INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS CIENCIAS BÁSICAS Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. JOSÉ LUIS HERNÁNDEZ GONZÁLEZ Alumno (a): joseluis@itapizaco.edu.mx Apizaco Tlax., 25, 26 y 27 de octubre de 2006 Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 1 / 33

2 ÍNDICE BOSQUEJO DE FUNCIONES... 3 Introducción... 3 Función... 3 Representación... 3 Listas... 4 Operaciones... 5 Tipos de gráficos... 5 Tipos de marcas...6 Gráfica de nube de puntos, editor de ecuaciones... 7 Evaluación de funciones (home)... 9 La ecuación de la recta que une dos puntos Gráfica de una función, editor de ecuaciones Definición de la función que pasa por dos puntos Transformaciones de funciones Desplazamientos Estiramientos y compresiones verticales Estiramientos y compresiones horizontales Reflexiones Dominio y recorrido Otras funciones básicas Funciones trigonométricas Combinación de funciones Bibliografía Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 2 / 33

3 BOSQUEJO DE FUNCIONES Introducción Aunque en la actualidad es fácil graficar una función o un conjunto de puntos por medio de software o una calculadora graficadora, es importante que los alumnos de nivel licenciatura puedan bosquejar una función a mano basados en algunos puntos o una serie de transformaciones de la función básica. Función Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. x a A f y = f(x) f(a) B Una función es {(x, y) x A} Representación La representación de una función puede ser: a) Verbal b) Tabular c) Gráfica d) Analítica x y y = x Tabular Gráfica Análitica Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 3 / 33

4 Generalmente, se acostumbra bosquejar una gráfica elaborando una tabla, para lo cual se da una serie de valores para x, con la función f(x) se procede a calcular el valor de la y, de manera tal, que y = f(x), aunque esto ya no es necesario con un programa de computo o una calculadora graficadora. Ejemplo. Sea la función y = x Es decir f(x) = (x) 2 +1 Si x = -3 f(-3) = (-3) 2 +1= 10 f(-2) = (-2) 2 +1= 5 f(-1) = (-1) 2 +1= 2 f( 0) = ( 0) 2 +1= 1 f( 1) = ( 1) 2 +1= 2 f( 2) = ( 2) 2 +1= 5 f( 3) = ( 3) 2 +1= 10 x Y Ese conjunto de valores lo podemos manejar de manera más apropiada mediante una lista. Listas Una lista es un conjunto de valores separado por comas entre llaves. {-3} {-3,-2,-1,0,1,2,3} {2,1} {a,b,c,e,d} Podemos almacenar una lista una variable mediante la tecla Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la función y = x 2 +1 En home introduzca los datos en las variables listax, listay. {-3,-2,-1,0,1,2,3} listax {10,5,2,1,2,5,10} listay Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 4 / 33

5 También es posible efectuar operaciones con las listas, tal y como se hace en aritmética o álgebra. Operaciones Suma + Listax+Listay Resta Listax-Listay Multiplicación * Listax*Listay División / Listax/Listay Raíz cuadrada ( Listax) Valor absoluto abs(listax) Se pueden hacer las siguientes gráficas en la calculadora: Tipos de gráficos Nube de puntos Líneas y puntos Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 5 / 33

6 Tipos de marcas Caja Cruz Signo Más Cuadro Punto Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 6 / 33

7 Gráfica de nube de puntos, editor de ecuaciones Presione ¹#, mueva el cursor hasta Plot 1: y presione Seleccione Plot Type Scatter Mark..Box Y escriba en x, y x.listax y.listay Se muestra el tipo de gráfico y el valor de las listas a graficar Del menú seleccione F2:Zoom, 9:ZoomData y presione La gráfica será ajustada al conjunto de valores de las listas. Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 7 / 33

8 La función más sencilla corresponde a una constante. Dibuje la función de una constante y elabore una tabla xy x y y = Otra función sencilla corresponde a: x y y = x Elabore la gráfica de: x y y = x 2 Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 8 / 33

9 Evaluación de funciones (home) A estas funciones les denominaremos funciones básicas, y también las podemos almacenar en alguna variable para poder evaluarlas tal y como se hace a mano. Sea la función f(x) = x 2, almacenarla en la variable f(x) x^2 f(x) Si se quiere evaluar cuando x = 2, entonces debemos escribir f(2) Si x = c f(c) Si x = c + 1 f(c+1) Si el valor de x es una lista entonces f(listax) Actividad: Definir algunas funciones y evaluarlas. Se pueden definir funciones más complicadas tales como f(x 1, x 2, x n ), donde x 1, x 2,, x n se denominan parámetros. Ejemplo. Defina como una función llamada fuerza con la fórmula F = ma y evalúe cuando m = 3 y a = 2 m*a fuerza(m,a) fuerza(3,2) La ecuación de la recta que une dos puntos. y A (x 1, y 1 ) B (x 2, y 2 ) m = tan( θ ) x Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1) Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 9 / 33

10 Gráfica de una función, editor de ecuaciones Antes que nada, es necesario ajustar la ventana donde se visualizarán las gráficas, presionado ¹$ En el editor de ecuaciones, grafique la función y = x. Presione ¹# Mueva el cursor hasta y1 = Presione y escriba x Presione ¹% Ajuste la ventana de forma que x y y sean del mismo tamaño presionando F2 Zoom, 5:Zoomsqr El resultado es: Actividad: Graficar algunas funciones. Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 10 / 33

11 Puede hacer una gráfica de puntos escribiendo en home la función newplot n,tipo,listax,listay Donde n Corresponde al número de gráfico (del 1 al 10) tipo Es un número de 1 al 4 listax Es la lista con los valores de x listay Es la lista con los valores de y tipo: 1 = Nube de puntos 2 = Gráfica de líneas xy 3 = Gráfica de cajas (estadística) 4 = Histograma (estadística) Primero defina el conjunto de puntos a graficar y almacénelos en listax, listay. {0,1} listax {0,1} listay Newplot 1,1,listax,listay Después presione ¹% Nota: Recuerde que si el punto A(0, 0) equivale a A(x 1, y 1 ) y B(1, 1) es B(x 2, y 2 ), las listas para almacenar los valores de x corresponde a {x1,x2} listax y para {y1,y2} listay, esto es {0,1} listax y {0,1} listay Definición de la función que pasa por dos puntos Se podrá definir una función que encuentre la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y que los puntos (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) sean los parámetros? Defina la función como: e2puntos(px1,py1,px2,py2) y use la función de la calculadora drawfunc, para mostrarla. Pruébela con (2,2), (4,8) para obtener y = Lo que indica que la ecuación de la recta la podemos escribir como: y Donde: b = pendiente a = El valor donde la ecuación corta con el eje y. a b = La pendiente de la recta. x Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 11 / 33

12 Si pudo definir su función, úsela para resolver los siguientes problemas. Si no, hágalos a mano. (1, 1), (2,2) y = (0, 1), (1,2) y = (0, 2), (1,3) y = (0,-1),(1,0) y = (0,-2)(2,0) y = Significa que si deseo la gráfica hacia, debo una, es decir Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 12 / 33

13 Observe que sucede si trabajamos con la misma modificación en f(x) = x 2, grafique las funciones: y = x y = x y = x 2 1 y = x 2 2 Entonces, si deseamos la gráfica hacia, debo una, es decir Qué otro movimiento podré hacer? Cómo deberé modificar la función original? Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 13 / 33

14 Trabajemos nuevamente con f(x) = x 2, a partir de la gráfica, construya la tabla de valores y observe que sucede. f(x ) = ( ) 2 = x y f(x ) = ( ) 2 = x y f(x ) = ( ) 2 = x y Nota: Tome el cero como punto de referencia, además del primer punto a evaluar. Entonces, si deseamos la gráfica hacia, debo una, es decir Y si deseamos la gráfica hacia, debo una, es decir Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 14 / 33

15 Encuentre las ecuaciones de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las función correspondiente, con respecto a función base y = x. (describa lo que sucede) (0,0), (1,2) y = (0,0), (1,3) y = (0,0), (2,1) y = (0,0), (3,1) y = Qué se puede concluir? Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 15 / 33

16 Observe que sucede si trabajamos con la misma modificación para la función base f(x) = x 2, grafique las funciones y describa que sucede. y = 2x 2 y = 3x 2 y = 2 1 x 2 y = 3 1 x 2 Qué se puede concluir? Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 16 / 33

17 Encuentre la ecuación de las siguientes rectas y observe qué sucede con ellas graficando las funciones correspondientes, con respecto a la función base y = x, y descríbalo. (-1,1), (0,0) y = (-1,2), (0,0) y = (-1,3), (0,0) y = (-3,1), (0,0) y = Haga lo mismo para y = -x 2 Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 17 / 33

18 Transformaciones de funciones Las transformaciones que sufre una función básica son las siguientes: Desplazamientos Estiramiento Reflexiones A partir de las funciones básicas, podemos obtener otras gráficas de funciones relacionadas, permitiéndonos trazar gráficas de numerosas funciones rápido (sin necesidad de utilizar la calculadora). Desplazamientos Los desplazamientos pueden ser sobre el eje x o sobre el eje y. Translación hacia arriba f(x) + c f(x + c) f(x) f(x c) Translación a la Izquierda f(x) c Translación a la derecha Translación hacia abajo Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 18 / 33

19 Si c es un número positivo, entonces tenemos los siguientes desplazamientos y = f (x) + c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia arriba y = f (x) c, se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia abajo y = f (x c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia derecha y = f (x + c), se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia izquierda Estiramientos y compresiones verticales cf(x) f(x) 1 f(x) c Estiramiento vertical Compresión vertical y = cf(x), estírese la gráfica de y = f(x) verticalmente en su factor de c y = c 1 f(x), comprímase la gráfica de y = f (x) verticalmente en su factor de c Estiramientos y compresiones horizontales f(cx) f(x) 1 f x c Compresión horizontal Estiramiento horizontal y = f(cx), comprímase la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c y = f( c 1 x), estírese la gráfica de y = f (x) horizontalmente en su factor de c Reflexiones -f(x) f(x) f(-x) Reflexión en x Reflexión en y y = f (x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje x y = f(-x), refléjese la gráfica de y = f (x) respecto al eje y Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 19 / 33

20 Dominio y recorrido El dominio de f es el conjunto A, y su recorrido o imagen es f(x) Recorrido y y = f(x) x Dominio En realidad, una función nueva parte de la función básica y = x, es decir, si consideramos por ejemplo a y = x 2, es una modificación de la básica x, es decir si realizamos la tabla de valores para algunos puntos podemos ver que: x f(x) = x f(x) = x (-3) 2 = (-2) 2 = (-1) 2 = (0) 2 = (1) 2 = (2) 2 = (3) 2 = 9 Observe cómo los valores que toma el recorrido nunca serán negativos, es decir, se puede observar cómo la parte de las x, en la función f (x) = x devuelve valores positivos; imagine si es posible proyectar la información de la variable x a la nueva función x2. NOTA: A partir de este momento, ya no usar la calculadora para hacer la gráfica de las funciones, sólo para evaluar algunos puntos. Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 20 / 33

21 Otras funciones básicas Otras funciones que podemos considerar básicas son las siguientes: y = x y = x 2 1 = x Dominio Recorrido Dominio Recorrido y = x 1 y = e x Dominio Recorrido Dominio Recorrido Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 21 / 33

22 y = ln(x) Evalúa algunos puntos cercanos a cero, tanto positivos como negativos, describe que observas. Dominio Recorrido Funciones trigonométricas Considérese un círculo de radio r = 1 y ángulo θ, por trigonometría sabemos que: entonces y sen θ = ; 1 x = cosθ y = senθ x cos θ = 1 θ x y x Si medimos el ángulo θ en radianes tenemos Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 22 / 33

23 y = cos(x) y = sen(x) Dominio Recorrido Dominio Recorrido Cómo se comportan las funciones de la forma y = f(x) + c donde f(x) es una de las funciones anteriores y c es una constante Propón una función y una constante y realiza lo que describiste. y = y = Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 23 / 33

24 Cómo se comportan las funciones de la forma y = f(x-b) donde f(x) es una de las funciones anteriores y b es una constante. y = y = Qué efecto produce en cualquiera de las funciones anteriores el multiplicarlas por un número a? esto es, cuál es el comportamiento de funciones de la forma: y = a f(x) donde f(x) es una de las funciones anteriores y a es una constante, en cualquiera de los siguientes casos: i) a > 1 ii) 0 < a < 1 iii) a < 0 Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 24 / 33

25 y = y = a > 1 y = 0 < a < 1 a < 0 En general, cómo se comportan las funciones de la forma y = af(x-b) + c donde f(x) es una de las funciones anteriores y a, b y c son constantes. Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 25 / 33

26 y = y = En cada una de las siguientes funciones determinen cuál es la función básica y describan el efecto que le producen cada uno de los parámetros. Luego bosquejen las gráfica correspondiente. y = x 3 y = 2 x 3 Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 26 / 33

27 2 y = 1 x 3 1 y = (x + 3) y = 4 2 ln(x + 3) Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 27 / 33

28 Bosqueje las funciones, si cree que es necesario evalúe algunos puntos. y = x y = x 2 y = x y = 1 x y = 2 1 x y = x Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 28 / 33

29 Sabiendo que la gráfica de la figura corresponde a la función y = f(x), bosqueje la gráfica de cada una de las siguientes funciones: (use algunos puntos para hacerlo) y = f(x) 5 y = 2 1 f(x) y = f(x 2) y = 10 f(x) Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 29 / 33

30 y = f ( x ) y = 5 f (x + 3) Combinación de funciones Estos primeros problemas deben haberle permitido precisar el efecto que sobre una función cualesquiera y = f(x), tienen los parámetros a, b y c (constantes) que aparecen en funciones de la forma y = af(x b) + c Tales efectos, pueden explicarse fácilmente teniendo claro que en la expresión y = f(x), f(x) representa los valores de la variable y, que se obtienen a partir de los valores de la variable x al efectuar sobre ellos las operaciones representadas por la regla f; ya que, en ese caso, en una expresión de la forma y = f(x) + c f(x) + c representa los valores de la y de la nueva función y, por tanto, es evidente que éstos se obtienen, en cada caso, al sumarle c unidades a los valores de la y de la función inicial. Una consecuencia inmediata de esto, es el hecho de que para cualquier valor dado de la x, los valores correspondientes de las y de las dos funciones, y = f(x) y y = f(x) + c, difieren en el valor constante, c. Geométricamente, esto hace que la gráfica de y= f(x)+c sea igual a la gráfica de y = f(x), sólo que está c unidades más arriba o más abajo según que c sea un número positivo o negativo. De igual forma, en funciones de la forma y = af(x), los valores de la y se obtienen multiplicando por a los valores de la y de la función y = f(x), de tal manera que, si a>1, los valores de la y, de la función y = af(x) tendrán un valor absoluto mayor que los correspondientes valores de la y de la función y = f(x), excepto cuando y = 0, en cuyo caso serán iguales. En el caso de que a sea una fracción entre cero y uno, es decir, en el caso de que 0 < a < 1, resultará que los valores de la y, de la función y = af(x) tendrán un valor absoluto menor que los correspondientes valores de la y de la función y = f(x), excepto, como en el caso anterior, cuando y = 0. Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 30 / 33

31 Gráficamente, lo anterior se refleja en el hecho de que las gráficas de y=f(x) y y=af(x), coinciden cuando y = 0 y cuando y 0 se separan más o menos dependiendo del valor de y de la función y=f(x) y del valor de a (mientras mayores son los valores absolutos de y, la separación de las gráficas es mayor; lo mismo sucede para los valores de a, cuando son mayores que uno y lo contrario cuando son menores que uno). Por último, si a < 0, af(x) y f(x) tendrán signos diferentes, esto es, cuando f(x) > 0, af(x) < 0 y viceversa. Consideremos ahora el caso en el que a y/o c fueran también variables dependientes de x; esto es consideremos a = A(x) y c = C(x) de tal manera que tendremos ahora funciones de la forma i) y = f(x) + C(x) ii) y = A(x)f(x) o la combinación de ambos, que dan lugar a funciones de la forma y = A(x)f(x) + C(x) (desde luego que los casos anteriores son ahora casos particulares de esta nueva forma y corresponden, precisamente, a los casos en los cuales A(x) y C(x) son funciones constantes). Entonces, se pueden combinar dos funciones f y g para formar nuevas funciones f+g, f-g, fg, f/g de manera semejante a las operaciones básicas con los números reales. Si definimos la suma f + g por la ecuación (f+g)(x) = f(x) + g(x) Entonces, el segundo miembro de la ecuación tiene sentido si tanto f(x) como g(x) están definidas; es decir, si x pertenece al dominio de f y también al de g. Si el dominio de f es A y el de g es B, entonces el dominio de f+g es la intersección de ambos, es decir A B. Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones se definen como sigue: (f + g)(x) = f(x) + g(x) dominio = A B (f g)(x) = f(x) g (x) dominio = A B (fg)(x) = f(x)g(x) dominio = A B f f (x) (x) = g g(x) dominio = {x A B g(x) 0} Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 31 / 33

32 Si f (x) = x y g(x) 2 = 4 x, la suma de f(x) y g(x) es Dominio A = {x x 0} Dominio B = {x -2 x 2} El nuevo dominio es A B = { x 0 x 2} Seleccione algunos puntos para bosquejar la función resultante, por ejemplo los extremos del nuevo dominio, así como algún o algunos puntos interiores de ese dominio. Como la operación que se realiza es la suma, Para el primer extremo se tienen que: = 2, para el siguiente punto x = 1, entonces y 2 = 4 1, y = =2.73 Para el otro extremo = 2 Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 32 / 33

33 Bosqueje las funciones resultantes de: f(x) g(x) f(x) * g(x) f (x) g(x) Bibliografía Curso de Cálculo, MEEC2, Ciidet, mayo 2005 Cálculo de una variable, James Stewart, Edit. Thomson Manual de la calculadora Voyage 200, Texas Instruments Las gráficas fueron generadas en Winplot, Parris Richard, Peanut software, tomado de octubre de Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras M. en C. José Luis Hernández González 33 / 33