La evolución de las Matemáticas

Transcripción

1 La evolución de las Matemáticas Pablo Guerrero García * Lección inagural IB Sierra Bermeja (dedicada a la memoria de Pedro Pont Sánchez) 24 de Septiembre de Presentación 1. Matemáticas universitarias: Matemáticas que demanda la sociedad actual, a la cual le importan las Matemáticas. 2. Matemáticas preuniversitarias: El pilar sobre el que se asentará la enseñanza superior, y también el gran temor de la gente de COU. 3. Herramientas de cálculo numérico y simbólico, y concursos y juegos matemáticos: Dos aspectos de la evolución en la enseñanza de la Matemática, cada uno de los cuales con una sección especialmente dedicada en las últimas jornadas nacionales de educación matemática celebradas en Lugo hace dos semanas. 4. Conclusión: Las Matemáticas que hoy día demanda la sociedad se enseñan en la Facultad a partir de sólidos fundamentos establecidos en la Enseñanza Media; en ambos niveles hay que utilizar la tecnología actual y la forma de enseñar más agradable posible. 2. Matemáticas universitarias 1. Matemáticas para la Ingeniería: muy avanzadas (Variable compleja, Análisis Funcional,... ) pero muy aplicadas. 2. Matemáticas para Biología/Medicina y Económicas: Estadística e Investigación Operativa. 3. No todo el mundo tiene que aprender las mismas Matemáticas: como decía Pedro, se puede ser muy feliz y ganar un buen sueldo si tener mucha idea de Matemáticas. Antes se impartía a todo el mundo las mismas Matemáticas: progresivamente la especialización se ha ido imponiendo. * Informe Técnico MA-99/04, Dpto. Matemática Aplicada, Univ. Málaga, pablito@lcc.uma.es 1

2 Pablo Guerrero: La evolución de las Matemáticas 2 4. Repercusiones en prensa de logros matemáticos: Algoritmo de Cooley-Tukey (1965): supone el auge de las telecomunicaciones, consiste simplemente en realizar multiplicaciones matriz-vector complejos en O(nlog 2 (n)) en lugar de O(n 2 ). Teorema de los cuatro colores (1976): determinar el menor número de colores necesarios para colorear mapas planos de forma que regiones distintas tengan colores distintos. Algoritmo de Karmarkar (1984): optimización de funciones lineales sujetas a restricciones (e.g., localización óptima de torretas telefónicas); leer los titulares de New York Times y Wall Street Journal). Teorema de Fermat (1994): no existen soluciones enteras no nulas para x n + y n = z n con n > 2; se hizo eco toda la prensa nacional. 3. Matemáticas preuniversitarias 1. Voy bien preparado, matemáticamente hablando, para la Universidad? Es lo que se pregunta el alumno bueno (y sobre todo exigente), ya que el alumno malo sólo se pregunta si aprobará la Selectividad. 2. El mejor profesor no es el que más ejercicios de Selectividad hace, sino el que es capaz de hacerle ver al alumno un poco (o un mucho) más allá: Pedro no se conformaba sólo con hacerte muchos ejercicios de derivadas. 3. En los primeros cursos de Facultad siempre se ha repetido y se sigue repitiendo gran parte del temario de COU (con la excusa de que con esto de la LOGSE los niños vienen mal preparados ) y sin embargo las academias están llenas. 4. El fallo parece residir en la forma de enseñar, no en los contenidos: la LOGSE enseña lo mismo pero de otra forma, pero requiere esfuerzo por parte del profesor. 4. Herramientas de cálculo numérico y simbólico 1. Ya no se enseña a calcular raíces cuadradas con decimales; sería ridículo seguir enseñando dicho cálculo y luego usar la calculadora para comprobar el resultado. 2. Cálculo de derivadas e integrales con paquetes simbólicos (MAPLE, DERIVE,... ); por analogía, debemos enseñar entonces al nivel de aplicación y no sólo al de procedimientos. 3. La importancia del cálculo numérico en Ingeniería: el que una integral definida valga π/4 después de 3 horas y 4 folios de cálculos no le vale para nada al que está trabajando en la obra,.... El cálculo numérico contempla cómo controlar los errores que inherentemente se producen al realizar cálculos con un ordenador para que el trabajo matemático sucio lo haga rápidamente el ordenador y no lo tenga que hacer el hombre. 4. Como paquete integrador de cálculo numérico y simbólico se recomienda MATLAB.

3 Pablo Guerrero: La evolución de las Matemáticas 3 5. Concursos y juegos matemáticos 1. La historia medieval (siglos XV y XVI) de Tartaglia y Cardano: Ferro fue el primero en resolver x 3 + bx = c Fiore recibe el secreto justo antes de morir Ferro, y reta a Tartaglia con dinero de por medio y ante notario; Tartaglia ya resolvía x 3 + ax 2 = c, pero no Fiore. Tartaglia debe su nombre a que un soldado francés le rajó la mandíbula; fue autor entre otros de un libro sobre teoría de números en el que se mencionaban rompecabezas como el de los maridos celosos y el de los borrachos. Cardano y la astrología (herejía y suicidio), el fin del mundo (18/10/1533) de Stifel y el eclipse lunar (29/02/1504) predicho por Colón gracias al Efemérides de Regiomontano (padre de la notación trigonométrica actual). La pelea de Tartaglia y Cardano, y el posterior concurso entre Tartaglia y Ferrari (ecuación de cuarto grado en Ars Magna de Cardano, enriquecimiento a cargo de un cardenal y muerte trágica). 2. Olimpiadas Matemáticas actuales: las de octavo de EGB a cargo de la THALES, las de tercero de BUP a cargo de SME, las convocatorias regionales, nacionales e internacionales, y las repercusiones a nivel económico (e.g., becas). 3. Solitarios triangulares (reglas de juego para Abreu, pebbling inverso,... ) y aspectos geométricos (e.g., a la hora de enseñar Álgebra). 4. Advertir contra el peligro de ahora los niños en Matemáticas sólo hacen jueguecitos y no aprenden nadaresolviendo diversas conjeturas sobre dichos solitarios triangulares.

4 Pablo Guerrero: La evolución de las Matemáticas 1 1. Presentación 1. Matemáticas universitarias 2. Matemáticas preuniversitarias 3. Herramientas de cálculo numérico y simbólico 4. Concursos y juegos matemáticos 2. Matemáticas universitarias 1. Matemáticas para la Ingeniería. 2. Matemáticas para Biología/Medicina y Económicas. 3. No todo el mundo tiene que aprender las mismas Matemáticas. 4. Repercusiones en prensa de logros matemáticos: Algoritmo de Cooley-Tukey (1965) Teorema de los cuatro colores (1976) Algoritmo de Karmarkar (1984) Teorema de Fermat (1994) 3. Matemáticas preuniversitarias 1. Voy bien preparado para la Universidad? 2. El mejor profesor no es el que más ejercicios de Selectividad hace, sino el que es capaz de hacerle ver al alumno más allá. 3. En los primeros cursos de Facultad se sigue repitiendo gran parte del temario de COU pero las academias están llenas. 4. El fallo parece residir en la forma, no en los contenidos.

5 Pablo Guerrero: La evolución de las Matemáticas 2 4. Herramientas de cálculo numérico y simbólico 1. Ya no se enseña a calcular raíces cuadradas con decimales. 2. Cálculo de derivadas e integrales con paquetes simbólicos. 3. La importancia del cálculo numérico en Ingeniería. 5. Concursos y juegos matemáticos 1. La historia de Tartaglia y Cardano. 2. Olimpiadas Matemáticas actuales. 3. Solitarios triangulares y aspectos geométricos: Figura 1: Tablero de 4 filas Figura 2. Un movimiento en el solitario de Abreu p Nivel 0 Nivel 0 Figura 3: Solitarios de Conway sobre tableros de Abreu 4. Ahora los niños en Matemáticas sólo hacen jueguecitos?

6 Pablo Guerrero: La evolución de las Matemáticas 3 El punto de vista algebraico Invarianza del producto de los colores de las casillas ocupadas a b c c a b a b c a b c a b c... a b c i a i c b a b c i a b c b a i c i a b c i El punto de vista analítico Invarianza de la suma de los números de las casillas ocupadas 1 x x x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4... x k 2x k+1 = x k (1 2x) Invarianza con x = 0.5 Inalcanzabilidad para p = 4 en el pebbling inverso: S(x) = 5x 4 + 6x 5 + 7x = T (x) T (x) = x 5 + x 6 + x = x 5 (1 + x + x ) = x5 1 x S(x) = (1 x)5x4 x 5 ( 1) = x4 (5 4x) S(0.5) = 0.75 < 1 (1 x) 2 (1 x) 2