Circuitos de corriente alterna

Transcripción

1 Circuitos de corriente alterna En estos apuntes se presenta un resumen de contenidos tratados en más detalle en el libro: Física para la Ciencia y la ecnología (Volumen ) Autores P. A. ipler y E. Mosca Editorial Reverté (5a Ed) 5 En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones: Capítulo 9 Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en los conceptos trabajados en el aula. En este tema, una parte importante de los contenidos tratados en el libro de referencia serán matizados en las clases. En aquellos apartados en que se sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas.. Introducción La mayor parte de la energía eléctrica que se utiliza habitualmente se produce mediante generadores de corriente alterna. El hecho de que la mayor parte de la corriente eléctrica sea alterna reside en la facilidad con la que ésta se puede transportar minimizando las pérdidas por efecto Joule. En los circuitos de corriente alterna (CA en español y AC en inglés) tanto la f.e.m. como la intensidad varían con el tiempo y lo hacen de acuerdo con una función periódica. al y como hemos visto en el estudio de la inducción electromagnética, una forma sencilla de generar una f.e.m. alterna es mediante el uso de un generador constituido por una espira (o bobina) que gira con velocidad angular constante en un campo magnético homogéneo y constante. La forma de onda que se utiliza de forma más común en corriente alterna es la de una onda sinusoidal (Figura ). Hasta ahora, hemos estudiado diferentes tipos de corrientes en función de su dependencia temporal: transitorias (como las que aparecen y desaparecen al conectar o desconectar circuitos RC y RL), continuas estacionarias, y finalmente alternas. Aunque algunas señales alternas utilizadas en circuitos eléctricos no varían como una simple onda sinusoidal (sino que se utilizan otras formas de onda periódicas tales como la triangular o las cuadradas), debe destacarse que cualquier señal periódica puede expresarse como una suma de funciones sinusoidales (tal y como se deriva del análisis de Fourier). Si consideramos una señal sinusoidal (por ejemplo, una diferencia de potencial entre los bornes de un elemento), su expresión matemáticamente es la siguiente: V( = V sin t

2 donde V es la amplitud de la señal. En este caso, el potencial varía entre V y -V. Figura. Función sinusoidal de potencial Como sabemos, la función seno es una función periódica, de modo el valor de la función en el instante t será exactamente el mismo en un instante posterior t = t+ donde es el período de la función ( = en el caso del seno). La frecuencia f se define como la inversa del período f = / y se mide en herzios (Hz o s - ). Sin embargo, el argumento de la función seno es la frecuencia angular quese define como = π f.. Circuitos de corriente alterna El comportamiento de bobinas y condensadores en corriente alterna es muy diferente del que tienen en corriente continua. Considerad, por ejemplo, el caso de un condensador. En corriente continua, cuando el condensador está totalmente cargado, se interrumpe el paso de corriente, es decir, actúa como un circuito abierto. En cambio, en los circuitos de corriente alterna, la carga fluye continuamente entrando y saliendo, alternativamente, de las placas del condensador. En particular, si la frecuencia de la corriente alterna es grande, el condensador prácticamente no impide el paso de corriente y se comporta prácticamente como un cortocircuito. Por el contrario, si consideramos una bobina, puesto que generalmente tiene una resistencia pequeña, en corriente continua se comporta casi como un cortocircuito ( salvo durante el transitorio!). Sin embargo, cuando la corriente que circula por el circuito está variando, hemos estudiado que se genera una fem autoinducida (también conocida como fuerza contraelectromotriz) que es proporcional al ritmo de variación de la corriente ( = - L di/d. De este modo, para frecuencias altas, tendremos que la fem autoinducida será alta y la bobina actuará prácticamente como un circuito abierto. Vamos a considerar, en primer lugar, distintos circuitos de corriente alterna que contengan: Generador de corriente alterna y resistencia Generador de corriente alterna y condensador Generador de corriente alterna y bobina Con esto, profundizaremos en el comportamiento de cada uno de estos elementos en corriente alterna para, finalmente, combinarlos en un circuito RLC en serie que incluye un generador de corriente alterna. al y como veremos, en este tipo de circuito aparecen oscilaciones eléctricas forzadas.

3 . Fasores En general, es útil introducir el concepto de fasor para representar las señales relevantes en el análisis del comportamiento de los circuitos en corriente alterna (i.e. potencial eléctrico e intensidad). Un fasor es un vector que rota alrededor de un eje con velocidad angular y que posee las siguientes propiedades: Una longitud que corresponde a la amplitud máxima de la señal. Una velocidad angular que describe la rotación de un vector en dirección contraria a las agujas del reloj. La proyección del vector a lo largo de uno de los ejes corresponde al valor de la cantidad alternante en un tiempo t. En el ejemplo de la figura, escogemos la proyección sobre el eje horizontal si tomamos como función periódica el coseno. Podríamos escoger igualmente la función seno, lo único que variaría en este caso es la fase inicial del argumento. En ese caso hablaríamos de la proyección sobre el eje vertical. Pueden interpretarse los ejes horizontal y vertical como los ejes x e y del plano complejo, los fasores como vectores en este plano complejo y las componentes x e y de los mismos como su parte real e imaginaria. Figura. Ejemplo de un diagrama de fasores de la señal V( = V cost.3 Generador en corriente alterna En el estudio de los circuitos de corriente continua se introdujo la noción de f.e.m. y fuente de f.e.m como un elemento que produce y mantiene una diferencia de potencial en un circuito para mantener la circulación de corriente en el mismo. ras estudiar la inducción electromagnética, hemos visto cómo se puede producir una f.e.m. sinusoidal como las que se utilizan habitualmente en circuitos de corriente alterna. El símbolo que se utiliza para ilustrar las fuentes/generadores de f.e.m. en corriente alterna es el que se presenta en la Figura 3. Figura 3. Símbolo utilizado para denotar una fuente/generador de f.e.m. (que varía de forma sinusoidal) en corriente alterna 3

4 .4 Circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con una resistencia Consideremos un circuito con una resistencia conectada en serie a un generador de corriente alterna, tal y como se muestra en la Figura 4. Figura 4. Circuito compuesto por una resistencia conectada en serie a un generador de corriente alterna En el estudio de los circuitos de corriente continua se introdujo una metodología para el análisis de los circuitos que se basaba en la denominada abstracción de parámetros concentrados. Si bien la validez de esta metodología requería el cumplimiento de tres condiciones, al estudiar los transitorios en circuitos RC y RL vimos que una evaluación cuidadosa de la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito, junto con el cumplimiento de la condición que las escalas temporales de interés fueran mucho mayores que los retardos de propagación electromagnética en el circuito permitía un análisis riguroso del circuito. Es por ello que haremos uso de esta misma metodología precisando aquellos aspectos que sea necesario matizar en cada momento. Para plantear la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema, partimos de un punto A y un instante t en el que asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m. y recorremos el circuito en el sentido de la corriente para evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito: donde hemos hecho uso de la ley de Ohm para expresar la caída de potencial a través de la resistencia V R (: V( = I ( R Por tanto, la corriente instantánea en el circuito viene dada por: V ( I( R V cos t R La relación entre la diferencia de potencial establecida por la fuente de f.e.m entre sus bornes y la caída de potencial al atravesar la resistencia se verifica t. Es interesante observar la 4

5 evolución temporal de las señales (I, V) en la resistencia. Para ello, en la Figura 5 hacemos uso de la noción de fasor. Un aspecto que debe destacarse es que I( y V( están en fase. Figura 5. Representación con fasores de la evolución temporal de las señales V( y I( en un circuito con una resistencia conectada en serie a un generador de corriente alterna.5. Valores eficaces en circuitos de corriente alterna Ciertamente existen aparatos de medida como los osciloscopios que permiten medir las señales (I,V) de los circuitos de corriente alterna y su dependencia temporal. Sin embargo, el uso de amperímetros/voltímetros (tanto analógicos como digitales) es también común en aplicaciones prácticas. Qué tipo de medida nos ofrecen estos aparatos en el caso de corriente alterna? Una primera intuición para dar respuesta a las anteriores preguntas podría sugerir la consideración del valor medio de las señales a lo largo de un período. Veamos qué ocurre cuando calculamos, por ejemplo, el valor medio de la f.e.m del generador V( a lo largo de un período. En primer lugar, debemos recordar que el valor medio f ( de una función periódica f( con periodo, se define como: f ( f (dt Por tanto, en el caso del voltaje se tiene: V ( V ( dt V cos t dt Intuitivamente ya podemos ver que el valor medio de una función coseno es cero si consideramos la interpretación geométrica de la integral, es decir, la integral como el área bajo la curva definida por la función. En cualquier caso, éste es un resultado que puede comprobarse fácilmente teniendo en cuenta la definición de frecuencia angular y su relación con el período. 5

6 cos t cos t dt t cos dt Realmente, los amperímetros/voltímetros se diseñan para medir valor eficaces, que se definen a partir del valor cuadrático medio de una función. Para cualquier función periódica f( con periodo el valor cuadrático medio se define como: f ( f ( dt Para entender por qué se selecciona precisamente esta medida consideremos la intensidad que circula por la resistencia (y por todo el circuito al ser éste en serie): I t ( I ( dt I cos t dt I cos dt I El valor eficaz se define como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio, por tanto: I ef I ( I De forma análoga, se tiene para el potencial: V ef V ( V Consideremos ahora qué potencia se disipa en la resistencia. Claramente, esta potencia también varía con el tiempo. El valor instantáneo de la misma en un instante t, es: P R ( I ( R El valor medio de la potencia en un período puede calcularse tal y como hemos visto con anterioridad considerando la definición de valor medio de la función a lo largo de un período: PR ( I ( R I R I ef R En este contexto, se puede interpretar el valor eficaz (y su elección) como aquella medida que permite establecer una relación entre la señal (corriente) AC que produce el mismo calentamiento por efecto Joule en la resistencia que el producido por una corriente estacionaria DC cuyo magnitud fuese la del valor eficaz. Es muy importante que tengáis en cuenta que si la señal presenta una dependencia temporal distinta de un seno (o coseno), también variarán los valores eficaces. El valor eficaz, tal y como hemos dicho, se define como la raíz cuadrada del valor cuadrático medio. El valor concreto que tome depende de la señal que se considere. 6

7 . Circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con una bobina Consideremos ahora un circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con una bobina. Figura 6. Circuito con generador de corriente alterna en serie con una bobina Para plantear la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema partimos de un punto A y un instante t en el que asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m. Recorremos el circuito en el sentido de la corriente para evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito: La consideración de la ley de Faraday (y no la ley de los voltajes de Kirchhoff que ya no es válida en este contexto al adquirir relevancia el fenómeno de inducción electromagnética en el circuito como consecuencia de la presencia de una bobina), lleva a concluir que la ecuación que gobierna el comportamiento del circuito es: di( di( V ( L V cos t L dt dt al y como se discutió al estudiar los transitorios en circuitos RL, en algunos libros de texto, se suele introducir un símil en términos de una caída de potencial equivalente en la bobina. Realmente, el comportamiento físico del sistema no responde a esta interpretación. La descripción rigurosa del sistema debe hacerse en términos de la ley de Faraday y de la naturaleza no conservativa del campo eléctrico. Si resolvemos la ecuación diferencial, se encuentra que la intensidad de corriente que circula por el circuito es: V V V I( sin t cos t L L 7 L L cos t donde χ L = L recibe el nombre de reactancia inductiva. La reactancia inductiva se mide en ohmios () igual que la resistencia, sin embargo este término depende de la frecuencia angular y de la autoinductancia de la bobina.

8 Esto significa que hay un desfase de / entre el voltaje impuesto por el generador y la corriente que circula por este circuito (en el que sólo tenemos un generador de fem alterna y una bobina). El desfase entre la señal de voltaje proporcionada por el generador y la corriente que se establece en el circuito es tal que la corriente está retrasada / respecto al voltaje, lo cual puede interpretarse en términos del comportamiento de la autoinductancia de la bobina y la inercia que ésta presenta al establecimiento de una corriente estacionaria. Figura 7. Diagrama de fasores para el circuito compuesto por un generador de corriente alterna conectado en serie con una bobina..3 Circuito compuesto por un generador de corriente alterna en serie con un condensador Consideremos ahora un circuito compuesto por un generador de corriente alterna y un condensador. Figura 8. Circuito de corriente alterna con condensadores. Siguiendo un planteamiento análogo al de las dos secciones anteriores, para encontrar la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema, partimos de un punto A y un instante t en el que asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m. y recorremos el circuito en el sentido de la corriente para evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito: 8

9 En este caso, en el circuito no se aprecia ningún fenómeno de inducción electromagnética relevante (ya que el circuito no tiene una autoinductancia apreciable al no contar con ninguna bobina) y se obtiene para la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito el siguiente resultado: Encontramos que la carga del condensador varía según la expresión: Q C V( C V cos t ( y la intensidad que circula por el circuito viene, por tanto, dada por: I( dq( dt V CV sin t CV cos t cos t C donde se denomina reactancia capacitiva. De nuevo, tenemos que la unidad de la reactancia es el ohmio (). Su valor depende de la frecuencia a la que está operando el generador en el circuito y de la capacidad del condensador. al y como hemos visto en el análisis del circuito que contiene sólo una bobina y la fuente fem alterna, la caída de tensión y la intensidad no están en fase. En esta ocasión, el voltaje proporcionado por la fuente de fem alterna está retrasado / respecto a la corriente que circula por el circuito. Este resultado puede interpretarse en términos de cómo se comporta un condensador durante el período transitorio hacia el establecimiento de un voltaje estacionario entre sus placas. ened en cuenta que es precisamente la corriente (el ritmo al que se acumulan las cargas positivas en la placa con carga +Q) la responsable de establecer una diferencia de potencial entre las mismas. Es por ello que la corriente desde esta perspectiva antecede al establecimiento de la diferencia de potencial entre las placas del condensador. Este desfase tiene su origen en estos fenómenos transitorios y no podemos olvidarnos de ellos al interpretar el comportamiento del circuito. En la siguiente sección, en la que tratamos los circuitos RLC en serie revisitaremos estos conceptos. 9

10 Figura 9. Diagrama de fasores para el circuito con generador fem alterna y condensador. 3. Circuito RLC en serie con un generador de corriente alterna ras analizar el comportamiento de cada uno de los elementos R, L y C cuando se encuentran en un circuito con una fem alterna, vamos a estudiar cómo se comporta un circuito que los incluya a todos ellos simultáneamente. Consideremos el circuito de la Figura que contiene los tres componentes R, L y C en serie con un generador de corriente alterna. al y como hemos hecho anteriormente, para plantear la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema, partimos de un punto A y un instante t en el que asumimos que conocemos la polaridad de la f.e.m. y recorremos el circuito en el sentido de la corriente para evaluar la circulación del campo eléctrico a lo largo del circuito: Figura. Circuito RLC en serie con un generador de corriente alterna

11 La variación de flujo magnético que aparece en la ley de Faraday, en este circuito, teniendo en cuenta la aproximación de parámetros concentrados y la presencia de una bobina con autoinductancia L en el circuito, verifica la siguiente igualdad: eniendo en cuenta que I( = dq/dt, la anterior ecuación se puede expresar como: d Q( dq( Q( L R dt dt C V cos t Ésta es una ecuación diferencial de segundo orden. No vamos a resolver la ecuación diferencial sino que indicaremos su solución. Sin embargo, sí que debemos señalar que la solución completa consta de una parte transitoria que depende de las condiciones iniciales (como son las fase inicial del voltaje proporcionado por el generador y la carga inicial del condensador) y una corriente estacionaria que es independiente de estas condiciones. Nosotros nos centraremos en el estudio de la solución estacionaria e ignoraremos la solución transitoria, que disminuye exponencialmente con el tiempo y es, finalmente, despreciable. Es importante destacar que la corriente tiene la misma amplitud y fase en todos los componentes del sistema puesto que todos ellos están en serie. La solución estacionaria de esta ecuación diferencial establece que la intensidad que circula por el circuito es: dq( I ( dt V I cos( t ) cos( t ) Z donde Z se denomina impedancia del circuito (se mide en ) y toma el valor: y el desfase entre la corriente que circula por el circuito y el voltaje proporcionado por la fem de alterna es tal que: Es importante destacar que el desfase entre las señales se mantiene constante a lo largo del tiempo ya que los fasores están rotando a la misma velocidad angular. Por tanto, este

12 ángulo de fase es el mismo para cualquier instante de tiempo que consideremos. El signo del ángulo depende del balance entre la reactancia inductiva y capacitiva del circuito que depende tanto de L y C, como de la frecuencia a la que está operando el circuito. 4. Impedancia Hemos visto que las reactancias inductiva y capacitiva tienen un papel análogo a la resistencia en cuanto que permiten relacionar intensidad que circula por un determinado elemento y la caída de tensión en el mismo. Sin embargo, en los inductores y condensadores ideales no se disipa energía, lo que sí ocurre como bien sabemos en las resistencias por efecto Joule. al y como hemos adelantado, en un circuito RLC la impedancia es: Z χ χ R L mientras que la magnitud χl χc recibe el nombre de reactancia total. A menudo se utiliza una notación compleja para la impedancia de modo que ésta queda representada como un número complejo cuya parte real corresponde a la resistencia y cuya parte imaginaria corresponde a la reactancia total: C Podéis comprobar que la impedancia tal y como la hemos definido anteriormente corresponde al módulo de este vector. Esta representación en el plano complejo permite también una interpretación geométrica interesante. Desde una perspectiva geométrica, podemos observar que es posible representar la impedancia mediante un triángulo rectángulo como el que se muestra a continuación y que relaciona la reactancia total con la impedancia y el ángulo de fase del circuito RLC. El signo del ángulo de fase quedará establecido por la relación entre de modo que: si si Figura. Representación geométrica de la impedancia haciendo uso del triángulo de impedancia

13 Figura. Diagrama de fasores para un circuito RLC de carácter capacitivo y su relación con el triángulo de impedancia. 5. Resonancia Si tenemos en cuenta la solución de la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del circuito RLC en serie, es posible llegar a una serie de conclusiones importantes sobre su comportamiento. En primer lugar vemos que la corriente máxima que circula por el circuito toma el valor: I V Z Esta corriente máxima I depende de la frecuencia a la que está operando el circuito y está dictada por la fem alterna. Esta ecuación indica que la corriente alcanza su valor máximo cuando Z es mínima. Esto ocurre cuando los términos de reactancia capacitiva y reactancia inductiva son iguales, es decir: χ L χ C Lω ωc Esta igualdad se verifica sólo para una determinada frecuencia angular, que recibe el nombre de frecuencia de resonancia: ω= LC 3

14 Precisamente en esta frecuencia angular se da el fenómeno denominado resonancia por el cual la intensidad que circula por el circuito alcanza un máximo. Podemos comprobar fácilmente que en resonancia, la impedancia se convierte en Z=R, y la amplitud de la V corriente es I R Además, si nos fijamos en el valor que toma el ángulo de fase en resonancia no existe desfase entre la corriente y el voltaje proporcionado por la fem alterna, es decir, =. La amplitud de la corriente aumenta considerablemente en esta situación tal y como podemos observar en la Figura. De hecho, los circuitos resonantes se utilizan en los receptores de radio en los que se varía la frecuencia de resonancia del circuito variando la inductancia o la capacidad del mismo. Se produce la resonancia cuando la frecuencia natural del circuito se iguala a una de las frecuencias de las ondas de radio recogidas por la antena. En la resonancia, aparece una corriente relativamente grande en el circuito de la antena. En situaciones óptimas, las corrientes debidas a las frecuencias de otras estaciones que no están en resonancia son despreciables en comparación con la correspondiente a la frecuencia que ha sintonizado el circuito. Podéis comprobar también que para valores de frecuencia angular <, el circuito tienen un carácter capacitivo en la medida que la reactancia capacitiva domina sobre la reactancia inductiva (. En cambio, cuando el circuito opera a frecuencias >, éste tiene un carácter inductivo en la medida que la reactancia inductiva domina sobre la reactancia capacitiva (. Figura. La amplitud de la corriente como una función de en un circuito RLC. 4

15 Enlaces de interés Lecture 5: Driven LRC Circuits and Resonance (Prof. Walter Lewin, MI) /video-lectures/lecture-5-driven-lrc-circuits-and-resonance/ 5