Criptografía de clave pública Sistemas basados en el problema de la mochila

Transcripción

1 de la la La Criptografía de clave pública Sistemas basados de la DSIC - UPV (DSIC - UPV) de la 1 / 21

2 Contenidos del tema de la la La 1 Características de los sistemas de clave pública Principios para el diseño de sistemas de clave públic 2 Un sistema de cifrado basado de la la La como función La 3 del Sistema de diseño del sistema del sistema de de M-H. Cálculo del mcd (DSIC - UPV) de la 2 / 21

3 de la la La 1 Características de los sistemas de clave pública Principios para el diseño de sistemas de clave públic 2 Un sistema de cifrado basado de la la La como función La 3 del Sistema de diseño del sistema del sistema de de M-H. Cálculo del mcd (DSIC - UPV) de la 3 / 21

4 Características de los sistemas de clave pública de la la La Sistemas simétricos La misma clave se utiliza para cifrar y descifrar La clave ha de distribuirse con la máxima seguridad Sistemas de clave pública (s) mediante una función con trampa Cada usuario posee un par de claves La clave pública (k c ) (cifrado) se distribuye La clave privada (k d ) constituye la trampa. Permite el descifrado de mensajes. Problema no abordable sin ella Dado un par de claves k c (pública) y k d (privada) se cumple que: x = d kd (e kc (x)) y si ambas funciones poseen el mismo dominio: x = e kc (d kd (x)) (DSIC - UPV) de la 4 / 21

5 Diseño de sistemas de clave pública de la la La 1 Escoger un problema difícil Π. bería ser intratable en el sentido de la teoría de la complejidad (no debe existir un algoritmo determinista capaz de resolverlo en tiempo polinómico) 2 Considerar un subproblema Π de Π resoluble en tiempo polinómico (lineal) 3 Modificar Π de forma que el resultado Π aparezca como Π 4 Publicar Π explicando el protocolo de cifrado. La transformación que permita recuperar Π a partir de Π permanecerá secreta 5 Construir el sistema de manera que el descifrado legítimo sea más sencillo que para el criptoanalista (DSIC - UPV) de la 5 / 21

6 de la la La 1 Características de los sistemas de clave pública Principios para el diseño de sistemas de clave públic 2 Un sistema de cifrado basado de la la La como función La 3 del Sistema de diseño del sistema del sistema de de M-H. Cálculo del mcd (DSIC - UPV) de la 6 / 21

7 la de la la La Dada una tupla de enteros positivos distintos M = (m 1,m 2,...,m n ) y un entero positivo k, Existe (x 1,x 2,...,x k ), con x i {0,1}, tal que i x im i = k? Como ejemplo considérese M = (43, 129, 215, 473, 903, 302, 561, 1165, 697, 1523) y k = La tupla (0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0) es solución ya que: = 3231 Algoritmo de fuerza bruta: Explorar los 2 n subconjuntos de M Con n = 10 es abordable Con n = 300 prohibitivo (DSIC - UPV) de la 7 / 21

8 asimético. Una función de la la La Dada una tupla M = (m 1,m 2,...,m n ) definimos la función finita: f M : 0,1,...,2 n 1 N donde f M (x) = MB x, denotando con B x la representación binaria de x y considerandola como un vector columna ejemplo: Consideremos la M = (43, 129, 215, 473, 903, 302, 561, 1165, 697, 1523) Supongamos que deseamos cifrar el caracter I (valor ascii 73) x = 73, (B 73 = ) por lo tanto: f M (73) = = 2557 Obtener x a partir de f M (x) equivale a resolver el problema de la. Asumiendo que el valor de n es suficientemente alto, f M (x) es una buena candidata a función (DSIC - UPV) de la 8 / 21

9 asimético basado de la de la la La Protocolo: 1 Codificar el mensaje en binario Si el alfabeto se limita al alfabeto en mayusculas más el símbolo de espaciado: 5 bits Si el alfabeto consta del alfabeto en mayusculas y minusculas y los 10 dígitos: 6 bits 2 Formar bloques de n bits (dimensión de la ). Completar en caso necesario 3 Cifrar cada bloque de n bits f M debe ser inyectiva Tomando M = (17,103,50,81,33) { S e( S ) = = 131 F e( F ) = = 131 Sin más, no es sencillo encontrar una solución ni demostrar que es única (DSIC - UPV) de la 9 / 21

10 asimético basado de la de la la La Mochila : M = (m 1,m 2,...,m n ) es si cuple que m i > m j para 2 i n 1 j i 1 Si M es y dado k, si k > m j (1 j n) entonces m j pertenece a la solución for i = n to 1 do if k m i then x i = 1 k = k m i else x i = 0 end if end for if k = 0 then (x 1, x 2,..., x n) es solución else no existe solución endif Para una, si existe solución esta es única Publicar como clave una no ofrece seguridad en el cifrado (DSIC - UPV) de la 10 / 21

11 de la la La 1 Características de los sistemas de clave pública Principios para el diseño de sistemas de clave públic 2 Un sistema de cifrado basado de la la La como función La 3 del Sistema de diseño del sistema del sistema de de M-H. Cálculo del mcd (DSIC - UPV) de la 11 / 21

12 Generación de claves de la la La 1 Escoger una tupla M = (m 1,m 2,...,m n ) y un entero s > j m j 2 Escoger un entero t Z s tal que mcd(t,s) = 1 3 Obtener B = (b 1,b 2,...,b n ) donde b i = tm i mod s con 1 i n 4 Clave pública: B; Clave Privada: (M, s, t) (DSIC - UPV) de la 12 / 21

13 de la la La 1 Tomar la clave pública del destinatario 2 Obtener el mensaje en binario y dividido en bloques de longitud n 3 Para cada bloque x = x 1,x 2,...,x n computar y = x i b i 1 i n 4 Enviar el resultado al destinatario (DSIC - UPV) de la 13 / 21

14 Descifrado de la la La 1 Para cada y recibido obtener k = t 1 y mod s 2 Resolver la instancia del problema de la (M,k) 3 Las secuencias binarias obtenidas constituyen el texto del mensaje (DSIC - UPV) de la 14 / 21

15 de la la La Dimensión: n 100 Elegir aleatoriamente el valor del módulo s en el intervalo [2 2n+1 + 1,2 2n+2 1] Los valores de m i en M (1 i n) deben escogerse aleatoriamente en el intervalo [(2 i 1 1)2 n + 1,2 i 1 2n] Factor multiplicador: escoger t aleatoriamente en el intervalo [2, s 2] (DSIC - UPV) de la 15 / 21

16 de la Por ejemplo, tomando n = 5, entonces s [2049, 4095]. Tomamos s = 4089 la La i=1 1 m1 32 m 1 = 25 i=2 33 m1 64 m 1 = 41 i=3 65 m1 128 m 1 = 105 i=4 129 m1 256 m 1 = 233 i=5 257 m1 512 m 1 = 489 Si se escoge t [2,4087] t = 11, entonces: B = (3241,572,2163, 1256,3531) (DSIC - UPV) de la 16 / 21

17 de la la La Un sistema de que utilice una de n = 100 elementos no es sensible a un ataque por fuerza bruta (un ordenador capaz de 10 6 operaciones por segundo tardaría 1046 años en probar todas las s s) El sistema de solo necesita n operaciones de suma, con lo que su velocidad es similar a sistemas de clave privada como el DES Se ha demostrado que, conociendo el valor del módulo s (secreto) puede criptoanalizarse (Shamir y Zippel) (DSIC - UPV) de la 17 / 21

18 del cálculo del mcd de la la La Fundamentos matemáticos: I.- d a y d b implica que x,y Z, se cumple que d xa+yb II.- a b implica que a b b = 0 por lo tanto, a b y b a implica que a = ±b III.- Teorema: mcd(a,b) es el menor entero estrictamente positivo del conjunto {xa + yb : x,y Z} (combinaciones lineales de a y b IV.- Corolario: d a y d b implica que d mcd(a,b) V.- Teorema: mcd(a, b) = mcd(b, a mod b) (DSIC - UPV) de la 18 / 21

19 del cálculo del mcd de la la La Algoritmo de Euclides: Euclides(a, b): if b = 0 then Return(a) else Return(Euclides(b, a mod b)) end if Coste del algoritmo: O(log b) Ejemplo: Euclides(30, 21) = Euclides(21, 9) = Euclides(9, 3) = Euclides(3,0) = 3 (DSIC - UPV) de la 19 / 21

20 del cálculo de inversos módulo n de la la La Para el cálculo de inversos del producto, es interesante obtener el mcd(a,b) como combinación lineal de a y b. Algoritmo extendido de Euclides: EuclidesExt(a, b): if b = 0 then Return(a, 1, 0) else (d,x,y ) = EuclidesExt(b,a mod b)) (d,x,y) = (d,y,x a/b y ) Return(d,x,y) end if Coste del algoritmo: O(log b) Si mcd(a,n) = 1 xa + yn = 1 xa 1 (mod n), por lo tanto a 1 x (mod n) (DSIC - UPV) de la 20 / 21

21 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y 8 5 (DSIC - UPV) de la 21 / 21

22 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (DSIC - UPV) de la 21 / 21

23 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (DSIC - UPV) de la 21 / 21

24 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (DSIC - UPV) de la 21 / 21

25 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (DSIC - UPV) de la 21 / 21

26 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (1,1,0) 1 0 (DSIC - UPV) de la 21 / 21

27 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

28 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (1,0,1) 2 1 (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

29 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (1, 0, 1) (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

30 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (1,1, 1) 3 2 (1, 0, 1) (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

31 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y (1, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

32 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y 8 5 (1, 1,2) 5 3 (1, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

33 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y 8 5 (1, 1, 2) (1, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (DSIC - UPV) de la 21 / 21

34 Ejemplo del cálculo de inversos módulo n de la la La Ejemplo: a b (d,x,y ) a/b d x y 8 5 (1, 1, 2) (1, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) Por lo que el algoritmo devuelve (1, 2,3), esto es, (mod 8) (DSIC - UPV) de la 21 / 21