XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA SÍSMICA

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1 XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA SÍSMICA DE DEL 6 AL 9 DE NOVIEMBRE DE 2013, BOCA DEL RÍO VERACRUZ, HOTEL GALERÍA PLAZA SIMULACIÓN NUMÉRICA DE AGRIETAMIENTO EN LOSAS Gelacio Juárez Luna (1), Norberto Domínguez Ramírez (2) y Emilio Sordo Zabay (1) 1 Departamento de Materiales, Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma Metropolitana, San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas, Azcapotzalco, CP 02200, México D.F. gjl@correo.azc.uam.mx;esz@correo.azc.uam.mx 2 Posgrado, Instituto Politécnico Nacional, Av. Juan de Dios Bátiz s/n, Edificio 12 3er. Piso, Unidad Profesional Adolfo López Mateos, Gustavo A. Madero CP 07738, México D.F. ndominguez@ipn.mx RESUMEN Se estudia numéricamente el inicio y las trayectorias de agrietamiento de losas de concreto armado sujetas a cagas de colapso. Se utilizan elementos finitos sólidos para discretizar el concreto y elementos barras para el acero de refuerzo, ambos tipos de elementos se conectan en sus nodos. Una superficie de daño, con diferentes umbrales en tensión y en compresión, representa el comportamiento constitutivo del concreto, mientras que el endurecimiento del acero de refuerzo se idealizó con una superficie de Von Mises. Se presentan ejemplos numéricos de una prueba experimental de una losa reportada en la literatura, así como de una losa cuadrada y una rectangular. ABSTRACT The start and growth of cracking in reinforced concrete slabs under collapse loads is studied. Solid finite elements were used for modelling concrete and bar elements for steel reinforcement; both kinds of elements were connected in the nodes. A failure surface, with different threshold values under tension and compression, represented the constitutive behaviour of concrete, whereas the hardening of the steel reinforcement was idealized with a Von Mises surface. Numerical examples of an experimental test of a slab reported in the literature, as well as a quadrilateral and a rectangular slab were presented. INTRODUCCIÓN El agrietamiento de elementos de concreto es de interés en la ingeniería, particularmente el determinar la carga en la que éste inicia, así como su evolución. En el concreto, el agrietamiento se presenta primeramente en las zonas que se encuentran en estados de esfuerzo a tensión, antes que las zonas de compresión, puesto que la magnitud de la resistencia del concreto en compresión es de 10 a 20 veces mayor a la resistencia en tensión, como se muestra en los resultados experimentales de Kupfer y Gerstle (1973). En elementos de concreto reforzado se tiene primeramente un comportamiento elástico lineal, posteriormente se presenta el agrietamiento y, finalmente, plastificación del acero. Particularmente, en las losas de concreto reforzado empotradas, el agrietamiento inicia en los bordes de la cara superior, posteriormente en el centro de la parte inferior, propagándose al incrementar la carga; mientras que en las losas simplemente apoyadas inicia en el centro del claro en la cara inferior, propagándose hacia los bordes (Juárez- Luna y Caballero-Garatachea 2014). Para determinar las trayectorias de agrietamiento, así como los coeficientes de momentos en losas rectangulares, se han realizado pruebas de laboratorio, de las primeras que se tienen reportadas son la realizadas por Bach y Graf (1915), quienes probaron 52 losas simplemente apoyadas sobre sus bordes, así como 35 franjas apoyadas como vigas, las cuales fueron cargadas hasta la falla. En estas pruebas se obtuvieron los desplazamientos en algunos puntos de las losas y las pendientes en los centro de los bordes; además de registró el desarrollo de las grietas, como el que se muestra en la Figura 1 (Westergaard y Slater 1921). Posteriormente, se realizaron otras pruebas como las

2 XIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Boca del Río, Veracruz, 2013 reportadas por Mayes et al. (1959), Hatcher et al. (1960), Hatcher et al. (1961), Vanderbilt et al. (1961), Gamble et al. (1961), Jirsa et al. (1962), Girolami et al. (1970), Foster et al. (2004), Casadei et al. (2005) y Galati et al. (2008), entre otros. Es de interés señalar que las referencias antes mencionadas son la base de las investigaciones y aplicaciones que se realizan en el análisis y diseño de losas rectangulares actualmente. Figura 1 Trayectorias de agrietamiento en losa cuadrada de 2 m en la parte: superior y Inferior (adaptada de Bach y Graf 1915) Respecto al modelado de losas de concreto reforzado, de Borst y Nauta (1985) utilizaron el modelo de agrietamiento distribuido para modelar una losa axisimétrica sujeta a penetración por cortante, mostrando las trayectorias de agrietamiento, el cual inició en la parte inferior se la losa. Posteriormente, Kwak y Filippou (1990) modelaron una losa cuadrada apoyada en sus esquinas con una carga concentrada en el centro, obteniendo resultados de la gráfica carga contra desplazamiento al centro, los cuales fueron congruentes con los experimentales reportados por McNeice (1967) y Jofriet y McNeice (1971); en los resultados de Kwak y Filippou (1990) no se muestran el inicio ni propagación del agrietamiento. Existen otros propuestas para el modelado de losas de concreto reforzado como las de Hand et al. (1973), Lin y Scordelis (1975), Gilbert y Warner (1978), Hinton et al. (1981), Wang et al. (2013), entre otros. El software especializado para modelar elementos de concreto reforzado se basa principalmente en el método de los elementos finitos, los cuales generalmente utilizan el modelo de agrietamiento distribuido para el cálculo del inicio y propagación del agrietamiento. Entre los programas comerciales se enlistan ANSYS, DIANA, ATENA (Kabele et al. 2010), ABAQUS (abaqus 2011), NLFEAS (Smadi y Belakhdar 2007), entre otros. En este artículo se aplica la mecánica computacional en losas de concreto reforzado para determinar la carga en la que inicia el agrietamiento, así como las trayectorias en las que éste se propaga. Se modela una losa cuadrada apoyada en sus esquinas, cuya prueba experimental está reportada en la literatura, con la finalidad de validar los resultados numéricos con los experimentales; además, se modela una losa cuadrada y una rectangular sujetas a carga uniformemente distribuida hasta agrietarse completamente en la parte superior e inferior. MODELOS CONSTITUTIVOS Para modelar el comportamiento del concreto se utilizó un modelo de daño con diferente umbral en tensión y en compresión, el cual fue propuesto por William y Warnke (1975), congruente con el comportamiento constitutivo experimental reportado en la literatura, como se muestra en Figura 2a. El concreto considera el ablandamiento por deformación después de alcanzar el esfuerzo último; aunque existen otras funciones de ablandamiento como la exponencial, bilineal, trilineal, etc., en los análisis no lineales, este ablandamiento se idealizó con una función lineal, Figura 2b. Para modelar el acero de refuerzo se utilizó un modelo de plasticidad con superficie de fluencia de Von Mises, en el cual se asume la misma magnitud umbral en tensión y compresión, como se muestra en Figura 3a; el endurecimiento se idealizó como una función bilineal mostrada en Figura 3b.

3 XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA SÍSMICA DE DEL 6 AL 9 DE NOVIEMBRE DE 2013, BOCA DEL RÍO VERACRUZ, HOTEL GALERÍA PLAZA f c yp Agrietamiento f c Agrietamiento xp f c u zp > 0 (Agrietamiento) zp = 0 (Aplastamiento) zp < 0 (Aplastamiento) Agrietamiento f c u o Figura 2 Modelo constitutivo del concreto: superficie de falla y ablandamiento por deformación 2 1 Figura 3 Modelo constitutivo del acero: superficie de falla y endurecimiento Los modelos no lineales se realizaron en el programa de elementos finitos Ansys13.0. El concreto se discretizó con el elemento finito sólido hexaedro de ocho nodos del tipo solid65 mostrado en la Figura 4, el cual tiene la capacidad de simular de manera distribuida el agrietamiento en tensión y aplastamiento en compresión, en tanto que el acero se discretizó con el elemento finito unidimensional lineal link180 mostrado en la Figura 4b, al que se le asignó el modelo de plasticidad de Von Mises. Ambos elementos finitos tienen tres grados de libertad por nodo, así como la capacidad de representar deformaciones grandes. x Figura 4 Elementos finitos: hexaedro y unidimensional

4 XIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Boca del Río, Veracruz, 2013 Validación EJEMPLOS NUMÉRICOS Para validar los modelos constitutivos de daño y de plasticidad, definidos respectivamente en la sección anterior, se realizó el modelado de uno de los especímenes reportados por Girolami et al. (1970). El espécimen consistió de una losa de x1.829 m y m de espesor, en el que se aplicó únicamente cargas verticales como se muestra en la Figura 5a. Cada carga vertical se aplicó sobre cuatro gatos y distribuida sobre 16 placas de distribución de carga, mediante cuatro arboles de carga como se muestra en la Figura 5b. Cada placa de distribución se centró sobre los huecos del espécimen de la losa. Las placas de distribución de cargas eran cuadradas de m por lado y de m de ancho. Cada placa tenía un asiento esférico cóncavo para una junta esférica cóncava. El concreto tenía un módulo elástico E c =19.90 GPa y su resistencia a compresión era de MPa, el acero de refuerzo tenía un módulo elástico E a =206 GPa y un esfuerzo de fluencia σ y = MPa. El sistema de losa y vigas perimetrales tenía acero en la parte superior e inferior, diseñado para soportar una carga uniformemente distribuida de kpa. La distribución del acero de refuerzo de la losa se muestra en la Figura 6a y el de las vigas en la Figura 6b Figura 5 Modelo geométrico del experimento y cargas en el experimento m 3#2 5.08cm 4# cm 16#3@4"-5/16" cm Acero superior cm 7.62cm 6.35cm 3#2 16#3@4"-5/16" Acero inferior 7.62 cm 4#2 3# # cm cm cm #2 # cm Figura 6 Distribución de acero de refuerzo del espécimen de prueba en estudio donde: losa y vigas perimetrales

5 XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA SÍSMICA DE DEL 6 AL 9 DE NOVIEMBRE DE 2013, BOCA DEL RÍO VERACRUZ, HOTEL GALERÍA PLAZA El análisis no lineal de esta losa se realizó considerando la simetría del espécimen. La malla de acero de refuerzo de la losa se muestra en la Figura 7a, la malla del concreto de la losa y las vigas con el acero de refuerzo embebido se muestra en la Figura 7b, los nodos del acero de refuerzo coinciden con los nodos de los elementos sólidos. En éste y en el resto de los ejemplos numéricos de este artículo se consideró acoplamiento perfecto entre el acero y el concreto. Figura 7 Malla de elementos finitos: acero de refuerzo de la losa y concreto reforzado En la Figura 8 se muestra la comparación del desplazamiento en el centro de la losa contra la carga entre la prueba experimental y la obtenida con el método de los elementos finitos (MEF), se puede observar que en la trayectoria ab coinciden ambos resultados; sin embargo, en la trayectoria bc de los resultados experimentales se observa una recuperación del desplazamiento, el cual se puede atribuir a un corrimiento de los dispositivos de medición, pues al incrementarse la carga sobre la losa difícilmente se recuperaría el desplazamiento al centro. En el punto d se muestra una intersección de ambas curvas. Finalmente, en la Figura 9 se presenta la evolución del agrietamiento iniciando en la esquina de la losa en la parte superior; posteriormente, el agrietamiento se propaga hacia los bordes, lo cual es congruente con los resultados experimentales d e Carga (kn) c b Experimental MEF 20 0 a d(cm) Figura 8 Comparación entre curva experimental y analítica Figura 9 Evolución del agrietamiento: inicio y final

6 XIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Boca del Río, Veracruz, 2013 Losas rectangulares En esta sección se presenta una losa cuadrada y una rectangular con las dimensiones en planta mostradas en la Figura 10, las cuales tienen un espesor de 10 cm. Ambas losas se analizaron mediante incremento de carga uniformemente distribuida sobre la superficie, considerando dos condiciones de apoyo en los bordes: simple y empotrada. 4m 4m 2m 4m Figura 10 Geometría de losas: cuadrada y rectangular El acero de refuerzo consiste de barras del número 3, separadas a cada 20 cm. Como se muestra en la Figura 11, el acero en color rojo se colocó en la parte superior desde los bordes hasta un cuarto del claro, el cual mediante un columpio o bayoneta se integra al armado inferior en el centro de la losa, el acero en color azul cruza completamente las losas por su parte inferior y los bastones en color verde, sólo se colocaron en los extremos de la losa, para completar el armado superior; en el centro de la losa sólo se colocó acero en la parte inferior. Figura 11 Distribución de acero de refuerzo en losa: cuadrada y rectangular Las curvas carga distribuida contra desplazamiento al centro de cada losa se muestran en la Figura 12, observándose que se necesita una mayor carga cuando la losa está empotrada en sus extremos para lograr el mismo desplazamiento al centro que una simplemente apoyada.

7 XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA SÍSMICA DE DEL 6 AL 9 DE NOVIEMBRE DE 2013, BOCA DEL RÍO VERACRUZ, HOTEL GALERÍA PLAZA w(kp Empotrada S. Apoyada w(kp Empotrada S. Apoyada d(m) d(m) Figura 12 Curva carga distribuida contra desplazamiento en losa: cuadrada y rectangular En la losa cuadrada empotrada en sus bordes, el agrietamiento inicia simultáneamente en la parte superior de los bordes, propagándose hacia el centro hasta formar un anillo, como se muestra en la Figura 13a. En la parte inferior, el agrietamiento inicia en el centro en forma de cruz, propagándose hacia las esquinas y los bordes, como se muestra en la Figura 13b. Mientras que en la losa simplemente apoyada en sus bordes, el agrietamiento inicia en las esquinas de la parte inferior, propagándose hacia el centro como se muestra en la Figura 14b; en la parte superior, éste también inició en las esquinas y se propaga al centro, como se muestra en la Figura 14a. En la losa rectangular empotrada, el agrietamiento inicia simultáneamente en la parte superior a lo largo de los bordes largos, posteriormente en los bordes cortos, propagándose hacia el centro hasta formar un anillo, como se muestra en la Figura 15. En la parte inferior, el agrietamiento inicia sobre una banda en el centro, paralela a los bordes largos, propagándose hacia las esquinas y los bordes, como se muestra en la Figura 16. Las trayectorias de agrietamiento de la parte inferior son parecidas a las reportadas por el método de las líneas de fluencia mostradas en la Figura 17, así como a las reportadas experimentalmente por Bach y Graf (1915). Figura 13 Evolución del agrietamiento de losa cuadrada empotrada en parte: superior e inferior

8 XIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Boca del Río, Veracruz, 2013 Figura 14 Evolución del agrietamiento de losa cuadrada simplemente apoyada en parte: superior e inferior Figura 15. Evolución del agrietamiento de losa rectangular empotrada en parte: superior e inferior

9 XIX CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA SÍSMICA DE DEL 6 AL 9 DE NOVIEMBRE DE 2013, BOCA DEL RÍO VERACRUZ, HOTEL GALERÍA PLAZA Figura 16 Evolución del agrietamiento de losa rectangular simplemente apoyada en parte: superior e inferior Figura 17 Mecanismos de falla de líneas de fluencia en losas: cuadrada y rectangular En la Tabla 1 se indican las magnitudes de las cargas distribuidas en las que el concreto comienza a agrietarse, en las que la magnitud en las losas empotradas es mayor el 3.8% para la geometría cuadrada y el 12.21% para rectangular. Es de interés mencionar que en las losas empotradas, el agrietamiento inicia en los bordes en la parte superior, mientras que en las losas simplemente apoyadas, éste inicia en el centro. Tabla 1 Carga en la que inicia el agrietamiento Geometría Condición de Carga Apoyo kpa Kg/m 2 Cuadrada S. Apoyada Empotrada Rectangular S. Apoyada Empotrada

10 XIX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Boca del Río, Veracruz, 2013 CONCLUSIONES El comparar la curva carga contra desplazamiento de los resultados numéricos con los experimentales reportados en la literatura se válida el MEF y los modelos constitutivos utilizados para el estudio de losas rectangulares, pues a pesar de que la curva experimental muestra una recuperación de desplazamiento, se considera que éste posiblemente se debió a un deslizamiento de los instrumentos de medición, pues ante una carga vertical incremental como la del experimento no puede presentarse una recuperación de desplazamientos al centro. Se descarta el método de líneas de fluencia para determinar las trayectorias de agrietamiento y la carga de colapso, pues a pesar de que este método proporciona trayectorias de agrietamiento, no proporciona si éste ocurre en la parte superior o inferior de la losa; además, estos métodos sólo proporcionan un valor de la carga de colapso, que puede ser mayor o menor a la carga real de colapso. Por lo anterior se utilizó la mecánica numérica, que proporciona el inicio y evolución del agrietamiento, así como la variación de los momentos en el intervalo no lineal. De las gráficas carga distribuida contra desplazamiento al centro de la losas, se observó que la carga distribuida sobre las losas con apoyo simple es aproximadamente el 20% de la magnitud de la carga sobre las losas empotradas en sus apoyos para desarrollar un mismo desplazamiento en el centro de la losa. En general, el agrietamiento en las losas empotradas inicia en los bordes de la cara superior, posteriormente en el centro de la parte inferior, propagándose al incrementar la carga; mientras que en las losas simplemente apoyadas inicia en el centro del claro en la cara inferior, propagándose hacia los bordes. AGRADECIMIENTOS A la Universidad Autónoma Metropolitana por las facilidades proporcionadas a la realización de este trabajo y al patrocinio proporcionado por el Programa de Mejoramiento del Profesorado. El primer autor agradece al proyecto Análisis y diseño de losas de concreto auspiciado por la Secretaría de Educación Pública (SEP) y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT). El segundo autor agradece al Instituto Politécnico Nacional por las facilidades proporcionadas. REFERENCIAS ABAQUS (2011), Example problems manual, Volumen1: static and dynamic analysis, Versión 6.11, E.U.A., p.881. Ansys (2010). Ansys , Ansys Inc. Estados Unidos. Bach, C. and Graf, O. (1915). Tests with simply supported, quadratic reinforced concrete plates (en Alemán Versuche mit allseitig aufliegenden, quadratischen and rechteckigen eisenbetonplatten), Deutscher Ausschuss für Elsenbeton, 30, Berlin. Casadei, P., Parretti, R., Nanni, A. and Heinze, T. (2005). In situ load testing of parking garage reinforced concrete slabs: comparison between 24 h and cyclic load testing. Practice Periodical on Structural Design and Construction, ASCE 10:1, de Borst, R. and Nauta, P. (1985). Non-orthogonal cracks in a smeared finite element model. Engineering Computations 2:1, DIANA, DIANA 9.0: Finite Element Analysis User's Manual Release. TNO DIANA BV, Delft, Holanda. Foster, S.J., Bauley, D.G., Burgess, I.W. and Plank, R.J. (2004). Experimental behaviour of concrete floor slabs at large displacements. Engineering Structures 26:123,

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