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1 diseño asistido por computador Modelado sólido departamento de ingeniería de sistemas y automática

2 ALÁMBRICOS MODELADORES GEOMÉTRICOS SUPERFICIES SÓLIDOS poliédricas libres barridos instanciación y parametrización descomposición espacial CSG B-Rep diseño asistido por computador 2

3 índice > MODELADO SÓLIDO > REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS > MODELADORES DE SÓLIDOS Barridos Instanciación y parametrización Descomposición espacial CSG B-Rep diseño asistido por computador 3

4 conceptos básicos del CAD bibliografía > Geometric Modeling M.E. Mortenson John Wiley & Sons > Geometric & Solid Modeling. An Introduction C.M. Hoffmann Morgan Kaufmann Publishers, Inc diseño asistido por computador 4

5 modelado sólido diseño asistido por computador 5

6 modelado sólido Objeto sólido > un conjunto de líneas y/o curvas 2D no describe necesariamente un área cerrada > una colección de planos y/o superficies 3D no encierra necesariamente un volumen > necesidad de distinguir entre interior, exterior y superficie de un objeto diseño asistido por computador 6

7 modelado sólido Propiedades deseables de un modelador de sólidos > Debe poder establecer los límites o fronteras (boundary) del objeto de cara a definir el interior y exterior del mismo > El modelo debe contener una cantidad de información finita > La frontera del objeto debe estar siempre en contacto con su interior diseño asistido por computador 7

8 modelado sólido Modelo sólido de un objeto > Resuelve las limitaciones de modelos alámbricos > Representación completa de un objeto > Geometría 3D implícita > Conjunto de puntos Objeto sólido: Conjunto de puntos en el espacio Euclídeo 3D Modelador sólido: Capaz de codificar el conjunto de puntos infinito en un modelo compatible para el almacenamiento en un ordenador diseño asistido por computador 8

9 representación de sólidos MODELOS CONSTRUCTIVOS modelo = combinación de primitivas básicas primitiva = instancia de un sólido básico bien definido CSG (Geometría de Construcción de Sólidos) MODELOS DE ENUMERACIÓN ESPACIAL descomposición del modelo en células célula = estructura geométrica y topológica simple MODELOS DE REPRESENTACIÓN DE FRONTERAS definición del modelo en base a sus fronteras Modelo jerárquico (caras aristas vértices) B-Rep (Boundary-Representation) diseño asistido por computador 9

10 modelado sólido mediante barridos Traslación (extrusión) > sobre cualquier dirección o vector diseño asistido por computador 10

11 modelado sólido mediante barridos Rotación (revolución) > sobre cualquier dirección o vector diseño asistido por computador 11

12 modelado sólido mediante barridos Problema > dominio limitado Barrido generalizado > barrido de cualquier contorno o área sobre cualquier trayectoria libre diseño asistido por computador 12

13 modelado sólido mediante barridos Extensiones al barrido generalizado > variaciones de parámetros del punto de contacto de la orientación del contorno del área > características: modelador potente y versátil valores de defecto dominio amplio problema: objetos sin utilidad diseño asistido por computador 13

14 modelado sólido mediante barridos Problemas del barrido generalizado > intersecciones consigo mismo > áreas como resultado > no hay formulación simple del resultado diseño asistido por computador 14

15 modelado sólido mediante barridos Aplicaciones de los barridos > mecanizados efectos del corte generación de trayectorias cálculo de velocidades > ensamblajes simulación de interferencias > otros distancias de seguridad diseño asistido por computador 15

16 modelado sólido mediante instanciación y parametrización Instanciación > escalado en cualquiera de los ejes primitiva instancia (escalado diferencial) instancias (escalado uniforme) diseño asistido por computador 16

17 modelado sólido mediante instanciación y parametrización Parametrización > variación de dimensiones clave a t c r1 r2 r1=t r2=2t d b diseño asistido por computador 17

18 modelado sólido mediante instanciación y parametrización Plantillas iniciales > semiespacios o medioespacios Problemas > dominio restringido por el número de plantillas > valores de defecto al visualizar > posibilidad de datos no coherentes: validación de formas Aplicaciones > tecnología de grupos (CAM): clases o familias de piezas con variación de parámetros diseño asistido por computador 18

19 modelado sólido mediante descomposición espacial Descomposición espacial > representación alternativa > limitaciones > aplicaciones especiales (elementos finitos, GIS ) > clasificación: descomposición celular enumeración de la ocupación espacial octrees diseño asistido por computador 19

20 modelado sólido mediante descomposición espacial Descomposición celular diseño asistido por computador 20

21 modelado sólido mediante descomposición espacial Descomposición espacial > células disjuntas con caras, aristas y/o vértices comunes > no hay necesidad de ordenarse con la rejilla > las células no pueden tener huecos internos,aunque si los objetos creados > a mayor diversidad de células, mayor dominio de objetos > útil para elementos finitos > operaciones lógicas costosas (descomposición) diseño asistido por computador 21

22 modelado sólido mediante descomposición espacial Enumeración de la ocupación espacial > sencillo > las células (voxels) son cubos localizados en una rejilla > se marcan los cubos ocupados (1), frente a los no ocupados (0) > representación aproximada > precisión proporcional al tamaño de los cubos > requiere mucha memoria en objetos con superficies curvas diseño asistido por computador 22

23 modelado sólido mediante descomposición espacial Octrees > enumeración de la ocupación espacial más eficiente > disminuye los cubos almacenados agrupándolos > resolución fina sólo en regiones necesarias > representación en árboles octales > modelos exactos en dominio limitado > equivalente 2D: quadtrees > proceso subdividir cubos en llenos, vacíos y parcialmente llenos subdividir cubos parcialmente llenos hasta que no existan cubos parcialmente llenos o se alcance la resolución máxima diseño asistido por computador 23

24 modelado sólido mediante descomposición espacial descomposición celular enumeración de la ocupación espacial octrees diseño asistido por computador 24

25 modelado sólido mediante descomposición espacial diseño asistido por computador 25

26 modelado sólido mediante CSG Geometría de Construcción de Sólidos (CSG) * U* * U 6 medioespacios planares diseño asistido por computador 26

27 modelado sólido mediante CSG Árbol CSG * U* diseño asistido por computador 27

28 modelado sólido mediante CSG Sistemas de coordenadas locales a Z b r Z c h X Y X Y c a j a ( a, b, c ) c i l i n d r o ( r, h ) diseño asistido por computador 28

29 modelado sólido mediante CSG Operaciones lógicas UNIÓN SUSTRACCIÓN primitivas INTERSECCIÓN diseño asistido por computador 29

30 modelado sólido mediante CSG Operaciones lógicas A A B A B A B B diseño asistido por computador 30

31 modelado sólido mediante CSG Operaciones lógicas regularizadas * diseño asistido por computador 31

32 modelado sólido mediante CSG Operaciones lógicas regularizadas 1. Calcular como teoría de conjuntos resultado: volúmenes + elementos a eliminar 2. Considerar el interior del resultado 3. Formar la clausura de este interior, añadiendo los puntos frontera adyacentes a las regiones interiores diseño asistido por computador 32

33 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG Z a b r Z c h X Y X Y c a j a ( a, b, c ) c i l i n d r o ( r, h ) x-desplaza(.,dx) y-desplaza(.,dy) z-desplaza(.,dz) x-gira(.,alfa) y-gira(.,alfa) z-gira(.,alfa) diseño asistido por computador 33

34 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG diseño asistido por computador 34

35 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG caja (a,b,c) diseño asistido por computador 35

36 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG caja (a,b,c) cilindro (r,h) diseño asistido por computador 36

37 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG x-desplaza (.,a/2) caja (a,b,c) cilindro (r,h) diseño asistido por computador 37

38 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG y-desplaza (.,b/2) x-desplaza (.,a/2) caja (a,b,c) cilindro (r,h) diseño asistido por computador 38

39 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG z-desplaza (.,c) y-desplaza (.,b/2) x-desplaza (.,a/2) caja (a,b,c) cilindro (r,h) diseño asistido por computador 39

40 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG U* z-desplaza (.,c) y-desplaza (.,b/2) x-desplaza (.,a/2) caja (a,b,c) cilindro (r,h) diseño asistido por computador 40

41 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG Z a b Z r Z 1 Z c h R=1 X c a j a ( a, b, c ) Y X c i l i n d r o ( r, h ) Y 8 x-desplaza(.,dx) y-desplaza(.,dy) z-desplaza(.,dz) x-gira(.,alfa) y-gira(.,alfa) z-gira(.,alfa) X Y diseño asistido por computador 41

42 modelado sólido mediante CSG Ejercicio CSG a Z b c r Z h X c a j a ( a, b, c ) Y X c i l i n d r o ( r, h ) Y 4 4 Y x-desplaza(.,dx) y-desplaza(.,dy) Z X z-desplaza(.,dz) x-gira(.,alfa) y-gira(.,alfa) z-gira(.,alfa) diseño asistido por computador 42

43 modelado sólido B-Rep Representación de fronteras (Boundary Representation) U diseño asistido por computador 43

44 modelado sólido B-Rep Objetos representables con B-Rep > orientables y cerrados > múltiples (manifold) botella de Klein. diseño asistido por computador 44

45 modelado sólido B-Rep Objetos no múltiples diseño asistido por computador 45

46 modelado sólido B-Rep Objetos no múltiples objeto no múltiple posibles topologías como objeto múltiple diseño asistido por computador 46

47 modelado sólido B-Rep Objeto B-Rep y árbol B-Rep OBJETO V1 E1 F1 E4 V4 F2 F1 F2 F3 BUCLE1 BUCLE2... E3 V6 E1 E2 E3 E4 E5 E6... V2 E6 E2 E5 V5 V3 V1 V2 V3 V4 V5 V6... diseño asistido por computador 47

48 modelado sólido B-Rep Representación arista-alada (winged-edged) > Introducida por Bruce Baumgart en 1972 > Se asume un objeto como un poliedro > Incluye información topológica > El elemento central de la representación es la arista, incorporando información sobre relaciones de vecindad con aristas y caras. diseño asistido por computador 48

49 modelado sólido B-Rep Representación arista-alada (winged-edged) > Se asumen tres tablas (caras, vértices y aristas) > Tabla de caras cara = conjunto de bucles de aristas se crea una tabla en la que para cada cara que tenga el poliedro se almacena una arista incidente en esa cara > Tabla de vértices vértice = adyacente a conjunto de aristas se especifica una arista incidente para cada vértice de la figura > Tabla de aristas vértices incidentes caras adyacentes aristas precedentes y sucesoras en la definición de las caras adyacentes diseño asistido por computador 49

50 modelado sólido B-Rep Representación arista-alada (winged-edged) > El poliedro debe considerarse visto desde fuera A b 1 c B > Las caras deben considerarse como bucles de aristas en sentido horario > La arista a estudiar debe orientarse de un vértice a otro d 2 a e > Se consideran vértices incidentes, caras adyacentes a izquierda y derecha y las aristas incidentes precedentes y sucesoras en la definición de las caras adyacentes diseño asistido por computador 50

51 modelado sólido B-Rep Representación arista-alada (winged-edged) b 1 c > vértices incidentes desde: 2 hacia: 1 A a B > caras adyacentes izquierda: A derecha: B d 2 e > aristas incidentes, en el orden de los bucles que definen las caras adyacentes precedente en cara izda: b sucesora en cara izda: d precedente en cara dcha: e sucesora en cara dcha: c diseño asistido por computador 51

52 modelado sólido B-Rep Ejercicio arista-alada 4 C ARISTA VÉRTICES CARAS ARISTAS en cara izda en cara dcha desde hacia izda dcha prec succ prec succ d c a 1 a A e B f b 3 b c D d e f diseño asistido por computador 52

53 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica > la topología de un objeto hace referencia a conceptos como vértices, aristas, caras, número de agujeros, consistencia, conectividad, etc. > la principal debilidad del modelo de fronteras es la validez, ya que cualquier conjunto de caras, vértices y aristas no define un sólido válido > topología inconsistente: datos de vértices, aristas o caras que no satisfagan relaciones descritas diseño asistido por computador 53

54 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica > para poder representar un sólido mediante B-Rep, éste debe cumplir las siguientes propiedades básicas: Cada arista está delimitada por dos vértices. Cada arista separa dos caras (sólidos múltiples). Las caras que coinciden en una arista tienen orientación conforme. Las aristas solo se intersectan en los vértices. Las caras solo se intersectan en los vértices y aristas. > validación de la topología de un objeto: consideración de vértices, aristas, caras, bucles de aristas, huecos, conchas... diseño asistido por computador 54

55 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos simples > objetos topológicamente simples, sin huecos o agujeros y con un sólo bucle por cara Formula de Euler V-E+F-2=0 V = número de vértices E = número de aristas F = número de caras diseño asistido por computador 55

56 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos simples > fórmula de Euler V = 8 E = 12 F = 6 V-E+F-2 = = 0 diseño asistido por computador 56

57 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos con agujeros > sólidos que permanecen limitados por una superficie conectada simple, homeomórficos a la esfera con una o más asas o agujeros Fórmula de Euler-Poincaré V-E+F-2(1-G)=0 V = número de vértices E = número de aristas F = número de caras G = género (número de agujeros) diseño asistido por computador 57

58 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos con agujeros superficie de género 2 (esfera con 2 asas) objeto con dos agujeros diseño asistido por computador 58

59 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos con agujeros > fórmula de Euler-Poincaré V = 24 E = 44 F = 18 G = 2 V-E+F-2(1-G) = (1-2) = = -2-2(-1) = -2+2 = 0 diseño asistido por computador 59

60 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos con agujeros y huecos internos > sólidos con huecos internos (burbujas) limitados por superficies múltiples cerradas (conchas) Fórmula de Euler-Poincaré extendida V-E+F-(L-F)-2(S-G)=0 V = número de vértices E = número de aristas F = número de caras G = género (número de agujeros) S = número de conchas L = número de bucles diseño asistido por computador 60

61 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica: sólidos con agujeros y huecos internos > fórmula de Euler-Poincaré extendida V = 24 E = 36 F = 16 G = 1 L = 18 S = 2 V-E+F-(L-F)-2(S-G) = = (18-16)-2(2-1) = = = 0 diseño asistido por computador 61

62 modelado sólido B-Rep Consistencia topológica > un usuario no puede construir cualquier sólido > los operadores de Euler trabajan añadiendo y eliminando vértices, aristas y caras a un poliedro de partida > los operadores de Euler evitan la construcción de poliedros inválidos (operación cerrada) diseño asistido por computador 62

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