Modelos Lineales para Datos en Paneles. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

Transcripción

1 Modelos Lineales para Datos en Paneles Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

2 Datos en paneles Una base de datos en panel contiene informacion para varios individuos (empresas, paises, etc.) en el tiempo. El aspecto fundamental es esta bidimensionalidad de los datos. Ejemplos: PSID: 6500 familias desde Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

3 Especificacion basica y it = x itβ + µ i + ɛ it i = 1,..., N, t = 1,..., T. x it es un vector de K variables explicativas, incluyendo una constante. Supondremos que ɛ it satisface todos los supuestos clasicos. En terminos matriciales Y = Xβ + Zµ + ɛ en donde Z es una matriz de N 1 variables binarias por individuo. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

4 Efectos fijos y aleatorios El punto es que hacer con Zµ en Y = Xβ + Zµ + ɛ Efectos fijos: Zµ forma parte de la esperanza condicional, como variables adicionales. Y = Xβ + Zµ }{{} modelo + ɛ }{{} error Efectos aleatorios: Zµ forma parte del termino de error, como variables omitidas. Y = Xβ }{{} modelo + Zµ + ɛ }{{} error Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

5 Efectos fijos Y = Xβ + Zµ + ɛ = Ẋδ + ɛ con Ẋ [X Z] y δ [β µ ]. Como ɛ satisface todos los supuestos clasicos, el MELI de δ es: ˆδ EF = ˆβ EF ˆµ EF = (Ẋ Ẋ) 1 Ẋ Y que no es otra cosa que un estimador de MCO agregando N 1 variables binarias por individuo. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

6 ˆβ EF es consistente si N o T,. ˆµ EF solo si N es fijo y T (problema de parametros incidentales ). ˆβ EF es consistente independientemente de que X y Z esten correlacionadas. (Z pertenece al modelo!) ˆβ EF = ( X 1 X) X Ỹ en donde x it = x it x i y ỹ it = y it ȳ i. Intuitivamente, si a cada observacion le restamos su media historica (transformacion within ), µ i desaparece. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

7 Efectos aleatorios con u Zµ + ɛ. Y = Xβ + Zµ + ɛ = Xβ + u Resultado: u it = µ i + ɛ it no satisface los supuestos clasicos, aun cuando por separado µ i y ɛ it si lo hagan. Sea Ω V (u) = E(uu ) con elemento caracteristico ω it,js = E(u it u js ). Es facil verificar que: ω it,js = 0 si i j σ 2 µ σ 2 µ + σ 2 ɛ si i = j y t s si i = j y t = s Intuitivamente: la presencia de efectos aleatorios induce autocorrelacion (la persistencia trivial de µ i ). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

8 Entonces, de acuerdo al Teorema de Aitken, el MELI es el estimador de MCG: ˆβ EA = (X Ω 1 X) 1 X Ω 1 Y que es el estimador de efectos aleatorios. La consistencia de β EA depende crucialmente de que X no este correlacionado con µ (identico a un problema clasico de variables omitidas). La implementacion practica requiere estimar previamente Ω. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

9 Efectos fijos o aleatorios? La discusion es muy similar a la de si incluir variables en un modelo o no. Si las variables omitidas no estan correlacionadas con las incluidas, el estimador que las omite es potencialmente mas eficiente. En caso contrario, es inconsistente. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

10 Test de Hausman Si µ esta correlacionado con X: ˆβEA es inconsistente, ˆβ EF es consistente. Si µ no esta correlacionado con X: ˆβEA es consistente y eficiente, ˆβ EF es consistente. Hausman (1978) propone evaluar la hipotesis de ausencia de correlacion entre µ y X en base a: H = ( ˆβ EA ˆβ EF ) (Ω EF Ω EA ) 1 ( ˆβ EA ˆβ EF ) que tiene distribucion asintotica χ 2 (K) bajo H o y converge a bajo H A. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

11 No necesariamente se sigue que hay que usar EF. Hay otras estrategias potencialmente consistentes ademas de EF. No es un test de EA vs. EF., solo explora la consistencia de los estimadores. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

12 Metodo de Momentos (MM) y Metodo Generalizado de Momentos (GMM) Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

13 Metodo de Momentos (MM) y, una variable aleatoria con E [g(y, θ)] = 0 sii θ = θ 0, θ R K. g( ) un vector de p funciones (p condiciones de momentos ). La contraparte muestral de estas condidiones es: g n (θ) = n i=1 g(y i, θ) n = 0 Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

14 Si p = K podemos proponer como estimador ˆθ forzando las condiciones muestrales a comportarse como las poblacionales: g n (ˆθ) = 0 Este es un sistema de K ecuaciones (posiblemente no lineales) con K incognitas. La solucion es el estiador de metodo de momentos. Consistencia?: ley de grandes numeros!!! Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

15 Ejemplo: Variables instrumentales: el caso q = p y = x β o + u, x es un vector de p variables explicativas. z es un vector de q instrumentos validos, de modo que: E(zu) = 0 E(z(y x β 0 )) = 0 Estas son las condiciones de momentos. La contraparte muestral es: n i=1 z i(y i x ˆβ) i = 0 n que es un sistema de q = p ecuaciones lineales con p incognitas. Resolviendo: ˆβ = ( n ) 1 ( n ) z i x i z i y i = (Z X) 1 Z Y i=1 i=1,que es el estimador de variables instrumentales (IV). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

16 Metodo de Momentos Generalizado (GMM) La logica de MM funciona porque el numero de condiciones de momentos (p) es igual al numero de parametros (K). Ejemplo: si hay p > K instrumentos, n i=1 z i(y i x i ˆβ) n = 0 es un sistema con mas ecuaciones que incognitas, MM no funciona. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

17 Generalizacion de MM (GMM): nuestro problema es que si bien sabemos que: E [g(y, θ 0 )] = 0 (las condiciones de momentos), no podemos encontrar ˆθ que satisfagan la contraparte muestral exactamente: g n (ˆθ) = 0,es un sistema de p ecuaciones con K incognitas, y p > K. Solucion: Forzar a que ˆθ haga g n (ˆθ) lo mas pequeño posible. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

18 Necesitamos definir que entendemos por g n (ˆθ) pequeño. Propuesta (GMM): ˆθ minimiza una suma ponderada de los elementos de g n (ˆθ) ˆθ GMM argmin g n (θ) C 1 n g n (θ) ˆθ GMM es consistente para cualquier C n simetrica positiva (por ejemplo, la matriz identidad!). Hansen (1982): Como elegir C n optimamente (minima varianza asintotica)?: Cualquier C n que satisfaga: p C n δ E [g(θ0 )g(θ 0 ) ] en donde δ es cualquier constante. Entonces, la matriz optima de ponderacion es la inverza de la matriz de varianzas de las condiciones de momentos. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

19 Ejemplo: IV con p > k. g(y, θ) = z(y x β 0 ) g n (y, θ) = n i=1 z i(y i x i ˆβ) n Supongamos que E(uu ) = σ 2 I. Entonces: E(g(y, θ 0 )g(y, θ 0 )) = E(zuu z ) = σ 2 E(zz ) Notar que n 1 z i z i p E(zz ), entonces, n 1 z i z i es un buen candidato para C n. Reemplazando: ˆβ GMM = argmin ( n i=1 z i(y i x i ˆβ) n ) ( zi z i n ) ( 1 n i=1 z i(y i x ˆβ) ) i n Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

20 ˆβ GMM = argmin ( n i=1 z i(y i x ˆβ) ) ( ) ( 1 n i zi z i i=1 z i(y i x ˆβ) ) i n n n En terminos matriciales, y multiplicando por n: ˆβ GMM = argmin (Y X ˆβ) Z(Z Z) 1 Z (Y X ˆβ) A partir de aqui es facil mostrar que: ˆβ GMM = (X P Z 0X) 1 X P Z 0Y = ˆβ V I que es el estimador de MC2E (TSLS). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

21 Paneles Dinamicos Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

22 Cuestiones preliminares: el estimador de VI generalizado Y = Xβ + u, Z instrumentos validos, p K, V (u X) = σ 2 I Premultiplicando por Z Z Y = Z Xβ + Z u Y = X β + u Es facil probar que E(u X ) = 0 y que V (u X ) = E(u u ) = E(Z uu Z) = σ 2 (Z Z) Γ que no es esferica. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

23 Entonces, el MELI del modelo es MCG: ˆβ MCG = (X Γ 1 X ) 1 X Γ 1 Y = (X Z(Z Z) 1 Z X) 1 X Z(Z Z) 1 Z Y = (X P Z X) 1 X P Z Y = ˆβ V I ˆβ V I es un estimador MCG de un modelo transformado. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

24 Generalizacion: V (u X) = Ω En este caso: V (u X ) = E(u u ) = E(Z uu Z) = Z ΩZ Γ Reemplazando: ˆβ MCG = (X Γ 1 X ) 1 X Γ 1 Y = (X Z(Z ΩZ) 1 Z X) 1 X Z(Z ΩZ) 1 Z Y ˆβ V IG sera el MELI. Este resultado provee un estimador de VI cuando en el modelo original hay heterocedasticidad o autocorrelacion. Lo llamaremos estimador de VI generalizado (VIG), o GIVE. Notar que hay dos transformaciones, una para resolver el problema de endogeneidad y la otra para lidiar con la varianza no esferica. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

25 Modelo dinamico simple El objetivo es estimar un modelo dinamico del tipo: y it = δy i,t 1 + x itβ + u it con u it = µ i + v it Hay dos fuentes de persistencia : µ i y y i,t 1. Ejemplos: Persistencia en el desempleo (Galiani, et al. 2005) Convergencia en el crecimiento (Islam, 1995) Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

26 Los estimadores estandar son sesgados e inconsistentes y it = δy i,t 1 + x itβ + u it con u it = µ i + v it Por construccion y it y y i,t 1 dependen de µ i. y i,t 1 esta correlacionada con u it = µ i + v it. El estimador de MCO es sesgado e inconsistente (v/hsiao (1986, pp.77)). El estimador de EA es sesgado e inconsistente (ya veremos porque). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

27 El estimador de efectos fijos tambien es sesgado e inconsistente. FE se basa en: y it = δy i,t 1 + x itβ + u it en donde las variables con * son desvios con respecto a los promedios por individuo. Notar que: y i,t 1 = y i,t 1 1 T 1 T y i,t 1, t=2 u it = v it 1 T T t=1 v it Es relativamente facil mostrar que y i,t 1 y u it estan correlacionados, por ejemplo, ambos dependen de v i,t 1 Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

28 Si x it es exogena, Nickell (1981): Cov(yi,t 1, u it) p σ2 v (T 1) T δ + δ T T 2 (1 δ) 2 cuando n, para T fijo. Entonces, EF es inconsistente. Si T, Cov(y i,t 1, u it ) p 0, de modo que la inconsistencia de EF tiene que ver, fundamentalmente, con que T es chico. Si δ > 0 el sesgo es negativo. Cuan grande es el sesgo? Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

29 Sesgo del estimador de EF sesgo T δ = 0.5, 0.8, 0.3 El sesgo disminuye con T y aumenta con δ Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

30 El estimador de Anderson-Hsiao Una transformacion que elimina el efecto individual consiste en restar y i,t 1 y obtener: y i,t = δ y i,t 1 + β x it + v it MCO es inconsistente ya que y i,t 1 esta trivialmente correlacionada con v it : ambas dependen de v i,t 1. Notar que y i,t 2 = y i,t 2 y i,t 3 si bien esta correlacionada con y i,t 1 (ambas dependen de y i,t 2 ) no lo esta con v it. Anderson y Hsiao (1981): estimar por VI usando y i,t 2 o y i,t 2 como instrumento. Arellano (1989): y i,t 2 funciona mucho mejor. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

31 El estimador de Arellano-Bond Por simplicidad, consideremos el caso β = 0: y it = δy i,t 1 + µ i + v it, t = 1,..., T Restando y i,t 1 obtenemos: (µ i desaparece!). y i,t = δ y i,t 1 + v it Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

32 Es importante ver al modelo dinamico en diferencias como el sistema de ecuaciones: y i,3 = δ y i,2 + v i3 y i,4 = δ y i,3 + v i y i,t = δ y i,t 1 + v it Consideremos la primera de estas ecuaciones, para t = 3 y i,3 = δ y i,2 + v i3 En este caso y i1 es un instrumento valido: correlacionado con y i,2 y i,2 y i,1, no con v i3 v i,3 v i,2. Cuantas observaciones tengo para estimar esta ecuacion? Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

33 Para el siguiente periodo, t = 4, la relacion es: y i,4 = δ y i,3 + v i4 pero en este caso, los instrumentos validos son y i2 y y i1. De vuelta, podriamos estimarla usando N observaciones. Usando esta logica, los instrumentos disponibles para la ultima ecuacion, en T, son y i1, y i2,..., y i,t 2. (Siempre tenemos N observaciones por ecuacion) Arellano-Bond: estimar este sistema de ecuaciones ecuacion por ecuacion pero imponiendo una restriccion de igualdad de coeficientes entre las ecuaciones (los δ tienen que ser todos iguales). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

34 Es un poco mas comodo pensar el problema dentro del contexto de GMM. En general, esta logica de validez de instrumentos implica las siguientes (T 2)(T 1)/2 condiciones de momentos : E[ v it y i,t j ] = 0, j = 2,..., T 1; t = 3, 4,..., T A partir de aqui es facil construir un estimador GMM. Para cada individuo, definamos W i de la siguiente forma: [y i1 ] 0 [y i1, y i2 ] W i =... 0 [y i1,..., y i,t 2 ] es una matriz (T 2) (T 2)(T 1)/2. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

35 Las condiciones de momentos se pueden expresar en forma vectorial como: E(W i v i ) = 0, i = 1,..., N La contraparte muestral es (1/N) N i=1 W i v i = (1/N)W v, con W una matriz formada apilando verticalmente W i para todos los individuos, v i se define similarmente. El estimador GMM de δ sera, entonces: ˆδ = argmin δ (W v) A N (W v) en donde A N es cualquier matriz simetrica positiva definida. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

36 El estimador GMM optimo podria basarse en: A N = (1/N) i W i ˆ v i ˆ v i W i en donde ˆ v i son residuos basados en un estimador consistente preliminar de δ. Notar que en este caso, estamos estimando consistentemente la matriz de varianzas de W i v i, que es lo que requiere el resultado de Hansen. Ahora el problema es encontrar un estimador preliminar de δ. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

37 Estimacion preliminar: En terminos matriciales: y = δ y 1 + v. Notar que W es una matriz de instrumentos validos para este modelo. Es facil verificar que: V ( v) = E( v v ) = σv 2 (I N G) = σv 2 Ω (V er definicion de G en Baltagi (2001, pp. 132)). Tenemos un problema de endogeneidad (y 1 correlacionada con v) y uno de no-esfericidad (V ( v) no esferica). Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

38 Arellano y Bond (91): usar como estimador preliminar, el estimador de VI generalizado que vimos anteriormente (VI con autocorrelacion/heterocedasticidad). Premultiplicando: W y = δw y 1 + W v y reemplazando en la formula del estimador ˆβ V IG : ˆδ 1 = ( y 1W (W ΩW ) 1 W y 1 ) 1 y 1W (W ΩW ) 1 W y que es el estimador preliminar de Arellano-Bond. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

39 La consistencia del estimador de AB depende crucialmente de que E[ v it y i,t j ] = 0, lo cual requiere ausencia de autocorrelacion. Es muy importante evaluar esta hipotesis. β 0. Depende del status de exogeneidad de las x. Si son todas estrictamente exogenas, el problema es facil ya que todas son instrumentos validos de si mismas. Si no todas lo son, es importante chequear cuales son instrumentos validos y cuales no. Ej: variables predeterminadas. Muestras finitas: el estimador preliminar funciona muy bien. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

40 Cuestiones empiricas Judson y Owen (1999): comparacion empirica de estimadores. OLS, LSDV(FE), GMM1(AB preliminar ), AH (Anderson-Hsiao), LSDVC (Kiviet) OLS y LSDV tienden a ser muy sesgados, aun cuando T = 20 (12% cuando δ = 0.8). Cuando T = 30 el sesgo es muy pequeño. En terminos de performance, LSDVC parece funcionar mejor que todos. LSDVC todavia no esta disponible para paneles no-balanceados y no es facil de computar. T 10: GMM1, T 20 GMM1 o AH, T 30: FE Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

41 Identificacion y Sobreidentificacion Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

42 Consideremos la aproximacion GMM al problema de variables instrumentales. Recordemod que el estimador GMM minimiza: Q T (θ) Notar que Q T (θ) 0. { } { } 1 1 T u(θ) Z W T T Z u(θ) Si el numero de instrumentos es igual al numero de parametros podemos resolver el problema de minimizacion encontrando ˆθ tal que 1 T u(ˆθ) Z = 0. Porque? En este caso Q T (ˆθ) = 0. Si el numero de instrumentos es mayor que el numero de parametros no podemos usar el argumento anterior, de modo que Q T (ˆθ) > 0. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

43 Consideremos la hipotesis nula: E[z t u t (θ)] = 0 iff θ = θ 0 y la alternativa: E[z t u t (θ)] 0 θ Bajo la hipotesis nula, si el modelo esta correctamente especificado, todos los instrumentos son validos. Bajo la alternativa al menos un instrumento es invalido o el modelo esta incorrectamente especificado. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

44 Supongamos que la hipotesis nula es correcta: Si el numero de instrumentos es igual al de parametros Q(ˆθ) es fijado en cero. Pero si el numero de instrumentos es mayor que el de parametros, Q(ˆθ) > 0, pero cuando T, va a cero. Porque? Como todos los instrumentos son validos 1 T u(ˆθ) Z 0. Supongamos que la hipotesis nula NO es correcta: Si el numero de instrumentos es igual al numero de parametros, Q(ˆθ) es tambien cero. Si el numero de instrumentos es mayor que el de parametros, Q(ˆθ) > 0, but when T, va a... Porque? Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile

45 Cuando p > K, Q T (ˆθ) mide cuan lejos esta la muestra de satisfacer las condiciones extra de momentos. Consideremos el siguiente estadistico: J T = T Q T (ˆθ T ) = 1 T u(ˆθ T ) ZŜ 1 T Z u(ˆθ t ) Se puede mostrar que bajo H 0 : E[z t u t (θ 0 )] = 0 converge en distribucion χ 2 (q p). Que pasa cuando H 0 NO es correcta? Este es un test de restricciones de sobreidentificacion. Es un test global de especificacion. Puede implicar que alguna condicion de momentos no es valida y/o que el modelo esta mal especificado. Walter Sosa Escudero. Banco Central de Chile