3.4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAS

Transcripción

1 Cátedra: 3.4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAS Hasta ahora el estudio se ha referido a variables restringidas a espacios muestrales unidimensionales en los que se registran los resultados de un eperimento como valores que toma una sola variable aleatoria. Sin embargo, en algunas situaciones será necesario registrar los resultados de dos (o más) variables aleatorias definidas en espacios muestrales bidimensionales (o superiores) Si e son dos variables aleatorias discretas, la función f(,) es la distribución de probabilidad para sus ocurrencias simultáneas para cualquier par de valores (,) dentro del rango de definición de las variables. Así a f(,) se la llama distribución de probabilidad conjunta de e Definición de distribución de probabilidad conjunta discreta Sean e dos variables aleatorias discretas, f(,) P(, ) se llamará función distribución de probabilidad conjunta (o función masa de probabilidad de las variables e ) a la probabilidad de que ocurran los resultados e al mismo tiempo si satisface las siguientes propiedades :. f(, ) para todo valor de para todo de. f(, ) Como consecuencia, para cualquier región A en el plano, P, A f, [( ) ] ( ) Ejemplo En una caja de bolas de billar se encuentran tres azules, dos rojas tres verdes. Se definen las cantidades que se etraen e como Cantidad de bolas azules Cantidad de bolas rojas, respectivamente. Si se seleccionan al azar dos bolas, determinar: a) La función distribución de probabilidad conjunta : Cantidad de bolas azules que se etraen :,,, 3 : Cantidad de bolas rojas que se etraen :,, Ε: Se etraen al azar dos bolas de la caja. Estas propiedades son, por supuesto, análogas al caso unidimensional.

2 Cátedra: Así, los pares ordenados (,), (,), (,), (,), (,) (,) son los posibles valores que pueden tomar conjuntamente e. Necesitamos encontrar una epresión para f() que permita calcular cada una de las probabilidades para los pares ordenados. 3 3 ( ) f, 8 La cantidad de formas en que dos bolas pueden etraerse de entre 8 se 8 epresa mediante el número combinatorio ;así obtenemos la totalidad de resultados del espacio muestral, #Ω. La cantidad de formas en que bolas 3 azules pueden obtenerse de las 3 que ha en la caja es, donde sabemos que toma los valores de a 3. La cantidad de formas en que bolas rojas pueden obtenerse de las que ha en la caja es, donde sabemos que toma los valores de a. Dado que se etraen dos bolas al azar que en la 3 caja ha también bolas verdes, epresa la cantidad de formas en que se pueden etraer bolas verdes cuando en alguna de las dos etracciones (o en ambas) no salió ninguna azul o roja. Ahora podemos armar la siguiente tabla: f(,) Total 3/8 9/8 3/8 5/8 6/8 6/8 /8 /8 /8 Total /8 5/8 3/8 Puede verse que no ha valores para los pares ordenados (,), (,) (,) debido a que a lo sumo pueden sacarse dos bolas. La suma total, o gran total, es igual a uno, cumpliendo así con la propiedad (). b) Si A{(,)/<} P[(,) A] P( < ) f(,) f(,) f(,) 3/8 6/8 9/8 8/8 9/4 La representación de f(,) es una gráfica de puntos de probabilidad en el espacio de tres dimensiones, cuo dominio está en el plano como puede verse en la siguiente figura:

3 Cátedra: Definición de distribución de probabilidad conjunta discreta Sean e dos variables aleatorias continuas, se llamará f(,) función distribución de probabilidad conjunta (o función densidad de probabilidad de las variables e ) a la probabilidad de que ocurran los resultados e al mismo tiempo si satisface las siguientes propiedades : f(, ) para todo,. ( ). f(, )dd - Como consecuencia, para cualquier región A en el plano, P [(, ) A] f(, ) A dd Cuando e son variables aleatorias continuas, la función de densidad f(,) es P, A es igual al volumen del cilindro recto una superficie sobre el plano [( ) ] delimitado por la base A la superficie 3. Ejemplo Sea el tiempo, en segundos, de reacción frente a la presencia de cierto catalizador e la temperatura (en ºF) a la que la reacción comienza a suceder, su función densidad conjunta es: f(, ) 4 < < < < en cualquier otro caso a) Compruebe la propiedad () Igual que en el caso unidimensional continuo, ahora f(,) no es una probabilidad 3 Recordando que la integral doble se interpreta como el volumen del cuerpo acotado por el plano por la superficie z f(,), entonces la propiedad () es, en realidad, el volumen acotado por el plano dicha superficie es igual a unidad de volumen. 3

4 Cátedra: La siguiente figura muestra la superficie z f(,) que es 4. De acuerdo a la propiedad (), el volumen encerrado por ella el plano para << e << debe ser igual a. 4dd 4 d 4 d 4 b) Encuentre e interprete P, / / / P, 4dd 4 d 4 4 /4 < < < < 8 / /4 / / /4 d La interpretación de este resultado es: La probabilidad de que el tiempo de reacción con el catalizador esté entre la mitad del tiempo total (en segundos) la temperatura esté entre un cuarto la mitad de la temperatura total es 3/64 marginales de probabilidad Aun cuando estemos analizando simultáneamente e, es posible seguir considerando las distribuciones de probabilidad de cada una de ellas individualmente. Así, dada la distribución de probabilidad conjunta f(,), la distribución de probabilidad de considerada individualmente se obtiene al sumar f(,) sobre los valores de. Igualmente, la distribución de probabilidad de considerada individualmente se obtiene al sumar f(,) sobre los valores de (como ilustración, ver del ejemplo ). Puede observarse que las sumas así obtenidas son las probabilidades para los distintos valores de e, respectivamente. Estas probabilidades suma- 4

5 Cátedra: das dan, como corresponde a toda distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria; por encontrarse estos valores en los márgenes de la tabla (de distribución de probabilidades para dos variables discretas) reciben el nombre de distribuciones de probabilidad marginales. Sean e dos variables aleatorias, sus distribuciones de probabilidad marginales son: g() f(,) h() f(,) para el caso discreto g() f(,)d h() f(,)d para el caso continuo 4. Ejemplo 3 Compruebe que los totales de las columnas filas de la tabla f(,) del ejemplo son las distribuciones marginales de e. Para, de acuerdo con la definición g() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) g() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) g() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) estos son los valores de las filas en el margen de la tabla de f(,). Para, de acuerdo con la definición h() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) h() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) h() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) estos son los valores de las columnas en el margen de la tabla f(,). En forma tabular, las distribuciones marginales se presentan: g() /8 5/8 3/8 h() 5/8 /8 /8 Se observa que, siendo g() h() distribuciones de probabilidad, cumplen con g() h() Cuando las variables son continuas, las sumatorias se reemplazan por integrales. En este caso, no es posible determinar las probabilidades para los valores individuales de las variables esto conlleva no poder construir una tabla. Sin embargo, se mantiene el nombre de marginal. 5

6 Cátedra: Ejemplo 4 Encuentre las distribuciones marginales de la función densidad conjunta del ejemplo. De acuerdo con la definición g() 4d 4 h() 4d 4 d 4 d 4 < < < < Epresadas como funciones por intervalos, < <, < < g() h(), en cualquier otro caso, en cualquier otro caso Se verifica que g() h() son funciones de densidad de probabilidad. g()d d d h()d d d En general g()d f(,)dd P(a < < b) P(a < < b, < < ) b f(,)dd a b a g()d condicionales de probabilidad Recordemos que en la UT se definió a la probabilidad para eventos condicionados de la siguiente manera: P(AIB) P(A/B), P(A) > P(B) Como el valor de es un evento que representa un subconjunto de, entonces A B son ahora eventos definidos por e, respectivamente. Entonces P(, ) f(,) P( / ), h() > P( ) h() P(, ) f(,) P( / ), g() > P( ) g() donde e son variables discretas. Debe notarse que f(,)/h() es una función de con fija. Igualmente, f(,)/g() es una función de con fija. Ambas satisfacen todas las propiedades de una distribución de probabilidad. Esto también es válido para cuando f(,), g() h() son las distribuciones conjunta marginales de variables continuas. Diremos entonces que: 6

7 Cátedra: Siendo e dos variables aleatorias, discretas o continuas, la distribución condicional de probabilidad de la variable, dado que toma un valor (o un intervalo c<<d) es: f(,) f(/), h() > h() De manera análoga, la distribución condicional de probabilidad de la variable, dado que toma un valor (o un intervalo a<<b) es: f(,) f(/), g() > g() Ejemplo 5 Determine la distribución condicional de del ejemplo luego utilícela para determinar P( / ) e interprete el resultado. De acuerdo a la definición: f(,) f(,) f(/), entonces f(/) g() g() Del ejemplo 3 g() P( ) f(,) f(,) f(,) f(,) Por lo tanto, f(,) 8 f(/ ) f(,),, 5/8 5 Entonces: f( /) f(,) f( /) f(,) f( /) f(,) 5 5 la distribución condicional de dado que es f(/) 3/5 /5 Por último P( / ) f(/)/5. Este resultado se entiende como la probabilidad de etraer al azar una bola roja si a se ha etraído una azul es de /5 Ejemplo 6 Determine P(/</3/4) para el ejemplo 3 e interprete: 7

8 Cátedra: g() 4d, < < (como a se vio) 4 P(/ < 3/4) d, < <, < < / P(/ < 3/4) d ( ),75 / / 4 La probabilidad de que la temperatura de reacción supere el 5% de la temperatura total que puede alcanzar cuando el tiempo alcanza el 75% del tiempo total es de,75. Note que en este cálculo el valor 3/4 fue irrelevante la probabilidad para no dependió de. El procedimiento se redujo a integrar h() [recordemos que h() ] entre los etremos correspondientes. Este resultado está relacionado con el siguiente punto. Independencia estadística Si f(/) no depende de, entonces f(/) h(). Análogamente, si f(/) no depende de, entonces f(/) g() Sean e dos variables aleatorias, discretas o continuas, con distribución de probabilidad conjunta f(,) distribuciones marginales g() h(), respectivamente. Se dice que las variables aleatorias e son estadísticamente independientes sí sólo sí f(,) g(). h() Esto es, si la distribución de probabilidad conjunta es igual al producto de las distribuciones marginales, entonces e son estadísticamente independientes. Dado que es una doble implicación, también ocurre que si las variables e son estadísticamente independientes, entonces la distribución de probabilidad conjunta es igual al producto de las distribuciones marginales. Se demostrará solamente la implicación a izquierda, es decir, si las variables e son estadísticamente independientes, entonces la distribución de probabilidad conjunta es igual al producto de las distribuciones marginales. Hipótesis: f(,) f(/), g() > g() e son independientes. Tesis f(,) g()h() Demostración f(/)g() f(,) h() f(, )d [], por Hipótesis remplazando f(, ) por[] 8

9 Cátedra: h() f(/)g() d h() f(/) g()d dado que f(/) es independiente de porhipótesis h() f(/) Finalmente, reemplazando en [] h()g() f(,) porque g()d por ser distribución de probabilidad Análogamente Hipótesis: f(,) f(/), h() > h() e son independientes. Tesis f(,) g()h() Demostración f(/)h() f(,) g() f(,)d, g() f(/)h()d, [], por Hipótesis reemplazando f(, ) por[] g() f(/) h()d dado que f(/) es independiente de porhipótesis g() f(/) porque Finalmente, reemplazando en [] f(,) g()h() h()d por ser distribución de probabilidad Ejemplo 7 Demuestre que las variables e del ejemplo 3.4 son estadísticamente independientes. De acuerdo a la definición e son independientes f(,) g()h() Entonces, recordando que:, < <, < < g() h(), en cualquier otro caso, en cualquier otro caso Luego g()h() 4 f(,) e son independientes (Este resultado a era esperado al analizar las conclusiones del ejemplo 6). 9

10 Cátedra: Valor esperado de una distribución conjunta de probabilidad Se etiende el concepto de valor esperado de una función de una variable aleatoria al caso de dos variables e con distribución de probabilidad conjunta f(,) Sean e variables aleatorias con función distribución de probabilidad conjunta f(,). El valor esperado de una función g(,) es: g(,) [ ] g(,)f(,), sie sondiscretas, E g(,) g(,) E[ g(,) ] g(,)f(,)dd, sie soncontinuas En particular, si g(,), entonces g(,) E() f(,) g(), g(,) E() f(,)dd g()d, sie son discretas, sie soncontinuas donde g() es la distribución marginal de. Un análisis análogo puede hacerse si g(,). g(,) E() f(,) h(), g(,) E() f(,)dd h()d, donde h() es la distribución marginal de. sie son discretas, sie soncontinuas Sean e variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,). La covarianza σ de e es: σ σ E( [ )( ) ] ( )( )f(,), sie sondiscretas, (,) (,) [ )( ) ] ( )( )f(,)dd, sie soncontinuas E( Fórmula alternativa Igual que en el caso unidimensional, es preferible en algunos casos trabajar con una epresión más cómoda. Ésta es σ E() Demostración. σ E( )( ) (,) [ ] ( )( )f(,)dd (,) (por definición)

11 Cátedra: ( f(,)dd )f(,)dd (aplicando propiedad distributiva) f(,)dd f(,)dd f(,)dd E() (por definición recordando que f(,)dd E() La covarianza es la medida de la fuerza de la asociación entre dos variables aleatorias. Analizando su signo se interpreta que: Si ρ >, la asociación es directa (a medida que crece también lo hace ) Si ρ <, la asociación es indirecta (a medida que crece, decrece) Si ρ, no eiste asociación entre las variables son estadísticamente independientes. ) Recordemos que la covarianza es un número que no está acotado puede ser positivo pero mu grande (o negativo pero mu grande, en valor absoluto), por lo que no proporciona una medida eficaz del grado de asociación entre las variables 5. Propiedades del valor esperado de dos (o más) funciones de variables aleatorias I. El valor esperado de la suma o diferencia de dos (o más) funciones de variables aleatorias e es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones. E g(,) ± h(,) E g(,) ± Eh(,) [ ] [ ] [ ] Demostración [g(,) ± h(,)]f(,)dd g(,) f(,)dd ± E g(,) ± h(,) [ ] Corolario. Si h(,)f(,)dd g(,) g() h(,) h() [ g(,) ± h(,) ] E[g()] E[h() ] E ± Corolario. Si g(,) h(,) [ g(,) ± h(,) ] E() E() E ± 5 El coeficiente de correlación ρ (o de Pearson) está acotado ( ρ ) por lo tanto proporciona una medida eficaz del σ grado de asociación entre las variables. Su epresión esρ σ σ

12 Cátedra: II. El valor esperado del producto de dos variables aleatorias e independientes es igual al producto de los valores esperados E() E()E() Demostración E() f(,)dd g()h() dd dado que f(,) g()h() por hipótesis de independencia. g()d h()d E()E() III. La varianza de una función de e tal como ab es σ (a b) a σ b σ abσ Demostración σ (a b) E{[(a b) (a b) ] Donde E(a b) ae() be() a (a b) b, entonces E{[(a b) ] } E{[(a a b b )] } (a b) ± E{[a( ) b( b )] } a E[( )] abe[( } )( )] b E[( )] a σ abσ b σ σ (a b) a σ σ E() E()E() Corolario. Si e son independientes, dado que b σ (por Propiedad II) Corolario. Si e son independientes, σ (± ) a σ b σ, a que b se reemplaza por b en el Corolario. Corolario 3. Si,,, n son n variables aleatorias independientes σ (a a L a ) a σ a σ a n n L nσn