Comportamiento Estructural: Propiedades Mecánicas

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1 Comportamiento Estructural: Propiedades Mecánicas Gustavo V. Guinea Departamento de Ciencia de Materiales Universidad Politécnica de Madrid Índice Tipos de materiales Comportamiento Estático Comportamiento Dependiente del Tiempo

2 Tipos de materiales - Biomateriales: Metales, Cerámicos, Polímeros,... - Materiales Biológicos: Blandos Tracción Presión Compresión Tipos de Materiales lexión fibras tendones piel arterias cartílago Duros dientes huesos concha madera Tipos de materiales - Biomateriales - Materiales Biológicos Duros Pequeñas deformaciones ( < 10%) Pequeña o moderada dependencia del tiempo Tipos de Materiales

3 Tipos de materiales - Materiales Biológicos Blandos - ibras Biológicas Grandes deformaciones ( > 50%) Incompresibilidad Importante dependencia del tiempo Tipos de Materiales Índice Tipos de materiales Comportamiento Estático Comportamiento Dependiente del Tiempo

4 Comportamento Estático - Biomateriales y Materiales Biológicos Duros Pequeñas Deformaciones Elasticidad Plasticidad ractura e Inestabilidad Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros Optimización de propiedades: Mat. Biológicos Mínimo coste energético menor masa Condiciones limitantes: Resistencia a Tracción Resistencia a Compresión Rigidez Tenacidad Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros

5 Optimización de propiedades: Resistencia a Tracción Área: D 2 Tensión de rotura : σr actor de seguridad : ƒ Condición: < R / ƒ = σr D 2 / ƒ Masa: m = x D 2 x ρ D D < σr m / (ƒ x x ρ) = (σr / ρ) (m / (ƒ x )) m > (ρ / σr ) ( x ƒ x ) menor m mayor (σr / ρ) Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros Optimización de propiedades: Resistencia a Compresión Carga de pandeo : P = π 2 E D 4 / (48 2 ) actor de seguridad : ƒ Masa: m = x D 2 x ρ Condición: < P / ƒ Área: D 2 < π 2 E m 2 / (48 4 ρ 2 ƒ) m > (ρ 2 / E ) ( 48 ƒ 4 / π 2 ) 1/2 D D menor m mayor (E / ρ 2 ) Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros

6 Optimización de propiedades: Rigidez δ flecha : δ = 4 3 / (E D 4 ) Masa: m = x D 2 x ρ Condición: δ / < CM Área: D x D = D 2 δ / = 4 5 ρ 2 / (E m 2 ) < CM m > (ρ 2 / E ) 1/2 ( 4 5 / CM ) 1/2 menor m mayor (E / ρ 2 ) Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros Optimización de propiedades: Tenacidad σ Placa: KI = σ (πa) 1/2 Tenacidad : KIC Condición: Rotura frágil : σ (πa) 1/2 = KIC σ = KIC (πa) 1/2 σ > σr 2a KIC (πa) 1/2 > σr a < (1/π) (KIC / σr ) 2 σ d como 2a d menos frágil si d << (1/π) (KIC / σr ) 2 mayor (KIC / σr ) 2 / d Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros

7 Optimización de propiedades: Material σr (MPa) E (GPa) ρ (g/cm 3 ) KIC (MPam 1/2 ) d (µm) E/ρ 2 (GPa cm 6 /g 2 ) σr/ρ (MPa cm 3 /g) (KIC / σr ) 2 / d Polietileno (HD) > < 90 Acero Estructural > < 2400 Aluminio (1100-H14) > < 2600 Hormigón > < 10 Madera (Pino - ) Hueso Compacto () Esmalte Dentina Nácar Comportamiento Estático / Materiales Biológicos Duros Comportamento Estático - Materiales Biológicos Blandos y ibras Grandes Deformaciones Elasticidad No ineal Anelasticidad

8 Comportamiento Anelástico Hiperelásticos : Carga / Descarga tensión, σ (MPa) alargamiento, λ Hiperelasticidad d Sistema Reversible (,, T) Ecuación de Estado : = ƒ(, T) (, T) variables indep. δwexterior = + d = δwsistema 1er. + 2o. principios : du = δq δwsistema = T ds + d

9 Hiperelasticidad d du = T ds + d Energia Interna : du(,t) = ( U/ T) dt + ( U/ )T d Entropía : ds(,t) = ( S/ T) dt + ( S/ )T d ( U/ T) dt + ( U/ )T d = T [( S/ T) dt + ( S/ )T d] + d [( U/ T) T [( S/ T) ] dt = [ T( S/ )T ( U/ )T + ] d si (, T) variables independientes : [...]=0 ( U/ T) = T [( S/ T) = ( U/ )T T( S/ )T ( S/ )= 0 sólidos normales = ( U/ )T ( U/ )T = 0 elastómeros = T( S/ )T Hiperelasticidad Elasticidad entrópica : Cadena gaussiana (polímeros) (r << longitud cadena) S = κ B ln Ω = S 0 + κ B ln (Prob. (r)) = cte κ B (r/ρ) 2 ( S = T ) r T 2 κ B T r = + ρ 2 Prob. (r) = A e (r/ρ)2 si = cte T aumenta r disminuye si r = cte r dr T aumenta aumenta

10 Elastina Poly(VPGVG) átomos (agua) átomos (proteina) escalones de cálculo t = 0-6 ns T = 10ºC T= 40ºC Hiperelasticidad Cálculo habitual de = ƒ(, T) : d Energia ibre de Helmholtz : Ψ = U T S dψ = du T ds S dt 1er. + 2o. principios : du = T ds + d dψ = d S dt como dψ(,t) = ( Ψ/ T) dt + ( Ψ/ )T d S = ( Ψ/ T) = + ( Ψ/ )T

11 Hiperelasticidad: 1-D d A V0 = A0 0 V = A E. ibre Helmholtz por ud. volumen: ψ = Ψ / V0 = + ( Ψ/ )T = + V0 ( ψ/ )T como σ = /A y λ =/0 σ = /A = (V0 /A) ( ψ/ )T = (V0 /A) (1/0) ( ψ/ λ)t = (V0 /V) λ ( ψ/ λ)t σ = (1/J) λ ( ψ/ λ)t con J = V /V0, relación de volúmenes ψ es también conocida como Energía de Deformación Hiperelasticidad: 3-D Material Isótropo : os ejes principales de tensión coinciden con los ejes principales de deformación σ1 σ3 σ2 λ1 λ3 λ2 σ 3 σ 2 σ3 + + σ 1 σ1, λ1 σ2, λ2 σ3, λ3 σi = (1/J) λi ( ψ/ λi)t, i= 1,2,3

12 Hiperelasticidad: 3-D Material Isótropo : Incompresibilidad: J = V /V0 = ,0 2,0 3,0 = V0 = = V (1 / 1,0 ) (2 / 2,0 ) (3 / 3,0 ) = V / V0 = 1 λ1 λ2 λ3 = 1 Se pierde la unicidad de la solución de tensiones: δw = + d = + d + p dv con p arbitraria, pues dv=0 σi = λi ( ψ/ λi)t + p, i= 1,2,3 p se determina por equilibrio Hiperelasticidad: 3-D Material Isótropo : Ecuación Constitutiva: ψ = ψ (λ1, λ2, λ3) Neo Hookeano : ψ = C (λ λ λ 2 3 3) Mooney-Rivlin : ψ = C1 (λ λ λ 2 3 3) + + C2 (λ 2 1 λ 2 2+ λ 2 1 λ λ 2 2 λ 2 3 3) + + C3 (λ λ λ 2 3 3) (λ 2 1 λ 2 2+ λ 2 1 λ λ 2 2 λ 2 3 3) Yeoh : ψ = C1 (λ λ λ 2 3 3) + C2 (λ λ λ 2 3 3) C3 (λ λ λ 2 3 3) 3 Deimiray : ψ = (C1/C2) { exp [(C2/2) (λ λ λ 2 3 3) ] 1 }

13 Ensayo de tracción simple A 3 Neo Hookeano : ψ = C (λ λ λ 2 3 3) Incompresible : λ1 λ2 λ3 = 1 λ3 = / 0 = λ λ1 = λ2 = λ 1/2 1 2 σ3 = λ3 ( ψ/ λ3)t + p = 2 C λ 2 + p σ1 = λ1 ( ψ/ λ1)t + p = 2 C λ 1 + p = σ2 Equilibrio: σ3 = /A = /(A0 λ1 λ2) = /(A0 λ 1 ) σ1 = σ2 = 0 p = 2 C λ 1 = 2 C A0 (λ λ 2 ) Ensayo de tracción simple A λ = / 0 Deimiray: = C1 A0 (λ λ 2 ) exp [(C2/2) (λ 2 +2/ λ 3) ] C1= 2C ; C2= 1 Neo Hookeano Neo Hookeano: = 2 C A0 (λ λ 2 ) Si λ = 1 + /0, << 0 2 C A0 3 ( /0) = E A0 ( /0), con E = 6C

14 Ensayo de tracción simple Deimiray : σ = C 1 (λ 2 1/λ) exp[c 2 (λ 2 + 2/λ 3)] C1= 64kPa, C2= 2 A λ = / 0 Aorta Ascendente Comportamiento Dependiente del Tiempo Modelos Viscoelásticos Relajación y luencia Carga cíclica

15 Relajación y luencia - Ensayo de relajación ε ε0 σ t=0 t t=0 σ = ε0 G(t) t σ σ 0 ε - Ensayo de fluencia t t=0 t t=0 ε = σ0 J(t) G(t) : Módulo de relajación J(t) : Módulo de fluencia Comportamiento Dinámico / Materiales Biológicos Blandos Carga cíclica - Carga oscilante sinusoidal - Régimen estacionario desfase entre tensiones y deformaciones δ tensión, σ σ t deformación, ε ε ε = ε0 sinωt σ = σ0 sin(ωt+δ) = ε0 (G sinωt + G cosωt) ; tanδ = G /G G (ω) : Módulo de almacenamiento G (ω) : Módulo de pérdidas energía disipada por ciclo Comportamiento Dinámico / Materiales Biológicos Blandos

16 Modelos Viscoelásticos σ(t) ε(t) σ(ε(t),t) = G(t) * ε(t) = G(t τ) ( ε/ τ) dτ ε(σ(t),t) = J(t) * ε(t) = J(t τ) ( σ/ τ) dτ t t Existe relaciones biunívocas G(t) - J(t) - G (ω), G (ω) : Ej. G (ω)+ i G (ω) = G( ) + iω [G(s) - G( )] e iωs ds 0 Comportamiento Dinámico / Materiales Biológicos Blandos Carga cíclica Poco sensible a la frecuencia Dog arteries G' (MPa) Sheep arteries Carotid artery emoral artery Abdominal Aorta Thoracic Aorta Comportamiento Dinámico / Materiales Biológicos Blandos (Bergel 1961)