a) La deformación de fluencia y las relaciones esfuerzo deformación en el rango elástico e inelástico.

Transcripción

1 Ejemplo La viga rígida mostrada en la fig está soportada por tres barras de acero con un diámetro de 2.54 cm, la longitud de éstas son: 1 =1.0 m, 2 =1.75 m y 3 =2.0 m. Lasbarrassonde acero con un comportamiento elastoplástico, módulo de elasticidad = kg yun esfuerzo de fluencia = 4200 kg. a) La deformación de fluencia y las relaciones esfuerzo deformación en el rango elástico e inelástico. b) Ignorando el peso de la viga, determine los desplazamientos impuestos para que las barras fluyan. c) Imponga el desplazamiento necesario para que una primera barra fluya y determineel valor de las reacciones. d) Repita el inciso c, para que una segunda y, después, que todo el sistema fluya. e) Imponga un desplazamiento u=6 mm en la viga, determine el valor de la reacción. f) Construya una gráfica reacción contra desplazamiento impuesto y determine la pendiente de la rama elástica. g) Si los apoyos se remueven, determine el valor de las fuerzas residuales que se mantienen en la estructura. Figura 2.18: Viga rígida. Solución El área de cada barra es: = 2 4 las longitudes de cada barra son: = (2 54 cm)2 4 = 2 c Gelacio Juárez, UAM 108

2 1 =1 00 m; 2 =1 75 m; 3 =2 00 m a) La deformación de fluencia se determina como: = = 4200 kg cm kg =0 002 Las relaciones esfuerzo-deformación en el rango elástico e inelástico, respectivamente, son: ( ) = ; 0 ;0 (2.67) ( ) = ; ; (2.68) La gráfica esfuerzo-deformación definida por las ecs. (2.67) y (2.68) se muestran en la fig Figura 2.19: Esfuerzo contra deformación. b) Paraqueinicielaplastificación, la deformación tiene que ser igual a la de fluencia =, por lo que para cada barra, el desplazamiento impuesto para alcanzar su carga plástica es: 1 = 1 =(0 002) (1 00 m) = m 2 = 2 =(0 002) (1 75 m) = m 3 = 3 =(0 002) (2 00 m) = m c) Al imponer un desplazamiento 1 =0 002 m las deformaciones en cada barra son: 1 = 1 = m m = = 1 = m = m 3 = 1 = m m =0 001 c Gelacio Juárez, UAM 109

3 Los esfuerzos, utilizando la ec. (2.67), en cada barra son: 1 = = 1 = kg m kg = m 2 = 2 = 1 = kg m kg = m 3 = 3 = 1 = kg m m = 2100 kg Las fuerzas en cada barra son: 1 = 1 1 = 1 1 = kg (0 002 m) = kg 1 (1 00 m) 2 = 2 2 = 2 1 = kg (0 002 m) = kg 2 (1 75 m) 3 = 3 3 = 3 1 = kg (0 002 m) = kg 3 (2 00 m) La magnitud de la reacción para 1 =0 002 m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras: 1 = = kg kg kg = kg d) Al imponer un desplazamiento 2 = m las deformaciones en cada barra son: 1 = 2 = m m = = 2 = m m = = 2 = m m = Los esfuerzos, utilizando la ecs. (2.67) y (2.68), en cada barra son: 1 = = 4200 kg Las fuerzas en cada barra son: 2 = 2 = 2 = kg m m 3 = 3 = 2 = kg m m = 4200 kg = 3675 kg c Gelacio Juárez, UAM 110

4 1 = 1 1 = 1 = 4200 kg = kg 2 = 2 2 = 2 2 = kg ( m) 2 (1 75 m) 3 = 3 3 = 3 2 = kg ( m) 3 (2 00 m) = kg = kg La magnitud de la reacción para 2 = m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras: 2 = = kg kg kg = kg Al imponer un desplazamiento 3 =0 004 m las deformaciones en cada barra son: 1 = 3 = m m = = 3 = m m = = 3 = m m =0 002 Los esfuerzos, utilizando la ecs. (2.67) y (2.68), en cada barra son: 1 = = 4200 kg 2 = = 4200 kg Las fuerzas en cada barra son: 3 = 3 = 3 = kg m kg = m 1 = 1 1 = 1 =4200 kg = kg 2 = 2 2 = 2 =4200 kg = kg 3 = 3 3 = 3 3 = kg (0 004 m) 3 (2 00 m) = kg La magnitud de la reacción para 3 =0 004 m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras: c Gelacio Juárez, UAM 111

5 3 = = 3 ( kg ) = kg e) Al imponer un desplazamiento 4 =0 006 m las deformaciones en cada barra son: 1 = 4 = m m = = 4 = m m = = 4 = m m = Los esfuerzos, utilizando la ec. (2.68), en cada barra son: Las fuerzas en cada barra son: 1 = = 4200 kg 2 = = 4200 kg 3 = = 4200 kg 1 = 1 1 = 1 = 4200 kg = kg 2 = 2 2 = 1 = 4200 kg = kg 3 = 3 3 = 1 = 4200 kg = kg La magnitud de la reacción para 4 =0 006 m corresponde a la suma de las fuerzas en las barras: 4 = = 3 ( kg ) = kg g) La curva carga contra desplazamiento se muestra en la fig. (2.20). Desplazamiento ( mm) 2 0 mm 3 5 mm 4 0 mm 6 0 mm Reacción ( kg ) kg kg kg kg La pendiente de la rama elástica se determina con el primer desplazamiento impuesto y la reacción: c Gelacio Juárez, UAM 112

6 Figura 2.20: Curva desplazamiento contra reacción. = 1 1 = kg 2 0mm kg = mm f) Si los apoyos se remueven, la estructura descarga siguiendo una trayectoria con la pendiente, por lo que el desplazamiento recuperado es: = 4 = kg kg mm Así, el desplazamiento residual se determina: = mm La deformación recuperada en cada barra es: = 4 =6 0mm mm=3 103 mm Los esfuerzos residuales en cada barra son: 1 = = m m = = = m m = = = m m = = 1 = 4200 kg kg ( ) = kg 2 = 2 = 4200 kg kg ( ) = kg 3 = 2 = 4200 kg kg ( ) = kg Las fuerzas en cada barra, mostradas en la fig. 2.21, son: c Gelacio Juárez, UAM 113

7 1 = 1 1 = 1 = kg = kg 2 = 2 2 = 1 = kg = kg 3 = 3 3 = 1 = kg = kg La suma de las fuerzas en las barras: Figura 2.21: Fuerzas residuales. 4 = =0kg c Gelacio Juárez, UAM 114

8 Tarea La viga rígida mostrada en la fig está soportada por tres barras de acero con un diámetro de 2 54 cm, la longitud de éstas son: 1 = 3 =1.0 m y 2 =1.50 m. Las barras son de acero con un comportamiento plástico con endurecimineto, módulo de elasticidad = kg y un esfuerzo de fluencia = 4200 kg, la segunda rama del la curva esfuerzo-deformación se idealiza con una pendiente, cuyo valor de =0 10. a) Determine la deformación de fluencia y las relaciones esfuerzo deformación en el rango elástico e inelástico. b) Ignorando el peso de la viga, determine los desplazamientos impuestos para que las barras fluyan. c) Imponga el desplazamiento necesario para que una primera barra fluya y determine el valor de las reacciones. d) Repita el inciso c, para que una segunda y, después, que todo el sistema fluya. e) Imponga un desplazamiento =5 mmen la viga, determine el valor de la reacción. f) Construya una gráfica reacción contra desplazamiento impuesto y determine la pendiente de la rama elástica. g) Si los apoyos se remueven, determine el valor de las fuerzas residuales que se mantienen en la estructura. Figura 2.22: Viga rígida. c Gelacio Juárez, UAM 115