Facultad de Contaduría y Administración

Transcripción

1 Facultad de Contaduría y Administración Matemáticas Financieras II Tema VI: Anualidades Diferidas Dr. José Alfonso Álvarez Terrazas

2 Objetivos Identificar las anualidades diferidas. Resolver problemas calculando el valor futuro, valor presente, tasa de interés, tiempo y rentas de las anualidades diferidas.

3 Anualidades Diferidas Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo no comienza sino hasta después de haber transcurrido cierto número de periodos de pago; este intervalo de aplazamiento puede estar dado en años, semestres, etc. Supongamos por ejemplo, que se difiere 6 años el pago de una anualidad cierta ordinaria; en este caso los pagos comenzarán al final del sexto periodo de la anualidad vencida:

4 Diagrama de tiempo de una anualidad diferida n Intervalo de aplazamiento Comienzo de plazo Plazo de la anualidad

5 Anualidades Diferidas Diferir se refiere a retardar, aplazar, posponer la ejecución de una cosa o una acción. Por lo tanto se puede concluir que, una anualidad es diferida cuando la serie de rentas o anualidades que la componen se realizan unos periodos de tiempo después del momento en que se calculan sus valores. Lo anterior se puede ilustrar con un diagrama P

6 Inicio y término de una anualidad El valor futuro de cualquier anualidades se ubica al final de la anualidad, o sea, si la anualidad es vencida, el monto se ubica en la última renta o anualidad, mientras que si la anualidad es anticipada, el monto se ubica un periodo después de la última renta F P

7 Inicio y término de una anualidad El valor presente de cualquier anualidad se ubica al comienzo de la anualidad, por lo tanto, si la anualidad es vencida, el valor presente se ubica un periodo antes de la primera renta, mientras que, si la anualidad es anticipada, dicho valor se ubica justo en la primera renta F P

8 Inicio y término de una anualidad NOTA Para resolver, tasa, tiempo y renta de una anualidad diferida con valor futuro. Se aplican las mismas fórmulas y procedimientos que se usan para resolver una anualidad vencida o anticipada, según sea el caso.

9 Tasas equivalentes Capitalización m Anual 1 Semestral 2 Cuatrimestral 3 Trimestral 4 Bimestral 6 Mensual 12 Quincenal 24 Semanal 52 Diario 365

10 Tasas equivalentes Convertir de tasa nominal (j) con capitalización (m) a tasa efectiva anual (i) i æ j ö ç è m ø = m Convertir tasa efectiva anual (i) a tasa nominal anual (j) con capitalización (m) j 1 ( m) é( 1+ i) - ù m ú û = 1 êë

11 Tasas equivalentes Convertir tasa efectiva anual (i) a tasa efectiva m (i) i 1 - ( 1 + ) 1 = i m Convertir tasa nominal (j)con capitalización (m 1 ) a tasa nominal (j) con j = capitalización (m 2 ) é êæ 1 ê ç + è ë j m 1 ö ø m 1 m 2 ù -1ú ú û ( m ) 2

12 Tasas equivalentes Convertir tasa efectiva No anual (m 1 ) a otra efectiva NO anual (m 2 ) i m = m ( 1+ i) Convertir de tasa nominal (j) con capitalización (m 1 ) a tasa efectiva m (m 2 ) i m j m = æ ç1 + è m 1 ö ø 1 2-1

13 Valor futuro de una anualidad diferida Para calcular el valor futuro de una anualidad diferida, ya sea vencida, o anticipada, bastará con aplicar la fórmula correspondiente de valor futuro sin modificarla. Anualidades vencidas Anualidades anticipadas F = A 1 + i ' 1 i F = A 1 + i ' 1 i 1 + i

14 Valor presente de una anualidad diferida Para calcular el valor presente de una anualidad diferida, ya sea vencida, o anticipada, se aplica la fórmula correspondiente de valor presente de la anualidad y el resultado obtenido se divide entre uno más la tasa, elevados al número de periodos de tiempo diferido. Anualidades vencidas Anualidades anticipadas P = A i +' i 1 + i, P = A i +' i 1 + i, 1 + i Donde; n = número de periodos de la anualidad t = número de periodos diferidos

15 Ejemplo 1 Una persona desea reunir cierta cantidad de dinero y para tal propósito decide depositar $ al final de cada mes durante diez meses, pero el primer depósito lo hará dentro de cuatro meses. Si le ofrecen una tasa de 18% anual con capitalización mensual, qué montologrará reunir? Datos: A = $ n = 10 meses j 12 = 0.18 capitalizable mensualmente t = 3 meses i./ = = efectiva mensual F = $ B = $7,491.90

16 Ejemplo 2 Una persona desea reunir cierta cantidad de dinero y para tal propósito decide depositar $ al inicio de cada mes durante diez meses, pero el primer depósito lo hará dentro de cuatro meses. Si le ofrecen una tasa de 18% anual con capitalización mensual, qué montologrará reunir? Datos: A = $ n = 10 meses j 12 = 0.18 capitalizable mensualmente t = 4 meses i./ = = efectiva mensual F = $ B = $7,604.28

17 Ejemplo 3 Una persona de 20 años desea invertir, desde que cumpla 30 años, una cantidad de $8, anuales al final de cada año. Qué cantidad habrá acumulado cuando cumpla 45 años, si el banco le otorga una tasa de interés efectiva del 12% anual? Datos: A = $8, anuales n = 16 años i 1 = 0.12 efectiva anual F = $8, G = $342,026.24

18 Ejemplo 4 Una persona de 20 años desea invertir, desde que cumpla 30 años, una cantidad de $8, anuales al principio de cada año. Qué cantidad habrá acumulado cuando cumpla 45 años, si el banco le otorga una tasa de interés efectiva del 12% anual? Datos: A = $8, anuales n = 15 años i 1 = 0.12 efectiva anual F = $8, I = $334,026.24

19 Ejemplo 5 Cuando cumpla 22 años un niño que hoy tiene diez deberá recibir la suma de $2, al final de cada trimestre durante 15 años. Si esta cantidad se invierte a medida que serecibe, de manera que produzca el 5% de interésanual convertible trimestralmente, qué cantidad tendrá este niño cuando cumpla 37 años? Datos: A = $2, trimestrales n = 15 años =(15)(4) + 1 = 61 trimestres j 4 = 0.05 capitalizable trimestralmente i J = = efectiva trimestral F = $2, G = $226,704.22

20 Ejemplo 6 Un señor desea que su hija de 15 años reciba desde que cumpla 18 años en forma semestral, una cantidad de $6, durante 5 años. Cuánto habrá acumulado la hija a los 23 años si decide invertirlos en un fondo que le proporciona el 18% anual convertible mensualmente? (anualidad anticipada) Datos: A = $6, semestrales n = 5 años =(5)(2) = 10 semestres j 12 = 0.18 capitalizable mensualmente i./ = / / 1 = efectiva semestral

21 Ejemplo 6. Continuación F t n n F = $6, B = $101,326.70

22 Ejemplo 7 Si desea reunir $ 25, para irse de vacaciones dentro de dos años y una caja de ahorros le ofrece una tasa efectiva anual de 7.83% efectiva anual y considerando que su primer depósito lo puede hacer hasta dentro de cinco meses, qué cantidad mensual tendrá que depositar? Datos: F = $25, i 1 = efectiva anual n = 2 años = 2 x 12 = 24 meses t = 5-1 = 4 meses i./ = / 1 = efectiva mensual

23 Ejemplo 7. Continuación Para el calculo de n se resto a los dos años, los cinco meses que se difirió el inicio las anualidades (24 4) = 20 Anualidad vencida F = é - Aê ë i ù ú û ( + i) n 1 1 A = ( F ) é ê ë ( i) ( 1+ ) n i ù ú -1û A = ( 25,000.00) é ê ë ( ) ( ) $ 20 ù ú -1û A = $1,176.83

24 Ejemplo 7. Continuación Anualidad anticipadas F ( ) n é + i -1ù = Aê ú 1 ë i û 1 ( + i ( ) ) F A = ( 1+ i) é ê ë ( i) n ( 1+ i) ù ú -1û A = ( $25,000.00) ( ) é ê ë ( ) ( ) 20 ù ú -1û A = $1,169.46

25 Ejemplo 8 Después de 5 años, y al final de cada año, pensamos invertir $10, Qué cantidad tendremos dentro de 20 años si la tasa de interés efectiva que nos otorgan es del 8% anual? Datos: A = $10, t = 5-1 = 4 años n = 20 años i 1 = 0.08 efectiva anual

26 Ejemplo 8. Continuación Diagrama de tiempo del monto de la anualidad diferida F = $10, I = $271,521.14

27 Valores de las anualidades diferidas Para el calculo de los valores de las anualidades diferidas no se requieren nuevas formulas. Se debe comprender la importancia de analizar los problemas, utilizando diagramas que permitan determinar cuidadosamente, el tiempo diferido y el tiempo de pago, para luego plantear las ecuaciones de equivalencias que conducen a la correcta solución. No es conveniente memorizar formulas o procedimientos ya que éstos resultan inútiles ante la gran variedad de problemas que suelen presentarse. Se debe desarrollar su propia imaginación y creatividad enel tratamientode los problemas.

28 Valor actual de las anualidades vencidas diferidas El valor presente de las anualidades ordinales coincide con la iniciación del tiempo de pago, en tanto que el valor actual de las anualidades diferidas se sitúan en el comienzo del tiempo diferido. En otras palabras, el valor de las anualidades diferidas se calcula a una fecha anterior de aquella a la cual se calcula el valor presente de las anualidades ordinarias. Para encontrar el valor actual de las anualidades diferidas, se puede calcular el valor presente como si se tratara de anualidades ordinarias, a la fecha en que se inicia el periodo de pago. Conocido ese valor, lo descontamos por el tiempo diferido, para regresarlo en el tiempo a la fecha de iniciación del periodo de aplazamiento.

29 Valor actual de las anualidades vencidas diferidas

30 Valor presente de anualidades diferidas a una tasa efectiva de interés El valor presente de una anualidad diferida se calcula a partir de las fórmulas de valor presente para anualidades vencidas o anticipadas (según sea el caso) y traídas al momento actual, es decir, descontadas por el intervalo de diferimiento t. Para mejor comprensión del concepto anterior se presentan los desarrollos de sus fórmulas. Supóngase que se tiene una anualidad vencida de una unidad de moneda pagadera durante n años, pero diferida t años; es decir, el primer pago se efectuará en el año t + 1 y el último en el año t + n

31 Diagrama de tiempo del valor presente de una anualidad diferida, vencida, pagadera durante n años Fecha de valuación 0 t t + 1 t + 2 t + n 1 t + n t n

32 Valor presente de una anualidad vencida Sea una anualidad vencida, diferida t periodos, de $A por periodo pagaderos durante n periodos, a la tasa de i por periodo. Mediante la elaboración de un diagrama, se tiene: P t t + 1 t + 2 t + n 1 t + n A A A A periodos Tiempo diferido Tiempo de anualidad

33 Valor presente de una anualidad vencida Al formar una ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal el final del periodo k, siendo P el valor presente en la fecha inicial, se tiene: Notación estándar P(F / P, i%, t) = A(P / A, i%, n)

34 Valor presente de una anualidad vencida Otro método para calcular el valor de las anualidades diferidas consiste en tratarlas como diferencia entre dos anualidades no diferidas, así:

35 Valor presente de una anualidad vencida El valor presente de I es P 1 = A(P / A, i%, k + n) El valor presente de II es P 2 = A(P / A, i%, k) El valor presente de III es P 3 = P 1 P 2 P3 = A(P / A, i%, k + n) A(P / A, i%, k) De donde, el valor presente de la anualidad diferida k es: P = A[(P / A, i%, k + n) (P / A, i%, k)]

36 Valor presente de una anualidad vencida Tenemos: (P / A, i%, n + t) = (P / A, i%, t) + (1 + i) -t (P / A, i%, n) Al sustituir en la formula P = A[(P / A, i%, t + n) (P / A, i%, t)] se tiene: P = A[(P / A, i%, t) + (1 + i)-t (P / A, i%, n) (P / A, i%, t)] P = A(1 + i) -t (P / A, i%, n) P = A(P / F, i%, t) (P / A, i%, n)

37 Ejemplo 9 Calcular el valor actual de una renta de $5, semestrales, si el primer pago debe recibirse dentro de 2 años, el último dentro de 6 años, si la tasa de interés es del 8% convertible semestralmente. Datos: A = $5, j 2 = 0.08 capitalizable semestralmente t = 4 semestres n = 12 semestres

38 Ejemplo 9. Continuación P` P Semestres A = $5,000 P = A[(P / A, i%, t + n) (P / A, i%, t) P = ($5,000.00)[ ] = ($5,000.00)( ) P = $33, Aplicando la formula: P = A(P / F, i%, t)(p / A, i%, n) P = ($5,000.00)( )( ) P = $33,049.91

39 Valor presente de una anualidad diferida durante t años, pagadera anualmente al comienzo de cada año, durante n años a una tasa efectiva de interés Supóngase que se tiene una anualidad anticipada de una unidad de moneda pagadera durante n años, pero diferida t años, es decir, el primer pago se efectuará en el año t y el último en el año t + n - 1:

40 Ejemplo 10 Una persona deposita $50, en una cuenta que paga una tasa mensual de 1.25% capitalizable mensualmente. Qué cantidad podrá después retirar durante 36 meses, considerando que el primer retiro lo hace dentro de cuatro meses, Datos: P = $50, i 12 = efectiva mensual n = 36 meses t = 4 meses

41 Ejemplo 10. Continuación Anualidad vencida A = $50, J MG = $1, Anualidad anticipada A = $50, J MG = $1,799.08

42 Ejemplo 11 Si una persona tiene hoy un depósito de $75, en una cuenta que paga una tasa efectiva de 1.5% mensual. Cuántos retiros de $6, podrá hacer, considerando que el primer retiro lo hará dentro de cuatro meses? Datos: P = $75, i 12 = efectiva mensual A = $6, t = 4 meses

43 Ejemplo 11. Continuación Anualidad vencida P = A i +O i 1 + i, +. n = ln 1 P 1 + i P +. i A ln 1 + i n = ln 1 $75, J $6, ln = meses

44 Ejemplo 11. Continuación Anualidad anticipada P = A i +O 1 + i i 1 + i P n = ln 1 P 1 + i P i A 1 + i ln 1 + i n = ln 1 $75, J $6, ln = meses

45 Ejemplo 12 El testamento del Sr. Reyes estipula, que el Asilo de Ancianos recibirá, después de transcurridos 10 años, una renta trimestral de $2, durante 20 años, a pagar al final de cada trimestre. Si el interés es del 4% capitalizable semestralmente, hállese el valor actual de este legado. Datos: A = $2,200 trimestrales t + 1 = 10 años = (10)(4) = 40 trimestres n = 20 años = 80 trimestres i J = j 2 = 0.04 capitalizable semestralmente / J 1 = efectiva trimestral P = $2, QB i JB +. = $218,308.95

46 Ejemplo 13 Una escuela adquiere un equipo de cómputo con un pago inicial de $30, y 7 mensualidades de $15, cada una, pagando la primera 4 meses después de la compra, Cuál es el precio del equipo, si se están cobrando intereses del 29.04% anual compuesto por meses? Datos: (Anualidad vencida) C = $30, n = 7 mensualidades A = $15, mensuales t = 4 meses j 12 = compuesto mensual i./ = = efectiva mensual

47 Ejemplo 13. Continuación Anualidad vencida $30, A = $15, P = $15, R J +. = $88, $30, = $118,918.56

48 Ejemplo 14 Una escuela adquiere un equipo de cómputo con un pago inicial de $30, y 7 mensualidades de $15, cada una, pagando la primera 4 meses después de la compra, Cuál es el precio del equipo, si se están cobrando intereses del 29.04% anual compuesto por meses? Datos: (Anualidad anticipada) C = $30, n = 7 mensualidades A = $15, mensuales t = 4 meses j = 29.04% compuesto mensual i Tasa efectiva mensual = =

49 Ejemplo 14. Continuación Anualidad anticipada $30, A = $15, P = ( 15,000.00) é 1- + ê ë -7 ( ) ù ú( ) ( ) û ( ) $ 4 = $88, , P = $118,918.56

50 Ejemplo 15 Calcular el valor actual de una renta semestral de $6, durante 7 años, si el primer pago se realiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral. Cuál es el valor actual de la anualidad anterior? Datos: A = $6, n = 7 años = 14 semestres t = 3 años = 6 semestres j 2 = 0.17 capitalizable semestralmente Tasa efectiva semestral i = = 0.085

51 Ejemplo 15. Continuación Como anualidad vencida F/P A/P P = ( A) ( 1 i) é 1- + ê ë i ( 1+ i) t -n ù ú û P = ( 6,000.00) ( ) é 1- + ê ë $ 5 ( ) -14 ù ú û = $31,962.47

52 Ejemplo 16 Qué renta semestral se recibirá durante 6 años, habiéndose invertido un capital de $120, con una tasa del 8% convertible semestralmente, si se desea recibir el primer pago dentro de 8 años? Datos: P = $120, n = 6 años = 12 semestres t = 16 semestres j 2 = 0.08 capitalizable semestral

53 Ejemplo 16. Continuación ( )( ) t P 1+ i ( i) ( ) n 1-1+ i A = - ( ) A ( )( ) 15 $120, ( 0.04) 1 ( ) = - ( ) A = $23,027.33

54 Ejemplo 17 Qué cantidad habrá que invertir para asegurar una renta de $150, al comienzo de cada año durante 5 años, debiéndose recibir el primer pago dentro de 7 años? Supóngase que el interés es del 6% capitalizable anualmente. Datos: A = $150, n = 5 años t = 7 años j 1 = 0.06 capitalizable anualmente

55 Ejemplo 17. Continuación P = ( A) ( 1 i) é 1- + ê ë i -n ( 1+ i) t ù ú û ( 1+ i) P = ( 150,000.00) ( ) é 1- + ê ë $ 7 ù ú û ( ) ( ) P = $445,432.54

56 Ejemplo 19 Una tienda comercial ofrece en venta una televisión a crédito, sin enganche, mediante el pago de doce mensualidades de $ c/u y el primer abono se paga tres meses después de la compra. Calcular el precio de contado, considerando una tasa de interés de 2.5 % efectiva mensual. Este problema se puede resolver como anualidad vencida o como anualidad anticipada. Datos: A = $ n = 12 mensualidades t = 3 meses i 12 = efectiva mensual

57 Ejemplo 19. Continuación. Como anualidad vencida diferida A = $ F / A P / A P = ( A) -n 1 - ( 1 i) ù P = ( ) é + ê ë i ( 1+ i) t ú û ( ) é 1- + ê ë $ 2 P = $4, ( ) -12 ù ú û

58 Ejemplo 19. Continuación Como anualidad anticipada diferida Datos: A = $ n = 12 mensualidades t = 3 meses i 12 = efectiva mensual P ( A) ( 1 i) é 1- + ê ë i -n = t ù ú û + ( 1+ i) 1 ( 1+ i) P = ( ) ( ) é 1- + ê ë $ 3 ù ú û ( ) ( ) = $4,247.12

59 Ejemplo 20 Una persona tiene hoy un depósito de $75, en una cuenta de ahorro, con los cuales desea hacer catorce retiros mensuales de $6,160.00, el primer retiro dentro de tres meses. Calcular la tasa efectiva anual que le deben pagar para lograr su objetivo. Datos: P = $75, A = $6, mensuales n = 14 meses t = 3 P A = $75, $6, = = i +O i 1 + i P i +.J i 1 + i M i +.J i 1 + i M +.

60 Ejemplo 20. Continuación Para i = 1% Para i = 2% J M +. = J M +. =

61 Ejemplo 20. Continuación Para i = 1.5% ( $75,000.00)( ) ( $6,160.00) 2 = é 1- + ê ë ( ) ù ú û =

62 Ejemplo 21 Si desea reunir $25, para irse de vacaciones dentro de dos años y una caja de ahorros le ofrece una tasa efectiva anual de 7.83% y considerando que su primer depósito lo puede hacer hasta dentro de cinco meses, que cantidad mensual tendrá que depositar? Datos: F = $25, i./ = / 1 = efectiva mensual n = 2.0 años i 1 = efectiva anual t = 5 meses A = $25, /B 1 = $1,176.81

63 Ejemplo 22 Una persona deposita $50, en una cuenta que paga una tasa mensual de 1.25% capitalizable mensualmente. Qué cantidad mensual podrá después recibir durante 36 meses, considerando que el primer retiro lo hace dentro de cuatro meses? Datos: P = $50, i 12 = efectiva mensual n = 36 meses t = 4 meses A = $50, J MG = $1,799.08

64 Ejemplo 22. Continuación Como anualidad anticipada A ( $50,000.00) ( ) é ê ë 4 ( ) ( ) ( ) = - ù ú û A = $1,799.08

65 Ejemplo 23 Si una persona tiene un depósito de $75, en una cuenta que paga una tasa efectiva de 1.5% mensual. Cuántos retiros mensuales de $6, podrá hacer, considerando que el primer retiro lo hará dentro de cuatro meses? Datos: P = $75, i 12 = efectiva mensual t = 4 meses

66 Ejemplo 23. Continuación n = t ( P)( 1 i) ( i) é + lnê1 - ë A - ln 1 ( + i) ù ú û 3 ( $75,000.00)( ) ( 0.015) é + lnê1 - ë $6, n = - ln 1 n = ( ) ù ú û

67 Ejemplo 24 Cuál es el valor actual diferido de 6 rentas mensuales, de $25, cada una, si se comienza a pagar al finalizar el quinto mes, a partir del día de hoy, y la tasa es del 24% convertible mensualmente? Datos: R = $25, j 12 = 0.24 convertible mensual n = 6 t = 5 i./ = = 0.02 efectiva mensual P = $25, G I+. = $129,371.41

68 Ejemplo 25 Una compañía adquirió unas minas en un lugar que no se podían explotar sino hasta que se construyera un ferrocarril que tardaría 6 años en terminarse. Se estima que las minas rendirán $1,000, anual durante 7 años, después de transcurridos los mismos, se habrá agotado el mineral, Hállese el monto que se espera obtener, si seconsidera una tasa del 40% efectiva anual. Datos: A = $1,000, t = 6 años n = 7 años i 1 = 0.40 efectiva anual F = $1,000, R = $23,853, Encuentre el valor actual de la producción con los datos del problema anterior P = $23,853, M = $300,528.31

69 Ejemplo 26 Se estima que los ingresos de un hotel que se esta construyendo y que quedará terminado dentro de año y medio serán en promedio de $1,200, mensuales durante 10 años. Encuentre el valor actual de esos ingresos, suponiendo una tasa del 35% capitalizable semestralmente. Datos: A = $1,200, t = 1.5 años = 30 meses n = 10 años = 120 meses i./ = j 2 = 0.35 capitalizable semestralmente /./ 1 = efectiva mensual

70 Ejemplo 26. Continuación P = $1,200, /B MB +. = $

71 Ejemplo 27 Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2,400, suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse. Datos: A = $2,400, t = 6 años n = 15 años i 1 = 0.08 efectiva anual

72 Ejemplo 27 En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos. VP = [1 - (1 + 0,08)-15 ] 0,08 VP = , ,85 (1 + 0,08)-6 = Respuesta.

73 Ejemplo 28 Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400, y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción. Datos: A = $400, t = 5 años n = 20 años i 1 = 0.06 efectiva anual

74 Ejemplo 29 Alguien deposita $100, en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2,500.00, a principio de cada mes. Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente? VF = (1 + 0,005)120 = , ,67 = [ (1 + 0,005)-n +1 ] / 0,005 n = 90,13 Respuesta = 7 años 7meses

75 Ejemplo 30 Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $ c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato [ ( )-7 ] (1+0,04)-4 / 0.04 = 119, ,71 = A [ (1 + 0,02)-23] / 0,02 A = 6, Respuesta anualidades trimestrales

76 Ejemplo 31

77 Ejemplo 31. Continuación

78 Formulario F = P 1 + i ' F = A 1 + i ' 1 i P = A i +' F = A 1 + i ' 1 i P = A i i +' i 1 + i 1 + i P = A i +' i 1 + i, i^_ = 1 + j^` m. i^_ = 1 + i^` j^_ = 1 + j^` m. ^` ^_ 1 ^` ^_ i ^` ^_ 1 m/ P = A i +' i 1 + i, +. j^_ = 1 + i^` ^` ^_ 1 m /

79 Bibliografía 1. pdf pdf