecer la siguiente relación entre M z M o : M z du = M z' = Mo (3.17) dz Donde por la suposición de deformaciones pequeñas se establece que M z = M z. Fig. 3.9 Comportamiento de una viga I sujeta a pandeo laterotorsional

23 Substituendo la Ec. (3.17) en la (3.16) se obtiene la siguiente ecuación diferencial: du dφ d φ Mo = GJ ECw dz dz 3 (3.18) dz 3 Diferenciando la Ec. (3.18) con respecto a z se obtiene: d u d φ d φ M o = GJ EC w (3.19) dz dz dz 4 De la Ec. (3.15) se obtiene: d dz u M φ o = (3.0) EI Substituendo la Ec. (3.0) en la (3.19) se obtiene la ecuación diferencial para el ángulo de giro en función del momento aplicado M o : EC 4 d φ d φ Mo w GJ φ = 4 dz dz EI 0 (3.1) Resolviendo la Ec. (3.1) para φ despejando para M o se obtiene el momento crítico M cr que define el valor máximo de M o para el cual la viga mantiene la estabilidad laterotorsional. La expresión resultante de M cr es: π πe Mcr = Cw I + EI L L GJ (3.) La Ec. (3.) representa entonces la resistencia al pandeo elástico laterotorsional de una viga de sección W sujeta a momento constante M o, aplicado en el plano del alma en una distancia entre apoos laterales L. Para considerar la posibilidad de variación del momento (gradiente de momento) en la distancia L, se debe considerar un factor de ajuste C b, el cual se discutirá en detalle a continuación. Por consiguiente, la resistencia general al pandeo

24 elástico laterotorsional de una viga sujeta a gradiente de momento en la distancia L será entonces: (3.3) π πe Mcr = Cb Cw I + EI L L GJ Factor de Corrección por Gradiente de Momento, C b Como se mencionó anteriormente, la Ec. (3.) fue derivada a partir de la condición de momento constante en todo el claro de la viga. Esta condición representa el caso más crítico, a que implica que la porción a compresión de la viga estará sujeta a esfuerzos máximos constantes en todo el claro. La resistencia nominal en este caso será la mínima posible se obtiene substituendo C b = 1.0 en la Ec. (3.3). Un caso menos crítico lo representa el caso de la variación del momento a lo largo del claro de la viga; es decir, la existencia de gradiente de momento. En este caso, los esfuerzos a compresión son máximos solo en el punto de momento máximo se reducen en proporción directa a la variación del valor del momento. Por consiguiente, el esfuerzo promedio a compresión será menor al del caso más crítico si la viga tiene el mismo claro que dicho caso, se reduce la posibilidad de inestabilidad lateral la resistencia nominal a flexión podrá incrementar en proporción directa al valor de C b. Es decir, C b > 1.0 en la Ec. (3.3). LRFD-F1-a establece la siguiente ecuación para calcular C b : C b 1.5M = max.5m max + 3M A + 4MB + 3M (3.4) C Donde M A M B M C M max = momento máximo en la longitud sin apoo lateral. = momento a ¼ de la longitud sin apoo lateral. = momento a ½ de la longitud sin apoo lateral. = momento a ¾ de la longitud sin apoo lateral.

25 Cabe mencionar que ASD 1989 LRFD (antes de la Edición 1993) usaban la siguiente ecuación: C b M1 M1 = M + M (3.5) Donde M 1 = momento menor en el extremo de la longitud sin apoo lateral. M = momento maor en el extremo de la longitud sin apoo lateral. M 1 /M se considera positivo si la longitud entre apoos laterales es flexionada en curvatura doble negativa, si es flexionada en curvatura simple. Cabe mencionar que el Comentario de LRFD-F1.a aun permite el uso de la Ec. (3.5) para diagramas de momentos con variación lineal. ASD LRFD establecen conservadoramente C b = 1.0 para la Ec. (3.5) si se cumplen los siguientes casos: (a) el momento máximo en la longitud entre apoos laterales excede a M ; (b) la longitud entre apoos laterales coincide con un voladizo sin apoo lateral en el extremo libre (c) miembros sujetos a flexocompresión en marcos no sujetos a translación lateral. Sin embargo, LRFD-F1.a no impone el valor de C b = 1.0 a la Ec. (3.4), excepto para el caso (b). Obviamente dicho valor también se obtiene si existe momento constante en todo el claro (o sea, M max = M A = M B = M C ). Sin embargo, LRFD- F1.a permite suponer conservadoramente C b = 1.0, independientemente del valor calculado mediante la Ec. (3.4). La Fig muestra un comparativo de las Ecs. (3.4) (3.5) para momentos con variación lineal. Se observa que los valores de C b calculados a partir de la Ec. (3.5) son siempre menores o iguales que los calculados a partir de la Ec. (3.4), resultando por consiguiente, en valores menores de M cr ; o sea, se obtienen valores mas conservadores de la resistencia nominal. Valores de C b calculados a partir de la Ec. (3.4) para distancias típicas entre apoos laterales para momentos con variación parabólica se muestran en la Fig En dicha figura, las cantidades entre paréntesis representan el cálculo de C b a

26 partir de la Ec. (3.5). Se observa en este caso, que la tendencia conservadora de la Ec. (3.4) se mantiene en unos casos. Fig Comparativo de las ecuaciones para C b para variación lineal del momento en un segmento entre apoos laterales. Fig Valores típicos de C b para diferentes distancias entre apoos laterales para variación parabólica de momentos Pandeo Lateral Inelástico. Cuando una viga incursiona en el rango inelástico se presenta una reducción en el valor de E, lo cual, como se observa en la Ec. (3.3), implica una reducción en su resistencia M cr. En estos casos, conviene reducir el valor de L para mitigar el efecto de la reducción del valor de E. En otras palabras, si se

27 espera que la viga desarrolle grandes deformaciones unitarias que la hagan incursionar en el rango inelástico, conviene imponer restricciones en la distancia entre apoos laterales L. Las restricciones impuestas a L por el AISC se discutirán mas adelante. La distancia entre apoos laterales L es renombrada por el AISC como distancia libre no arriostrada lateralmente, L b. La Fig. 3.1 establece una representación gráfica de la resistencia a flexión de una viga W16x36 en función de L b para dos valores típicos de C b. Se observa que la resistencia mínima se obtiene con C b = 1.0 (la condición de momento constante M) que se pueden obtener incrementos en la resistencia si ocurre un gradiente de momento en la distancia L b. Fig. 3.1 Comportamiento de una viga a flexión en función de la distancia entre apoos laterales Aunque la rigidez torsionante de una viga no se ve afectadasconsiderablemente por la presencia de esfuerzos residuales, la resistencia de la porción a compresión de la viga si se ve afectada. En la presencia de esfuerzos residuales, el momento máximo elástico M r está dado por la Ec. (3.1b): M = F S (3.1b) r L x

28 Por las mismas razones aludidas para columnas sujetas a pandeo inelástico (i.e., magnitud distribución de esfuerzos residuales, excentricidad accidental, contraflecha accidental), el comportamiento de vigas en el rango entre M p M r no es fácilmente analizable. La reducción en resistencia debido a esfuerzos residuales ocurre principalmente en vigas sujetas a momento constante. En los casos donde existe gradiente de momento, el efecto de los esfuerzos residuales se concentra solo en la región donde ocurre inicialmente el comportamiento inelástico (región de momento máximo), por lo que el efecto ponderado en toda la viga tiende a ser despreciable. Además, para valores menores de esfuerzos, la probabilidad de que la suma de los esfuerzos residuales genere esfuerzos de fluencia es menor. Para obtener los valores de L b necesarios para generar las deformaciones unitarias rotaciones requeridas para desarrollar el momento plástico M p, se podría usar la Ec. ( 3.3), pero ajustando las rigideces GJ EI para considerar valores en el rango inelástico. Sin embargo, debido a que normalmente los apoos laterales se ubican en los puntos donde se espera que ocurra M p las distancias L b suelen ser pequeñas en anticipación al desarrollo de M p, se puede despreciar el término que involucra a GJ en la Ec. (3.3), a que el giro la correspondiente torsión serán despreciables. Por lo tanto, la Ec. (3.3) se simplifica a: M cr π E = C w I (3.6) L Debido a que se desea alcanzar M p, entonces M cr = M p = Z x F. Además, para secciones W se tiene que C w = I h /4 I = Ar. Substituendo estas expresiones en la Ec. (3.6) considerando L = L b se obtiene: Z x F ( Ar ) π E I h = (3.7) L 4 b

29 Despejando para L b, se obtiene el valor máximo requerido para desarrollar M p en secciones W: L b r π E ha F Z x (3.8) Si se asume un valor conservador de 1.5 para la propiedad geométrica ha/z x se redefine al valor máximo de L b como L p, se obtiene: E Lp.71r (3.9) F Resultados experimentales han mostrado que se requiere un valor menor al dado por la Ec. (3.9) para generar las deformaciones unitarias rotación requerida para desarrollar M p. Por lo tanto, LRFD-F1.a establece el siguiente valor límite para L p : E Lp 1.76r (3.30) F f donde F f es el esfuerzo de fluencia del patín de compresión. Cuando se desea utilizar análisis plástico en vigas, se requiere que dicha viga pueda desarrollar una articulación plástica. Esto implica que se requieran generar rotaciones maores a las requeridas para desarrollar M p. Las especificaciones de LRFD ASD se basan en un factor de capacidad de rotación R (ver Fig. 3.8) de aproximadamente 3 si se usará análisis plástico en vigas. Se espera que las deformaciones unitarias requeridas para desarrollar R = 3 alcancen el rango de endurecimiento por deformación del acero, por lo que el valor de E en la Ec. (3.30) deberá ajustarse para dicho rango. Se ha propuesto que el valor de E sea reducido a E/F. Substituendo este nuevo valor de E en la Ec. (3.9) se obtiene: E Lp.71r (3.31) F

30 El cual representa el máximo valor de L p que puede usarse para poder usar análisis plástico en una viga sujeta a momento constante. En base a pruebas experimentales se ha propuesto el siguiente ajuste a la Ec. (3.31), considerando también la posibilidad de gradiente de momentos (ver LRFD-F1-3a): L pd M E r M (3.3) F Donde L pd = longitud máxima entre apoos laterales para poder usar análisis plástico. M 1 = momento menor en el extremo de la longitud no apoada. M = momento maor en el extremo de la longitud no apoada = M p. M 1 /M es positivo si los momentos generan curvatura doble negativa si generan curvatura simple Diseño por LRFD de Vigas de Sección W Lateralmente Inestables Flexionadas con Respecto a su Eje Fuerte. Como se mencionó en el Art , la ecuación general de diseño por flexión de vigas está dada por la siguiente expresión: φ M M (3.10) b n u Donde φ b = 0.90 M u = combinación aplicable de momentos factorizados. M n = resistencia nominal determinada en función de la categoría de la viga.

31 En el Art se hizo referencia a 4 tipos de comportamientos posibles de una viga sujeta a flexión con respecto a su eje fuerte. Dichos comportamientos representan los 4 tipos de estados límites de falla a flexión que se pueden presentar. A continuación se presentan las ecuaciones para determinar la resistencia nominal a flexión M n para cada estado límite: Desarrollo de M p con Articulaciones Plásticas. Los perfiles en ésta categoría deben ser compactos para prevenir pandeo local del patín de compresión el alma; es decir, que el alma patín de compresión cumplen con λ λ p. Además, la distancia entre apoos laterales deberá cumplir con L b L pd. Las vigas que cumplen con estos requisitos tienen la siguiente resistencia nominal: M n = M p (3.33) se podrá usar análisis plástico para obtener los momentos requeridos Desarrollo de M p sin Articulaciones Plásticas. Los perfiles en ésta categoría también deben ser compactos para prevenir pandeo local del patín de compresión el alma solo que la distancia entre apoos laterales deberá cumplir en este caso con L b L p. Las vigas que cumplen con estos requisitos tienen la misma resistencia nominal que el caso anterior [Ec. (3.33)]; sin embargo, no podrá usarse análisis plástico para obtener los momentos requeridos. En este caso los momentos requeridos se obtienen mediante análisis elástico tradicional Desarrollo de una Resistencia Nominal entre M p M r (Pandeo Laterotorsional Inelástico).

32 En este caso no se puede desarrollar M p debido a que se presenta a sea pandeo local del alma /o el patín de compresión o pandeo laterotorsional inelástico. La resistencia nominal en este caso se define dependiendo del tipo de pandeo que se presente. (a) Secciones Compactas Sujetas a Pandeo Laterotorsional Inelástico Como la maoría de los perfiles laminados son compactos, o sea sus patines almas cumplen con λ λ p, el pandeo local no se presenta la viga falla solo por pandeo laterotorsional inelástico, si la distancia entre apoos laterales cumple con L p L b L r. En este caso la resistencia nominal se define en base a una interpolación lineal entre M p M r. M n Lb L p = Cb M p ( M p M r ) M p (3.34) Lr L p Donde M r está dado por la Ec. (3.1b) L r representa la longitud máxima entre apoos laterales requerida para que M cr = M r, se obtiene al igualar la Ec. (3.1b) con la Ec. (3.) despejar para L. r X L + 1 r = X FL (3.35) FL donde X 1 π EGJA = (3.36) S x X 4Cw Sx = (3.37) I GJ Los parámetros X 1 X no son en realidad propiedades geométricas del perfil, sino solo sirven para poder expresar de una manera compacta la Ec. (3.35). Sin embargo, para facilitar el cálculo de L r, el Manual LRFD tabula dichos parámetros dentro de las propiedades geométricas de los perfiles (Ver Anexo A1 para los valores de L p L r de perfiles W).

33 (b) Secciones Semicompactas Sujetas a Pandeo Laterotorsional Inelástico Según el Art las secciones semicompactas tienen patines almas que cumplen con λ p < λ λ r la resistencia nominal está dada por la Ec. (3.13): λ λp M n = M p (M p M r ) λr λp (3.13) Donde λ = b f /(t f ) para patines, λ = h/t w para almas los valores de λ r λ p se dan en la Tabla 3.1. Para el estado límite de pandeo laterotorsional inelástico (L p L b L r ), se usa también la Ec. (3.13), solo que en este caso, es multiplicada por C b : M n = Cb M p (M p λ λp M r ) M λr λp p (3.38) Donde en este caso λ = L b /r, λ p = L p /r λ r = L r /r. La Fig muestra el comportamiento de la resistencia nominal M n en función del parámetro de esbeltez λ. Fig Resistencia nominal M n en función del parámetro de esbeltez λ para los estados límites de pandeo local del patín /o alma de pandeo laterotorsional Desarrollo de M cr (Pandeo Laterotorsional Elástico)

34 En este caso no puede desarrollarse M p a que la viga exhibe pandeo laterotorsional elástico la resistencia nominal estará dada por la Ec. (3.3). Usando los parámetros X 1 X, la Ec. (6.3) se transforma en: C S X M + X X b x 1 1 n = 1 (3.39) Lb / r ( Lb / r ) La Ec. (3.39) puede usarse para perfiles cuos patines almas cumplen con λ λ r (prácticamente todos los perfiles tabulados en el Manual LRFD cumplen con dicha condición) la distancia entre apoos laterales cumple con L b > L r. Obviamente, el valor de M n calculado mediante la Ec. (3.39) no deberá exceder C b M r ni M p. Para vigas de sección esbelta, donde a sea los patines o almas presentan la condición λ > λ r, el pandeo local elástico es un estado límite que se puede desarrollar antes de que la viga exhiba pandeo laterotorsional elástico deberá ser investigado (ver Art ). La Fig muestra la variación de la resistencia nominal M n en función de la distancia entre apoos laterales L b. En la Fig se muestra la misma variación, pero afectada por el factor C b. Fig Resistencia nominal de secciones compactas en función de la distancia entre apoos laterales

35 Ec Fig Resistencia nominal de secciones compactas en función del parámetro C b