Álgebra y Matemática Discreta

Transcripción

2 Unidades Un elemento a de Z n diremos que es una unidad cuando podamos encontrar b en Z n tal que ab 1(n), o lo que es lo mismo, ab = 1 en Z n.

3 Unidades Un elemento a de Z n diremos que es una unidad cuando podamos encontrar b en Z n tal que ab 1(n), o lo que es lo mismo, ab = 1 en Z n. Ejemplos de elementos que siempre son unidad son 1 y n 1 porque (n 1) 2 = 1+n(n 2) 1(n).

4 Unidades Un elemento a de Z n diremos que es una unidad cuando podamos encontrar b en Z n tal que ab 1(n), o lo que es lo mismo, ab = 1 en Z n. Ejemplos de elementos que siempre son unidad son 1 y n 1 porque (n 1) 2 = 1+n(n 2) 1(n). El Conjunto de unidades de Z n se denotará Z n.

5 Unidades Un elemento a de Z n diremos que es una unidad cuando podamos encontrar b en Z n tal que ab 1(n), o lo que es lo mismo, ab = 1 en Z n. Ejemplos de elementos que siempre son unidad son 1 y n 1 porque (n 1) 2 = 1+n(n 2) 1(n). El Conjunto de unidades de Z n se denotará Z n. El número de elementos de este conjunto se denotará ϕ(n) y se llama función ϕ de Euler.

6 Unidades de Z

7 Comentarios Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias.

8 Comentarios Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias. El producto de unidades es una unidad.

9 Comentarios Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias. El producto de unidades es una unidad. Si un elemento es una unidad, su inverso (es decir, el que multiplicado por él nos da 1), también es una unidad.

10 Comentarios Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias. El producto de unidades es una unidad. Si un elemento es una unidad, su inverso (es decir, el que multiplicado por él nos da 1), también es una unidad. En el caso anterior, si contamos las unidades vemos que salen 8.

11 El conjunto Z

12 Caracterización de las Unidades Un elemento a de Z n es una unidad si y sólo si a y n son coprimos.

13 Caracterización de las Unidades Un elemento a de Z n es una unidad si y sólo si a y n son coprimos. De hecho, la ecuación ab +nt = 1 nos proporciona el inverso de a, que es b.

14 Caracterización de las Unidades Un elemento a de Z n es una unidad si y sólo si a y n son coprimos. De hecho, la ecuación ab +nt = 1 nos proporciona el inverso de a, que es b. Es decir, que de nuevo el algoritmo de Euclides extendido nos da la solución a problema.

15 Caracterización de las Unidades Un elemento a de Z n es una unidad si y sólo si a y n son coprimos. De hecho, la ecuación ab +nt = 1 nos proporciona el inverso de a, que es b. Es decir, que de nuevo el algoritmo de Euclides extendido nos da la solución a problema. Este resultado nos permite calcular el valor de la función ϕ en el caso de que p sea primo, puesto que todos los elementos entre 1 y p 1 son coprimos con p, eso significa que ϕ(p) = p 1 si p es primo.

16 Fórmula General de ϕ La función ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas es que si a y b son números coprimos, entonces ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).

17 Fórmula General de ϕ La función ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas es que si a y b son números coprimos, entonces ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Eso aplicado al número 15 nos dice que ϕ(15) = ϕ(3 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3 1)(5 1) = 8.

18 Fórmula General de ϕ La función ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas es que si a y b son números coprimos, entonces ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Eso aplicado al número 15 nos dice que ϕ(15) = ϕ(3 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3 1)(5 1) = 8. Ese es el valor que precisamente nos saĺıa experimentalmente.

19 Fórmula General de ϕ La función ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas es que si a y b son números coprimos, entonces ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Eso aplicado al número 15 nos dice que ϕ(15) = ϕ(3 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3 1)(5 1) = 8. Ese es el valor que precisamente nos saĺıa experimentalmente. Para las potencias de los primos se tiene que ϕ(p α ) = p α 1 (p 1).

20 Fórmula General de ϕ La función ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas es que si a y b son números coprimos, entonces ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Eso aplicado al número 15 nos dice que ϕ(15) = ϕ(3 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3 1)(5 1) = 8. Ese es el valor que precisamente nos saĺıa experimentalmente. Para las potencias de los primos se tiene que ϕ(p α ) = p α 1 (p 1). Utilizando esto y la propiedad anterior, podemos saber ϕ para cualquier número, porque si tomamos la factorización de n en primos, tenemos que ϕ(n) = ϕ(p α 1 1 pα 2 2 pαt t ) = ϕ(p α 1 1 )ϕ(pα 2 2 ) ϕ(pαt t ) y aquí aplicamos la fórmula para las potencias de primos.

21 Divisores de Cero y Unidades Los divisores de cero y las unidades están muy relacionados.

22 Divisores de Cero y Unidades Los divisores de cero y las unidades están muy relacionados. Se puede demostrar que un elemento no nulo es divisor de cero si y solo si no es una unidad.

23 Divisores de Cero y Unidades Los divisores de cero y las unidades están muy relacionados. Se puede demostrar que un elemento no nulo es divisor de cero si y solo si no es una unidad. Es decir, que los divisores de cero son todos los elementos que no están en Z n, excepto el propio 0 que no se considera divisor de 0.

24 Exponenciación Modular Planteamiento A veces es necesario calcular potencias de números en aritmética modular con exponentes muy grandes.

25 Exponenciación Modular Planteamiento A veces es necesario calcular potencias de números en aritmética modular con exponentes muy grandes. Si tenemos que calcular b e (n), una forma de hacerlo es calcular el número entero b e y luego hacer la reducción módulo n.

26 Exponenciación Modular Planteamiento A veces es necesario calcular potencias de números en aritmética modular con exponentes muy grandes. Si tenemos que calcular b e (n), una forma de hacerlo es calcular el número entero b e y luego hacer la reducción módulo n. Esta forma es totalmente inviable si e es un número grande, puesto que b e puede ser un número enormemente grande.

27 Exponenciación Modular Planteamiento A veces es necesario calcular potencias de números en aritmética modular con exponentes muy grandes. Si tenemos que calcular b e (n), una forma de hacerlo es calcular el número entero b e y luego hacer la reducción módulo n. Esta forma es totalmente inviable si e es un número grande, puesto que b e puede ser un número enormemente grande. El problema se puede resolver de una forma mucho más sencilla.

28 Exponenciación Modular Resolución del Problema Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son sencillas de calcular, concretamente las de la forma b 2i (n).

29 Exponenciación Modular Resolución del Problema Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son sencillas de calcular, concretamente las de la forma b 2i (n). Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b 20 = b 1 = b.

30 Exponenciación Modular Resolución del Problema Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son sencillas de calcular, concretamente las de la forma b 2i (n). Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b 20 = b 1 = b. Si la tenemos calculada hasta el valor i, entonces el valor i +1 se calcula elevando al cuadrado la anterior (y haciendo la reducción módulo n ( correspondiente) porque b 2i) 2 = b 2 i b 2i = b 2i +2 i = b 2i+1.

31 Exponenciación Modular Resolución del Problema Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son sencillas de calcular, concretamente las de la forma b 2i (n). Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b 20 = b 1 = b. Si la tenemos calculada hasta el valor i, entonces el valor i +1 se calcula elevando al cuadrado la anterior (y haciendo la reducción módulo n ( correspondiente) porque b 2i) 2 = b 2 i b 2i = b 2i +2 i = b 2i+1. Una vez que tenemos calculadas módulo n estas potencias, utilizamos la representación binaria de e = e 0 +e e t2 t y deducimos que ( b e = b e 0+e e t2 t = b e0 (b 2 ) e1 b 2t) e t (n)

32 Exponenciación Modular Resolución del Problema Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son sencillas de calcular, concretamente las de la forma b 2i (n). Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b 20 = b 1 = b. Si la tenemos calculada hasta el valor i, entonces el valor i +1 se calcula elevando al cuadrado la anterior (y haciendo la reducción módulo n ( correspondiente) porque b 2i) 2 = b 2 i b 2i = b 2i +2 i = b 2i+1. Una vez que tenemos calculadas módulo n estas potencias, utilizamos la representación binaria de e = e 0 +e e t2 t y deducimos que ( b e = b e 0+e e t2 t = b e0 (b 2 ) e1 b 2t) e t (n) y esta es una operación que involucra a lo sumo t multiplicaciones.

33 Exponenciación Modular Ejemplo Sea b = 74, e = 53 y n = 81, vamos a calcular b e (n). e(div) e(bin) b b e acum La primera columna son las divisiones sucesivas que nos permiten escribir e en binario en la segunda columna. Luego tenemos en la columna b las potencias sucesivas b 2i y en la cuarta columna ( b 2i) e i que es el mismo número si el exponente es 1 o 1 si el exponente es 0. La última columna nos permite acumular el producto. El resultado es pues 23.

34 Exponenciación Modular Fórmula de Euler Fórmula de Euler Sea n un número entero positivo y b una unidad en Z n, entonces b ϕ(n) 1(n) Esta propiedad es interesante por varias razones.

35 Exponenciación Modular Fórmula de Euler Fórmula de Euler Sea n un número entero positivo y b una unidad en Z n, entonces b ϕ(n) 1(n) Esta propiedad es interesante por varias razones. Una de ellas es que nos permite calcular el inverso de cualquier número utilizando el algoritmo de exponenciación modular, concretamente b ϕ(n) 1 b = b ϕ(n) = 1 y por lo tanto b ϕ(n) 1 es el inverso de b módulo n.

36 Exponenciación Modular Fórmula de Euler Fórmula de Euler Sea n un número entero positivo y b una unidad en Z n, entonces b ϕ(n) 1(n) Esta propiedad es interesante por varias razones. Una de ellas es que nos permite calcular el inverso de cualquier número utilizando el algoritmo de exponenciación modular, concretamente b ϕ(n) 1 b = b ϕ(n) = 1 y por lo tanto b ϕ(n) 1 es el inverso de b módulo n. Normalmente es más sencillo el cálculo del inverso utilizando el algoritmo de Euclides extendido, pero esta es otra alternativa que podemos considerar.