ARITMÉTICA. Un número será (k 2 ) si los exponentes en su D.C. son impares

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1 TEMA: POTENCIACION Y RADICACIÓN POTENCIACIÓN Es una operación matemática que consiste en multiplicar un numero por si mismo varias veces En general Donde: * * Además: * es la base * es el exponente * es la potencia perfecta de grado Ejemplos. potencia perfecta de grado 4 N=64 { ARITMÉTICA es una potencia perfecta de grado 6; Teorema fundamental Para que un entero positivo sea una potencia de grado n es condición necesaria y suficiente que los exponentes de los factores primos en su descomposición canónica (D.C.) sean múltiplos de n. Ejemplos: N= ( ) Como 6, 12 y 3 son entonces N es una potencia perfecta de grado 3. Casos Particulares 1.-Potencia perfecta de grado 2o cuadrado perfecto. (k 2 ) N= Un número será (k 2 ) si los exponentes en su D.C. son impares Un número será (k 2 ) si la cantidad de divisores es impar 2.-Potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto. (k 3 ) Un número será (k 3 ) si los exponentes en su D.C. son N= CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN 1.-Por su última cifra K K K Un K 2 puede terminar 1,4,5,6,9 Un K 3 puede terminar en cualquier cifra 2.- Por su terminación en ceros Si: Si n = r = 3)Por su terminación en 5 Si: d * + Si: Si: * Por divisibilidad Un K 2 será Un K 3 será ; ; Un K 2 será Un K 3 será

2 EJERCICIOS PROPUESTOS 01.-La suma de la tercera y cuarta parte de un número es un cuadrado perfecto. Cuál es el menor número que cumple esta condición?. B) 24 C) 48 D)84 E) Cuál es el menor número que al sumarle 4/11 de su valor, el resultado se convierta en cuadrado perfecto, sabiendo además que dicho número es divisible entre 18? A) 2970 B) 2890 C) 2637 D) 5940 E) Cuando el número ab 2a 2b se triplica, se obtiene un cuadrado perfecto. Halle a+b. A) Halle a+b si se cumple que: 3 a 1 ab b 2 K. A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) Un terreno está sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el interior hay 476 árboles más que en el perímetro, cuántos árboles hay en total?. A) 625 B) 676 C) E) Una persona nacida en suelo americano, hijos de padres españoles hubiese tenido x 2 años en el año x 3. Halle la suma de cifras del año en que nació. A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) Determine un numeral de cuatro cifras cuadrado perfecto, cuyo producto de cifras sea 300.Indique su cifra de mayor orden. A) 2 B) 3 C) 5 D) Si Halle: A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) Si el número n n 1 n 2 n 3 al permutar sus dos primeras cifras resulta un cuadrado perfecto. Halle el número y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 36 B) 27 C) 16 D) 9 E) Halle el valor de a.b,si bb9aa es un cuadrado perfecto. B) 16 D) 15 E)24

3 11.- Cuántos números cuadrados perfectos de tres cifras existen de modo que las cifras son diferentes y consecutivos sin importar el orden? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Si A) 10 B) 12 C) 13 D)14 E) 15 a b cc a 25 ab, halle a+b+c Los soldados de un batallón siempre forman haciendo un cuadrado cuando 13 de estos soldados están en guardia. Si 86 soldados son elegidos para integrarse a dicho batallón entonces al formarse todo el batallón forman un cuadrado. Cuántos soldados había inicialmente en el batallón si son menos de 300?.dar como respuesta la suma de cifras. A) 13 B) 9 C) 15 D) 17 E) Cuántos números cuadrados perfectos o comprendidos entre 924 y son13 4?. A) Calcule cuántos términos de la sucesión 18 1 ; 18 ; 18 ; ; 18 Son cubos perfectos A) 2 B) 8 C) 4 D) 5 E) Halle el menor número tal que al multiplicarlo por 28 se convierte en un cubo perfecto y al dividirlo entre 15 se convierte en cuadrado perfecto. Dar como respuesta la cantidad de divisores cuadrados perfectos que posee. B) 20 C) 24 D) 26 E) 30

4 RADICACIÓN Operación matemática inversa a la potenciación en el cual dados dos números llamados índice y radicando, consiste en calcular un tercer número llamado raíz que elevado a un exponente igual al índice, resulte el radicando. Índice Radicando Raíz RAÍZ CUADRADA Exacta. Inexacta: Defecto N k Exceso Propiedades: r def +r exc =3k(k+1)+1 r min =1 r máx =3k(k+1) EJERCICIOS PROPUESTOS 01- Cuál es el menor número que se le debe sumar a 2017 para que se convierta en cuadrado perfecto? A) Al extraer la raíz cuadrad de un número se ha obtenido como resultado 103 y como resto el máximo. Cuál es el número? A) B) C) D) E) Propiedades: r def +r exc =2k+1 r min =1 r máx =2k RAÍZ CÚBICA Exacta Inexacta: Defecto Exceso 03.-Halle el menor número tal que al extraerle su raíz cúbica, se obtenga residuo máximo, siendo éste múltiplo de 7. A) 342 B) 321 C) 248 D) 300 E) Si N es el menor número que al extraerle su raíz cuadra y raíz cúbica se obtiene residuos máximos en cada caso, halle el menor número entero que se le debe multiplicar a N para que sea un cubo perfecto. A) 147 B) 137 C) 127 D) 107 E) 43

5 05.-Si 47ab es un cuadrado perfecto, halle su raíz cuadrada A) 65 B) 66 9 D) 67 E) Determinar el valor de (a b) en: 10.-En una raíz cuadrada inexacta, al residuo por exceso le falta 19 unidades para ser igual al residuo por defecto y a éste le falta 20 unidades para ser máximo. Halle el radicando. A) 879 B) C) 940 D) 920 E) 970 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Cuál es el número que al extraer su raíz cúbica deja un residuo máximo igual a 720? A) B) C) D) E) Al extraer la raíz cuadrada de un número se ha obtenido como raíz 60 y como resto el máximo. Cuál es el número? A) 3650 B) 3720 C) 3659 D) 3270 E) 3695 Bibliografía 1.-Anthony J. Pettofrezzo, Donald R. Byrkit, INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE NÚMEROS 2.-De Oteyza, Lam, Hernández, Carrillo, ARITMÉTICA Y PREÁLGEBRA, PEARSON EDUCACIÓN. 3.- Academia Pitágoras, PRE SAN MARCOS 4.-Analisis del número y sus aplicaciones, ARITMÉTICA. Editorial lumbreras, Calcular el menor número tal que al extraerle su raíz cubica se obtenga residuo máximo, siendo éste un múltiplo de 7. A) 342 B) 321 C) 248 D) 300 E) 511