y la derivamos con respecto al tiempo 12 m/s

Transcripción

1 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de 00. Si el cuerpo de la figura se mueve hacia la izquierda con una celeridad de 6 m/s, determinar la celeridad del cuerpo. demás, si la celeridad del cuerpo disminuye a razón de m/s, determinar la aceleración del cuerpo. v, a v, a Establecemos la condición de que la longitud de la cuerda permanece constante, adoptando el convenio de signos que se indica en la figura, 4x + x En la figura adjunta se indican los sentidos reales de las velocidades y aceleraciones. cte. y la derivamos con respecto al tiempo 4x + x 0 x x v v 6 m/s de modo que el cuerpo se mueve hacia la izquierda (al contrario de lo indicado en la figura). Derivamos de nuevo con respecto al tiempo para obtener las aceleraciones: 4x + x 0 x x a a ( ) +m/s de modo que el cuerpo presenta una aceleración en sentido contrario a su velocidad, por lo que ésta disminuye. v, v, a x O O x a x x Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

2 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de 00. Una moneda, de.5 cm de radio, rueda inclinada manteniendo un ángulo de 60º respecto al plano horizontal. En su movimiento, el punto de contacto con el plano horizontal describe sobre éste una circunferencia, de 0.75 cm de radio, cada tercio de segundo. Determinar las velocidades y aceleraciones del centro de la moneda y del punto de la periferia, en el instante en el que se encuentra en una posición diametralmente opuesta al punto de contacto con el plano horizontal. 60º La velocidad angular Ω vale 3 r.p.s.; o sea Ω 3 π 6π rad/s C R r Ω z 60º O ω ω R a 30º y a) Dado que r R cos60º, el punto permanece estacionario en la vertical del centro O de la trayectoria circular descrita por el punto de contacto C; i.e., v 0 v 0 a 0 demás, el punto C de la moneda que en cada instante está en contacto con plano horizontal se encuentra instantáneamente en reposo, ya que nos dicen que la moneda rueda; esto es v C 0. En consecuencia, todos los puntos del diámetro C se encuentran instantáneamente en reposo; i.e., dicho diámetro coincide con el eje instantáneo de rotación (EIR). En consecuencia, el punto también se encuentra instantáneamente en reposo; i.e., b) Determinamos la velocidad angular intrínseca de la moneda (ω) a partir de la condición de rodadura: r 0.75 Ω vc rω Rω 0 ω Ω Ω 3π rad/s R ω ωsen 60º 3 3π / rad/s 0 rad/s ωr ω Ω +Ω 3 3π / rad/s ω cos 60º 3π / 6π 9π / donde ω R es la velocidad angular total o resultante de la moneda. Determinamos la aceleración del punto a partir de la del punto (nula): d ω R a a + + ωr ( ωr ) dt a d ω dt R π Ω ωr 0 3 3π / 0 rad/ s 6π 9 π/ 0-9 3π d ω R 0 3/4 8 π /4 00 d cm/s t 0 3 3/ π / a cm/s tgθ θ 30º con la horizontal. 00 Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

3 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de Una escalera, de 0 kg de masa,,5 m de longitud y centro de masa situado a mitad de la misma, se encuentra apoyada sobre una pared lisa y un suelo rugoso, cuando su extremo inferior se encuentra a una distancia de,5 m de la pared. a) Calcular las reacciones en los apoyos y. b) Determinar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento entre el suelo y la escalera para que ésta pueda permanecer en equilibrio en la posición indicada en la figura. N N f l a G mg b Determinamos el lado vertical del triángulo: b l a.5.5 m a) plicamos las ecuaciones cardinales de la Estática, descomponiendo las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical y tomando momentos en el punto. f N 0 f N 3.75 kg 36.8 N N mg 0 N mg 0kg 98.0 N a a.5 mg Nb N mg kg 36.8 N b b) El valor mínimo del coeficiente de rozamiento es mg f b a.5 µ N mg b 4 a,5m Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

4 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de En la figura se muestra esquemáticamente el tren de aterrizaje de un avión visto desde atrás. El radio de la rueda es de 40 cm y su momento de inercia es de.5 kg m. El avión despega a una velocidad de 80 km/h. Después del despegue, se recoge el tren de aterrizaje girándolo lateralmente a razón de 45E por segundo. Determinar la magnitud del par ejercido sobre la rueda por su soporte e indicar las direcciones de las magnitudes vectoriales implicadas. 45º/s Datos Momento de inercia: Radio de la rueda: Velocidad: I.5 kg m R 0.40 m v 80 km/ h 80/3.6 m/s 50 m/s Velocidad angular rueda: ω v/r 50/ rad/s Momento angular rueda: Velocidad angular tren: L Iω kg m /s Ω 45º /s π/4 rad/s rad/s M Ω Durante la recogida del tren de aterrizaje, el modulo del momento angular de la rueda permanece constante, pero su dirección cambia, ya que gira con una velocidad angular Ω. El par ejercido sobre la rueda es igual a la variación de su momento angular por unidad de tiempo; esto es, dl π M Ω L M Ω L N m dt 4 y la dirección de M es la que se indica en la figura. L Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

5 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de Un automóvil de 00 kg, que inicialmente viaja con una velocidad de 7 m/s, choca contra la parte posterior de un camión que se desplaza en la misma dirección y sentido a m/s. La velocidad del camión en el instante inmediato posterior al choque es de 3 m/s. a) Determinar el coeficiente de restitución. b) Calcular la energía mecánica que se ha perdido en el choque. Cómo se explica esta pérdida de energía? a) Conservación de la cantidad de movimiento durante el choque: mv + mv mv + mv m 9000 v v + ( v v ) 7 + ( 3) 9.5 m/s m 00 plicamos la definición del coeficiente de restitución: e v v v v de modo que se trata de una colisión parcialmente elástica b) Durante el choque disminuye la energía mecánica (cinética) del sistema. E mv + mv J k E mv + mv J k E E E 6750 J k k k La energía mecánica (cinética) que ha desaparecido se ha convertido en otras formas de energía, asociadas a la deformación de los vehículos colisionantes. Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

6 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de Un altavoz genera en un concierto de rock 0 - W/m a 0 m a una frecuencia de khz. Supongamos que la energía procedente del altavoz se extienda uniformemente en todas las direcciones. a) Cuál es el nivel de intensidad a 0 m? b) Cuál es la potencia acústica total generada por el altavoz? c) qué distancia alcanzará la intensidad el umbral de dolor de 0 d? d) Cuál es el nivel de intensidad a 30 m? a) Por definición del nivel de intensidad, se sigue β I 0 00d log 0 log 0 log Iumb 0 b) Por tratarse de una onda esférica, la potencia se reparte sobre frentes de onda cada vez más extensos, a medida que nos apartamos del foco. P I S π 0 03W c) Deberemos disponer de una intensidad de W/m, ya que entonces será Como P IS 4πR I, sera β 0 0 log 0 log0 0 d P 50.3 R 4.00 m 4πI 4π d) De nuevo tenemos en cuenta que se trata de una onda esférica. β I P W/m 30 S30 4π log 0 log d Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

7 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de Demostrar que el centro de presiones que un líquido ejerce sobre una pared rectangular, plana y vertical se encuentra situado una distancia de la superficie libre de dos tercios de la altura de la pared. H /3 H plicamos el teorema del centro de presiones: siendo: h h c cp I S h c la profundidad a la que se encuentra el centro geométrico de la pared: h c I el momento de áreas de segundo orden de la superficie de la pared con respecto a la línea definida por la intersección del plano de la pared con la superficie libre del líquido: I h cp la profundidad a la que se encuentra el centro de presiones; de modo que h 3 cp hs c 3 H SH I SH H HS 3 c.q.d. Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

8 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de En un tramo de una tubería horizontal existe un estrechamiento que reduce su sección a la mitad. Si por la misma circula un líquido y la diferencia de presión que se origina entre un punto de la tubería y el punto donde existe el estrechamiento equivale a la presión que produciría una columna del mismo líquido de altura h, qué velocidad tendrá el líquido en la tubería? plicamos la ecuación de ernoulli entre los dos puntos, supuestos a la misma cota: de modo que p + ρv p+ ρv p p ρ( v v) ρgh v v gh [] Tenemos en cuenta la ecuación de continuidad: S vs vs v v v [] S y sustituyendo este resultado en la expresión [], tenemos 4v v 3v gh v 3 gh Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

9 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de Un plano infinito posee una densidad de carga superficial de +4.5 nc/m y coincide con el plano yz en el origen; un segundo plano infinito posee una densidad de carga superficial de -4.5 nc/m y se localiza en un plano paralelo al plano yz en x m. Determinar la fuerza eléctrica ejercida sobre una carga puntual de 0 nc situada en: (a) x,8 m y (b) x 5 m. E0 E508 V/m a) El campo eléctrico en la zona comprendida entre los dos planos paralelos es uniforme y su intensidad es E 9 σ V/m int ε y la fuerza ejercida sobre la partícula cargada es 9 6 F qe N b) El campo eléctrico fuera de la zona comprendida entre los dos planos paralelos es nulo, por poseer estos densidades de carga iguales y opuestas. Obviamente, la fuerza sobre la partícula cargada también será nula. Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

10 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de Consideremos el circuito de c.c. que se muestra en la figura. a) Determinar la f.e.m. y la resistencia interna del generador equivalente entre los bornes y. b) Calcular la potencia máxima que puede suministrar el circuito de la figura a una resistencia de carga externa conectada entre y. Determinar el valor de dicha resistencia de carga. a) La f.e.m. del generador equivalente entre es igual a la diferencia de potencial entre sin carga externa. Para determinarla, resolvemos el c.c. de la figura por el método de las mallas de Maxwell. 6 I Ω 6 30 I 6 30 V, 8 Ω 6 V, 9 Ω 4 V 6 Ω 6 Ω 5 Ω I I P max V V E eq 6.5 V Determinamos ahora la intensidad en cortocircuito ; esto es, con los bornes cortocircuitados. Resolvemos el nuevo circuito por el método de las mallas de Maxwell I 0 6 I I 6 5 Eeq 6.5 r eq 0.69 Ω I R c ' ' Ω I c c ext 3 r Ω eq R eq eq 6.5 I R E E E R W 877mW r R + 4R 4R V, 8 Ω 6 V, 9 Ω 4 V 6 Ω 6 Ω 5 Ω b) Un generador suministra la máxima potencia a una carga externa cuando el valor de ésta coincide con el de la resistencia interna del generador. Por consiguiente, eq I c Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

11 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de 00. a) Enuncie la ley de mpère. Es válida para toda trayectoria que rodea a un conductor? Indique para que y en que casos resulta útil. b) Cuatro conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos en el vacío, transportan corrientes de igual magnitud I 4, tal como se indica en la figura. Determinar el campo magnético en el punto P situado en el centro del cuadrado, determinado por los cuatro conductores cuyo lado mide 0. m. P 0. m Teorema de mpère: La circulación del campo de inducción magnética () a lo largo de una trayectoria cerrada (C) es igual al producto de µ 0 por la intensidad neta (I) que fluye a través de cualquier superficie que tenga a la trayectoria de circulación (C) como contorno. Esto es, i d l µ 0I C Este teorema es válido para cualquier trayectoria cerrada en un campo magnético. Se utiliza para determinar el campo magnético de inducción (), resultando especialmente útil cuando calculamos la circulación de a lo largo de una línea de campo magnético y es constante el módulo de (esto es, ), a lo largo de dicha línea. b) Determinamos el campo magnético creado por un largo conductor rectilíneo, que transporta una corriente I, a una distancia r del mismo. plicando el teorema de mpère, siendo C una trayectoria circular de radio r que coincide con una línea de campo: µ 0I µ 0 I id l dl dl π r µ 0I πr 4π r C C C y aplicando esta expresión a uno cualquiera de los cuatro conductores, teniendo en cuenta que r l /, siendo l el lado del cuadrado, tenemos µ I µ I 4 4π l / 4π l µ 0 I µ 0 8I total 4cos 45º ( ) 4π l 4π l total T 0. en la dirección indicada en la figura T total Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba

12 Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 5 de septiembre de 00. En una región del espacio existe un campo magnético giratorio cuya expresión en función del tiempo viene dada por cos ωt j + sen ωtk 0 0 Una espira cuadrada de lado a gira alrededor del eje Ox con igual velocidad angular ω. Determinar la f.e.m. inducida si: a) el sentido de giro de la espira coincide con el del campo magnético, b) el sentido es opuesto. a z y Expresamos vectorialmente la superficie contorneada por la espira; esto es S Scos( ± ωt) j + Ssen ( ± ωt) k Scos ωt j ± Ssen ωtk donde el doble signo de la velocidad corresponde a las dos posibilidades previstas en el enunciado del problema. El flujo a través de la espira es 0 0 Φ S ωt S ωt i S ωt ωt sen ωt ± Ssen ωt Y la f.e.m. inducida viene dada por E 0cos cos 0 (cos ± sen ) ind dφ d (cos sen ) ( cos sen sen cos ) d d S ω t ± ω t t t ω S ω t ω t ± ω t ω t E ω S(cos ωt senωt senωtcos ωt) ind 0 x a) El sentido de giro de la espira coincide con el del campo magnético: E ind 0 ωs(cos ωtsenωt+ senωtcos ωt) ωs(senωtcos ωt) ind ω0 a sen( ωt) 0a sen ωs(cos ωtsenωt senωtco sωt) 0 lo que resulta obvio, ya que al girar la espira con la misma velocidad angular y en el mismo sentido con que lo hace el vector campo magnético, el flujo a través de ella permanece constante. b) El sentido de giro de la espira es opuesto al del campo magnético: E ind 0 0 ω ω 0 a sen( t) lo que también resulta obvio, ya que el resultado anterior se puede escribir en la forma E Ω Ωt, ya que al girar la espira con la misma velocidad angular, pero en sentido opuesto al de rotación del vector campo magnético, equivale a una rotación de la espira con una velocidad angular Ω ω en un campo magnético estacionario. Departamento de Física plicada ETSIM Universidad de Córdoba