Algoritmos de cifrado

Transcripción

1 11 de junio de 2015

2 Estructuración 1 Conceptos generales

3 El problema de la Criptografía Internet -----BEGIN PGP MESSAGE----- Version: GnuPG v (GNU/Linux) FcelCIKc+xEzuVo1Wbg5v91kEGDaXHhjJ1 ekn1ly1o3o6sr2tjthpxgl3lpbx7xnnpn QchShvZDxK7EDLBSX89r+Eu01WPjDakD 9qZt3Oww6QOIBsOybgbfebmmx6ZoCq+ qrujmnj2hnzmnw/nue/x2ugzcxcbr6ylg M/xR84VWMjcYNp0ukBCx8xz41WkgeTrkuL f+9essbbswwvfohxtfdrudiuf61jyfow1l xc2rwtkh3os94hclrcqumchthmfx3cntu hoaakjvk+vik0ygshwhsc9sftwhjy56skirj jltuyznq8ojmbt43i05cidb9xfz+cqorq rv5akgrm0vx1jlpr2isjyzx1j8dk8bz0xg /olass3fmtwq1g/6oy8g/pquxe2jdfvan3 =59zg -----END PGP MESSAGE----- Bob -----BEGIN PGP MESSAGE----- Version: GnuPG v (GNU/Linux) FcelCIKc+xEzuVo1Wbg5v91kEGDaXHhjJ1 ekn1ly1o3o6sr2tjthpxgl3lpbx7xnnpn QchShvZDxK7EDLBSX89r+Eu01WPjDakD 9qZt3Oww6QOIBsOybgbfebmmx6ZoCq+ qrujmnj2hnzmnw/nue/x2ugzcxcbr6ylg M/xR84VWMjcYNp0ukBCx8xz41WkgeTrkuL f+9essbbswwvfohxtfdrudiuf61jyfow1l xc2rwtkh3os94hclrcqumchthmfx3cntu hoaakjvk+vik0ygshwhsc9sftwhjy56skirj jltuyznq8ojmbt43i05cidb9xfz+cqorq rv5akgrm0vx1jlpr2isjyzx1j8dk8bz0xg /olass3fmtwq1g/6oy8g/pquxe2jdfvan3 =59zg -----END PGP MESSAGE----- Alice Eve

4 Sistema criptográfico

5 Principio de Kerckhoffs La efectividad del sistema no depende de la privacidad de su diseño. La clave debe ser fácil de recordar. Los criptogramas deberán dar resultados alfanuméricos. El sistema debe ser operable por una única persona. El sistema debe ser fácil de utilizar. Si el sistema no es teóricamente irrompible, al menos debe serlo en la práctica.

6 Tipos Conceptos generales Los sistemas criptográficos se diferencian por: El número de claves: Cifrado simétrico o asimétrico La forma de procesar datos: Algoritmo en flujo o en bloque Las operaciones involucradas: Sustitución, Transposición

7 Cifrado simétrico o asimétrico

8 Cifrado en flujo o en bloque

9 Sustitución, Transposición Figura: Cada símbolo del mensaje se sustituye por otro. Figura: Los símbolos que componen al mensaje se desordenan.

10 Cifrado simétrico

11 Cifrado de Cesar

12 Cifrado de Alberti

13 La idea de módulo

14 Conceptos generales Cifrado sime trico (te cnicas cla sicas) Cifrado asime trico La fuga de informacio n

15 Criptanálisis estadístico contra texto cifrado con Cesar

16 Cifrado de Vernam/One Time Pad Gilbert Vernam en Cifrado en flujo binario. Patentó la operación de sustitución XOR. En su forma original, el sistema de Vernam no era irrompible porque la clave se podía reutilizar. El sistema es seguro sí la clave es aleatoria y de un solo uso (one-time pad).

17 Cifrado de Vernam/One Time Pad: Funcionamento Ejemplo: m = Secreto, k = 1pQw3F 2 Para obtener el equivalente binario se utiliza un código binario alfanumérico: Se calcula: = El mensaje cifrado es c = RyNVDHQ Para el descifrado, el se aplica entre la clave y el texto cifrado.

18 Cifrado de Vernam/One Time Pad: Seguridad de la operación XOR La operación XOR se usa en sistemas de cifrado en flujo modernas.

19 Cifrado de Vernam/One Time Pad: Seguridad de la operación XOR Dado que en c = k m la clave es aleatoria: m p(m) k p(k) 1 0 p(0) p(1) m k m k p(m k) p(0) p(0) p(1) p(1) p(m k = 0) = 1 2 p(0) p(1) = 1 2 (p(0) + p(1)) = 1 2 p(m k = 1) = 1 2 p(0) p(1) = 1 2 (p(0) + p(1)) = 1 2 Dado que m = k = 256bits p(saber m a patir de c) =

20 Cifrado de Vernam/One Time Pad: El problema de la aleatoriedad Generadores aleatorios agrupan fuentes aleatorias. Generadores pseudoaleatorios siguen una serie de pasos buscando la aleatoriedad.

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22 Fundamentos Matemáticos: Potenciación, Radicación y Logaritmo La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a n. Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera: a 2 = a a... Ejemplo: 2 3 = 8 La radicación de orden n de un número a es un número b que es la base de una potenciación con el exponente n, tal que: b n = a. n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b se llama raíz enésima. La notación es: n a = b Ejemplo: 3 8 = 2 El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. La notación es log n a = b. Ejemplo: log 2 8 = 3

23 Fundamentos Matemáticos: División eucĺıdea y módulo La división eucĺıdea asocia un cociente q y un resto r, ambos números naturales, que verifican: a = b*q + r. q es el resultado de la división entera a div b, r es el residuo o módulo. La notación es: a r mód b o a mód b = r. Ejemplo 14 = div5 = 2 y 14 mód 5 = 4 o 14 4 mód 5. La operación módulo define un grupo finito (Z + n ). No existe una función inversa: 3 mód 2 = 1 5 mód 2 = 1 7 mód 2 = 1

24 Fundamentos Matemáticos: Logaritmo discreto Dada la ecuación a = b x mód n se plantea el logaritmo discreto como log b a x mód n. Por ejemplo log mód 11 ya que 2 4 = 16 5 mód 11. log mód 11 ya que 2 14 = mód 11. log mód 11 ya que 2 24 = mód

25 Fundamentos Matemáticos: numeros primos y factorizacion Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (por ejemplo un número) en forma de producto: a = b c d. b,c y d son los factores o divisores. La factorización de primos consiste en descomponer un número compuesto (no primo) en divisores primos. Por ejemplo 30 = 3*5*2. Primos relativos son números que tienen únicamente un divisor común: 1. La notación es MCD(a, b) = 1.

26 Fundamentos Matemáticos: Teorema y función de Euler La función de Euler calcula el número total de primos relativos en Z + n. ϕ(n) = {x x < n, MCD(x, n) = 1; x Z + }. La forma de calcular este número es ϕ(n) = n 1, si n es primo. ϕ(n) = (p kp ) (p 1 1) (p kp 2 1 kpm 1 2 ) (p 2 1) (pm ) (p m 1) si n es compuesto, p i cada uno de sus factores primos y k p1 los correspondientes exponentes. Ejemplo: ϕ(72) = ϕ( ) = (2 1) (3 1) = = 24 ϕ(n) = (p 1 1) (p 2 1) (p m 1), si n es compuesto y p i cada uno de sus factores primos con el exponente k pi = 1. Ejemplo: ϕ(77) = ϕ(11 7) = (11 1) (7 1) = 1 (11 1) 1 (7 1) = (11 1) (7 1) = 60 El uso de la función de Euler da seguridad por la dificultad de calcular ϕ(n) sin conocer a sus factores primos.

27 Fundamentos Matemáticos: Inversos modulares El multiplicador modular inverso de un entero n módulo p es un entero m tal que n 1 m(mód(p)) mn 1(mód(p)) nm pq = 1 El multiplicador modular inverso de n módulo p se puede obtener mediante el Algoritmo de Euclides expandido: 11 1 m(mód(47)) 11m 47q = 1 47 = 11(4) = 47 11(4) 11 = 3(3) = 11 3(3) 3 = 2(1) = 3 2(1) 1 = [47 11(4)] [11 3(3)] 1 = 47 11(5) + ([47 11(4)](3)) 1 = 47 11(5) + 47(3) 11(12) 1 = 47(4) 11(17) 1 = 11( 17) 47( 4) 17 mód (47) = 30 n 1 = 30

28 La seguridad del algoritmo RSA: factorización de enteros

29 El problema del intercambio de claves: secreto compartido

30 Intercambio de claves Diffie Hellman 3 2 = (3 3)y3 3 = (3 3 3) por lo tanto (3 2 ) 3 = (3 3) (3 3) (3 3) = 729 = (3 3 ) 2 = (3 3 3) (3 3 3)

31 Funcionamente del algoritmo RSA: Generación de claves 1 Se eligen los números primos secretos p y q. 2 Se calcula N = pq 3 Se calcula la función ϕ(n) = (p 1)(q 1). 4 Se genera un entero positivo primo e, tal que 1 < e < ϕ(n) y MCD(ϕ(N), e) = 1. 5 Se calcula d = e 1 mód (ϕ(n)). 6 La clave pública es k Pb = (e, N) y la privada k Pv = (d, N). 7 Se publica la clave k Pb = (e, N).

32 Funcionamente del algoritmo RSA: Cifrado Se utiliza k Pb = (e, N) = (45, 21331) Se realiza la potenciación c = m e mód (N) de la siguiente manera: 1 Se clacula el número de letras por bloque: log 27 N = logn log27 = log = 3, letras por bloque 2 Se calcula por bloques: SEC = = 20(27) 0 + 5(27) 1 + 3(27) 2 = 2342 RET =... 3 Se cifra por bloques: mód (21331) = Se manda c = (12635#...#...)

33 Funcionamente del algoritmo RSA: Descifrado Se utiliza k Pv = (d, N) = (933, 21331) Se realiza la potenciación m = c d mód (N) de la siguiente manera: 1 Se descifra: mód (21331) = Se recupera el mensaje: 2342 = 27(86) + 20; 86 = 27(3) + 5; 3 = 27(0) m = = SEC...

34 Vulnerabilidad Person in the Middle

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36 Diffie-Hellman n = , α = 69960, a = 63 y b = 702

37 Diffie-Hellman Mediante el algoritmo de Vernam, obtén el texto plano correspondiente al texto cifrado c ), mediante los parámetros públicos n = 82799, α b modn = y el parámetro privado a = 17

38 RSA Conceptos generales 1 p = 61, q = 53, e = 17, m = SECRETO 2 H(m) = 125

39 Ataques contra RSA