Felipe II, el diablo y las Matemáticas. Colegio Libre de Eméritos, 14 de junio de 2012

Transcripción

1 Colegio Libre de Eméritos, 14 de junio de 2012

2 Felipe II ( ), retratado por Tiziano

3 Dichoso es el curso de la culebra, retorciéndose de una parte a otra con tal incertidumbre, que aún su mismo cuerpo no sabe por dónde le ha de llevar la cabeza. Así también lo hacía el rey Felipe II, encubriendo sus fines a sus embajadores, y señalándoles otros, cuando convenía que los creyesen y persuadiesen a los demás. Diego de Saavedra Fajardo

4 François Viète, Vieta ( )

5 Vieta está considerado como el padre del Álgebra, por ser uno de los primeros autores que introdujo el cálculo simbólico, operando con letras y con números, en sus esfuerzos por sistematizar el estudio de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, cuyas soluciones habían sido obtenidas por los italianos Del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari. Durante la guerra franco-española de , Vieta descifró para Enrique de Navarra varias cartas codificadas del rey Felipe II.

6 Cifrado a la Julio César Si tenía que decir algo confidencial, lo escribía usando el cifrado, esto es, cambiando el orden de las letras del alfabeto, para que ni una palabra pudiera entenderse. Si alguien quiere decodificarlo, y entender su significado, debe sustituir la cuarta letra del alfabeto, es decir, la D por la A, y así con las demás. Suetonio, Vida de los Césares 56

7 A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C Cifrado: EN UN LUGAR DE LA MANCHA HP XP ÑXJDU GH ÑD ODPFLD

8 Análisis de frecuencias Frecuencias de aparición de letras en español: E % A 12,53 % O 8,68 % S 7,98 % R 6,87 % N 6,71 % I 6,25 %.

9 Le chiffre indéchiffrable de Vigenère Blaise de Vigenère ( )

10 Clave: BECA (2531) A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C D F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F. Z A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Mensaje: EN UN LUGAR DE L... Cifrado: FQ WN MYIAS HG L...

11 Las matemáticas del código Como hay 27 letras, la aritmética apropiada es la módulo 27. Podemos equiparar letras con restos, por ejemplo: A = 0, B = 1, C = 2,..., Z = 26. Cada mensaje M es una sucesión de números M 0, M 1, M 2,..., donde cada M j está entre 0 y 26. El mensaje cifrado C será otra sucesión de tales números (que podemos convertir en letras con la identificación anterior): C 0, C 1, C 2, C 3,... La clave K da lugar a otra sucesión de números, K 0, K 1, K 2,..., donde K 0 es el número que corresponde a la primera letra de la clave, K 1 a la segunda, y así sucesivamente, hasta que llegamos a la última; entonces volvemos a la primera y continuamos. La sucesión (K j ) será periódica, con un período igual al número de letras de la clave.

12 El algoritmo es muy sencillo: (cifrado) C j = M j + K j módulo 27 (descifrado) M j = C j K j módulo 27

13 La máquina Enigma

14 Alan Turing ( )

15 Józef Marcinkiewicz ( )

16 El método RSA Ron Rivest, Adi Shamir y Len Adleman

17 Clave pública: address. Clave privada: contraseña. 1. Escogemos dos números primos p, q y calculamos su producto: n = p q. 2. Calculamos (p 1) (q 1), que es el número de restos módulo (p q) que son primos con n. 3) Escogemos un entero e, entre 1 y (p 1) (q 1), que sea primo con (p 1) (q 1). Ese entero e será nuestra dirección de correo. 4) Calculamos d de manera que e d = 1 módulo (p 1) (q 1). Ese número d es secreto, se trata de nuestra contraseña.

18 Pequeño Teorema de Fermat: Si p es un número primo y el entero a no es un múltiplo de p, entonces a p 1 = 1 módulo p.

19 Pierre de Fermat ( )