UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA MECÁNICA- PRÁCTICA # 7: ONDAS MECÁNICAS Diego L. Aristizábal R. Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Mayo de Temas Introducción Fundamentos Clasificación de las ondas Vibración vs propagación: regla de oro Velocidad de propagación Superposición de ondas Ondas estacionarias y resonancia: la cuerda Ondas estacionarias y resonancia: los tubos sonoros Algo sobre las cualidades del sonido La voz humana Experimentos o Experimento 1: Ondas estacionarias en cuerdas. o Experimento 2: Ondas estacionarias en cuerdas medios de diferente densidado Experimento 3: Ondas estacionarias en columna de gas o Experimento 4: Medición de frecuencias de sonidos Introducción El modelo ondulatorio ocupa un lugar fundamental en la estructura conceptual de la física. La mayoría de las personas ha tenido experiencia con las ondas, por ejemplo, al arrojar una piedra en un tanque de agua: aquí se forman ondas como círculos que se abren desde el centro donde cayó la piedra. Estas ondas acuáticas constituyen un ejemplo de una amplia variedad de fenómenos físicos que presentan características análogas. El mundo está lleno de ondas: ondas sonoras, ondas que se propagan en una cuerda de una guitarra, ondas sísmicas que pueden transformarse en terremotos, ondas de choque que se producen cuando por ejemplo un avión supera la velocidad del sonido: todas estas ondas son posible debido a que los medios materiales son elásticos y pueden oscilar. A estas ondas se les denomina ONDAS MECÁNICAS. Hay otras ondas que su comportamiento ondulatorio no es percibido directamente con nuestros sentidos: la luz visible, las ondas de radio, las señales de TV, los rayos X entre otras del denominado espectro electromagnético. Estas ondas se deben a las oscilaciones de los campos eléctricos y magnéticos: se les denomina ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. En esta práctica se abordará el estudio experimental de las ondas mecánicas en una cuerda y en una columna de aire (sonido en el aire).

2 Fundamentos En el caso de una partícula oscilante un agente externo le cede energía sacándola de la posición de equilibrio estable, y al quedar bajo la acción de una fuerza recuperadora hace continuamente cambios entre su energía cinética y su energía potencial. En esta lección se considerará un medio material continuo a través del cual se propaga una perturbación. Este puede ser considerado como un conjunto de elementos materiales diferenciales ("partículas") conectados a través de fuerzas internas electromagnéticas (fuerzas moleculares). Un modelo de un sistema así podría ser un conjunto de "partículas" acopladas con resortes, Figura 1. Estos últimos hacen el papel de las fuerzas moleculares. En principio cada una de las "partículas" se encuentra en su propia posición de equilibrio estable, si no hay fuerza neta actuando sobre ellas ( F = 0, para cada "partícula"). Si una de ellas (un elemento diferencial del medio continuo) se pone a oscilar mediante una fuerza externa, las "partículas" contiguas reciben de ésta "idéntica orden" (por estar "comunicadas" o acopladas por medio de fuerzas moleculares). 2 Figura 1 Obviamente las partículas contiguas comienzan a oscilar con algún desfase con respecto a la "partícula" que "ordena" o que ha sufrido la acción de la fuerza externa, ya que el mensaje se demora un intervalo de tiempo en viajar de una a otra. A su vez estas "partículas" contiguas envían el mensaje a sus próximas vecinas y así sucesivamente todo el "sistema de partículas" (el medio continuo) entra a oscilar. En este modo de propagación cada "partícula" solo vibra alrededor de su posición de equilibrio mas no sufre un desplazamiento neto (cuando dejen de oscilar quedan nuevamente en su posición de equilibrio). Sin embargo se propaga energía de un oscilador a otro: en definitiva hay propagación de energía y no de materia. A este modo de propagación se le denomina movimiento ondulatorio (onda). En la Figura 1 se ilustra un conjunto partículas acopladas mediante débiles resortes. Un agente externo (mano) mantiene la primera partícula en oscilación. La vibración de ésta se comunica a las siguientes a través de los resortes. Las partículas no se mueven en conjunto según la dirección en que se propaga el "mensaje". Ellas solo oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se concluye que la energía que suministra el agente externo al sistema se propaga a través de éste sin desplazamiento neto de la materia. En un movimiento ondulatorio hay vibración de partículas (en el caso de ondas mecánicas) y hay propagación de energía. Simulación:

3 Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma onda viajera longitudinal. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 2. Se despliega la simulación de la Figura 3. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. 3 Figura 2 Figura 3 Clasificación de las ondas Las ondas se clasifican según el medio de propagación, según la forma de vibración y según la forma geométrica del frente de onda. Según el medio de propagación: En este caso se clasifican en mecánicas y electromagnéticas. Las primeras se propagan por medio de las vibraciones de la materia (medio continuo). Las segundas se propagan por medio de las vibraciones de los campos eléctrico y magnético.

4 Las ondas mecánicas necesitan de un medio material para poderse propagar. La energía se propaga produciendo la vibración de la materia, aprovechando la elasticidad de esta. En ella se propaga energía mecánica (cinética y potencial). Un medio material continuo es un medio elástico y una deformación en él produce tensiones elásticas que afectan a las regiones contiguas y también en ellas provoca perturbaciones. Como consecuencia de la inercia del medio material, esta perturbación viaja con una velocidad finita tanto más lenta cuanto mayor es la densidad del medio. Por otra parte, la velocidad de propagación es tanto mayor cuanto más grande es la tensión que produce una determinada deformación, es decir cuanto mayor sea el módulo de elasticidad del medio. Son ejemplos de este tipo de ondas: las ondas en una cuerda, la vibración de un edificio, las ondas en el agua, las ondas sísmicas, las ondas en un resorte, y un ejemplo por excelencia son las ondas sonoras (el sonido). El sonido corresponde a variaciones locales de la presión que viaja de un lugar a otro por lo que no se puede propagar en el vacío. 4 Las ondas electromagnéticas en cambio no necesitan de un medio material para propagarse (pueden propagarse en el vacío). En estas la vibración de los campos eléctrico y magnético permite su propagación debido a los fenómenos de inducción: la conversión instantánea de energía eléctrica en magnética y viceversa debido a la inducción mutua entre ambos campos, da como resultado la propagación de la energía electromagnética. La velocidad con que se propaga la onda electromagnética dependerá de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio. Son ejemplos, las ondas de radio y televisión, las microondas, los rayos X, y por supuesto, la luz o radiación visible. La luz es vibración de campos eléctricos y magnéticos por lo que se puede propagar en el vacío. En la Figura 4 se ilustra el denominado espectro electromagnético (el conjunto de ondas electromagnéticas conocidas hasta ahora y clasificadas con base en su frecuencia). Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al espectro electromagnético. Para acceder a ésta hacer clic con el mouse en el ítem señalados en la Figuras 5. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

5 5 Figura 5 Según la forma de vibración En este caso se clasifican en transversales y longitudinales. En las ondas transversales la dirección de vibración de las partículas o de los campos, es perpendicular a la dirección de propagación de la energía, Figura 6. Ejemplos de estas ondas son: las ondas en el agua, las ondas transversales en una cuerda y todas las ondas electromagnéticas. Figura 6 Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma onda viajera transversal. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 7. Se despliega la simulación de la Figura 8. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

6 6 Figura 7 Figura 8 En las ondas longitudinales la dirección de vibración de las partículas es la misma dirección de la propagación de la energía, Figura 1. Las ondas sonoras pertenecen a este grupo. Una cuestión interesante es que las ondas transversales no se pueden propagar al interior de los fluidos ya que éstos no soportan fuerzas de cizalladura o tangenciales (los fluidos son medios continuos que se caracterizan por no tener "algún grado" de rigidez y por tanto no pueden transmitir ondas elásticas transversales, sólo transmiten longitudinales). En esta afirmación no se tienen en cuenta las ondas que se pueden propagar a través de la superficie de los líquidos, como es el caso de las ondas que se observan cuando se deja caer una piedra en un lago cuya superficie inicialmente se encuentra en reposo; estas se deben a la elasticidad de la superficie de los líquidos (tensión superficial), pero no a la elasticidad de líquido en su forma volumétrica.

7 Analizar de nuevo la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Análisis de cronograma > Cronograma onda viajera longitudinal. Según la forma geométrica del frente de onda Los casos más importantes son las de forma plana, circular, cilíndrica, esférica. Por ejemplo cuando las ondas son generadas por fuentes puntuales, son de forma esférica en el caso tridimensional y circulares en el caso bidimensional. Estas a su vez se van aplanando cuando están lejos de la fuente. Las ondas luminosas emitidas por el Sol son fundamentalmente esféricas y cuando llegan a nuestro planeta se pueden considerar aproximadamente planas. 7 La principal consecuencia de la forma de la onda es su distribución energética. Las ondas planas mantienen su intensidad constante al propagarse, mientras que las ondas esféricas cumplen la denominada ley del inverso cuadrado: su intensidad decrece con el cuadrado de la distancia a la fuente puntual de emisión. Vibración vs propagación: regla de oro En una onda que se está propagando en un medio material (onda mecánica viajera) se presentan simultáneamente dos movimientos: las partículas del medio VIBRAN y la energía se PROPAGA. En este documento se considera que las partículas vibran con movimiento armónico simple (MAS) y que la energía se propaga con velocidad constante (velocidad de propagación V): este tipo de ondas se denominan ONDAS MECÁNICAS ARMÓNICAS. Vibración: Las partículas vibra con frecuencia f (se mide en Hz), periodo P (se mide en s en el SI) y amplitud A (se mide en m en el SI). En la Figura 9 se ilustra la representación de la elongación de una de las partículas (la que se encuentra en la posición x=a: la onda se propaga en dirección x) del medio a través del cual se propaga la onda en función del tiempo. Figura 9

8 Recordar que, P f = 1 [1] Propagación: La onda armónica también es periódica en el espacio. Al periodo espacial se le denomina longitud de onda (se mide en m en el SI). En la Figura 10 se ilustra la representación de la onda armónica en el espacio en un instante t=b (una foto). 8 Figura 10 En la Figura 11 se ilustra en diferentes instantes la propagación de la onda mientras el agente externo (una mano) oscila con MAS. Se observa que cuando el agente externo hace una oscilación completa, es decir cuando ha transcurrido un periodo temporal P, la onda se ha propagado un periodo espacial. Por tanto la longitud de onda, es la distancia que viaja la energía en un tiempo equivalente a un período. Esta última idea se puede plasmar en forma de ecuación así, λ = VP o como f P = 1, λ f = V [2] QUE ES LA ECUACIÓN DE ORO DE LAS ONDAS. La longitud de onda se mide en unidades de longitud

9 9 Figura 11 Es necesario tener claro que: La frecuencia f es impuesta por el agente externo que genera la onda. La velocidad de propagación V de la onda depende de la densidad del material y de sus propiedades elásticas: esto se analizará en la sección siguiente. La longitud de onda dependerá tanto de f como de V. Adicionalmente, a los máximos espaciales de una onda viajera se les denomina CRESTAS y a sus mínimos VALLES, Figura 12. Entre dos valles consecutivos hay una distancia equivalente a una longitud de onda,. También entre dos crestas consecutivas hay una distancia equivalente a una longitud de onda,.

10 10. Figura 12 Velocidad de propagación Como ya se dijo la velocidad de propagación V de la onda depende de la densidad del material y de sus propiedades elásticas. Para las ondas transversales en una cuerda se cumple, F V = [3] μ en donde F (N) es la tensión de la cuerda y µ su densidad lineal (kg/m). La onda sonora es una onda mecánica y se propaga en los fluidos de presión. La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un fluido cumple, B V = [4] ρ o en donde B (Pa=N/m 2 ) es el módulo de compresibilidad del fluido y o (kg/m 3 ) la densidad a la presión atmosférica (o mejor, en estado de equilibrio). El sonido (onda sonora audible) se encuentra en el rango de frecuencias entre 16 Hz y Hz. En el agua su velocidad es aproximadamente igual a 1 500m/s y en el aire depende de la temperatura a través de la expresión, V = 331,5 + 0,6t [5]

11 Normalmente se toma como valor para realizar cálculos estimativos 340 m/s. Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Tabla Periódica > Propiedades Mecánicas > Velocidad del sonido. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 13. Se despliega la simulación de la Figura 14. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. 11 Figura 13 Figura 14

12 Superposición de ondas Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en fase En la región de encuentro se refuerzan y da un pulso cuya amplitud es el doble; sin embargo una vez que la abandonan siguen propagándose intactos. Simulación: 12 Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual dirección de vibración) > Pulsos en fase. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 15. Se despliega la simulación de la Figura 16. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. Figura 15 Figura 16 Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en oposición En la región de encuentro se anulan; sin embargo una vez que la abandonan siguen propagándose intactos.

13 Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual dirección de vibración) > Pulsos en oposición. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 17. Se despliega la simulación de la Figura 18 En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. 13 Figura 17 Figura 18 Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, sentidos opuestos y que tienen igual frecuencia e igual amplitud El resultado es una onda armónica estacionaria. Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Superposición de ondas (igual dirección de vibración) > Igual frecuencia y amplitud pero sentido de propagación opuesto

14 (formación de onda estacionaria). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 19. Se despliega la simulación de la Figura 20. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. 14 Figura 19 Figura 20 En definitiva, una onda estacionaria se obtiene de superponer (en este caso la superposición es una interferencia) dos ondas viajeras que vibran en la misma dirección y que se propagan en sentidos opuestos pero con todos sus parámetros iguales (amplitud, número de onda, longitud de onda, frecuencia, período). En una onda estacionaria no hay propagación sólo hay vibración. En esta hay puntos que no vibran y se denominan NODOS (es donde hay interferencia destructiva) y puntos que vibran con máxima amplitud y se denominan VIENTRES (es donde hay interferencia constructiva). Es necesario aclarar que una onda viajera posee CRESTAS y VALLES y una onda estacionaria VIENTRES y NODOS.

15 Ondas estacionarias y resonancia: la cuerda Cuando el medio a través del cual se propaga la onda es limitado las ondas incidentes se reflejan en los extremos del medio y en su regreso ambas interfieren. Si esta interferencia se da bajo ciertas condiciones específicas que favorecen las denominadas frecuencias de resonancia (o frecuencias propias) la interferencia de esas dos ondas generan las denominadas ONDAS ESTACIONARIAS: es decir habrá presencia de los denominados NODOS (en donde se presenta interferencia destructiva de estas dos ondas) y de los denominados VIENTRES (en donde se presenta interferencia constructiva de estas dos ondas). Estas condiciones específicas dependen de la longitud del medio, de la velocidad de propagación y de las condiciones de frontera ( permanecen fijos los extremos del medio o sea, son NODOS- o están libres o sea son VIENTRES?). 15 Frecuencias de resonancia para condiciones de frontera NODO-NODO: En Figura 21 se analiza los primeros armónicos (o modos u ondas estacionarias) de una cuerda con NODOS en sus extremos. En los NODOS la cuerda no vibra y en los VIENTRES la cuerda vibra con máxima amplitud. En la figura la relación de la columna 3 se obtiene observando las gráficas de la columna 2. La relación de frecuencia de la columna 4 se obtiene a partir de la columna 3 sabiendo que λ f = V. Es decir, mediante n n observación de los perfiles de los armónicos se puede concluir que las frecuencias de resonancia de este sistema (y cualquier sistema con condiciones de frontera NODO-NODO) cumplen, nv f n =, n = 1,2,3,.. [6] 2L donde n son los números naturales, V la velocidad de propagación (en este caso de las ondas viajeras transversales en la cuerda que componen la onda estacionaria) y L la longitud de la cuerda. Se deben observar los siguientes detalles en el movimiento de los elementos de la cuerda cuando ésta vibra como onda estacionaria:

16 Entre NODO y NODO consecutivo (o entre VIENTRE y VIENTRE consecutivo) la separación es igual a λ n 2 siendo λ n la longitud de onda del modo (o armónico u onda estacionaria) respectivo. Entre NODO y VIENTRE consecutivo la separación es igual a modo respectivo. λ n 4, siendo λ n la longitud de onda del 16 Entre NODO y NODO consecutivo todos los elementos vibran en fase. En cambio a lados opuestos de un mismo NODO los elementos vibran en oposición (es decir desfasados π ). Por lo tanto en una onda estacionaria los elementos que vibran están en fase o están en oposición. Los elementos que están en los VIENTRES se mueven con mayor rapidez promedio. Hay instantes en que todos los pedacitos de la cuerda pasan simultáneamente por su posición de equilibrio. Es decir, hay instantes en que la cuerda está alineada. Todos los pedacitos de la cuerda (excepto las que están en los NODOS) vibran con la misma frecuencia f n y el mismo período P pero no con la misma amplitud. n Un análisis análogo al realizado aquí llevará a concluir que la expresión [6] también la cumplen los sistemas con condiciones de frontera VIENTRE-VIENTRE, es decir, libres en sus extremos. Frecuencias de resonancia para condiciones de frontera NODO-VIENTRE: Un análisis análogo al realizado para condición de frontera NODO-NODO llevará a concluir que las frecuencias de resonancia para sistemas con condiciones de frontera NODO-VIENTRE (o VIENTRE- NODO) cumplen, 2n - 1 V f n =, con n = 1,2,3,... [7] 4L Ondas estacionarias y resonancia: los tubos sonoros Se llaman tubos sonoros aquellos que contienen una columna gaseosa (usualmente es aire) capaz de producir sonido al ser convenientemente excitada. El cuerpo sonoro es la columna gaseosa, y no el tubo que la contiene; en efecto, éste tiene la importante función de definir la forma de aquella pero fuera de esto, influye relativamente poco sobre los fenómenos sonoros. Los tubos sonoros pueden ser cerrados, es decir, que poseen una sola abertura y tubos abiertos, que poseen dos o más (en éste módulo se analizarán de dos), Figura 18 (en la figura se ilustran en estado de equilibrio, es decir el gas interno se encuentra a la presión atmosférica, P, y por lo tanto las partículas del gas están uniformemente distribuidas, es decir, la densidad o o ρ del gas es igual en todas sus regiones). Un simple tubo como por ejemplo los ilustrados en la Figura 22, puede hacer las veces de tubo abierto o cerrado: si se deja destapado por ambos extremos es abierto y si se tapa en uno de sus extremos (podría ser con la mano) es cerrado.

17 17 Figura 22 Ondas de presión vs ondas de elongación vs ondas de densidad: ondas viajeras Supóngase que la columna de gas está inicialmente en equilibrio, es decir, todas sus regiones se encuentran P y por lo tanto la presión manométrica P es cero. Al generar una perturbación a la presión atmosférica o la presión del gas varía y se observa que también varía su densidad y obviamente las posiciones de las partículas (las elongaciones): si hay aumento de presión, es decir si hay una compresión, la presión manométrica se eleva por encima de la presión atmosférica, P>0, las partículas del gas se juntan más, por lo tanto disminuye la elongación de las partículas ( y ) y aumenta la densidad de éste ( ρ ), Figura 23 (ver zona de compresión); a su vez, si hay disminución de presión, es decir si hay dilatación (también denominado enrarecimiento), la presión manométrica pasa a estar por debajo de la presión atmosférica, P<0, las partículas del gas se separan más, por lo tanto aumenta la elongación de las partículas ( y ) y disminuye la densidad de éste ( ρ ), Figura 23 (ver zona de dilatación). Es decir, cuando el gas se perturba se propagan simultáneamente tres ondas: una onda de presión, una onda de densidad y una onda de elongación; la primera y la segunda están en fase y éstas tiene una diferencia de fase igual a π 2 (que es equivalente a un cuarto en la longitud de onda, λ ) respecto a la onda de elongación. Estas tres de ondas se propagan a la 4 misma velocidad, con la misma frecuencia (que obviamente depende es del agente perturbador) y por ende tienen la misma longitud de onda, Figura 23. En la práctica se prefiere hablar solo de la onda de presión por obvia razón: es más fácil de medir la presión en los gases.

18 18 Figura 23 Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas viajeras > Ondas viajeras longitudinales en gas. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 24. Se despliega la simulación de la Figura 25. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. Figura 24

19 19 Figura 25 Ondas de presión vs ondas de elongación: ondas estacionarias RESONANCIA- Las columnas de aire contenidas en los tubos sonoros se comportan, desde ciertos puntos de vista, como una cuerda. La onda que viaja en la columna de aire al llegar al final del tubo que la contiene se refleja y en su regreso se superpone con la que incide generándose una interferencia que da como resultado una onda estacionaria tal y como sucede en una cuerda: aparecen entonces NODOS y VIENTRES. Como la onda de presión y la de elongación están desfasadas en un equivalente a λ 4 se concluye que en lo que respecta a las ondas estacionarias de presión y de elongación, donde hay un NODO de una habrá un VIENTRE para la otra y viceversa. Por ejemplo, en el extremo abierto habrá un NODO de presión (esa región del gas está a la presión atmosférica) y un VIENTRE de elongación (aquí las partículas tienen su máxima elongación); en el extremo cerrado habrá un VIENTRE de presión (máxima presión) y un NODO de elongación (las partículas estarán aproximadamente en reposo). Para mayor claridad de esta exposición es necesario tener en cuenta que el agente que perturba la columna, es decir el parlante o pistón, se ubicará en un extremo abierto, Figura 26: en esta posición se considerará siempre un VIENTRE elongación (Ve) o NODO de presión (Np) aunque en la práctica no necesariamente quede exactamente allí, sin embargo es una buena estimación.

20 20 Figura 26 Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas estacionarias > Onda estacionaria longitudinal en columna de gas (tubo cerrado). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 27. Se despliega la simulación de la Figura 28. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. Figura 27

21 21 Figura 28 Simulación: Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Ondas > Ondas estacionarias > Onda estacionaria longitudinal en columna de gas (tubo abierto). Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 29. Se despliega la simulación de la Figura 30. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados. Figura 29

22 22 Figura 30 Las frecuencias de resonancia para los tubos sonoros también cumplen las ecuaciones [6] y [7]. Si el tubo es abierto en sus extremos tendrá como condiciones de frontera VIENTRE-VIENTRE en cuanto a elongación y NODO-NODO en cuanto a presión y por lo tanto cumple la ecuación [6]: nv f n =, n = 1,2,3,.. [6] 2L Si el tubo es cerrado en uno de sus extremos (por ejemplo en el extremo izquierdo abierto y en el extremo derecho cerrado) tendrá como condiciones de frontera VIENTRE-NODO en cuanto a elongación y NODO- VIENTRE en cuanto a presión y por lo tanto sigue la ecuación [7]: 2n - 1 V f n =, con n = 1,2,3,... [7] 4L En estas ecuaciones V es la velocidad del sonido en el gas (generalmente es aire) y L la longitud del tubo. Sobre la RESONANCIA Cuando los tubos están en resonancia con la fuente de vibración, se generan ondas estacionarias en él. La fuente de vibración se encuentran en una extremidad del tubo: la boca de una flauta o el escarpado de un saxofón accionado por una corriente de aire. Generalmente ésta fuente emite un sonido complejo en el cual se encuentra la frecuencia conveniente para producir el sistema de ondas estacionarias en un tubo dado. El tubo vibrante reacciona a esta excitación y las vibraciones que no corresponden a la resonancia son amortiguadas rápidamente. Algo sobre las cualidades del sonido El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la

23 intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadas con diferentes propiedades de las ondas sonoras. La intensidad La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil, está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acústica. La intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo por el medio como consecuencia de la propagación de la onda. Se define como la energía que atraviesa por segundo una superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a la potencia por unidad de superficie y se expresa en W.m El nivel de intensidad La ley de Weber-Fechner: Establece una relación cuantitativa entre la magnitud de un estímulo físico y como este es percibido. Fue propuesta en primer lugar por Ernst Heinrich Weber ( ), y elaborada hasta su forma actual por Gustav Theodor Fechner ( ). Ernst Heinrich Weber estableció su ley de la sensación (o Ley de Weber) en la que formulaba la relación matemática que existía entre la intensidad de un estímulo y la sensación producida por éste. Estos y otros descubrimientos llevaron a la convicción de que era posible explicar mediante principios físico-químicos todos los actos humanos. La ley expresa que la relación entre el estímulo y la percepción corresponde a una escala logarítmica: La sensación crece con el logaritmo del estímulo. Esta relación logarítmica significa que si un estímulo crece como una progresión geométrica (es decir multiplicada por un factor constante), la percepción evolucionará como una progresión aritmética (es decir con cantidades añadidas). Aplicada esta ley al sonido expresa que el nivel sonoro crece con el logaritmo de la intensidad, es decir cuando la intensidad crece en progresión geométrica, la sonoridad crece en progresión aritmética. A esta escala se le denomina nivel de intensidad y se expresa en db (decibels): I β = 10 log [6] I o donde I 0 es una intensidad de referencia. Para el caso del aire se ha tomado W.m -2. Un nivel de intensidad acústica de 10 decibels corresponde a una intensidad diez veces mayor que la intensidad correspondiente a un nivel de intensidad de cero decibels; un nivel de intensidad de 20 db representa una intensidad 100 veces mayor que la que corresponde a un nivel de 0 decibels y así sucesivamente. El nivel de intensidad mide la sensación y la intensidad mide el estímulo. En la tabla 1 se ilustra las equivalencias entre las intensidades y los niveles de intensidad de ondas sonoras en el aire y en la tabla 2 se ilustra ejemplos de ondas sonoras cotidianas y su valor aproximado de nivel de intensidad.

24 Tabla 1: Intensidad y Nivel de Intensidad I (W.m -2 ) (db) Tabla 2: Ejemplos cotidianos de niveles de intensidad sonora Ejemplo (db) Sonido más tenue que percibe el oído humano 0 Biblioteca silenciosa 30 Conversación normal, máquina de cocer, máquina de escribir 60 Cortadora de pasto, herramientas pesadas, tráfico pesado 90 Motosierra, Martillo neumático 100 Concierto de rock pesado, bocina de auto 115 Explosión, Motor de jet 140 Para recordar: Un aumento en 3 db en el nivel de intensidad del sonido equivale a duplicar la intensidad del sonido. El tono El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permitiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es la frecuencia fundamental. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias fundamentales bajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias fundamentales altas. Así el sonido más grave de una guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz. Junto con la frecuencia, en la percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo general que al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuencias bajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1000 y 3000 Hz el tono es relativamente independiente de la intensidad. El timbre El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumentos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a una persona

25 por su voz, que resulta característica de cada individuo. El timbre está relacionado con la complejidad de las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros; sólo los diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representados por una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico que resulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie de vibraciones armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas (teorema de Fourier), cada una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonos parciales es característica de cada instrumento y define su timbre: cada instrumento posee su propio espectro de Fourier. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se le acostumbra denominar también color del tono. 25 En resumen, el timbre depende del espectro de Fourier del instrumento. Varios instrumentos podrían tener la misma frecuencia fundamental (tono), Figura 31, pero se diferenciarán en sus armónicos superiores. La voz humana Figura 31: Igual tono pero diferente timbre El aparato fonatorio involucra una serie de órganos que comparte con el sistema respiratorio y el digestivo. Para lograr comprender el proceso de la fonación y la función que cumple cada parte del aparato fonatorio en dicho proceso, se lo puede dividir en tres partes: Sistema productor de energía: vías respiratorias inferiores, diafragma y músculos del tórax. Sistema generador de sonido: laringe y cuerdas vocales. Sistema de resonancia: faringe, cavidad bucal y cavidad nasal. En la Figura 32A se ilustra la anatomía del sistema fonatorio y en la Figura 32B un modelo físico del mismo. Sistema generador: las cuerdas vocales Las cuerdas vocales se abren y cierran rápidamente produciendo variaciones en la presión generando una onda de presión que constituye el sonido básico del habla (pero sin amplificación, es muy débil). Desde el punto de vista físico las cuerdas vocales no pueden asimilarse exactamente a un instrumento de cuerda ni a un instrumento de viento aunque en algunos aspectos se asemejan. Tiene masa y tensión como los primeros y actúan sobre una corriente de aire como los segundos: la frecuencia de vibración de las cuerdas vocales depende de la tensión muscular, de la masa de tejido involucrado en la vibración y del caudal del flujo de aire que proviene de los pulmones, componentes que varían voluntariamente durante el proceso de fonación.

26 Normalmente la frecuencia fundamental f 1 de vibración de las cuerdas vocales es del orden de 120 Hz para los hombres, 250 Hz para las mujeres. El espectro completo del sonido generado por está compuesto por la frecuencia fundamental f 1 y la serie de frecuencias correspondientes a los armónicos o múltiplo de f Figura 32 Sistema de resonancia: cavidad resonante (tubo sonoro) Por último el tracto vocal el cual está conformado por tres cavidades (la faringe, la nasal y la vocal) produce modulaciones en el sonido originado en las cuerdas vocales comportándose como un complejo sistema de resonancia que filtra y refuerza componentes del sonido original: el aire contenido en el tracto vocal recibe el tren de pulsos cuasi periódicos que se genera en la cuerdas vocales y comienza a vibrar en una forma bastante compleja según las frecuencias naturales de resonancia de las distintas cavidades que lo componen. Estas frecuencias corresponden aproximadamente a las de un tubo cerrado (el tracto se puede asimilar a un tubo de sección uniforme cerrado a nivel de la glotis y abierto en la boca), 2n-1 V f n =, n=1,2,3,... [7] 4L De esta forma el aparato fonador se comporta como un emisor de sonido compuesto por un sistema productor de sonido, cuerdas vocales, y un sistema de resonancia, el tracto vocal. Si se toma como valores normales para la longitud del tracto vocal 17 cm en los hombres y 13 cm en las mujeres las longitudes de onda para los primeros cuatro modos resonancia y sus correspondientes frecuencias (también denominadas frecuencias formantes) tomando como velocidad del sonido 349 m/s se ilustran en la Tabla 3. Tabla 3 Hombre Mujer Armónico 1 Armónico 2 Armónico 3 Armónico 4 Longitud de onda (cm) 68 22,67 13,66 9,71 Frecuencia (Hz) Longitud de onda (cm) 52 17,33 10,4 7,43 Frecuencia (Hz)

27 Resumiendo: El sistema generador (laringe + cuerdas vocales) produce un conjunto de vibraciones armónicas sonoras con una frecuencia fundamental que depende de la tensión y de la masa de las cuerdas vocales. En general esta frecuencia es menor en lo hombres que en las mujeres porque las cuerdas de los hombres tienen más masa: 120 Hz lo hombres y 250 Hz en las mujeres (estos valores son estimaciones). Los múltiplos de estas frecuencias corresponden a los armónicos sucesivos: hombres (240 Hz, 360 Hz, 480 Hz, ), mujeres (500 Hz, 750 Hz, Hz ). 27 Para el sistema de resonancia (faringe + cavidad bucal + cavidad nasal) las frecuencias propias corresponden aproximadamente a las de un tubo cerrado. En la tabla 3 se dan estimaciones de las frecuencias correspondientes a los cuatro primeros armónicos para un hombre y para una mujer (estas son estimaciones de las frecuencias formantes de los sonidos en el habla). Los sonidos cuyas frecuencias formantes están cercanas a frecuencias de sistema generador entran en resonancia y se amplifican. La voz del pato Donald Las frecuencias formantes de la cavidad de resonancia son proporcionales a la velocidad del sonido en la cavidad, ecuación [7]. Si se inhala helio las frecuencias formantes de la cavidad del habla se ven aumentadas en un factor de 2,9: la velocidad del sonido en el helio es 2,9 veces mayor que la velocidad del sonido en el aire. Así se genera una voz parecida a la del Pato Donald Experimentos Experimento 1: Ondas estacionarias en cuerdas Objetivo general Estudiar las ondas transversales estacionarias en una cuerda tensa. Objetivos específicos Verificar que para pequeñas amplitudes de vibración la velocidad de propagación V de las ondas transversales en una cuerda tensa cumple que: F V = [3] μ donde F corresponde a la tensión en la cuerda medida en Newton (N) y µ a su densidad lineal de masa medida en kg.m -1

28 Estudiar el fenómeno de resonancia Elaborar e interpretar gráficas experimentales. Fundamento teórico Linealización Regresión lineal Ondas estacionarias Resonancia Modos normales de oscilación en una cuerda 28 Procedimiento Realizar el montaje de la Figura 33. La cuerda se tensiona atando a uno de sus extremos una masa de unos 100 g; el otro extremo está atado al parlante. El parlante se hace oscilar mediante una señal armónica obtenida del celular (Generador de señales de PhysicsSensor). Para obtener la señal con buena potencia se acopla el celular a un amplificador. Figura 33 Empezar a variar la frecuencia a partir de unos 10 Hz hasta que la cuerda oscile en su primer armónico. Empezar a llenar la tabla 4. Tabla 4 n (número del modo) f n (frecuencia en Hz) Continuar variando la frecuencia hasta obtener el segundo armónico. Anotar en la tabla 4. Continuar variando la frecuencia hasta obtener hasta el armónico 5. Anotar en la tabla 4.

29 Graficar f n vs n. Según el análisis teórico que se realizó en este módulo las frecuencias propias de este sistema están dadas por la ecuación [6], nv f n =, n = 1,2,3,.. [6] 2L Los resultados verifican esta ecuación? 29 Observar que la gráfica f n vs n teóricamente debe dar una recta de pendiente igual a V/2L. Medir la longitud L efectiva de la cuerda que oscila (distancia medida desde el eje donde se amarra la cuerda al parlante hasta la polea, ver Figura 33). De la pendiente de la recta obtener el valor de la velocidad de propagación V de las ondas transversales en la cuerda. Medir la densidad lineal de masa de la cuerda ( masa μ= ). longitud Usando el valor de la tensión de la cuerda (en N) y su densidad lineal (en kg/m) calcular mediante la expresión [3] el valor de la velocidad V. Comparar este valor con el obtenido de la pendiente de la gráfica. Uso de un estroboscopio Poner a oscilar la cuerda en alguno de sus armónicos y observar a través de un estroboscopio manual, Figura 34. Hacer girar el estroboscopio con una velocidad angular que permita ver la oscilación de la cuerda en cámara lenta. Figura 34 Experimento 2: Ondas estacionarias en cuerdas -medios de diferente densidad- Objetivo general Estudiar las ondas transversales estacionarias en una cuerda tensa.

30 Objetivos específicos Verificar que la longitud de onda depende de la densidad del medio. Estudiar el fenómeno de resonancia. Fundamento teórico Ondas estacionarias Resonancia Modos normales de oscilación en una cuerda 30 Procedimiento Realizar el montaje de la Figura 35. Se trata de una cuerda con dos tramos de diferente densidad lineal de masa que se tensiona atando a uno de sus extremos una masa de unos 100 g; el otro extremo está atado al parlante. El parlante se hace oscilar mediante una señal armónica obtenida del celular (Generador de señales de PhysicsSensor). Para obtener la señal con buena potencia se acopla el celular a un amplificador. Figura 35 Poner a oscilar la cuerda en alguno de sus armónicos y observar a través de un estroboscopio manual, Figura 34. Hacer girar el estroboscopio con una velocidad angular que permita ver la oscilación de la cuerda en cámara lenta. Empezar a variar la frecuencia a partir de unos 10 Hz hasta que se obtenga una resonancia. Observar que claramente la longitud de onda es mayor en el tramo de menor densidad lineal.

31 Experimento 3: Ondas estacionarias en columna de gas Objetivo general Medir la velocidad del sonido en el aire. Objetivos específicos Estudiar las ondas sonoras estacionarias en una columna de aire. Estudiar el fenómeno de resonancia. Reportar datos experimentales. 31 Fundamento teórico Ondas estacionarias Resonancia Modos normales de oscilación en una columna de aire Procedimiento Medir la temperatura del medio ambiente y determinar mediante la ecuación [5] el valor que se tomará como convencionalmente verdadero para la medida de la velocidad del sonido en el aire. Realizar el montaje de la Figura 36. Se trata de un tubo cerrado al cual se le puede variar la longitud de la columna de aire a través del movimiento de un pistón. La cabeza izquierda del tubo, Figura 36, posee un parlante y un micrófono, amos conectados a un celular. Se genera un sonido de unos 2000 Hz mediante una señal armónica obtenida del celular (Generador de señales de PhysicsSensor). Luego se activa el Sonómetro de PhysicsSensor para medir el nivel de intensidad del sonido. Figura 36 Mover lentamente el pistón alargando la columna de aire dentro del tubo. Con ayuda del instrumento virtual Sonómetro de PhysicsSensor determinar la posición de cinco máximos consecutivos en el sonido (longitudes de resonancia) a medida que se desplaza el pistón dentro del tubo y consignarlas en la Tabla 5.

32 Tabla Posición de máximos Sabiendo que entre dos máximos (vientres) consecutivos hay media longitud de onda, calcular la longitud de onda promedio empelando los datos de la tabla Como λf = V obtener el valor de la velocidad del sonido. Comparar el resultado con el obtenido usando la ecuación [5]. Experimento 4: Medición de frecuencias de sonidos Objetivo general Medir la frecuencia correspondiente al tono de un sonido. Objetivos específicos Estudiar el tono del sonido. Medir las frecuencias de los tonos de mujeres y hombres. Fundamento teórico Ondas sonoras Procedimiento Activar el Sonoscopio de PhysicsSensor del celular en su modo 3. Golpear el diapasón, Figura 37 y detectar su sonograma con el sonoscopio, Figura 38. Medir su periodo y de este obtener su frecuencia. Generar un sonido con la voz de una mujer y luego de un hombre (por ejemplo, laaaaaaaaaaa ), Figura 39. Para cada caso medir su periodo, Figura 40, y de este obtener su frecuencia. Observar que para el hombre la frecuencia está entre 100 y 150 Hz y para la mujer entre 200 y 250 Hz (esto es una estimación).

33 33 Figura 37 Figura 38

34 34 Figura 39 Figura 40 FIN.