Espectroscopia: teoría. Espectrógrafos: componentes

Transcripción

1 Espectroscopia: teoría Referencias: Kitchin, C. R. 1984, Astrophysical Techniques (Adam Hilger Ltd.: Bristol, U.K.), Cáp.. 1.2, 2.4 y 4; también hay una edición del 2003 Gray, D. F. 1992, The Observation and Analysis of Stellar Photospheres (Cambridge University Press: Cambridge, U.K.), Cáp.. 3 Wheeler, C. C. 1973, en apéndice II del manual del Boller & Chivens del OAN ( bufadora.astrosen.unam.mx/ens/ Instrumentacion/manuales/boller/boller.pdf) 1 Espectrógrafos: componentes La gráfica indica los componentes mas importantes de un espectrógrafo. La rendija sirve para seleccionar el objeto (o parte de este) a observar. El colimador convierte el haz convergente del telescopio en un haz colimado (rayos paralelos). La rejilla dispersa la luz. La cámara enfoca el haz colimado proviniendo de la rejilla para formar la imagen del espectro. Gray

2 Tipos de espectrógrafos Basado en rejillas de difracción: Rendija larga Echelle (con o sin dispersor cruzado) Espectrógrafos integral de campo Basado en prismas/grismas Espectrógrafos multiobjetos para objetos débiles Interferómetros Fabry-Perot 3 Meta: Dispersar la luz La meta de un espectrógrafo es descomponer la luz en sus colores componentes. Para cumplir esta meta se requiere algún elemento dispersor que logra este efecto. Rejillas de difracción, prismas o etalones F-P son aparatos ópticos que descomponen la luz en sus colores componentes. El efecto físico por lo cual funcionan rejillas de difracción y etalones F-P es la interferencia. El efecto físico por lo cual funcionan prismas es la refracción. Un espectrógrafo puede tener más que un elemento dispersor. Típicamente, cuanto mayor es la dispersión de la luz, mayor es la escala del instrumento. 4

3 Refracción: prisma La refracción en vidrios depende de la longitud de onda, porque el índice de refracción es función de la longitud de onda. La Ley de Snell relaciona la velocidad de la luz con el índice de refracción en ambos medios. Al pasar un haz de luz por un vidrio no paralelo, habrá separación de los colores componentes. Se puede utilizar este efecto para construir un espectrógrafo (recordar Newton). Ley de Snell : sinθ 1 sinθ 2 = v 1 v 2 = n 1 n 2 Wikipedia: h+p://en.wikipedia.org/wiki/snell's_law 5 Dispersión: rejilla En un espectrógrafo, la luz es colimada, reflejada por la rejilla, enfocada por la cámara y detectada por el detector. Una rejilla de difracción tiene una serie de caras escalonadas. La rejilla es iluminada por luz colimada (todos los rayos son paralelos). Una rejilla de difracción produce interferencia debido a la interacción de la luz de las distintas caras de la rejilla. La interferencia se debe a que la luz de cada cara llega al detector con una fase distinta porque la longitud de las trayectorias difiere para cada cara. Esencialmente, las caras de la rejilla dividen el haz en una seria de subaperturas, la luz de las cuales interfiere al llegar al detector. Kitchin 2003, Astrophysical Techniques (IoP Publishing: London, UK) interferencia constructiva: mλ = constante 6

4 Lo más común: Rejillas Aunque existen excepciones, la mayoría de los espectrógrafos son basados en rejillas de difracción. Las rejillas son relativamente eficientes y es factible adaptarlas para muchas circunstancias. resolución espectral alta o baja resolución espectral a cualquier longitud de onda Las prismas se usan para baja resolución espectral o dispersión secundaria (grismas, espectrógrafos échelle). Los etalones Fabry-Perot usualmente no tienen una alta sensibilidad, aunque permiten una cobertura espacial bidimensional. 7 Interferencia: la razón que funcionan las rejillas Para empezar, suponemos una lente cubierta por una placa con varias subaperturas. Cada subapertura tiene un diámetro grande en comparación con la longitud de onda de la luz. Se ilumina este aparato con luz colimada. Se enfoca la luz de las dos subaperturas en un detector. Kitchin

5 Interferencia: detalle Consideramos una de las subaperturas. Cada punto emite ondas de luz, las cuales interfieren cuando se enfocan en la pantalla. Esta interferencia da origen a la difracción (límite de Fraunhofer). Esta derivación es la misma como para la PSF en una imagen. (Ver los apuntes sobre telescopios.) 9 La interferencia con una subapertura Kitchin 1984 I( θ) = I( 0) donde I 0 πd sinθ sin 2 λ 2 πd sinθ λ ( ) es la intensidad normalizada ( ) es la intensidad a un ángulo θ del normal de la apertura I θ θ es el ángulo con respecto al normal de la apertura d es la anchura de la apertura λ es la longitud de onda Una sola apertura produce un perfil en la pantalla como el indicado en la figura. Matemáticamente se describe con la ecuación arriba a la derecha. Esta es la misma difracción de Fraunhofer, la cual es responsable por definir la PSF en imagen directa (y la formula arriba es la misma). Notar la dependencia sobre (d/λ). Si cambia este cociente, se ensancha o adelgaza el perfil. 10

6 La interferencia con una subapertura En estas simulaciones, lo único que varía entre las curvas es la longitud de onda, como indicada. Se ven varios órdenes del espectro. Es evidente que los espectros de diferentes órdenes tienen resoluciones distintas. m=0 m=1 espectro espectro 11 y con muchas subaperturas El primer factor es la estructura debido a una subapertura. Determina el envolvente de la distribución. El segundo factor determina la interferencia entre las subaperturas. d/d 1, determina el número de máximos dentro de la envolvente. I( θ) = I( 0) donde I θ πdsinθ Nπd sinθ sin 2 sin 2 λ λ 2 πdsinθ πd sinθ λ sin 2 λ ( ) y I( 0) tienen sus significados anteriores D es el diámetro de la subapertura d es la separación entre las subaperturas N es el número de subaperturas ambas gráficas de Kitchin

7 La ecuación de las rejillas Se puede demostrar que el segundo factor (la interferencia) tiene máximos cuando πdsinθ = mπ o mλ = d sinθ λ donde llamamos m el orden del máximo. La ecuación anterior se conoce como LA ECUACIÓN DE LAS REJILLAS. La interferencia descompone la luz al producir máximos para distintas longitudes Kitchin 2003, Astrophysical Techniques (IoP Publishing: London, UK) de onda en distintas direcciones (m y d fijos). Notar que la separación angular entre los máximos es constante (cada π radianes). La ecuación de las rejillas implica que pueden coincidir distintas longitudes de onda si resultan de distintos órdenes espectrales. 13 Superposición de órdenes Kitchin 1984 espectro traslape de órdenes espectro Se puede apreciar de la ecuación de las rejillas que la posición del máximo depende de la longitud de onda. La gráfica considera una fuente que emite en dos longitudes de onda. Para órdenes altos, m grande, vemos que las posiciones de los máximos para ambas longitudes de onda coinciden. Si consideramos una fuente real, con emisión a todas longitudes de onda, esta superposición de los máximos ocurre para los máximos de todos los órdenes a cualquier longitud de onda. 14

8 Superposición de ordenes La gráfica muestra la coincidencia de longitudes de onda de distintos órdenes. No es necesario preocuparse de la superposición de órdenes si la atmósfera no transmite las longitudes de onda contaminantes (λ<3000å) el detector no tiene sensibilidad a ellas (p.ej., luz infrarroja con un CCD), En cualquier otro caso, es necesario quitar la luz contaminante con filtros. Wheeler Intervalo espectral libre A partir de la ecuación de las rejillas, se puede calcular el intervalo espectral entre dos longitudes de onda cuyos máximos en órdenes consecutivas coinciden: mλ = sinθ = constante, así que d mλ sin 1 1 ( m +1)λ = sin 1 2 d y entonces FSR = λ 1 λ 2 = λ 2 m donde FSR es el intervalo espectral libre. d El objetivo es evitar la superposición de órdenes espectrales. 16

9 La dispersión espectral De la ecuación de las rejillas, obtenemos la dispersión espectral, dλ dθ = d cosθ (unidades : longitud por radian) m lo cual disminuye conforme aumenta el orden espectral, m, es decir se separan más las longitudes de onda a mayor orden espectral. Notar que la resolución espectral es infinito para el orden m = 0. Es decir, para m = 0, es espectro es una imagen. sin 2 πdsinθ sin 2 Nπdsinθ Dado, λ I( θ) = I( 0) λ 2 πdsinθ λ sin 2 πdsinθ λ habrá mínimos cuando Nπdsinθ = m ʹ π con λ m ʹ = número entero. lo cual implica que rasgos espectrales son más nítidos/angostos cuanto mayor es el número de subaperturas, N. 17 Los órdenes cero y uno Constantine Emmanouilidi Este espectro del sol eclipsado (lente telefoto con rejilla de difracción) presenta los órdenes espectrales cero y uno en una sola imagen. La separación entre los espectros se debe al ángulo entre los órdenes 0 y 1 de la rejilla. Conforme a la dispersión esperada, el espectro resultante del orden 0 es una imagen de luz blanca. 18

10 Rejillas reales No se construyen espectrógrafos con lentes cubiertas con mayas de hoyos Además, la dispersión que hemos considerado envía la mayoría de la energía al orden espectral cero, donde no hay dispersión espectral El elemento dispersor más común en espectrógrafos son rejillas de difracción, que son básicamente espejos muy precisamente rayados. Estas rejillas reflejan la luz, resultando en un cambio en la ecuación de las rejillas. Además se construyen, con caras inclinadas, para que envían su energía en órdenes espectrales donde hay dispersión espectral. El ángulo de las caras con respecto a la normal de la rejilla es conocida como el ángulo de blaze. mλ = d( sinα + sinβ) α = ángulo de incidencia β = ángulo de difracción Si α y β son del mismo lado del normal, tienen el mismo signo. 19 El ángulo de blaze Se ven los patrones de interferencia para diferentes ángulos de blaze. Inicialmente, este ángulo es cero y vemos que la mayoría de la energía va al orden cero (imagen, sin dispersión espectral). A medida que aumenta el ángulo de blaze, la envolvente se corre a desviaciones angulares mayores, lo cual envía más energía a los órdenes mayores. En rejillas reales (la simulación es para una lente con cinco hoyos), este proceso permite optimizarlas para cierta dispersión espectral y para la longitud de onda deseada. El ángulo de blaze introduce un desfazamiento, θ! θ - φ, en la ecuación sin 2 πdsinθ sin 2 Nπd sinθ λ I( θ) = I( 0) λ 2 πdsinθ λ sin 2 πd sinθ λ 20

11 Rejillas comerciales Gray 1992 Los fabricantes de rejillas producen rejillas optimizadas para una cierta dispersión a la longitud de onda de blaze, λb. Para aprovechar de esta optimización, la rejilla tendrá que usarse de tal manera que α = β, lo que frecuentemente es incómodo (los haces incidente y difractado están en la misma dirección). Si α β, la longitud de onda de máxima eficiencia, λm, se corre al azul con respecto a la longitud de onda de blaze, λb, según λm cos(α β ) = λb m 21 Espectrógrafos: componentes La gráfica indica los componentes mas importantes de un espectrógrafo. La rendija sirve para seleccionar el objeto (o parte de este) a observar. El colimador convierte el haz convergente del telescopio en un haz colimado (rayos paralelos). La rejilla dispersa la luz. La cámara enfoca el haz colimado proviniendo de la rejilla para formar la imagen del espectro. Gray

12 Espectrógrafos: funcionamiento Se selecciona el objeto a observar posicionándolo en la rendija. Normalmente, la rendija esta aluminizada y hay una cámara que permite observar cuando el objeto desaparece en la rendija. Se ajusta la anchura de la rendija según el brillo del objeto y las necesidades del programa científico. La anchura de la rendija impactará en la resolución espectral que entregará el espectrógrafo. Se elige la rejilla en función de la resolución espectral requerida y la eficiencia de las rejillas disponibles. Se ajusta la inclinación de la rejilla para seleccionar el rango espectral necesario. Esto cambiará los ángulos de incidencia y difracción. Howell 2000, originalmente de Pogge Dispersión espectral La dispersión entregada por un espectrógrafo depende de la rejilla, del orden usado y de la distancia focal de la cámara del espectrógrafo. El detector impondrá un limite superior a la resolución, siendo el intervalo espectral visto por píxeles. La rendija degradará la resolución si la anchura de la rendija excede el intervalo espectral anterior, visto por píxeles. dispersión = D = dθ dλ donde 1 m = dcosθ m es el orden del espectro seleccionado d es el ancho de la subapertura θ es el ángulo de difracción D = 107 cosβ (Wheeler 1973) mnf donde D es la dispersión en A/mm F es la distancia focal de la cámara del espectrógrafo n es el número de líneas/mm de la rejilla β es el ángulo entre el haz difractado y el normal a la rejilla 1 24

13 Amplificación anamórfica Se gira la rejilla para seleccionar el intervalo espectral. El ángulo que se conserva es el ángulo entre el haz incidente y el haz difractado, φ = α - β en el diagrama a la izquierda. La rendija es perpendicular al haz incidente mientras que a cámara es perpendicular al haz difractado. Entonces, la anchura proyectada de la rendija es amplificada según M= Wheeler 1973 cos α cos β que se conoce como la amplificación anamórfica (M<1 o M>1 son posibles). Idealmente, se ajusta la anchura de la rendija para que proyecta sobre ~2.5 píxeles en el detector. 25 Preocupaciones con la rejilla Una rejilla puede ser usada en dos configuraciones: con el normal (GN) hacia el colimador (haz incidente) o hacia la cámara (haz difractado). Si el normal de la rejilla apunta hacia el colimador, es posible que los escalones de la rejilla bloquean/dispersan una parte de la luz incidente, lo que implicará una eficiencia menor. Por esta razón, la configuración más común es tener el normal hacia la cámara. Otro problema ocurre para ángulos grandes: la rejilla no intercepta todo el haz proviniendo del colimador y refleja menos luz a la cámara, lo que disminuye la eficiencia (a veces, fuertemente). Gray

14 Espectrógrafos échelle Para las rejillas en espectrógrafos échelle, el ángulo de blaze es muy grande el rayado es grueso (pocas líneas/ mm) Las rejillas concentran la luz en órdenes altas (m grande). La dispersión resultante es alta y el rango espectral libre pequeño, pero se requiere una manera de evitar la superposición de los órdenes. Normalmente, se separan los órdenes con otra rejilla o con una prisma. arriba: Kitchin 2003, Astrophysical Techniques (IoP Publishing: London, UK) abajo: Schroeder 1970, PASP, 82, 1253 mλ = d( sinα + sinβ) FSR = λ 2 m Å dλ dθ = dcosθ m Å/rad rejilla normal rejilla échelle 27 Resumen La ecuación de las rejillas: mλ = constante = d( sinα + sinβ) Å El intervalo espectral libre: FSR = λ 2 λ 1 = λ 2 m Å La dispersión espectral: D = 107 cosβ Å/mm mnf La amplificación anamórfica: cosα M = cos β m orden espectral α ángulo de incidencia β ángulo de difracción n número de líneas/mm F distancia focal de la cámara 28

15 Ejemplo: FSR, contaminación. Suponemos que observamos 6000Å en cuarto orden con un detector CCD. Cuáles otras longitudes de onda pueden contaminar? De la ecuación de las rejillas, tenemos mλ = 24000Å. Un detector CCD detecta fotones hasta 1.1µm mientras que la atmósfera bloca longitudes menores a aproximadamente 3000Å. Estas consideraciones definen el intervalo espectral que podría contaminar. Vemos que los órdenes 1 y 2 no contaminarán, porque se trataría de luz que no detecta el CCD (2.4 y 1.2 µm). Los órdenes 3 y 5 a 8 contaminarán, con luz en las longitudes de onda de 8000Å, 4800Å, 4000Å, 3429Å y 3000Å. Si uno quisiera observar 6000Å en cuarto orden, sería necesario filtrar esta luz. Dado la ecuación para el FSR, vemos que el intervalo espectral libre es de 1200Å (4800Å/4), centrado en una longitud de onda de 6000Å. 29 Ejemplo: Ángulo de blaze En el espectrógrafo Boller & Chivens en SPM, el ángulo entre el haz incidente y el haz difractado es de 49º. Un fabricante entrega una rejilla cuya longitud de onda de blaze es 1 µm en primer orden. Cuáles son las longitud de onda de blaze efectivas para esta rejilla en el espectrógrafo Boller & Chivens? Las longitudes de onda de blaze efectiva y del fabricante son relacionados ( ) por λ m λ b = cos α β m Entonces, las longitudes de onda de blaze efectivas son 6561Å y 3280Å en primer y segundo orden, respectivamente. Notar que el numerador de la ecuación es constante para un espectrógrafo. 30

16 Ejemplo: Dispersión espectral Espectrógrafo: rendija de 1", rejilla de 300 líneas/mm, primer orden, longitud focal de la cámara 14cm, 49º entre haces incidentes y difractados y un ángulo de difracción de -10º Telescopio: 2.1m, cociente focal f/7.5 CCD: pixeles, 13.5µm cuadrados La dispersión espectral es D=234.5 Å/mm y D=3.17Å/pixel. La teoría del muestreo entonces implica una resolución máxima de 2 pixeles, o una resolución de 6.34Å. Para calcular la amplificación anamórfica, hay que conocer los ángulos de incidencia y difracción. Sabemos que hay 49º entre los haces y que el haz de difracción tiene un ángulo de -10º. Entonces el haz incidente tiene un ángulo de 39º. La amplificación anamórfica es entonces de M=0.79. Si la rendija tiene un ancho de 1", esto equivale a 76.4µm en el plano focal (13.1"/mm escala de placa). Dada la amplificación anamórfica, esto traduce en 60.3 µm en el detector, equivalente a 4.5 pixeles, o 14.1Å. En este caso, la dispersión real que entregará el instrumento es dada por el ancho de la rendija. 31 Ejemplo: Dispersión espectral La gráfica presenta la anchura observa de una línea de emisión en espectros tomados con rendijas de distintas anchuras. Se ve el efecto de cambiar la anchura de la rendija. Suponiendo que la anchura observada se puede describir como la suma de dos perfiles gausianos, se puede derivar el perfil instrumental. El perfil instrumental es la imagen que produce el instrumento de una fuente no resuelta. 2 σ obs 2 σ rend = σ 2 2 int + σ rend = ( aw ) 2 σ obs = ancho observado σ int = perfil intrínseco σ rend = perfil de la rendija W = anchura de la rendija 32