j Unitat 6. Moviment ondulatori

Transcripción

1 FÍSICA 0 89 j Unitat. Moviment ondulatori j Activitats. Un oscil. lador harmònic d amplitud A té una freqüència anular v. a) Quina és la fase inicial si es comença a comptar el temps quan l elonació del mòbil és la meitat de l amplitud? y(t) A sin ( t ) A y (0) y (0) A sin rad i u y u t b) I si és la quarta part? A A sin sin 4 4 rad 4,48 0,57 rad 80 A A sin sin 0,5. Escriviu l equació del moviment harmònic simple d un mòbil que es mou en l eix X si la seva amplitud és de 5 cm, la seva freqüència val 4 Hz i en l instant inicial el mòbil es troba en el punt mitjà de la seva amplitud. A 5 cm 0,5 m f 4 Hz 0,5 t 0 0 x 0,075 m x A sin ( t ) f f 4 8 rad/s 0,075 0,075 0,5 sin sin 0,5 m 0,5 rad 30 rad 80 x 0,5 sin 8 t 3. Un cos descriu un moviment harmònic simple d e quació x (t) A sin ( t 0 ). Quina serà l equació de la seva velocitat en funció del temps? Quant val la constant de fase si per a t 5 0 la velocitat del cos és nul. la? v (t) 5 dx dt = A ω cos (ω t ) Si v 0 cos º rad 4. L equació del moviment d un cos que descriu un moviment harmònic és, en unitats del SI: x 0 sin t. a) Quant valen l amplitud i el període del moviment? A 0 m; s b) I la velocitat del cos per a t s? v 0 cos t 3 v 0 cos 0 c) En quin estat de vibració es troba el mòbil en l'instant inicial? 5. La velocitat i l acceleració màximes d un cos que oscil. la verticalment amb l ajut d una molla valen, respectivament,9 m/s i 3,87 m/s. En quins punts es donen aquests valors màxims? Quines són les equacions del moviment, de la velocitat i de l acceleració d aquest cos, si es comença a comptar el temps quan l elonació del cos és la tercera part de l amplitud? 5 A v 5,9 m/s es dóna en el punt d elonació nul. la, y 5 0 a màx 5 A v 5 3,87 m/s es dóna en el punt d elonació mínima, y 5 A Amb els valors de i de a màx podem calcular v i A: A v a màx 3, v 5 0,75 rad/s A v,9,9,9 A v 5,9 m/s A , m 0,75 A A Si t i y 0 5 y 0 5 A sin (w? 0 w 0 ) sin 0 5 w 0 5 arcsin 5 0,34 rad 3 3 Per tant: y (t) 5 0, sin (0,75 t 0,34) m dy v (t) 5 5 0,? 0,75 cos (0,75 t 0,34) dt v (t) 5,9 cos (0,75 t 0,34) m/s dy a (t) 5 5,9? 0,75 sin (0,75 t 0,34) dt a (t) 5 3,87 sin (0,75 t 0,34) m/s

2 90 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. L aulla d una màquina de cosir oscil. la entre dos punts separats una distància vertical de 0 mm. Suposant que fa un moviment harmònic sim ple de freqüència 30 Hz, quina és la seva acceleració màxima en unitats del SI? A 5 0 mm v 5 f 5 30 a màx 5 v A a màx 5 ( 30) ,3 m/s k 5 75 N/m f 5 3,5 Hz v 5 p f 5?p?3,5 5 7p rad/s k k 75 v 5 m ,55 k 5 55, m v (7 p) 7. Un cos que penja d una molla oscil. la de manera que ve descrit per l equació del moviment seüent, tenint en compte que l elonació es mesura en cm i el temps en s: 4 y (t) 5 cos t, 3 5 a) Calculeu la velocitat i l acceleració màximes, el període i la freqüència. Expressem l amplitud en unitats del SI: A 5 5 cm 5 0,5 m 4 5 A v 5 0,5? 5 0,3 m/s 3 4 a màx 5 A v 5 0,5? 5,3 m/s f ,7 Hz ,5 s f 4 3 b) Determineu l elonació quan la velocitat té un valor de 0,58 m/s. dy 4 4 v (t) 0,5 sin t dt v (t ) 0, sin t 0,58 m/s ,58 sin t 0, , 4 t arcsin (0,9),8 rad y (t ) 0,5 cos t 3 5 0,5 cos (,8) 0,0 cm 8. Una molla té una constant elàstica de 75 N/m. Una massa que penja d aquesta molla oscil. la amb una freqüència de 3,5 Hz quan la separem,5 cm de la posició d equilibri. Quin és el valor d aquesta massa? 9. Una massa puntual penja d un fil inextensible de massa neliible. Posem la massa a oscil. lar amb moviment vibratori harmònic simple. Escolliu la resposta correcta a aquestes qüestions: A. La massa està sotmesa a la màxima acceleració: a) En els instants en què l elonació és màxima. b) En el punt central de l oscil. lació. c) En els instants en què la velocitat és mà xima. La resposta correcta és la a). Derivant dues veades l expressió de l arc en funció del temps s obté l acceleració que és proporcional a l arc. Per tant, és màxima quan aquest també ho és. B. Si l amplitud de l oscil. lació disminuís, la freqüèn cia del moviment: a) No variaria. b) Aumentaria. c) Disminuiria. La resposta correcta és la a). En l estudi vàlid per a petites amplituds d oscil. lació, la freqüència és independent de l amplitud. 0. Construïm un pèndol amb una petita massa que penja d un fil. Si el separem un anle de 4 de la posició d equilibri, es posa a oscil. lar amb un període de,3 s. a) Quina és la lonitud del fil? l 5 p 5 l 4p,3? 9,8 l 5 5,3 m 4p

3 FÍSICA 0 9 b) Escriviu l equació del moviment suposant que en l instant inicial el cos està passant per la posició d equilibri. s 5 l sin U 5,3 sin 4 5 0,09 m 9,8 v 5 5 5,73 rad/s l,3 x w s (t) 5 S sin (vt w 0 ) s(t) 5 0,09 sin,73t. Un oscil. lador harmònic està format per una molla ideal de massa neliible i una partícula puntual unida a l extrem de la molla, de massa m 40. El període d oscil. lador és de s. a) Si l amplitud de les oscil. lacions és de 0 cm, quina velocitat màxima adquireix la massa m? p 5 Av 5 A 5 3,4 cm/s b) Representeu en una ràfica l acceleració de l oscil. lació en funció del temps, i indiqueu en els eixos les escales corresponents. x (t) 5 A sin v t p a (t) 5 A v sin v t, amb A v 5 0, 5 0,99 m/s b) La lonitud del ronxador. Amb l expressió de la freqüència d un pèndol calculem la lonitud del ronxador: v f l l 9,8 l,54 m 4 f 4 0,3 c) L eneria mecànica. L eneria mecànica coincideix amb l eneria potencial al punt més alt de la trajectòria (ja que en aquest punt no hi ha eneria cinètica). Per tant: E E p màx m y m l ( cos ) 5 9,8,54 ( cos 0 ) 9,45 J 3. Doneu exemples d ones mecàniques i dieu si són lonitudinals o transversals. Per exemple: ones transversals en una superfície d un líquid, ones en una corda, que poden ser tan transversals o lonitudinals, i les ones sonores propaant-se en l aire que són ones lonitudinals. 4. Suposeu que amb una mà subjecteu l extrem d una corda i que l altre extrem està fixat a una paret. Expliqueu quins moviments amb la mà i el canell s han de fer per: a) Oriinar un pols en la corda. Per produir un pols cal fer un cop sec a l extrem de la corda amb un moviment ràpid del canell. b) Oriinar un tren d ones en la corda. Per produir un tren d ones, cal mantenir un moviment continu del canell amunt i avall. c) Quant hauria de valer la massa m perquè la freqüència de l oscil. lador es multipliqués per dos? m m v 5 k; si v v, m Un ronxador efectua 5 oscil. lacions en s amb un anle de separació respecte de la vertical de 0º. Si en el ronxador hi ha un nen de massa 5 k, determineu: a) La freqüència d oscil. lació. Amb les dades de l enunciat calculem la freqüència: 5 osc f 0,3 Hz s 5. Quines manituds físiques són pertorbades pel pas d una ona electromanètica? Els camps elèctric i manètic a cada punt de l espai on arriba l ona electromanètica.. Definiu la velocitat de fase d una ona, el front d ona i el rai. j Velocitat de fase d ona: velocitat a la que es propaa la pertorbació en un medi determinat. j Front d ona: conjunt de punts del medi als quals arriba la pertorbació en un instant de temps determinat. j Rai: qualsevol línia recta que siui perpendicular a un front d ona determinar.

4 9 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 7. Com es pot enerar una ona cilíndrica? Expliqueu-ho detalladament. Per enerar una ona cilíndrica cal fer oscil. lar alhora tots els punts que estiuin situats sobre una mateixa recta i de tal manera que l ona es transmeti en l espai al llar d un medi homoeni, per tal que es conservi la forma de l ona. 8. A distàncies prou rans d un focus emissor d ones esfèriques, com són els fronts d ona? A distàncies prous rans del centre, les superfícies esfèriques es poden assimilar localment a plans ja que els diferents fronts d ona esfèrics tenen poca curvatura. És una bona aproximació considerar-los fronts d ona plans. 9. Per a una ona harmònica que vibra amb una freqüència de 0 Hz i una amplitud de cm, la distància mínima entre dos punts que estan en fase és de mm, quina serà la velocitat de fase de l ona? v f 0,00 0 0,4 m/s 0. Una ona harmònica de freqüència 550 Hz es propaa a una velocitat de 300 m/s. Quina és la distància mínima entre dos punts que en tot moment es troben en el mateix estat de vibració? λ= v 300 0,55m f = 550 =. L equació d una ona transversal, en unitats del SI, és: t x y 5 0,04 sin p. Determineu el període, la lon- 4 itud d ona, la freqüència i la velocitat de fase. t x y 5 A sin p 5 s; f 5 5 0,5 Hz l l 5 4 m; v 5 lf 5 m/s. L equació d una ona harmònica transversal és (en unitats t x del SI): y 0,4 sin. Quant valdran l elonació 4 i la velocitat transversals del punt x 0 a l instant t s? L elonació a x 5 0 a l instant t 5 s és: y 5 0,4 sin p 0 5 0,4 sin 3 p 5 0 La velocitat és: d y 0,4 t x v 5 cos d t 4 Per tant, a x 5 0 a l instant t 5 s val: v 5 0, cos 0 5 0, m/s 0,3 m/s 3. Una ona harmònica descrita per l equa ció y (x, t) cos p (x t) en unitats del SI, viatja per un medi elàstic. A. La velocitat de propaació de l ona és de: a) 0,5 m/s b) m/s c) m/s v 5 m/s. L opció correcta és la c). k B. La distància mínima entre dos punts en el mateix estat de pertorbació és de: a) 0,5 m b) m c) 5 m La distància mínima val: 5 v m. L opció correcta és la b). C. L amplitud de la pertorbació és de: a) 0,5 m b) m c) m L amplitud de la pertorbació és A m. L opció correcta és la c). D. La freqüència anular (o pulsació) és de: a) p rad/s b) rad/s c) rad/s La pulsació és: rad. L opció correcta és la a). E. La velocitat màxima d oscil. lació d un punt afectat per la pertorbació és de: a) m/s b) m/s c) 4 m/s d y La velocitat és: v 4 sin ( x t) que dóna d t lloc a un valor màxim de 4 m/s. L opció correcta és la c).

5 FÍSICA 0 93 j Activitats finals h Qüestions. Quina característica distineix un moviment harmònic d un moviment vibratori qualsevol? Un moviment vibratori qualsevol és aquell moviment periòdic en el qual el mòbil es mou al voltant d una posició d equilibri i repeteix una veada i una altra la seva trajectòria. El moviment harmònic és el més senzill que es dóna a la natura i resulta de projectar un moviment circular uniforme sobre un eix que passi pel centre de la circumferència i que estiui continut en el pla que la defineix. 4. A la fiura hi ha representats tres moviments harmònics simples. Escriviu les equacions del moviment i calculeu el desfasament entre aquests.. Un mòbil descriu un moviment harmònic d equació x A sin t. Quina serà la seva ve locitat en l instant en què l elonació siui màxima (x A)? v 5 0, ja que v 5 A ω cos ω t 5 A ω cos 90º Quin és l anle de desfasament que hi ha entre la velocitat i l acceleració del moviment harmònic simple? Raoneu la resposta. Si tenim en compte que la velocitat i l acceleració es poden expressar per les equacions: v (t) A cos t A sin t a (t) A sin t A sin ( t ) Aleshores podem comprovar que l anle de desfasament és: ( t ) t Això també es pot comprovar si observem els ràfics v-t i a-t que s obtenen en representar les funcions anteriors. : x A sin t A sin t : x A sin t A sin t 3: x A sin ( t ) A sin t Càlcul dels anles de desfasament : Entre i : t t Entre i 3: ( t ) t Entre i 3: ( t ) t ambé es pot comprovar si s observen els ràfics on representem les tres funcions harmòniques.

6 94 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 5. La freqüència anular d un oscil. lador harmònic és el triple que la d un altre. Diueu quina relació hi ha entre: 3 a) Els períodes b) Les freqüències. f f 3 3( f ) f f 3 f c) Les amplituds. L amplitud d un oscil. lador harmònic no està relacionada amb la freqüència anular, ja que el seu valor depèn de les condicions inicials en què se n estudia el moviment. Raoneu les respostes.. Penem dos cossos diferents de dues molles que tenen la mateixa constant elàstica. Raoneu com són entre ells els períodes d oscil. lació dels cossos en els casos seüents: L expressió que llia la constant elàstica amb la massa i el períok de és 5 p. m a) Un dels cossos té una massa quatre veades més ran que l altre, però estan separats la mateixa dis tància de la posició d equilibri. Si la constant elàstica dels dos oscil. ladors és la mateixa i la massa del primer és quatre veades la del seon: m m 5 4 m m 5 p k m 4 m m 5 p 5 p 5 4 p 5 k k k 5 Així doncs, el període del seon oscil. lador és la meitat del període del primer. b) Els cossos són iuals, però l amplitud d oscil. lació d un cos és el doble que la de l altre. Ara estem considerant que tant les masses dels oscil. ladors com les seves constants elàstiques són les mateixes per a tots dos. Si tenim en compte que l amplitud no està relacionada amb les manituds anteriors i recordeu l expressió anterior que relaciona el període amb la massa i la constant elàstica, hem de concloure que els períodes d oscil. lació de tots dos casos també són iuals. 7. Disposem de dues molles idèntiques, fixades al sostre. Penem una massa A a la primera molla i una massa B a la seona, i les deixem oscil. lar amb un moviment harmònic simple. a) Si m A 5 m B, determineu la relació entre els períodes d oscil. lació. k m A A k mb B m B B B m A A A A d A b) Expliqueu com afecta l amplitud de l oscil. lació al valor del període. En el moviment harmònic simple, el període és independent de l amplitud del l oscil. lació. No l afecta. 8. enim dos pèndols de la mateixa lonitud, però la massa d un és el doble de la de l altre. Com són els períodes entre ells? El període d oscil. lació d un pèndol ve donat per l expressió l 5 p d lll. Per tant, podem comprovar que la massa no influeix en el valor del període. Així, si les lonituds dels dos pèndols són iuals, els seus períodes també són iuals. 9. enim dos pèndols de la mateixa massa, però la lonitud d un és quatre veades la de l altre. Com són els períodes entre ells? El període d oscil. lació d un pèndol ve donat per l expressió l 5 p d lll. Per tant, l l 5 4 l l 5 p l 4l 5 p 5 p 5 l 5? p 5 5

7 FÍSICA En el moment que un pèndol simple passa per la posició més baixa, la tensió i el pes, coincideixen? Raoneu-ho. v En aquesta posició, p 5 m. Si tenim en compte que l l acceleració centrípeta és positiva, deduïm que: p. 0. p.. Volem resoldre un problema proposat per Galileu. Una corda està penjada dalt d una torre alta, de manera que l extrem superior és invisible i innacces sible, però l extrem inferior sí que es veu. Com tro baríeu la lonitud de la corda? Sabem que el període d oscil. lació d un pèndol simple és l 5 p d lll. Si fem oscil. lar la corda i mesurem el període d oscil. lació, seons aquesta expressió tenim: l 5 l 5 4 p p. Quina de les ràfiques seüents pot representar l eneria potencial d un objecte lliat a una molla en funció del seu desplaçament de la posició d equilibri? Raoneu la resposta. L opció correcta és la b) perquè l eneria mecànica d un oscillador és constant. 4. Proposeu dos experiments en els quals es demostri que en la propaació d una ona no hi ha transport net de matèria. El primer experiment consisteix a col. locar un suro petit sobre la superfície en repòs d un líquid i enerar una ona llançant un objecte sobre la superfície a una determinada distància del suro. Així, veurem que, en arribar la pertorbació al suro, aquest es posa a oscil. lar en direcció vertical sense que es desplaci en la direcció en què avança l ona, és a dir, en direcció horitzontal. Un seon experiment, semblant a l anterior, consisteix a fer passar un fil o una corda pel forat d una volandera. Si fem oscil. lar la corda en un pla vertical, observarem que la volandera es posa a oscil. lar en direcció vertical sense que es desplaci en la direcció en què avança l ona. 5. En què es diferencia una ona lonitudinal díuna ona transversal? Expliqueu-ho detalladament. En una ona lonitudinal la direcció d oscil. lació de les partícules del medi és la mateixa que la direcció de propaació de l ona, mentre que en una ona transversal aquestes direccions són perpendiculars. Un exemple d ona lonitudinal és el so; un exemple d ona transversal és l ona produïda en una corda. U 5 k x paràbola amb les branques cap amunt. La solució correcta és la a). 3. Quina de les ràfiques seüents representa millor la variació de l eneria mecànica d un oscil. lador harmò nic simple en funció del temps? Raoneu la resposta.. Com es poden classificar les ones si tenim en compte el temps que dura la pertorbació? Expliqueu-ho detalladament. Si la pertorbació que oriina l ona dura un interval de temps molt petit, airebé instantani, tenim un pols. En aquest cas l eneria que es transmet amb l ona es proporciona durant aquest temps petit. Si la pertorbació que oriina l ona dura un temps relativament ran, tenim un tren d ones. En aquest cas l eneria que es transmet amb l ona és proporcionada de manera contínua durant l interval de temps que dura la pertorbació i es enera una succesió de polsos. 7. Dibuixeu dues ones transversals: a) De la mateixa amplitud, però una amb una lonitud d ona una triple que la de l altra.

8 9 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE b) De la mateixa lonitud d ona, però una amb la meitat d amplitud que l altra. 0. Si disminuïm la freqüència d una ona, com variarà la lonitud d ona si es transmet a través del mateix medi? Raoneu la resposta. Si l ona no canvia el seu medi de transmissió, la seva velocitat de fase no varia encara que variï la seva freqüència. Per tant, si recordem l expressió que relaciona la freqüència, la velocitat de fase i la lonitud d ona, v 5 l f, podem comprovar que, en disminuir la freqüència f, la lonitud d ona l aumenta per tal que la velocitat de fase v es mantinui constant. c) De la mateixa amplitud i la mateixa lonitud d ona, però desfasades 80º.. Expliqueu detalladament què vol dir que una ona és doblement periòdica. En tota ona s ha de considerar una doble periodicitat: en el temps i en l espai. En el temps, perquè qualsevol partícula del medi oscil. la al pas de l ona, i sabem que un moviment oscillatori és un tipus particular de moviment periòdic. En l espai, perquè l ona es va repetint periòdicament a in tervals reulars de lonitud d ona d acord amb el seu valor de lonitud d ona. Aquesta doble periodicitat queda reflectida, per exemple, en l equació d ona harmònica, en la qual la periodicitat temporal ve donada pel valor del període, mentre que la periodicitat espacial ve donada pel valor de la lonitud d ona: y(x, t) 5 A sin (v t kx) 5 A sin p 8. Per a una ona que es desplaça sobre l eix X cap a l es querra, com s expressa l equació d ona? Si una ona es desplaça cap a l esquerra, podem considerar que la seva velocitat de fase és neativa. Per tant, si anomenem v el valor absolut d aquesta velocitat, tenim que: x y (x, t) 5 A sin v t 5 v x 5 A sin v t y (x, t) 5 A sin (v t kx) v 9. Escriviu l equació de la quantitat de moviment que transmet una ona en el cas d una ona harmònica. Recordem que l equació d una ona harmònica és: y(x, t) 5 5 A sin (v t kx). Si derivem aquesta equació respecte del temps, obtenim la velocitat d una partícula del medi situada a una distància x del focus: dx v 5 5 A v cos (v t kx) dt Finalment, si multipliquem aquesta velocitat per la massa m de la partícula del medi que ocupa la posició x, obtenim la quantitat de moviment en mòdul, p, que transmet l ona: p 5 mv 5 m A v cos (v t kx) 5 p 0 cos (v t kx) en què p 0 5 m A v és el valor màxim de la quantitat de moviment que assoleix la partícula. Aquesta doble periodicitat d una ona també queda reflectida si tenim en compte que l expressió que llia la velocitat de fase v, la lonitud d ona l i el període ve donada per l v 5. D altra banda, es defineix la velocitat de fase com la relació entre la distància que recorre l ona des del focus fins a un punt determinat situat a una distància x del focus i el x temps que tria a fer-ho, v 5. t Per tant, si comparem ambdues expressions, comprovem que, en el temps d un període, l ona avança una lonitud iual a la lonitud d ona, mentre que, perquè l ona recorri una lonitud iual a la lonitud d ona, ha de transcórrer el temps d un període.. Dos diapasons emeten sons les freqüències dels quals estan en la relació :. Raoneu quin tipus de relació tenen: a) Els seus períodes. La relació entre les freqüències dels dos diapasons és :. Això vol dir que la freqüència f del primer so és el doble de la freqüència f9 del seon so: f 5 f9. Si tenim en compte la relació que llia la freqüència i el pe- ríode, f 5, trobem que: 9 f 5 f9 5 5 f9 5 5 f f9 Per tant, els períodes estan en la relació :, és a dir, que el període del primer so és la meitat del període del seon so.

9 FÍSICA 0 97 b) Les seves lonituds d ona. Si tenim en compte la relació que llia la velocitat de fase, la freqüència i la lonitud d ona, i considerem que els dos sons es transmeten a la mateixa velocitat del so v, comprovem que: v v9 v l9 f 5 f9 l l 5 f f9 f9 Per tant, les lonituds d ona també estan en la relació :, és a dir, que la lonitud d ona del primer so és la meitat de la lonitud d ona del seon so. 3. Un tren d ones travessa un punt d observació. En aquest punt, el temps transcorreut entre dues crestes consecutives és de 0, s. De les afirmacions seüents, escolliu la que siui correcta i justifiqueu la resposta. a) La lonitud d ona és de 5 m. b) La freqüència és de 5 Hz. c) El període és de 0,4 s. d) Cap de les afirmacions anteriors no és correcta. De l enunciat es dedueix que 0, s. Així: f 5 Hz. 0, És a dir, l afirmació b) és correcta. Per tant, ni la c) ni la d) són correctes. Pel que fa a l afirmació a), no tenim prou dades per a trobar la lonitud d ona ja que desconeixem la velocitat de propaació i v. h Problemes. Un oscil. lador harmònic comença el seu moviment des d un extrem a 0 cm del punt d equilibri i tarda 0,5 s a arribar al centre. Calculeu: a) El període del moviment. 4 0,5 s b) El nombre d oscil. lacions que fa en min. 0 s f Hz s 0 vibracionsmin min c) La pulsació. f rad/s d) La posició quan han passat 0,5 s de l inici del moviment. x A sin ( t ) 0, sin t y rad t 0,5 s x 0, sin 0,5 0, sin 0, m. Una partícula vibra amb una velocitat màxima de 0 m/s. Calculeu la freqüència i l acceleració màxima si l amplitud d aquest moviment és de 0 cm. v m 0 m/s A 0 cm 0, m v m 0 v m A 00 rad/s A 0, 00 f f 3,83 Hz a A 00 0, m/s 3. Un cos vibra amb una amplitud de 4 cm i una freqüència de 50 Hz. robeu: a) La velocitat màxima de la vibració. f rad/s A 0, ,57 m/s b) La velocitat quan l elonació val cm. v A cos ( t ) y 0 x A sin ( t ) x 0,04 sin (00 t ) 0,04 sin (00 t) 0,0 0,0 0,04 sin (00 t) sin (00 t) 0,04 0,5 sin (00 t) 4,48 4,48 rad 00 t t 0,04 s 00 v 0,04 00 cos (00 0,04), m/s c) El nombre de vibracions en min s f 50 s min vibracions/min 4. El moviment d una partícula ve donat per l equació p x 5 8 sin t, en cm. Calculeu: a) L amplitud del moviment. A 8 cm b) El període. 4 s

10 98 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE c) La posició de la partícula en els instants de temps t 0, t s, t s, t 3 s, t 4 s i t 5 s, i representeules en una ràfica. t (s) x (cm) c) La constant recuperadora de la molla. m a y 5 k y a y 5 y k 5 m k 5 8,43 N/m. Un oscil. lador harmònic es construeix fixant l extrem superior d una molla, penjant-hi una massa de 3 de l extrem inferior i separant la massa 7,5 cm de la seva posició d equilibri. Prèviament hem mesurat la lonitud en repòs de la molla sense la massa i amb la massa penjada, i hem obtinut uns resultats de 3,3 cm i 8,8 cm, respectivament. 5 8 a) Escriviu l equació del moviment d aquest oscil. lador suposant que comencem a comptar el temps quan la massa passa per la posició d equilibri i amb velocitat positiva. 5. Un objecte de massa 3 k penja d una molla. Des de la seva posició d equilibri l estirem cap avall una distància de 5 cm i, des d aquest punt i trobant-se inicialment en repòs, el deixem oscil. lar lliurement. El període d oscil. lació és d s. Deter mineu: a) Les constants A,,, en unitats del SI, de l equació y A cos (v t ) que descriu el moviment de l objecte. A 5 0,5 m t 5 0, y 5 A 5 ( 5 0 també és correcte) 5 s 5 5 rad/s,8 rad/s b) El valor màxim de l acceleració de l objecte, la seva direcció i sentit, i els punts de la trajectòria en què s assoleix. d y a y 5 5 A cos ( t ) d t valor màxim a y màx 5 A a y màx 5 m/s S assoleix als dos extrems de la trajectòria. F 5 k Dy m 5 k Dy m 0,03? 9,8 k ,05 N/m Dy 0,088 0,033 k 4,05 v ,3 rad/s m 0,03 y 5 A sin (v t w) y 5 0 A 5 0,075 m y (t) 5 0,075 sin 3,3 t b) Quines són la velocitat i l acceleració màximes? A 0,075 3,3 0,99 m/s a màx A 0,075 3,3 3,3 m/s 7. Penem un cos de 5 de massa d una molla de constant elàstica 5 N/m. Quin és el període de les oscil. lacions que es produeixen en separar el cos de la seva posició d equilibri i deixar-lo anar? m 0,05 d llll d lllllll 0,34 s k 5 8. Hem mesurat la constant elàstica d una molla pel mètode dinàmic, que consisteix a penjar una massa i comptar el temps que tria a fer una sèrie d oscil. lacions; quan la massa és de 4, veiem que fa 0 os cil. lacions en un temps de,5 s.

11 FÍSICA 0 99 a) Calculeu la constant elàstica de la molla i la freqüència de les oscil. lacions.,5 0,5 s f, Hz 0 0,5 k m 0,04 4,4 N/m 0,5 b) Escriviu l equació del moviment quan separem la molla una lonitud de,5 cm de la seva posició d equilibri, suposant que el cos inicialment es troba en un punt d elonació màxima. Calculeu també la velocitat i l acceleració màximes. k 4,4 d llll d lllllll 0,05 rad/s m 0,04 Per tant, l equació del moviment és: y (t),5 0 sin (0,05 t 0 ) La velocitat és: d y v,5 0 0,05 cos (0,05 t 0 ) d t El valor màxim de la velocitat és:,5 0 0,05 0,5 m/s L acceleració ve donada per: d v a,5 0 0,05 sin (0,05 t 0 ) d t El valor màxim de l acceleració és: a màx,5 0 0,05,53 m/s 9. Un cos de 9 de massa està enanxat a una molla i experimenta un moviment harmònic simple, de ma nera que en l instant inicial l elonació és la sisena part de l amplitud, mentre que la velocitat i l acceleració són, respectivament, 0,38 m/s i 5,4 m/s. D acord amb les dades, la velocitat inicial és positiva, mentre que l acceleració inicial és neativa; aquesta situació només és possible quan l elonació inicial també és neativa. Per calcular A, v i w 0 resolem les equacions que s obtenen de l elonació, la velocitat i l acceleració en l instant inicial prenent valors absoluts, i, en donar l equació del moviment, tindrem en compte el sine neatiu de l elonació inicial: a) Escriviu les equacions del moviment, de la velocitat i de l acceleració. A x(t) 5 A sin (vt w) x(0) 5 A 5 A sin w w 5 sin 5 9,59 5 0,7 rad v (t) 5 A v cos (v t w) v(0) 5 0,38 m/s 0,38 5 A v cos w 0,38 5 A v cos 9,59 0,38 5 A?v?0,98 A v 5 0,385 a (t) 5 A v sin (v t w) a (0) 5 5,4 m/s 5,4 5 A v sin w 5,4 5 A v 3,5 5 A v 3,5 3,5 5 0,385 v v ,38 rad/s 0,385 0,385 A 5 5 4,5?0 3 m 84,38 x(t) 5 4,5?0 3 sin (84,38 t 0,7) m v(t) 5 0,38 cos (84,38 t 0,7) m/s a(t) 5 3,5 sin (84,38t 0,7) m/s b) Determineu la constant elàstica de la molla i escriviu l expressió de la força recuperadora en fun ció del temps. k 5 v m 5 84,3? 0, ,04 N/m F(t) 5 ma(t) 5,94 sin (84,38 t 0,7) N 0. Construïm un pèndol senzill amb una petita esfera de 35 de massa i una corda de 45 cm de lonitud. Determineu el període, la freqüència i la freqüència anular de les oscil. lacions que es produeixen en deixar anar el pèndol des d una posició que forma 3 amb la vertical. l 0,45 5,35 s f 0,74 Hz 9,8 5 p 5 p 9,8 d llll d lllll 4,7 rad/s l 0,45. Separem un pèndol una lonitud d arc de cm respecte de la posició d equilibri. Si la lonitud del pèndol és d,35 m i la massa que hi penja és de k, calculeu: a) El període i la freqüència anular de les oscil. la cions que es produeixen. l,35 5 p 5 p 5,33 s 9,8 p p v 5 5 5,9 rad/s,33 b) La velocitat màxima del pèndol. 5 A v 5 0,?,9 5 0,59 m/s

12 00 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE. Un pèndol oscil. la amb un moviment harmònic simple quan se separa un anle de 5 respecte de la vertical. Si el pèndol passa per la posició d equilibri a una velocitat de 0,38 m/s, determineu la seva equació del moviment sabent que comencem a comptar el temps quan es troba a la cinquena part de la seva amplitud. Quan valen el període i la freqüència d aquest pèndol? v 0 5 0,38 m/s E c màx E p màx m v 0 m h màx v 0 0,38 h màx 7, m 9,8 y h màx l l cos h màx l h màx 7, l,94 m cos cos 5 9,8,5 rad/s l,94 S l,94 0,7 m 3 s(t) S sin ( t 0 ) S S sin 0 0 arcsin 0,0 rad 5 5 Per tant: s (t) 0,7 sin (,5 t 0,0),79 s v,5 f f 0,3 Hz,79 3. Un cos d, k de massa està lliat a una molla que l oblia a descriure un moviment harmònic simple donat per l'equa- ció x (t) 0,03 sin t, en què x s expressa en 0 metres. Determineu l eneria cinètica i l eneria potencial del cos quan passa pel punt d elonació x, cm. p p x (t) 5 0,03 sin t 0 k p v 5 k 5 v m 5?, 5 0,44 N/m m E p 5 kx 5? 0,44? 0, 5,0? 0 4 J E 5 ka 5? 0,44? 0,03 5,98? 0 4 J E c 5 E E p 5,98? 0 4,0? ,? 0 5 J 4. Una molla horitzontal està unida per l'extrem de l'esquerra a la paret i per l'extrem de la dreta a una partícula de massa k. Separem la partícula una distància de 5 cm cap a la dreta de la seva posició d'equilibri i la deixem anar. En aquest moment comencem a comptar el temps. La partícula descriu un moviment harmònic simple amb un període de 0,75 s. Quan la partícula es trobi a 0,0 m a la dreta del punt central de l'oscil. lació i s'estiui movent cap a la dreta, determineu: a) L'eneria cinètica de la partícula. E 5 m v k x k A 8,38 rad/s 0,75 k m 8,38 40 N/m m v k A k x 40 (0,5 0,0 ) 3,7 J Solució alternativa: x (t) 5 A cos (v t θ 0 ) El sentit positiu de les X és cap a la dreta. La posició d equilibri correspon a x 5 0. Condicions inicials: t 5 0; A 5 A cos (0 u 0 ) cos u 0 5 θ p v 5 5 8,38 rad/s 0,75 Per x 5 0,0 m: 0,0 5 0,5 cos v t v t 5, rad d x v 5 5 A v sin v t 5, rad d t Per x 5 0,0 m (i es mou cap a la dreta): v 5 0,5? 8,38 sin (,) 5,9 m/s E c 5 m v,9 3,7 J b) L'eneria mecànica del sistema. E E c E p mv m (A màx v) E (0,5 8,38) 4,4 J Solució alternativa: E m v k x k A E 40 0,5 4,4 J

13 FÍSICA 0 0 c) La força resultant que actua sobre la partícula. Doneune el mòdul, la direcció i el sentit. F 5 m a 5 m v x F 5? 8,38? 0,0 5 4,04 N k a 5. Fem oscil. lar amb una amplitud de 5 cm un dels extrems d una corda, de manera que en 5 s fa 0 oscil. lacions. Si l altre extrem està a 4 m de distància, mesurada horitzontalment, i la pertorbació tria, s a arribar: En primer lloc, calculem la freqüència amb les dades de les oscil. lacions que fa en 5 s. 0 osc. f 5 5,33 Hz 5 s a) Calculeu la velocitat de fase de l ona. Calculem la velocitat de fase amb les dades de la distància entre extrems i el temps que tarda la pertorbació a arribar d un extrem a l altre: D x 4 v 5 5 5,54 m/s D t, b) Calculeu el nombre d ona. p Apliquem les expressions v 5 l f i k 5 : l v,54 v 5 l f l 5 5 5,5 m f,33 p p k ,44 rad/m l,5 c) Escriviu l equació d ona suposant que en l instant inicial el focus es troba en l estat d oscil. lació y A. Si per t 0 i x 0, tenim y A 0,5 m, tenint en compte el valor de k calculat abans i, a més a més, que: f,33 8,38 rad/s obtenim: y (x, t) A cos ( t k x) 0,5 cos (8,38 t 5,44 x). Una noia pilota una llanxa situada damunt de la superfície d un llac i, amb el seu moviment, oriina sobre l aiua 5 oscil. lacions durant un temps de 5 s. Si l ona superficial que es produeix tria 8 s a arribar a la riba del llac, que es troba a 30 m, quina és la lonitud d ona de l ona enerada? 5 osc. f 5 5 0, Hz 5 s D x 30 m v 5 5 5,7 m/s D t 8 s v,7 l 5 5 5,78 m f 0, v 7. A l aiua de mar el so es transmet amb una velocitat aproximada de 530 m/s. Quina és la freqüència que cor respon a un so de lonitud d ona,5 m? rieu la resposta correcta: a) 3 85 Hz b),3? 0 3 Hz c) Hz v m/s l 5,5 m v 530 f Hz l,5 Per tant l opció correcte es la c). 8. L oïda humana només és sensible als sons que tenen una freqüència compresa entre 0 Hz i Hz. A quines lonituds d ona del so és sensible l oïda humana, si suposem que la velocitat en l aire és de 345 m/s? f Hz v 345 v m/s l ,5 m f 0 0 f màx Hz v m/s v 345 l ,7? 0 m f màx Una ona sonora de 440 Hz té una lonitud d ona de 77 cm. Quina serà la lonitud d ona d una ona sonora de 00 Hz que es propaui en el mateix medi? v f 0, m/s v ,9 m 9 cm f En una cubeta d ones enerem ones de 0 Hz de freqüència i de cm d amplitud, de manera que tarden 5 s per a recórrer 0 m. A. La velocitat màxima de vibració dels punts de la superfície de l aiua és: a) m/s b) 0,8 m/s c) 4 m/s D x 0 v m/s D t 5 v f 0 40 rad/s v v 40 v k 0 m k v y (x, t) 0,0 sin (40 t 0 x) v (x, y) 0,0 40 cos (40 t 0 x) 0,8 cos (40 t 0 x) El valor màxim de la velocitat anterior es dóna quan cos (40 p t 0 p x) 5, i, per tant, aquest valor de la velocitat és 0,8 p m/s. Així doncs, la resposta correcta és la b).

14 0 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE ambé podem arribar al mateix resultat si recordem que el valor màxim de la velocitat del moviment harmònic simple, que és el moviment que assoleixen els punts de la superfície de l aiua al pas de l ona, és: 5 A v 5 0,0? 40 p 5 0,8 p m/s B. La diferència de fase entre dos punts sobre la super - fície de l'aiua situats en la mateixa direcció de propaació de l'ona i separats per una distància de 5 cm, en un instant determinat és: a) rad b) rad 4 c) rad Dw (v t k x ) (v t k x ) k (x x ) k D x 0 0,05 rad Per tant, la resposta correcta és la c).. L equació d una ona que es propaa per una corda és y (x, t) 8 sin ( (00 t 8x)), on x i y es mesuren en centímetres i t en seons. Calculeu el temps que triarà l ona a recórrer 5 m. 3. La funció de l ona enerada en una corda és: t x y (x, t) 0, sin,5 0,5 en què les distàncies s expressen en metres, i el temps en seons. Calculeu: Lleim els valors de A, i l directament de la funció d ona. a) La freqüència. 5,5 s f ,8 Hz,5 b) La velocitat de fase. l 5 0,5 v 5 l f 5 0,5? 0,8 5 0,4 m/s c) L amplitud. A 5 0, m d) La lonitud d ona. l 5 0,5 m e) Esquematitzeu els dos últims resultats sobre un dibuix que representi la forma de la corda. Busquem primer la velocitat de fase de l ona. A partir de l expressió de l equació d ones deduïm: k 5 8 p rad/cm 5 8 p 0 rad/m; v 5 00 p rad/s 00 Aleshores: v,5 0 m/s k 8 0 L ona triarà a recórrer 5 m un temps iual a: s 5 t 00 s v,5 0. L ona produïda sobre la superfície d un líquid arriba a dos objectes que hi suren damunt i que estan separats una distància d,3 m. Els objectes es posen a os cil. lar i fan oscil. lacions en 4 s, de manera que els moviments harmònics simples dels dos objectes estan en fase, i entre ells hi ha 3 lonituds d ona. Amb quina velocitat es propaa l ona sobre la superfície d aquest líquid? Com que els dos objectes estan separats una distància d,3 m i entre els dos hi ha 3 lonituds d ona aleshores: Dx,3 l ,43 m 3 3 osc. f Hz 4 s v 5 l f 5 0,43? 4 5,73 m/s 4. Determineu la diferència de fase que hi ha entre dos punts d un medi en el qual es propaa una ona amb una velocitat de fase de 0 m/s i un període de 0,05 s, si sabeu que els punts estan a unes distàn cies de 8 m i m, respectivament, del focus. Amb les dades que es donen de i v calculem v i k: 5 0,05 s f Hz 0,05 v 5 p f 5 p? p rad/s v 5 0 m/s v 40 p p k rad/m v 0 3 La diferència de fase és: Dw 5 w w 5 (v t kx ) (v t kx ) 5 p 4p 5 k (x x ) 5 ( 8) 5 rad 3 3

15 FÍSICA L equació d un moviment ondulatori està determinada per la t x funció y (x, t) 7 0 cos, en què totes les ma- 4 nituds expressades en unitats del SI. Determineu: Lleim els valors de A, v i k directament de la funció d ona. a) L amplitud i la velocitat d un punt que és a una dis tància d m del focus. L amplitud és: A 7 0 m La velocitat de qualsevol punt on arriba l ona és: d y (x, t) t x v (x, t) 7 0 sin d t 4 4 t x,75 0 sin 4 La velocitat d un punt tal que x m val: t v (, t),75 0 sin 4 t,75 0 sin,83 4 b) La freqüència anular i el període. v 5 5 0,5 rad/s 4 p p p s v 0,5 c) El nombre d ona i la lonitud d ona. k 5 m 5 0,7 rad/m p p l p m k d) La freqüència i la velocitat de fase. f ,04 Hz 8p v 0,5 v 5 5 5,5 m/s k 0,7 (o bé, v 5 l f 5 p?0,04 5,5 m/s). Donada la funció d ona seüent, en què les distàncies s expressen en metres i el temps en seons, calculeu la velocitat i l acceleració d un punt que dista 3 m de l orien de coordenades quan ha passat un temps de 8 s. p p y (x, t) 5 0,03 sin t x 8 5 Quina és la velocitat de fase d aquest moviment ondulatori? dy p p p v (x, t) 5 5 0,03?? cos t x 5 dt p p 5 0,08 cos t x 8 5 p v (3, 8) 5 0,08 cos? 8? 3 5 9? 0 3 m/s 8 5 dv p p p a (x, t) 5 5 0,08?? 3 sin t x 4 5 dt p p 5 4,3? 0 3 sin t x p 8 5 a (3, 8) 5 4,3? 0 3 sin? 8? ? 0 3 m/s p v 8 v ,5 m/s k p 5 7. Una ona es propaa en el sentit neatiu de les x amb lonitud d ona de 0 cm. El focus emissor vibra amb una freqüència de 5 Hz, una amplitud de 3 cm i inicialment es troba en un estat d elonació màxima. Determineu: a) La velocitat de propaació de l ona. v f 0, 5 5 m/s b) L equació d ona. π π k = = = 0 π λ 0, rad/s f 5 50 rad/s A 3 m Per tant, l equació d ona és: y (x, t) 0,03 cos (0 x 50 t) p c) L instant en què un punt que es troba a,5 cm de l orien assoleix, per primera veada, una velocitat nul. la. Busquem per a quin valor de t mínim el punt situat a x,5 cm,5 0 m tenim una velocitat nul. la: v (,5 0, t),5 sin (, t) 0 sin (, t) 0, t 0,5 0 t s 50 p

16 04 0 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L ALUMNE 8. En una corda s ha enerat una ona d equació: t x y (x, t),5 sin 4 en què les distàncies s expressen en metres i el temps en seons. Representant 3 lonituds d ona, dibuixeu la forma de la corda en els instants de temps seüents: 3 5 t 5 0, t 5, t 5, t 5, t 5, t Per dibuixar la forma de la corda en els instants de temps indicats, cal obtenir les funcions de x que resulten de substituir els temps indicats en l equació d ona, tenint en compte que 5 5 0,5 s (ho lleim directament de l equació d ona). 4 A continuació, donem valors a x en les equacions obtinudes, fins a un valor màxim de x màx 5 3 l 5 3? 5 8 m, ja que en l enunciat se ns diu que cal representar 3 lonituds d ona, i l 5 m (ho lleim directament de l equació d ona). Per fer aquestes representacions ràfiques s aconsella fer servir un prorama informàtic (per exemple EXCEL) i obtindrem els ràfics seüents: 9. Un filferro de 74 cm està enanxat per un extrem a un cos de 50 de massa. El cos penja d una molla situada en posició vertical i de constant elàstica 35 N/m, i, quan fem oscil. lar el cos separant-lo 5, cm de la posició d equilibri, es enera una ona harmònica transversal al filferro que tarda, a arribar a l altre extrem. Determineu a) L equació de l ona al filferro si considerem que es comença a comptar el temps quan el focus (punt de contacte del filferro amb el cos) es troba a cm de la posició d equilibri. k 35 v,83 rad/s m 0,5 D x 0,74 v fase 0, m/s D t, v,83 k 9,08 rad/m v 0, y (0, 0) A sin (v 0 k 0 w 0 ) 0,0 0,0 0,0 sin w 0 A 0,05 0,0 w 0 arcsin 0,39 rad 0,05 Per tant, y (x, t) 0,05 sin (,83 t 9,08 x 0,39) b) L elonació i la velocitat d un punt del filferro que dista 3 cm del focus en l instant t 0,5 s. Quines són la velocitat i l acceleració màximes d aquest punt? y (0,3, 0,5) 0,05 sin (,83 0,5 9,08 0,3 0,39) 0,049 m v (0,3, 0,5) 0,05,83 cos (,83 0,5 9,08 0,3 0,39) 0, m/s A v 0,05,83 0, m/s a màx A v 0,05,83 7,8 m/s