Efecto Lense-Thirring o de arrastre de partículas de prueba en un campo gravitacional creado por un lápiz de luz rotacional

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1 Revista Colombiana de Física, vol. 45, No.1, 013 Efecto Lense-Thirring o de arrastre de partículas de prueba en un campo gravitacional creado por un lápiz de luz rotacional Lense-Thirring or Drag Effect in a Gravitational Field Created by a Spinning Pencil of Light Ángel José Chacón Velasco a*, José Amilcar Rizzo Sierra b, Pedro Mario Cañate c a Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC), Escuela de Física. Grupo Relatividad, Electrodinámica y Gravitación. b Universidad Industrial de Santander (UIS). Escuela de Física. Bucaramanga, Santander, Colombia. c CINVESTAV, México. Recibido agosto 7 de 010; aceptado febrero 11 de 011. Resumen Estudiamos el comportamiento dinámico de partículas de prueba bajo la acción de un campo gravitacional generado por una fuente lineal y rotante de energía, expresada a través de la métrica de un lápiz de luz rotacional (Spinning Pencil of Light -SPL-), generalización de la métrica de un lápiz de luz no rotacional asociada a las ondas gravitacionales de Pères. Resolviendo para algunos casos particulares la ecuación de las geodésicas, se puede observar el fenómeno de arrastre o efecto Lense Thirring experimentado por las partículas de prueba; i. e., el arrastre de las partículas es proporcional a la velocidad angular del lápiz y su dirección opuesta a la dirección de rotación del SPL. Palabras clave: lápiz de luz, efecto Lense Thirring. Abstract Dynamical behaviour of test particles under the action of a gravitational field generated by a lineal and rotational energy source is studied. The source is represented through a spinning pencil of light -SPL- metric, which is a generalization of a non rotational pencil of light metric associated to Peres s gravitational waves. By solving the geodesic equation for some particular cases, the drag, or Lense-Tirring effect, experimented by the test particles can be observed; i. e., the particles dragg is proportional to the pencil s angular velocity, and its direction opposed to the direction of rotation of the SPL. Keywords: spinning pencil of ligth, Lense Thirring effect. 1. Introducción El campo de un SPL se asemeja al de un conductor rectilíneo cargado y con corriente en electrodinámica, pero el caso gravitacional es mucho más complejo en tanto incorpora características tales como el momento angular ( la polarización ) de la fuente. En electrodinámica éste probablemente sería un efecto del tipo Bohm-Aharanov [1]. Ahora bien, la interpretación de esta solución puede darse en términos de fuentes de ondas de Pères o pp-ondas, o como fuentes infinitas extendidas a lo largo de una sola dirección y moviéndose a la velocidad de la luz. Esta última interpretación fue propuesta por Mitskievich, et al [], [3]. En este último caso un SPL es una solución exacta a las ecuaciones de Einstein en el vacío, libre de singularidades y clasificada según Petrov como del tipo N (solución de onda) [4]. En el presente artículo, estudiamos el efecto de arrastre producido por la rotación del lápiz de luz sobre partículas de prueba en el campo del propio SPL, ya que en general este efecto en la teoría general de la * ajoschve@gmail.com Este trabajo es publicado por la Sociedad Colombiana de Fìsica y distribuìdo en open acces según los términos de la licencia Creative Commos Attribution.

2 Rev. Col. Fís., 45, No 1, 013. relatividad -TGR- refleja aspectos fundamentales del concepto de métrica y su posible interpretación en astrofísica en términos de ondas gravitacionales. Por otra parte, también puede ser de utilidad para comprender la formación de estructuras de discos galácticos [5], [6].. Métrica de un SPL Mitskievitchc, et al., [] encontraron dos familias de soluciones de las ecuaciones de Einstein cuyas fuentes pueden ser interpretadas como líneas infinitas de energía moviéndose con la velocidad de la luz a lo largo de la dirección en la cual se encuentran extendidas, y rotando con respecto a sí mismas. La forma más sencilla de describir un campo de SPL es a través de una base tétrada (marco comóvil de referencia no inercial) mediante el formalismo de Cartan, resultando: ds (0) (1) () () (3) (3), (4) donde: (0) (1) () e dv du Fdv Gd e d ds dv du r v ln 4 d dv d h d (3) d (5) f v du k v ln dv ds dv f v g vd d d (1) Las soluciones que pueden ser interpretadas como soluciones de ondas gravitacionales son: 1 ds dvdu r vlndv hd d d 4 8 ds dv du kvlndv gvd d d () Ahora bien, la primera de las ecuaciones () tiende en el infinito a: ds d (3) Lo cual no representa una métrica de Minkowski. En consecuencia, el espacio-tiempo inducido por ella no es asintóticamente plano y carece de significado físico. Por tanto, la segunda de las ecuaciones (), esto es, la solución obtenida para el vacío y con sentido físico de ondas gravitacionales es: ds dv( du k( v)ln dv g( v) d ) d d. (6) Por su parte, esta última solución en el infinito tiende a: (7) ds dvdu d d, que en coordenadas cilíndricas resulta: (8) ds dt dz d d. Es importante mencionar que las funciones kv y gv han sido escogidas de tal forma que tienden a cero en el infinito. De tal forma, la ecuación (6) representa una métrica asintóticamente plana que efectivamente puede ser interpretada como una onda gravitacional. 3. Obtención de las ecuaciones de movimiento o geodésicas El movimiento de partículas de prueba sin grado de libertad interior (spin) es descrito por la ecua-

3 ción de las geodésicas. Ahora, la forma más conveniente de esta ecuación en este caso es: d 1 g dx g dx dx,, (9) d d d d donde es un parámetro afín que coincide con el tiempo propio de la partícula. Analizamos el movimiento en los casos: a) para partículas de prueba con masa en reposo no nula. b) para partículas de prueba con masa nula (fotones). Para el caso a) las ecuaciones de movimiento para un intervalo temporal ds 0, como de tiempo son: Á. Chacón et. al.: Arrastre de partículas de prueba en un campo d d 0, 0, d d 0 0 establecer la siguiente condición: du Ak ( v )ln 0 d 0 necesaria para obtener las ecuaciones de las geodésicas: v A B (1) (13) d u d d d A k ln A g g A k ln A g d d d A k d v Act' B d u d d d A k ln A g g A k ln A g dt d A A d g. d d (14) d A k d A A d g (10) donde t ' es el tiempo propio de la partícula, y representa la velocidad angular del lápiz de dg g dv luz. Cuando las partículas de prueba tienen masa en reposo nula (fotones), caso b), la métrica toma el valor ds 0 (cono de luz), y la relación: dv ( du k( v)ln dv g( v) d ) ( d ) ( d ) 0 d d d d d d (11) nos permite, con las condiciones iniciales dadas por: 3 Este nuevo sistema de ecuaciones nos permite concluir que cuando el fotón se mueve paralelo al lápiz de luz no aparece componente inicial de la aceleración angular, mientras que para el caso en el que el fotón se mueve antiparalelo al lápiz de luz, aparece una componente inicial de la aceleración angular; la cual es la causa del arrastre del fotón en la misma dirección de rotación del lápiz de luz. Fotón paralelo al lápiz de luz: d 1 d u d d 0 0 A kln (15) Fotón antiparalelo al lápiz de luz: d d 0 4. Conclusiones d u d 1 0 (16) A k ln Las figuras muestran algunas trayectorias geodésicas que ponen en evidencia el efecto de arrastre sobre las partículas de prueba en un campo de SPL,

4 Rev. Col. Fís., 45, No 1, 013. como resultado de la rotación del lápiz, estudiadas en el plano ecuatorial para partículas con masa no nula en reposo. Siendo las ecuaciones que gobiernan el movimiento de dichas partículas (14), en este caso: d A k, d A A d g (17) y asumiendo la función kv ( ) como una constante, en tanto que: d 1 d dv A (18) Fig. 1. No hay arrrastre de la partícula de prueba dado que g 0. (19) d ; d son respectivamente las velocidades radial y angular de la partícula, con condiciones iniciales dadas por: d ( ) 0 1, ( ) 0 ( ) 0 (0) Lo anterior, puesto de forma visual, nos lleva a los siguientes diagramas de movimiento: Fig.. Arrrastre de la partícula en el mismo sentido de la rotación del lápiz de luz: g 0. 4

5 Á. Chacón et. al.: Arrastre de partículas de prueba en un campo Fig. 3. Arrrastre de la partícula cuando inicialmente el sentido de su velocidad angular era opuesto al sentido del lápiz de luz, con d ( ) 0 10, g 30. Fig. 5. La partícula no logra escapar del campo d gravitacional del SPL, con ( ) 0 0, g 0. Fig. 4. Arrrastre de la partícula cuando inicialmente el sentido de su velocidad angular era opuesto al sentido del lápiz de luz, con d. ( ) 0 15, g 30 5 Fig. 6. Complemento de la Fig. 5. Radio de la órbita contra tiempo propio de la partícula de prueba; radio eje vertical, tiempo propio eje horizontal. La partícula no logra escapar del lápiz, por tanto el radio de la órbita inicialmente aumenta y finalmente decrece con el tiempo. Lo anterior nos permite afirmar entonces que a partir de las soluciones a las ecuaciones de movimiento obtenidas, es posible observar el fenómeno de arrastre o efecto Lense Thirring experimentado por las partículas de prueba. Además, se puede observar que el arrastre de las partículas encontrado tiene dos propiedades:

6 Rev. Col. Fís., 45, No 1, 013. a) es proporcional a la velocidad angular del lápiz de luz. b) Su dirección es opuesta a la dirección de rotación del lápiz de luz. Agradecimientos Deseamos agradecer especialmente al profesor N. V. Mitskievich por el impacto, profundidad, y disponibilidad de su trabajo, así como por su cálida humanidad. Referencias [1] N. Mitskievich, [arxiv: gr-qc/ v1] [] N. Mitskievich, K.K. Kumaradtya, J. Math. Phy., , [3] A. Peres, Phys Rev Lett., 3, 1959, pp [4] D. Kramer, H. Sthepani, M. Maccallum, E. Herlt, Exact Solutions of the Einstein Field Equations, Deutscher Verlac, Berlín, [5] J.M. Bardeen, J.A. Petterson, The Astrophysical Journal, 195, 1975, pp. L65-L67. [6] A. Caproni, Z. Abraham, H. Mosquera, The Astrophysical Journal, 638, 006, pp