IE Laboratorio de Máquinas Eléctricas I: Práctica #2: Circuitos trifásicos en delta y estrella.

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1 IE Laboratorio de Máquinas Eléctricas I: Práctica #2: Circuitos trifásicos en delta y estrella. KEVIN OLIVARES R. B04587 ANDRÉS ROJAS J. B25848 Universidad de Costa Rica Escuela de Ingeniería Eléctrica 6 de setiembre 2016 WILLY VILLALOBOS M. B17170 Resumen En este informe se detalla el análisis realizado de los circuitos trifásicos en sus distintas implementaciones, es decir, en delta y estrella balanceada y desbalanceada a nivel de carga. Se mide la tensión y el consumo de potencia, y se analiza fasorialmente los resultados. Palabras clave: Circuitos trifásicos, conexión delta, conexión estrella, diagrama fasorial, triángulo de potencia, delta balanceada, delta desbalanceada, estrella balanceada, estrella desbalanceada, estrella con neutro, estrella sin neutro. I-A. Objetivo general I. OBJETIVOS Estudiar los efectos de cargas balanceadas y desbalanceadas, tanto en delta como en estrella, sobre las corrientes y tensiones, así como su consumo de potencia encontrar condiciones de desbalance (cada ramificación tiene un valor nominal de impedancia diferente), y esta condición se agrava cuando no se cuenta con un cable neutro que conecte las fuentes en estrella con la carga en estrella, provocando lo que se denomina un desplazamiento del neutro (no hay un camino de retorno para las corrientes de desbalance) [4]. Dado que es más usual encontrarse con situaciones de carga desbalanceada en la industria, y en casos más extremos, con desbalance en fase debido a un mal diseño o implementación rudimentaria de la instalación eléctrica, se vuelve imperativo comprender el funcionamiento de este tipo de sistemas para su correcto análisis y corrección [5]. I-B. Objetivos específicos Se definieron los siguientes objetivos específicos. Conectar cargas en delta y estrella. Conectar circuitos trifásicos balanceados y desbalanceados a la corriente alterna. Observar el comportamiento de los fasores en las diferentes topologías de cargas. Analizar el efecto de estrella con cable de neutro y sin cable de neutro. II. NOTA TEÓRICA A nivel de generación y transmisión de potencia, es típico encontrarse con la implementación de líneas de tres vías, en las cuales se mantiene una misma magnitud de tensión, pero con un desfase entre cada uno de 120º. Estos sistemas trifásicos pueden implementarse ya sea en configuración estrella como se muestra en la figura 1 (con un punto común) o en delta como se muestra en la figura 2 (pegando cada fase una con otra, formando un triángulo, sin un punto común, típicamente para transmisión en alta tensión para abaratar costos) [1]. Para el caso de las cargas se pueden mencionar las mismas configuraciones, y es posible interconectar cada una entre sí sin muchos inconvenientes físicamente. Generalmente a nivel de generadores se tiene siempre una condición de balance siempre y cuando cada una de las fases esté correctamente conectada a la carga (sin puntos de falla por ruptura de circuito o corto circuito), sin embargo, a nivel de carga es más frecuente Figura 1: Diagrama de conexión de fuentes en estrella. Figura 2: Diagrama de conexión de fuentes en delta.

2 A nivel tanto de fase como de impedancia, existen métodos para transformar la estructura de estrella a un equivalente en delta y viceversa. Para el caso de las cargas, partiendo de la figura 3, se tiene para conversión estrella-delta [1]: Z a = Z 1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1 Z 1 (1) Z b = Z 1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1 Z 2 (2) Z c = Z 1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z 1 Z 3 (3) mientras que para conversión delta-estrella: Z b Z c Z 1 = Z a + Z b + Z c (4) Z c Z a Z 2 = Z a + Z b + Z c (5) Z a Z b Z 3 = Z a + Z b + Z c (6) Si las cargas están balanceadas, las expresiones se simplifican a lo siguiente: Z = 3Z Y (7) donde Z Y = Z 1 = Z 2 = Z 3 y Z = Z a = Z b = Z c. III-B. Diagramas de conexión Se realizaron las siguientes conexiones con el equipo de laboratorio. III-C. Carga en estrella balanceada con neutro aterrizado. III-C1. Carga de 600//j300: Se conectó en paralelo en cada fase un resistor de 600 Ω y una inductancia de impedancia equivalente de 300 Ω. Figura 4: Carga en estrella de 600//j300. III-C2. Carga de 600//-j300: Se conectó en paralelo en cada fase un resistor de 600 Ω y una capacitancia de impedancia equivalente de 300 Ω. Figura 5: Carga en estrella de 600//-j300. Figura 3: Diagrama de conversión de cargas en delta y estrella. III-D. Carga en estrella desbalanceada con neutro aterrizado. Se conectó en estrella cargas de diferente magnitud en cada fase. Para el caso de los generadores, cuando se tienen fuentes en estrella basta con calcular la tensión de línea a línea para tener la fase equivalente en delta [1]. III-A. Lista de equipo III. RESULTADOS Para el desarrollo de esta práctica se utilizó el equipo que se muestra en el cuadro I. Cuadro I: Equipo utilizado Equipo Placa Características Fuente de V, 8 A CC alimentación /208 V, 15 A CA Módulo de 252 W resistencias V CA/CC Módulo de 252 VAr inductancias V - 60 Hz Módulo de 252 VAr capacitancias (230 V max ) - 60 Hz Módulo de adquisición de datos Cables de conexión - - Figura 6: Carga en estrella desbalanceada con cable neutro aterrizado. Además, se realizó una conexión con una carga desbalanceada pero sin cable de neutro aterrizado. Figura 7: Carga en estrella desbalanceada sin cable de neutro. Escuela de Ingeniería Eléctrica 2 de 8 Universidad de Costa Rica

3 III-E. Carga en delta balanceada Se implementó la conexión mostrada en la figura 8, en delta con cargas balanceadas, conectando en paralelo en cada fase un resistor de 600 Ω y un inductor con una impedancia equivalente de 300 Ω. Figura 8: Carga en delta balanceada con inductor. También se estudió la configuración de la figura 9 utilizando cargas en paralelo de un resistor de 600 Ω y un capacitor de 300 Ω Figura 11: Diagrama fasorial para carga en estrella balanceada con inductor. En la figura 12 se muestra el diagrama fasorial para la carga con capacitor en estrella balanceada con cable neutro. Figura 9: Carga en delta balanceada con capacitor. Por último se implementó la conexión mostrada en la figura 10 para estudiar el comportamiento de una carga desbalanceada con conexión delta. Figura 12: Diagrama fasorial para carga en estrella balanceada con capacitor. En la figura 13 se muestra el diagrama fasorial para la carga en estrella desbalanceada con cable neutro. Figura 10: Carga en delta desbalanceada. III-F. Datos y observaciones obtenidas en el laboratorio. Se tomaron mediciones de tensión y corriente de línea y fase, factor de potencia, ángulo de desfase entre corriente y tensión y potencia para cada una de las configuraciones mostradas en la sección III-B de diagramas de conexión, los resultados se muestran en la sección VII en la que se incluyen los cuadros con todos los datos registrados en las diferentes mediciones. III-G. Diagramas Como parte de los datos obtenidos en el laboratorio se incluyen los gráficos para cada una de las conexiones planteadas en la sección III-B. En la figura 11 se muestra el diagrama fasorial para la carga con inductor en estrella balanceada con cable neutro. Figura 13: Diagrama fasorial para carga en estrella desbalanceada. En la figura 14 se muestra el diagrama fasorial para la carga Escuela de Ingeniería Eléctrica 3 de 8 Universidad de Costa Rica

4 en estrella desbalanceada sin cable neutro. En la figura 17 se muestra el diagrama fasorial para la carga en delta desbalanceada. Figura 14: Diagrama fasorial para carga en estrella desbalanceada sin cable neutro. En la figura 15 se muestra el diagrama fasorial para la carga con inductor en delta balanceada. Figura 15: Diagrama fasorial para carga en delta balanceada con inductor. En la figura 16 se muestra el diagrama fasorial para la carga con capacitor en delta balanceada. Figura 16: Diagrama fasorial para carga en delta balanceada con capacitor. Figura 17: Diagrama fasorial para carga en delta desbalanceada. IV. INVESTIGACIÓN ADICIONAL IV-A. En la industria de corrección del factor de potencia, los bancos de condensadores están generalmente compuestos de tres unidades monofásicas diseñadas para operar a una tensión normalizada de fase-fase. Qué ventajas/desventajas pueden presentarse al conectar las unidades en estrella o en delta? Justifique. Este tipo de configuraciones facilitan la corrección del factor de potencia especialmente en cargas balanceadas, donde el efecto de la componente imaginaria de cada impedancia es el mismo, lo cual facilita su corrección al punto de conectar el banco de capacitores en la configuración de las cargas (delta o estrella). El problema surge cuando se tienen cargas desbalanceadas, en la cual entonces se debe optar por corregir el menor de los efectos de desvío para no generar el efecto contrario y más bien tener ahora un factor de potencia en adelanto debido a que el banco de capacitores sobrecompensa el efecto de la carga. En estas situaciones lo ideal sería poder modificar de alguna forma las capacitancias o diseñar un banco de capacitores específico para la configuración actual, lo cual puede elevar mucho los costos y limitar el crecimiento de la planta a nivel de instalación eléctrica [1] [5]. Entre las ventajas de conectar las unidades (balanceadas) en delta es que estas se pueden cambiar, ya sea retirar o añadir mucho más fácil que las cargas en estrella. Para conectar las unidades en estrella al estar en serie con la línea habría que interrumpir la línea o de ser el caso tener acceso a la línea neutro, la cual no siempre podría estar accesible. Y entre las desventajas, las conexiones en delta por su naturaleza (recordando que se esta tratando con cargas balanceadas) su impedancia es mayor a la vista en una conexión en estrella. Por lo tanto en caso que el circuito o la fuentes no funcionen como se requieren se pueden presentar mayores pérdidas. O bien si se analiza el caso de que se presente un pequeño desbalance, se podría presentar una corriente circulante de malla. Que no aparece en la conexión en estrella [1]. Escuela de Ingeniería Eléctrica 4 de 8 Universidad de Costa Rica

5 V-A. Kevin: V. ANÁLISIS DE RESULTADOS En este laboratorio se analizaron circuitos trifásicos básicos conectando cargas balanceadas y desbalanceadas en estrella o delta a la fuente de alimentación en corriente alterna, además de practicar la conexión de estas cargas con el equipo de laboratorio, se logró observar gráficamente el comportamiento del circuito por medio de los diagramas fasoriales y los resultados numéricos obtenidos con el programa de recolección de datos disponible en el laboratorio. En primer lugar se logró establecer una relación entre las tensiones de línea y de fase en la fuente, concluyendo que ésta tiene una conexión interna en estrella y que la tensión de fase se comporta según se describe en la ecuación (8), [2] donde V 1φ es la tensión en una fase y V LL es la tensión de línea a línea en la fuente. V 1φ = V LL 3 (8) Según se observa en el cuadro II la tensión de línea es de aproximadamente 208 V y la de fase es de 120 V lo que concuerda con lo establecido en la ecuación (8). Al conectar una carga en estrella balanceada se observó que la tensión en cada una de las cargas se comporta según se mostró en la ecuación (8), mientas que la corriente de fase es igual a la corriente de línea. también se observó el efecto de una carga inductiva o capacitiva en paralelo con un resistor, las corriente y tensión se comportó prácticamente igual, la variación se dio en el desfase entre ambas para el caso del capacitor la corriente se adelantó con respecto a la tensión, para la carga inductiva la corriente se atrasó, el desfase en ambos casos estuvo al rededor de 60 o según se registró en el cuadro II y se muestra en los diagramas fasoriales de las figuras 11 y 12. Un aspecto importante a considerar en las conexiones de cargas en estrella es el cable de neutro, el mismo tiene un gran impacto en la tensión y corriente de cada carga, observando los resultados mostrados en los cuadros III y IV correspondientes a una conexión en estrella desbalanceada con cable de neutro y sin cable de neutro respectivamente, se obtuvo que en el primero de ellos, la tensión se balanceó, es decir en todas las fases se obtuvo la misma tensión y hubo un flujo de corriente en el cable de neutro, en el segundo caso las tensiones fueron diferentes en cada fase, esto lleva a la conclusión de que al contar con un cable de neutro la diferencia de corriente generada al tener una carga desbalanceada se transportará por el cable de neutro y las tensiones por fase serán iguales, por otro lado, al retirar el cable de neutro la diferencia de corrientes deberá regresar por alguna de las fases lo que provocó la variación en las tensiones de fase y todas fueron diferentes. De acuerdo a los resultados obtenidos en un sistema desbalanceado conectado es estrella lo ideal es contar con cable de neutro para garantizar la misma tensión en todas las fases de la carga. Con respecto a las conexiones en delta balanceadas se observó un comportamiento similar a la estrella balanceada, a diferencia de que la tensión de fase en la carga ahora es igual a la tensión de línea, pero se conservó el efecto provocado por el capacitor (la corriente se adelanta con respecto a la tensión) e inductor (corriente se atrasa con respecto a la tensión) como se muestra en los diagramas 15 y 16. Además, en este caso la corriente de fase es diferente a la corriente de línea según se muestra en la ecuación (9), [2] donde I 1φ es la corriente en una de las líneas e I L es la corriente de línea siguiendo un comportamiento similar al de tensiones mostrado en la ecuación (8). I 1φ = I L 3 (9) Observando el comportamiento de la carga en delta desbalanceada se observa en la tabla VI que las tensiones en cada fase se mantuvo igual a pesar de haber un desbalance en las cargas. También, es importante mencionar que el efecto de un capacitor/inductor no es solamente un desfase entre la corriente y tensión, esto también implica un cambio en la potencia consumida por el sistema reflejada en el valor del factor de potencia, pues estos componentes presentan un consumo de potencia reactiva aumentando la magnitud de la potencia aparente entregada por la fuente. En la figura 18 se muestra la relación entre la potencia activa (P, consumida por resistores), reactiva (Q) y aparente (S). Figura 18: Triángulo de potencias. Si la carga es solo resistiva la componente Q no existirá, por lo tanto la potencia aparente es igual a la potencia activa como sucedió en las cargas Z a y Z ab de las cuadros III, V y VI donde el factor de potencia es cercano a 1. en los demás cargas hubo consumo de potencia reactiva por lo que el factor de potencia bajó con respecto a la unidad según se muestra en los mismos cuadros. Se puede concluir que las principales características de las conexiones en delta y estrella son la tensión y corriente de fase, en cargas desbalanceadas en estrella se necesita un cable de neutro para balancear las tensiones de fase, en delta no se conecta cable de neutro y en sistemas desbalanceados siempre se mantendrá la misma tensión en cada fase. V-B. Andrés: Para toda la práctica de laboratorio se realizaron mediciones de un circuito trifásico. La primera parte consta de una carga en estrella balanceada y cable de neutro aterrizado. Esta a su vez se dividía en 2, una impedancia en paralelo inductiva y Escuela de Ingeniería Eléctrica 5 de 8 Universidad de Costa Rica

6 una impedancia en paralelo capacitiva. Como se puede observar en las figuras 4 y 5 respectivamente. Los resultados se pueden observar en el cuadro II. Los datos de tensiones (línea y fase), corrientes estuvieron muy similares. Al ser los mismos valores de impedancias pero uno capacitivo y el otro inductivo. Esto lo que modificaba era el ángulo de desfase de la corriente, afectando así las potencias activas, reactivas y aparentes junto con el factor de potencia. Para el caso capacitivo este último fue menor, puede ser porque los capacitores entregan potencia reactiva en vez de tomarla, por lo tanto no se le pide tanto a la fuente. Para la segunda parte se realizó el circuito de la figura 6. Este presenta una carga desbalanceada y un cable de neutro. Este para que las corrientes tengan un retorno y el circuito tenga valores más estables y uniformes. Para desarrollar mejor esta parte se comparan los cuadros III y IV. El cuadro IV viene a dar las mediciones del circuito de la figura 7. Este presenta el mismo circuito pero sin el cable neutro. Los valores de tensión línea-neutro con el cable neutro fueron muy similares, en cambio sin el cable neutro muy irregulares. En ambos casos las corrientes fueron muy similares, 2 corrientes iguales y la restante diferente. Para el caso sin cable neutro no fue lo esperado, dos cargas diferentes poseían corrientes iguales. Finalmente los ángulos de desfase para el caso con el cable neutro las dos impedancias tenían el mismo ángulo por lo tanto mismos valores de potencias. La resistencia prácticamente con ángulo 0 y lo que resta de las potencias, para cumplir conservación de potencias. Sin el cable neutro los ángulos si cambiaban en mayor medida afectando las potencias junto con ello. Para las tres impedancias con valores diferentes en cada una de las potencias, ya sea activa, reactiva o aparente. La tercera parte de la práctica trató de conectar las cargas en delta. Primero balanceadas y luego desbalanceadas. Para la parte balanceada al igual que la conexión en estrella se hizo con una impedancia inductiva y otra inductancia capacitiva. Como se puede ver en las figuras 8 y 9 respectivamente. Los valores de la impedancia inductiva con respecto a las potencias fueron más altos en comparación a la impedancia capacitiva. Para ello ver el cuadro V. Donde mejor se ve esto es en la potencia aparente, con una diferencia de un 40 % entre ellas. Es decir la potencia aparente de la impedancia inductiva fue 2.5 veces mayor a la de la impedancia capacitiva. Los ángulos son muy similares practicamente son el mismo (60 grados) sólo que uno en atraso (inductivo) y el otro en adelanto (capacitivo). Luego se pasó a la carga en delta desbalanceada donde sólo prácticamente varían los datos de la impedancia sólo resistiva con los datos de las impedancias capacitivas, para ello ver el cuadro VI. Aquí lo importante es ver que a pesar de estar desbalanceadas, las tensiones, corrientes y potencias se mantienen similares (a esto se le podría decir más estables). Esta es una de las ventajas de la conexión en delta que brinda estabilidad y no requiere del cable neutro. V-C. Willy: Los efectos de la carga producen una serie de efectos adversos sobre el sistema, particularmente ante escenarios de falla por corto circuito o por circuito abierto. El problema se agrava aún más cuando se tiene un desplazamiento del neutro, producto de que el centro de la carga en estrella no se conecta al mismo nodo que el común de las fuentes trifásicas, o cuando la impedancia de esta conexión es considerablemente alta, comparable con las cargas [3]. Este mismo efecto provoca una variación en el consumo de potencia en cada elemento de carga, así como un cambio en el factor de potencia, el cual será más difícil de corregir pues generalmente los bancos de capacitores se fijan a un único valor, como se puede deducir del diagrama fasorial de la figura 17, el cual refleja el mismo comportamiento a nivel de fasores de potencia, analizándose desde el punto de vista de la potencia compleja. Si se analiza la figura 18 donde la potencia reactiva (parte imaginaria de la potencia compleja) representa la potencia desaprovechada, si se tuviese una carga balanceada, es más fácil determinar el valor óptimo del banco de capacitores que se debe conectar para corregir el factor de potencia del sistema. El problema de las cargas desbalanceadas es que esta corrección sólo sería posible para el elemento con menor efecto en el sistema, pues si se centra la corrección en el elemento que más contribuye al bajo factor de potencia, al final se tendrá un factor de potencia bajo pero ahora en adelanto, es decir, el sistema trifásico está alimentando a los generadores. La alternativa más sensata es diseñar un banco de capacitores específico para el sistema particular, lo cual es sumamente costoso y dificulta el mantenimiento así como la expansión en un proceso de producción. VI-A. Kevin: VI. CONCLUSIONES Se logró entender la relación de tensión de línea y fase en cargas trifásicas con conexiones delta y estrella, para la primera de ellas se tiene que la tensión de línea es igual a la tensión de fase, para la conexión en estrella se tiene que la tensión de línea es diferente de la de fase y se relaciona según se mostró en la ecuación (8). Con respecto a la relación de corrientes en conexiones delta y estrella se concluyó que la corriente de fase es una conexión estrella es igual a la de línea, mientras que en una conexión delta, la corriente de fase se relaciona con la de línea por un factor de 3 según se mostró en la ecuación 9. La conexión de cargas desbalanceadas en estrella provocó también un desbalance en las tensiones de cada fase, sin embargo, al tener conectado el cable de neutro se logró que las tensiones en cada fase fueran iguales, pues la diferencia de corriente provocado por el desbalance de las cargas, retornó por el cable neutro. La conexión en delta desbalanceada tuvo las mayores diferencias en la corriente sobre cada carga con respecto a una carga balanceada, pues la tensión siempre se mantuvo constante. Al observar los fasores en las diferentes cargas, se pudo confirmar el efecto de un capacitor (corriente en adelanto) y un inductor (atrasa la corriente) sobre la corriente con respecto a la tensión. 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7 VI-B. Andres: Como conclusiones, cuando se conectan circuitos trifásicos es importante conocer bien qué se está conectando con qué. Ya que al ser trifásicos el usuario o practicante puede enredarse con tantos cables. Por ello se recomienda realizar un diagrama claro y similar a los elementos con los que se trabaja para no estar perdido y evitar daños al usuario mismo o al equipo. Así como entender bien las relaciones que existen entre las tensiones de línea y fase, corrientes de línea y fase, y las transformaciones entre conexiones delta y estrella pueden ayudar a comprender mejor lo que sucede en el momento de la conexión. Ver ecuaciones (8) y (9). Con uso de los fasores vistos en los diagramas fasoriales y los datos recopilados por el software lab-volt colocados en las tablas de la práctica se pudo ver los efectos que las diferentes cargas y como estas se conectaban producían cambios en el circuito. Así se pudo analizar lo que estaba sucediendo para poder establecer conclusiones. La carga siempre es la que manda, ya que esta es la que da el desfase a las corrientes y por lo tanto estableciendo los diferentes tipos de potencias que la red, o en este caso fuente debe entregar. Más aún si las cargas se encuentran desbalanceadas. Los valores pasan de ser muy uniformes a ser totalmente diferentes, empeorando la calidad del servicio brindado y por ende la seguridad en el circuito. Visto desde un punto de vista de la industria, donde más se utilizan cargas y fuentes trifásicas. Esto porque son más difíciles de analizar y menos estables. Como posible solución se puede utilizar un cable neutro o intentar con la conexión en delta. Esto claro haciendo un estudio previo o simulación para ver cuál solución es más segura y efectiva. VI-C. Willy: Dentro de las conclusiones que se puede derivar del laboratorio se encuentra particularmente las propiedades de los circuitos trifásicos, particularmente el efecto que tiene la carga sobre el comportamiento del sistema a nivel de consumo de potencia. Esta variación se puede aislar según el tipo de conexión, tanto a nivel de fuente como a nivel de carga, en estrella o en delta. Para el caso de este experimento, se trabajó con fuentes en estrella, aunque es posible estimar con 8 un sistema equivalente en delta al calcular las tensiones de línea a línea. Como conclusión final se extrae la importancia de entender el comportamiento de los sistemas trifásicos desbalanceados, pues es el escenario más frecuente que se observa en la calle y la industria, y la corrección de estos sistemas implica un gran ahorro a largo plazo, pues aumenta la calidad de la generación y la vida útil de los equipos. Escuela de Ingeniería Eléctrica 7 de 8 Universidad de Costa Rica

8 VII. CUADROS Cuadro II: Cargas en estrella balanceada con cable neutro aterrizado. Impedancia [Ω] Tensión LN [V] Tensión LL [V] I línea [A] Ángulo de I [ o ] P [W] Q [VAr] S [VA] Ángulo de S [ o ] f.p. 600//j //-j Cuadro III: Carga en estrella desbalanceada con cable neutro. Impedancia [Ω] Tensión LN [V] Tensión LL [V] I línea [A] Ángulo de I [ o ] P [W] Q [VAr] S [VA] Ángulo de S [ o ] I neutro Za = Zb = 300-j Zc = 300-j Cuadro IV: Carga en estrella desbalanceada sin cable neutro. Impedancia [Ω] Tensión LN [V] V NN [V] I línea [A] Ángulo de I[ o ] P [W] Q [VAr] S [VA] Ángulo de S [ o ] f.p. Za = Zb = 300-j Zc = 300-j Cuadro V: Cargas en delta balanceada. Impedancia [Ω] Tensión LL [V] I fase [A] Ángulo de I [ o ] P [W] Q [VAr] S [VA] Ángulo de S [ o ] f.p. 600//j //-j Cuadro VI: Carga en delta desbalanceada. Impedancia [Ω] Tensión LL [V] I fase [A] Ángulo de I [ o ] P [W] Q [VAr] S [VA] Ángulo de S [ o ] f.p. Zab = Zbc = 300-j Zca = 300-j REFERENCIAS [1] Charles K. Alexander and Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de Circuitos Eléctricos. McGraw-Hill, 3 edition, [2] Stephen J Chapman, Pardo Muñoz Jaime, et al. Máquinas eléctricas. McGraw-Hill Interamericana [3] Vembu Gourishankar. Conversión de Energía Electromecánica. International Textbook Company, [4] William H D Hayt and Steven M Kemmerly. Análisis de circuitos en ingeniería. McGraw-Hill Interamericana 7 edition, [5] Jesús Fraile Mora, Colegio de Ingenieros de Caminos, and Canales y Puertos. Máquinas eléctricas. McGraw-Hill, Escuela de Ingeniería Eléctrica 8 de 8 Universidad de Costa Rica