1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS

Transcripción

1 1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions són cada un dels valors de les incògnites que verifiquin l equació. També es pot escriure així: La solució d aquest exemple seria: 1.2 Sistemes d equacions lineals Un sistema format per infinites equacions lineals amb infinites incògnites (les mateixes incògnites), ha de tenir una solució comuna per a que es resolguin les igualtats. La solució d aquest sistema seria: 1.3 Classificació de sistemes SISTEMES COMPATIBLES INCOMPATIBLES DETERMINAT (la solució és única) INDETERMINAT (hi ha infinites solucions) (no tenen solució)

2 1.3 Sistemes escalonats Un sistema és escalonat quan cada equació té, com a mínim, una incògnita menys que l anterior: 2. MÈTODE DE GAUUS PER RESOLDRE SISTEMES 2.1 En què consisteix Resoldre un sistema, és a dir, trobar tots els valors possibles per a x, y i z fent que aquest compleixin les igualtats del sistema, fent servir el mètode de Gauss, consisteix en convertir el sistema inicial en un d escalonat equivalent. (Escrivim el sistema en forma matricial) (Quan queden els coeficients de les incògnites a la part esquerra, i els termes independents a la part dreta de la línia vertical, hem d aconseguir fer 0 al triangle que es forma sota la diagonal, per tal de formar un sistema equivalent esglaonat) 2 F₂ - F₁ 2 F₃ - 3 F₃ (Transformem la matriu resultant en sistema d equacions i el resolem) Solució: COMPROVACIÓ: 2.2 Discussió de sistemes Classifiquem els sistemes en funció del nombre de solucions que té. (Pot ser: compatible indeterminat, compatible determinat o incompatible). Amb el mètode de Gauss podem discutir un sistema una vegada hem acabat tot el procés, ho fem fixant-nos en l última fila: Sistema compatible indeterminat (SCI): Si a = 0 o b= 0 i tenim més incògnites que equacions. Sistema compatible determinat: Si a 0 i tenim tantes equacions com incògnites. Sistema incompatible: Si b 0 equació impossible.

3 (Escrivim la forma matricial del sistema d equacions) (Modificant les files, aconseguim un sistema escalonat equivalent) F₂ + F₁ F₃ - 3 F₁ 2 F₃ + F₂ (A sota de la diagonal tot són zeros, per tant, tenim un sistema d equacions, amb les mateixs solucions que l inicial, però la seva resolució serà més senzilla. SOLUCIÓ COMPROVACIÓ: El sistema és compatible determinat, és a dir, té una única solució. Si ens hi fixem: com incògnites(x,y,z)., l última fila és de tipus i i tenim tantes equacions vàlides(3) 2.3 Discussió de sistemes amb paràmetres Un dels seus coeficients o termes independents és un nombre real que pot agafar qualsevol valor. Per discutir un sistema d equacions en funció d un paràmetre hem de mirar totes les possibilitats. (Passem el sistema a forma matricial) (Apliquem el mètode de Gauss, i canviem la columna de les x per la de les z ) 3 F₂ + 5 F₁ 3 F₃- 4 F₁ 4 F₃+5 F₂ Si λ=2 es tracta d un sistema incompatible ja que 0= és impossible. Si λ 2 es tracta d un sistema compatible determinat.

4 3. EXPRESSIÓ MATRICIAL D UN SISTEMA D EQUACIONS Expressem un sistema d equacions lineals de forma matricial quan separem per matrius els coeficients, les incògnites i els termes independents de la forma: A X=B 4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS Un sistema A X = B només té solució si el rang de la matriu dels coeficients del sistema (A), és igual al rang de la seva matriu ampliada (A*). TEOREMA ROUCHÉ- FROBENIUS rang(a)=rang(a*) si rang= nº incògnites: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT si rang < nº incògnites: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT rang(a) rang(a*) SISTEMA INCOMPATIBLE 1. Escrivim el sistema en forma matricial): (La part verda és la matriu (A), i tot el conjunt és la matriu ampliada(a*): com a màxim el rang pot ser 3... ho comprovem: 2. Calculem el rang de les dues matrius (primer el rang de (A), ja que en aquest cas, si és 3, el rang de (A*) no pot ser major.) = ( )= 0 El rang d (A) no és 3. = -2-(3)= -5 El rang d (A)=2, =0 El rang d (A*) és 2.

5 Per tant, es tracta d un Sistema Compatible Indeterminat, perquè el rang(a)=rang(a*)<nº incògnites. : 2=2<3