Actividad III.29 Variación de la resistencia con la temperatura

Transcripción

1 ctividad III.29 Variación de la resistencia con la temperatura Objetivo Estudio del efecto de la temperatura sobre la conducción eléctrica de medios materiales (conductor puro, aleación, semiconductor) y en algunos dispositivos electrónicos comunes (resistencias de carbón, termistores). Interpretación de los resultados sobre la base de modelos microscópicos de los mecanismos de conducción en cada caso. Introducción Para que un medio material pueda conducir la corriente eléctrica debe de existir en su interior cargas móviles (portadores) capaces de conducir la electricidad. En los metales, las cargas móviles son los electrones; en las soluciones electrolíticas, las cargas móviles son los iones, etc. Consideremos una muestra cilíndrica de sección transversal y longitud l de un material cualquiera por el que se hace circular una corriente eléctrica i. Es posible relacionar esta corriente de modo muy general con la carga ν.e que transporta cada portador móvil (e es la carga elemental y ν el número de cargas elementales por cada portador de carga), la velocidad media de las cargas móviles, v m, y el número de cargas libres por unidad de volumen, n: [1,2] i = n vm e ν (29.1) Si el material en cuestión obedece la ley de Ohm, la dependencia del voltaje V con la corriente i es lineal (i = V / R). La resistencia eléctrica R de la muestra cilíndrica en consideración está dada por: l R = ρ (29.2) donde ρ es la resistividad del material. Si suponemos que el campo eléctrico E = V / l a lo largo del cilindro es uniforme, entonces de (29.1) y (29.2) tenemos: ρ = R l = V i l = E = ν n vm e E v m 1 n e ν (29.3) Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

2 Para que el material obedezca ley de Ohm, ρ debe ser independiente del campo (o voltaje) aplicado y de la velocidad de los iones v m. Esto significa que para que se cumpla la ley de Ohm, dentro del material debe existir algún mecanismo de fricción o choques de modo que v m sea proporcional a E. Esto puede lograrse, por ejemplo, si las cargas se mueven en un medio que les oponga una fuerza viscosa. En un sólido esto podría lograrse si los electrones (o portadores de carga) chocaran constantemente contra los iones de la red cristalina que lo forman. En cierto sentido, podríamos comparar el movimiento de los electrones en un sólido con el de una canica que cae por una escalera: si bien el movimiento entre dos escalones es acelerado, la canica cae con una velocidad promedio constante igual a la mitad de la velocidad final al llegar al escalón siguiente. Si llamamos τ el tiempo medio entre choque y choque, podemos escribir: v m = 1 V f 2 = 1 2 ν e E m τ (29.4) donde m es la masa de los portadores de carga. También es razonable suponer que τ será inversamente proporcional al tamaño de estos iones. Se define la sección eficaz σ ef de choque de los electrones contra los iones, que es una medida de la probabilidad que tienen los portadores de carga de chocar contra dichos iones. Combinando (29.3) y (29.4) podemos escribir: 2 m 1 σ ef ρ =, (29.5) 2 ( ν e) τ n n que indica que la resistividad es proporcional a la sección eficaz de choque de los portadores de carga e inversamente proporcional al número de portadores por unidad de volumen. sí se comprende que, en un material metálico (n = constante), al aumentar la temperatura, los iones que forman el cristal vibran más alrededor de sus posiciones de equilibrio (pareciendo más gordos ), lo que trae como consecuencia un incremento de σ y un consecuente cambio (aumento) de la resistividad con la temperatura. Por otro lado, en el caso de los semiconductores, un aumento la temperatura tiene como efecto un aumento del número de portadores de carga n capaces de conducir. Por lo tanto, vemos que es de esperar efectos interesantes en la resistividad de un material cuando se varía la temperatura. Esto es precisamente lo que queremos estudiar en este experimento. Proyecto 1 Variación de la resistencia con la temperatura Equipamiento básico recomendado: lambre de cobre, y manganina de diámetro 0.05 a 0.1 mm. Un termistor de < 1 kω a temperatura ambiente. Un multímetro que pueda medir resistencia eléctrica en el rango Ω. Un termómetro. Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

3 Una posible disposición experimental para estudiar la variación de la resistencia eléctrica, R, con la temperatura, T, se muestra esquemáticamente en la Fig Consiste en colocar la resistencia en un medio líquido poco o no conductor (por ejemplo aceite de transformador o agua destilada, la idea es que la resistencia a medir sea mucho menor que la resistencia del medio líquido) que puede calentarse usando un calefactor y disponer de algún dispositivo para medir la temperatura (un termómetro, termocupla, etc.). El baño líquido sirve para uniformizar la temperatura y dar más inercia térmica al sistema. Un modo simple de medir R consiste en usar un óhmetro. Figura 29.1 Dispositivo experimental para medir la variación de la resistencia con la temperatura. El baño térmico consiste en un recipiente con un líquido de poca conductividad eléctrica. Se requiere de un termómetro y un multímetro (en modo óhmetro) para medir la resistencia R como función de la temperatura. Estudie experimentalmente la variación de R con T para uno de los dos elementos siguientes: a) Metal puro: Realice este estudio para algún metal puro, por ejemplo: cobre. Para ello construya un arrollamiento de unos 5 a 10 m de alambre esmaltado de diámetro entre 0.05 mm y 0.1 mm. Si usa otro metal estime la longitud del alambre para tener resistencias entre 10 Ω y 100 Ω a temperatura ambiente. La razón de usar alambra fino y largo de cobre, es lograr que la muestra tenga una resistencia tal, que pueda ser medida con multimotros comerciales. Estos, típicamente pueden medir con un error aceptable ( 1%) Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

4 resistencias mayores que 10 Ω. Si lo prefiere puede usar un RTD (Resistance Temperature Detector), que son resistencias encapsuladas de Pt y cuyo coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura está muy bien definido y está dado por el fabricante. Para rangos no muy grande de temperatura la variación de R con T es lineal: R T ) = R (1 α ( T )) (29.5) ( 0 T0 Para este experimento se puede usar un óhmetro para medir la resistencia y un termómetro convencional, bien calibrado, para medir la temperatura. Represente gráficamente la resistencia del alambre (o RDT) como función de la temperatura. Obtenga el coeficiente de variación de R con la temperatura, α, y compare su valor con los de tabla. a) leación: Un alambre que suele usarse como alambre de conexión es la manganina, que es una aleación especial de Cu y Ni. Por las mismas razones que comentamos más arriba, es conveniente que la resistecia de la muestra sea mayor que unos 10 Ω. Descubra sus propiedades eléctricas midiendo R(T), tratando de variar la temperatura entre 0 ºC y 100 ºC. Qué encuentra? De ser posible sumerja la muestra de alambre en un baño de Nitrógeno líquido para ampliar el margen de variación de temperatura y compare el valor de la resistencia a esa temperatura (punto de ebullición del Nitrógeno líquido, T N2 77 K) y compare con los valores a temperaturas cercanas a la temperatura ambiente (T amb 300 K). Qué puede decir de la variación de la resistencia de esta aleación con la temperatura? b) Termistor: Estos dispositivos semiconductores son muy usados para medir temperatura por su bajo costo y sensibilidad. La propiedad termométrica de los mismos es la resistencia eléctrica, por lo que es importante conocer con precisión la variación de R con T. Sin embargo, la dependencia con la temperatura no es simple. Una expresión que describe bien a alguno de estos componentes es: R( T ) = R( T Eg 1 1 ) exp β = R0 exp (29.6) T T 0 k T T 0 donde T y T 0 son las temperaturas absolutas, R(T 0 )=R 0 la resistencia a T 0, β y E g son constantes a determinar y k la constante de Boltzmann. Elija un termistor de baja resistencia (R(T 0 ) < 1 kω), de modo que al sumergirlo en agua su medición no esté afectada por la resistencia la misma. Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

5 Si puede, adopte como medida de precaución aislar las terminales del termistor que estarán sumergidas en el agua. Un pegamento convencional que resista unos 100 ºC puede ser adecuado para esto. Represente gráficamente la resistencia del termistor como función de la temperatura y el cociente R(T)/R 0 en función de 1/T en escala semilogarítmica. Obtenga el coeficiente de variación de R con la temperatura, β, e indique si la expresión (29.6) da cuenta adecuadamente de sus resultados experimentales. (Opcional) Un resultado importante de la mecánica estadística, 6 es que si tenemos un conjunto de N partículas a una temperatura T, que pueden estar en dos niveles de energía, uno inferior E 1 y otro superior E 2 (con E=E 2 -E 1 ), la distribución de las mimas entre estos dos niveles viene dado por la estadística de Boltzmann: Número de particulas en E Número de páticulas en E 1 2 n2 = = Exp( E / kt ), (29.7) n 1 con n 1 +n 2 =N. Combinado este resultado, con el modelo de conducción discutido más arriba, Ec(29.5), elabore una discusión que le permita justificar la expresión (29-6). Qué puede concluir respecto a la naturaleza cuántica del comportamiento de los electrones en un sólido a partir de este estudio? Proyecto 2 Medición de la resistividad de una alambre por el método de las cuatro puntas Equipamiento básico recomendado: lambre de cobre, aluminio, hierro Dos multímetros para medir corrientes y tensión (milivoltios). Una fuente de tensión DC o C de unos 12V@2. Para este proyecto se requieren muestras de algunos metales puros ( 99% de pureza) de modo de comparar fácilmente los valores medidos con los tabulados para el mismo material. Construya un circuito similar al indicado en la figura 29.2, para utilizar el método de las cuatro puntas o método de Kelvin para medir resistencias, ver apéndice 1. Seleccione un conjunto de muestras puras de materiales conocidos, por ejemplo Cu, l, etc. Es importante de que la geometría de la muestra se pueda caracterizar bien, por ello se puede usar alambre de más de 2 mm de diámetro y una longitud de aproximadamente 1 m, de modos de posibilitar realizar mediciones de su diámetro (φ) y su longitud (L) con precisiones mejores que el Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

6 1%. Es importante recordar que la distancia entre los conectores del voltímetro determinan el valor de L. Los conectores de corriente deben unirse (soldarse) a estos mismos punto o también puede conectarse a puntos más afuera del intervalo que determina L: Discuta y justifique este procedimiento de conexión de los conectores de tensión y corriente. En cada extremo del cable (muestra) conecte dos alambres de cobre, uno de ellos, por el que circulará la mayor corriente, debe tener un espesor tal que pueda soportar la maxima corriente ( unos pocos amperes) sin calentarse excesivamente. El alambre que se conecta al voltímetro puede ser más delgado ya que por él prácticamente no circulará corriente. Use una fuente de DC con una resistencia limitadora de corriente (R ext ) en serie, de unos 10 a 50 W y capaz de soportar algunos amperes de corriente. Si la corriente que pasa por el circuito es de 1, para una resistencia de la muestra de algunos mω, esperamos medir tensiones del orden de los mv. Para su caso particular, estime el valor esperado de tensiones y elija el rango apropiado en su multímetro para medir estas tensiones. Varíe el sentido de la corriente e investigue si la tensión medida cambie significativamente. Realice varias mediciones de tensiones, para diferentes valores de corriente. Usando la expresión (26.13). Obtenga el mejor valor de R y su correspondiente error. Conociendo el valor del diámetro y la longitud del alambre L (distancia entre los puntos de contacto con los conectores del (mili) voltímetro, determine el valor de la resistividad del material y estime sus errores. Discuta el grado de acuerdo encontrado con los valores de tablas correspondientes. mperímetro I I V Voltímetro R R ext Figura 29.2 Determinación de la resistencia de una muestra (R ) usando el método de las cuatro puntas. Nótese que como los voltímetros en general tiene alta resistencia (R voltímetro >10 MΩ) prácticamente toda la corriente circula por el circuito exterior (pasa solo por R) y no hay caída de tensión en los cables. quí R ext es una resistencia limitadora, de unos 10 a 50 Ω y capaz de soportar algunos amperes de corriente. Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

7 Proyecto 3 Variación de la resistencia con la temperatura de un alambre metálico por el método de las cuatro puntas Equipamiento básico recomendado: lambre de cobre, aluminio, hierro Dos multímetros para medir corrientes y tensión (milivoltios). Una fuente de tensión DC o C de unos 12V@2. Un termómetro. Para este proyecto se requieren muestras de algunos metales puros ( 99% de pureza) de modo de comparar fácilmente los valores medidos con los tabulados para el mismo material. Construya un circuito similar al indicado en la figura 29.2, para utilizar el método de las cuatro puntas o método de Kelvin para medir resistencias, ver apéndice 1. Seleccione la de muestras de materiales conocidos, por ejemplo Cu, l, etc. En este caso la geometría de la muestra no es importante. Por lo tanto puede usarse una pequeña bobina de alambre de uno.2 a.4 mm de diámetro y de unos 10 o más m de longitud. Los conectores de corriente y tensión se pueden unir a los extremos de la bobina. El material del carretel, debe resistir un ciclo térmico de 0º a 100ºC sin deteriorarse. Use una fuente de DC (o C) con una resistencia limitadora de corriente (R ext ) en serie, de unos 10 a 50 W y capaz de soportar algunos amperes de corriente. Varíe el sentido de la corriente si usa una fuente DC. Sumerja la muestra (bobina) en un recipiente de agua con un termómetro, de modo similar a como se indica en la Fig Usando las Ecs. (29.13) o (29.14) determine el valor de R pata cada temperatura T. Variando esta última entre 0º y 100ºC aproximadamente. Grafique R en función de T e investigue sus dependencia. Si la relación entre R y T es lineal, determine su pendiente y error. partir de este dato, determine el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura y su correspondiente error. Compare sus resultados con los valores de tabla para el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura. Discútale grado de acuerdo o desacuerdo con los valores de tabla. Ejercicios complementarios Discuta alguna de las posibles aplicaciones e implicancias de los experimentos anteriores. Por ejemplo: a) Si desea fabricar una resistencia patrón con la cual comparar otras resistencias, qué parámetros son importantes de considerar para una buena elección del material a usar? b) Si desea usar una resistor como sensor de temperatura, qué criterios usa para la elección del material? Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

8 c) Usando las ideas discutidas en esta actividad, tenga en cuenta el coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura del tungsteno y estime la temperatura de una lamparita incandescente. Dé un esquema de un diseño experimental para realizar este experimento. péndice 1. Método de las cuatro puntas o método de Kelvin Determinación de resistencias de baja resistencia La determinación de la resistividad o conductividad de una muestra es de gran utilidad en muchos experimentos. Generalmente estamos interesados en investigar como varía la conductividad en función de algún otro parámetro, por ejemplo la temperatura, la frecuencia, etc. Para medir una resistencia de valores intermedio (entre unas decenas de Ohms (Ω) a unos pocos MΩ, tal vez lo más simple es usar un multímetro (Ohmetro) y conectar como se indica en la figura La resistencia de interés es R, pero lo que mide el Ohmetro es la suma de: R+R cable +R cable R solo si R>> R cable +R cable. Para resistencias de pequeña magnitud, R<1 W, esta condición casi nunca se satisface. En general para medir una resistencia pequeña, será necesario tener en cuenta tanto las resistencias de los cables como los potenciales de contacto que pueden estar presentes al poner en contacto dos metales distintos. Estos potenciales de contactos son comunes en las uniones. Este método de medición de resistencia se denomina método a dos puntas. R cable Ohmetro R R cable Figura 29.3 Determinación de la resistencia de una muestra usando un Ohmetro o Multímetro. La resistencia de interés es R sin embargo lo que mide el Ohmetro es R+R cable +R cable. Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

9 Método e medición a dos puntas Método e medición a cuatro puntas Figura 29.4 Ilustración de los métodos de medición de resistencia a dos y cuatro puntas respectivamente. Nótese que sólo algunos instrumentos especiales poseen un arreglo para medir a cuatro puntas directamente (cuadro de la derecha). Sin embargo, siempre es posible diseñar un arreglo con instrumentos convencionales, como se ilustra en la figura 29.2, para realizar la medición a cuatro puntas. Método de las cuatro puntas o método de Kelvin Este método, ilustrado esquemáticamente en la figura 29.5, hace uso de dos circuitos vinculados. Por un circuito se hace circular la corriente (circuito exterior en la figura). Como los voltímetros modernos tienen altas resistencias internas, por el circuito de medición de la tensión (circuito interior de la figura) prácticamente no circula corriente. La tensión medida será en este caso: V + = ε + I + R ε B (29.10) El superíndice (+) indica que la corriente circula como se indica en la figura (29.4). Usamos el superíndice (-) cuando la dirección de la corriente se invierte, invirtiendo la fuente, pero sin alterar el resto del circuito. En este caso la tensión medida por el voltímetro será: V = ε I R ε B (29.11) Restando las ecuaciones (29.1) y (29.2) tenemos: [ I + I ] R V V =. (29.12) Por lo tanto, invirtiendo el sentido de circulación de la corriente y tomando la diferencia de los potenciales medidos, podemos anular el efecto de los potenciales de contacto. Más específicamente tenemos: V V R =. (29. 13) I + I Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

10 Vemos así que el método de las cuatro puntas nos permite eliminar simultáneamente el efecto de las resistencias de los cables y contactos como así también los potenciales de contacto. l aplicar la expresión (29.12) a un caso concreto, analice críticamente los signos que utiliza para I ± y V ±. En el caso de las Ec.(29.10) y (29.11) hemos supuesto que el signo de I ± es siempre positivo, de allí el cambio de signo en los término que contienen I ±, pero que el valor de V ± si cambia en las Ec.(29.10) y (29.11). mperímetro I r 1 ε Α R cable I V Voltímetro ε Β R R cable Figura 29.5 Determinación de la resistencia de una muestra usando el método de las cuatro puntas. Nótese que como los voltímetros en general tiene alta resistencia (R voltímetro >10 MΩ) prácticamente toda la corriente circula por el circuito exterior y no hay caída de tensión en R cable. En muchos casos de interés práctico, la fuente de alimentación del circuito (externo) es alterna (C). En este caso es conveniente realizar la medición de tensión usando un instrumento que filtre las componentes de continua (DC). Muchos instrumentos poseen la opción de activar este modo de medición, por ejemplo los osciloscopios, multímetros, Lock-in mplifiers, etc. Si se mide la tensión en modo C, la ecuación (29.10) se transforma en: C C V = I R, (29.14) ya que en este modo los potenciales de contacto (DC) son filtrados automáticamente por el instrumento medidor. Por lo tanto en este caso es posible simplificar el método de medición a cuatro puntas. Muestra unidimensional En este caso imaginamos un alambre de diámetro φ y área de sección transversal (=π.φ 2 /4). La diferencia de potencial entre dos puntos separados una distancia L será: L V = I R = I ρ, (29.15) r 2 Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil

11 empleando Ecs. (26.13) y (26.14) tenemos: C V V V ρ = ( / L) ( V I) = ( / L) = ( / L), (29.16) C I I I según se use una fuente DC o C respectivamente. En cualquier caso, es importante que la geometría del alambre sea bien conocida, es decir que los valores de y L se puedan medir con incertidumbres pequeñas. Bibliografía 1. D. Halliday, R. Resnik y J. Walker, Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, 4ª ed. (Trad. de Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1993). 2. M. lonso y E. J. Finn, Física, vol.ii, Campos y Ondas (Fondo Educativo Interamericano, ed. inglesa de ddison Wesley, Reading, Mass., 1967; Fondo Educativo Interamericano, 1970). 3. E. M. Purcell, Berkeley physics course, vol. 2, Electricidad y Magnetismo (Reverté, Barcelona, 1969). 4. Resistance of a wire as a function of temperature, Phys. Teach. 33, 96 (1995). 5. J. E. Fernández y E. Galloni, Trabajos prácticos de fisica (Editorial Nigar, Buenos ires, 1968). 6. M. lonso y E. J. Finn, Física, vol.iii, Fundamentos Cuánticos y Estadísticos (Fondo Educativo Interamericano, ed. inglesa de ddison Wesley, Reading, Mass., 1967; Fondo Educativo Interamericano, 1970). Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil