UPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat

Transcripción

1 UPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Mireia Besalú Nom i Cognoms: DNI: Grup: Signeu aquí 1. Ompliu les dades sol.licitades sense girar aquest full (NO OBRIR EL QUADERNET!) 2. Quan el professor ho indiqui, des-grapeu aquest full, que serà recollit pel professor de l aula 3. No des-grapeu la resta del quadernet 1 Test B, Febrer 2016

2 2 Test B, Febrer 2016

3 Instruccions sobre el test: 1. Poseu nom i cognom al peu d aquesta pàgina 2. No gireu aquest full fins que el professor ho indiqui 3. NO des-grapeu el quadarnet 4. Aquest examen consta de 24 preguntes de resposta múltiple. Cada pregunta té tres respostes possibles, solament una és correcta. A l hora de decidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuació de l examen s efectuarà de la forma següent: Resposta correcta: +1.0 Resposta incorrecta: 0.5 Pregunta no contestada: Temps màxim per fer aquest examen: 1 hora i 20 minuts 6. De tot el material entregat solament recollirem el Full de Lectura Òptica 7. Marqueu les respostes en el full de lectura òptica que s adjunta 1. Poseu en el Full de Lectura Òptica: (a) Nom i Cognoms (b) DNI (c) Grup (d) Permuta del Test: Test A 1, Test B 2, Test C 3, Test D 4 3 Test B, Febrer 2016

4 UPF, Curs Trimestre 1, Probabilitat i Estadística, Examen de Probabilitat, Recuperacion Febrero 4 Test B, Febrer 2016

5 UPF, Curs Trimestre 1, Probabilitat i Estadística 1. Les notes (sobre 5) dels estudiants d una facultat segueixen una distribució Normal de valor esperat 2.6 i desviació típica 0.5. Quina és la nota mínima que necessita un estudiant per estar entre el 10% dels estudiants millor qualificats? Empreu que qnorm(0.9) = Si X és una variable aleatòria Uniforme continua amb E(X) = 10 i Var(X) = 4 3, quina és la probabilitat que prengui valores entre 8 i 12? Les vegades que un professor ha de fer callar als seus alumnes es distribueix segons una Poisson de valor esperat 2 vegades per hora de classe. Si una setmana el professor fa 5 hores de claase, quina és la probabilitat que els hagi d avisar almenys 4 vegades per setmana? Un teleoperador disposa d una llista de clients potencials d un determinat producte. Si la probabilitat que es realitzi la venda én una trucada qualsevol és del 20%, determina la probabilitat que s hagin de fer 5 trucades per fer la primera venda. Se suposa que el resultats de les trucades són independents entre ells Una nova targeta Mastercard s ha emès a 2000 clients. D aquests clients, 1500 ja tenen una targeta Visa, 500 tenenuna targeta American Express i 40 tenen una targeta Visa i una targeta American Express. Trobeu la probabilitat que un client escollit a l atzar tingui una targeta Visa, sabent que el client posseeix una targeta American Express Quina de les següents condicions NO es correspon amb una distribució binomial És una variable discreta ] Pot pendre un conjunt infinit numerable de valors És suma de distribucions de Bernoulli independents 7. Considereu els resultats X 1,..., X 1000 cara del dau de 1000 tirades d un dau amb cares numerades de 1 a 6. Aleshores, la variable X = X i /1000 té distribució aproximada normal amb valor esperat igual a 3.5 i variància /1000 normal amb valor esperat igual a 3.5 i variància normal amb valor esperat igual a 3 i variància Test B, Febrer 2016

6 8. Feu copy/paste a la consola de R de la següent sintaxis: dau = 1:6; tirades= sample(dau, 1000, replace =TRUE); a = mean(tirades) El valor de a serà aproximadament igual a 3.5 3/ Considereu Y = wx 1 + (1 w)x 2 on X 1 i X 2 són variables independents amb variancies igual a 1 i 2 respectivamente (var(x 1 ) = 1, var(x 2 ) = 2). El valor de w pel que la variància de Y és mínima és /3 10. Suposeu dues variables aleatòries independents amb distribució binomial: X binomial de paràmetres n = 10 i p = 0.4, Y binomial de paràmetres n = 6 i p = 0.2. La distribució de la variable Z = X + Y és binomial de paràmetres n = 16 i p = 0.6, binomial de paràmetres n = 16 i p = 0.4, la distribució de Z no és binomial 11. Si Y = X + 4, i V (X) denota la variància de X, aleshores V (Y ) = V (X) V (Y ) = V (X) V (Y ) = 3 V (X) 12. Suposeu dues variables aleatòries X i Y on Y = 2X + 3, i la variància de X és igual a 1. En aquests cas, la correlació entre X i Y és igual a zero la variància de Y és igual 5 la correlació entre X i Y és igual a Suposeu dues variables aleatòries X i Y amb distribució normal bivariant i tals que E(XY ) = E(X)E(Y ). En aquests cas, necessàriament, les variàncies de X i de Y són zero la covariància entre les dues variables X i Y és positiva la distribució de Y = X + Y és Normal 14. Suposeu una variable aleatòria X tal que E(X 2 ) = (E(X)) 2, aleshores, necessàriament: la variancia d aquesta variable és zero el valor esperat d aquesta variable és zero aquesta variable és una constant igual a zero 15. Suposeu dues variables estandarditzades X i Y amb distribució conjunta normal bivariant i covariància igual a 0.8. Aleshores, el valor esperat de Y quan sabem que X = 1 és:.8 0 igual que el valor esperat de Y (abans de coneixer la informació de X) 16. Sabem que el nombre d accidents en l autopista de Lyon a Paris (de 6 del matí a 10 del vespre de un dia feiner) segueix la distribució de Poisson amb valor de λ = 0.13 per hora. A partir d un determinat moment, el temps esperat per tal que es notifiqui un accident serà 6 Test B, Febrer 2016

7 7.69 hores 0.13 hores més de 13 hores 17. Una persona triada a l atzar de la població és sotmesa a un test d una malaltia rara. Suposeu els esdeveniments següents: A = La persona té la malaltia, B = El test dona +. Considerem P (A B), s a dir, la probabilitat de tenir la malaltia quan el resultat del test ha estat positiu. Les dades tècniques del test asseguren que P (B A) = 0.9 i P (B Ā) = 0.1, i se sap que la prevalència de la malaltia a la població és 0.01 (P (A) = 0.01). En aquest cas, P (A B) (probabilitat de tenir la malaltia suposant que el test ha estat positiu) és 1 inferior a Si C(X, Y ) denota la covariància entre les variables X i Y, aleshores: C(3 4X, Y ) = 3 4C(X, Y ) C(3 4X, Y ) = 16C(X, Y ) C(3 4X, Y ) = 4C(X, Y ) 19. Si X té distribució normal, aleshores la variable Y = 2 + X 2 té distribució normal cap de les mencionades lognormal 20. Suposeu dues variables X i Y estandarditzades, amb correlació igual a 1, aleshores, podem escriure que aquest cas no es pot donar mai X = Y la covariancia entre les dues variables és infinita 21. En un mateix experiment aleatori, tenim els esdeveniments A, B i C cada un d ells amb probabilitat 0.9. Aleshores, aquest cas no es pot donar mai els esdeveniments no són disjunts necessàriament, A = B = C 22. Tirem una moneda repetidament fins que surt cara, y guanyem en euros 2 X, on X és el número de tirades fins que surt la cara. Si denotem G = 2 X, aleshores G no és una variable aleatoria El valor esperat de G és infinit El valor esperat de G és Tirem tres monedes i denotem per X el número de cares obtingudes, aleshores la probabilitat que X = 1 és la mateixa que X = 3 la variància de X és 0.75 el valor esperat de X és Per l estudiant JX, el temps d espera d una trucada al mòbil segueix una distribució exponencial amb paràmetre λ = 3 minuts. Per aquest estudiant, el valor esperat del nombre de trucades rebudes en 30 minuts serà: 1/ Test B, Febrer 2016

8 8 Test B, Febrer 2016

9 9 Test B, Febrer 2016