Repaso de lógica, lógica modal y lógica temporal

Transcripción

1 , lógica modal y lógica temporal 1 Sergio Mera 1 1 FormaLex, Departamento de Computación, FCEyN, Universidad de Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina Introducción al Análisis Formal de Normas Legales, segundo cuatrimestre de 2014

2 Parte I - Lógica

3 (3) La Lógica? Solemos hablar de La Lógica. En general nos referimos a lógica de primer orden (también conocida como PO o FOL). x.madruga(x) y.dios(y) ayuda(y, x) Aunque también hemos escuchado hablar de lógica proposicional. comerchicle cruzarlacalle Podemos pensar que PROP es una lógica que no permite cuantificar, mientras que PO ya permite hablar de conjuntos de individuos. Cuántas lógicas hay entonces? En qué se diferencian?

4 (4) Qué es una lógica? La definición más simple es que una lógica es un conjunto de fórmulas. Pero entonces... Qué es una fórmula? Cómo construimos conjuntos de esas cosas? Para definir qué es una fórmula necesitamos entender primero qué es un lenguaje.

5 (5) Qué es un lenguaje? Podríamos pensar que una vez fijado el alfabeto, cualquier secuencia de los símbolos del alfabeto es una palabra válida de un lenguaje. Sin embargo... perro dog = = 6 Entonces, un lenguaje es un conjunto de palabras que se puede escribir con el alfabeto dado. Tenemos dos formas de definir ese conjunto: Por enumeración: dando el Diccionario de la Real Academia de Nuestro Lenguaje, que contenga a todas las palabras. Mediante reglas: damos una serie de reglas que permitan construir todas las combinaciones posibles.

6 (6) Un ejemplo Un ejemplo: el lenguaje de los palitos llamado P. Regla 1: 0 pertenece a P. Regla 2: I pertenece a P. Regla 3: si α es una expresión de P que sólo contiene palitos, entonces αi también pertenece a P. Regla 4: si α y β son dos expresiones de P que sólo contienen palitos o 0, entonces α β también está en P. Notemos que en el lenguaje P hay fórmulas que tienen más sentido que otras. Fórmulas que nos gustaría pensar como verdaderas y otras como fórmulas falsas. Notemos que verdadero y falso es otro nivel de corrección, por encima de bien escrito. Por ejemplo, 0III II 0 no es ni verdadero ni falso, simplemente no pertenece a P.

7 (7) Identificando lo verdadero Los lenguajes lógicos se construyen para tener una forma rigurosa de razonar. Por ende, nos interesa tener una forma de caracterizar a los razonamientos válidos y a los inválidos. Es ahí donde surge la noción de axioma, regla de inferencia y teorema. Los teoremas generalmente son aquellas fórmulas de lenguaje que queremos caracterizar como verdaderas. La definición formal es que los axiomas ya son teoremas, y que las reglas de inferencia permiten construir teoremas a partir de otros. Ejemplo en P: AX1: 0 0 AX2: I I INF: ϕ ψ entonces I ϕ I ψ

8 (8) Identificando lo verdadero (cont.) Ejemplo en PO: PRED1: ( x.ϕ(x)) ϕ(t) PRED2: ϕ(t) ( x.ϕ(x)) PRED3: ( x.(ψ ϕ(x))) (ψ x.ϕ(x)) PRED4: ( x.(ϕ(x) ψ)) ( x.ϕ(x) ψ) GEN: ϕ entonces x.ϕ

9 (9) Identificando lo verdadero (cont.) IMPORTANTE: La lógica sólo nos permite identificar teoremas. La carga de verdadero, la ponemos nosotros. Por ejemplo, si P tuviera como regla: INF: ϕ ψ entonces I ϕ II ψ La expresión I II sería un teorema por más que a nosotros intuitivamente nos parezca falsa. Es decir, los teoremas son puramente formales, sin significado alguno. Y eso es razonable, porque hasta ahora vimos la parte sintáctica de las lógicas. Para construir lógicas donde los teoremas coincidan con nuestra noción de verdad hay que empezar a hablar de semántica.

10 (10) Semántica Para darle sentido a las fórmulas hay que empezar a hablar de modelos. Un modelo es un objeto matemático, típicamente un conjunto de elementos y de relaciones entre ellos (detalle formal). Por ejemplo, en el caso de P, podríamos asignarle como modelo el conjunto de los números naturales y al símbolo la relación de igualdad entre números naturales. Llamémoslo (IN, =). En ese modelo todos nuestros teoremas son válidos. Ahora, si tomamos como modelo a (IN, <), dejan de serlo. Lo interesante es la noción de satisfacibilidad.

11 (11) Satisfacibilidad Una fórmula ϕ es satisfacible en un modelo M (escrito M = ϕ), si una vez interpretada es verdadera en M. Ejemplo: En (IN, =), la fórmula II II se interpreta como 2 = 2, que es verdadera, y por ende (IN, =) = II II. En (IN, <), la misma fórmula se interpreta como 2 < 2, que es falsa y por ende (IN, <) = II II. Una fórmula ϕ es satisfacible si existe un modelo M tal que M = ϕ. Es insatisfacible cuando no existe ningún modelo que la satisfaga. Una fórmula es válida cuando es verdadera en todo modelo. Una lógica es correcta si todos sus teoremas son válidos. Una lógica es completa si todas sus fórmulas válidas son teoremas.

12 (12) Satisfacibilidad (cont.) IMPORTANTE: dada una fórmula ϕ y una clase de modelos, nos suele interesar saber: Es satisfactible? x.pelado(x) Es satisfactible, porque hay modelos en los que es cierta. Ie, esta sala. Es valida? x.pelado(x) pelado(x) Es válida, porque en cualquier modelo una propiedad booleana es cierta o no para un elemento dado. Es insatisfactible? x.pelado(x) pelado(x) Es insatisfactible, porque en ningún modelo una propiedad booleana puede ser cierta y falsa a la vez.

13 (13) Satisfacibilidad (cont.) Una fórmula es válida cuando es verdadera en todo modelo. Una lógica es correcta si todos sus teoremas son válidos. Una lógica es completa si todas sus fórmulas válidas son teoremas. Por ende, si una lógica es correcta y completa, aquéllo que es deducible mediante los axiomas es todo lo que es verdadero en todos sus modelos......y si algo es verdadero en todos sus modelos, entonces va a poder demostrarse. PROP y PO son correctas y completas, pero no todas las lógicas lo son. Ahora bien, si tenemos una lógica correcta y completa, qué tan fácil es darse cuenta si algo es verdad o no?

14 (14) Clase de complejidad El estudio de algoritmos es un área muy rica con resultados muy interesantes. Por ejemplo, nos permite saber que ciertos algoritmos son mejores que otros. Pero también que para ciertos tipos de problema, aún el mejor algoritmo va a requerir como mínimo cierta cantidad de pasos. Más aún, también sabemos que para ciertos problemas no existe algoritmo que nos de una respuesta en una cantidad finita de pasos. Esos problemas se llaman indecidibles. El problema de decidir la satisfacibilidad de una fórmula de PROP se puede hacer en una cantidad de pasos exponencial (algo así como k n ). La satisfacibilidad de PO es indecidible.

15 (15) Clase de complejidad (cont.) Entendamos bien: Para casos puntuales sí es decidible (hasta 2 variables, por ejemplo). Lo que nos dice el resultado es que no existe ni existirá ningún algoritmo que pueda tomar como entrada una fórmula arbitraria de PO y que luego de una cantidad finita de tiempo pueda decirnos si es satisfactible o no. Sí existen algoritmos que a veces responden y a veces se cuelgan (no son muy útiles). Sí existen algoritmos con respuestas probabiĺısticas.

16 (16) Balanceando Repasemos: PROP es menos poderosa que PO, pero es decidible. PO es mucho más poderosa que PROP, pero es indecidible. En general, el trabajo en lógica se trata de buscar aquélla que tiene el balance correcto entre expresividad y complejidad. Surgen entonces las lógicas modales, que son una familia de lógicas, algunas de ellas correctas y completas, y que tienen una complejidad y expresividad intermedia. En particular, una subfamilia, que son las lógicas temporales, que permiten hablar del tiempo.

17 Parte III - Lógicas modales, lógica temporal

18 (18) Lógicas modales Suele convenir pensar en las lógicas modales empezando por sus modelos. Estos modelos se llaman modelos de Kripke: un conjunto de puntitos unidos por flechas. Los puntitos tienen marquitas. puntitos = mundos flechas = relaciones de accesibilidad marquitas = fórmulas proposicionales que valen en el mundo Cada configuraciones de mundos y relaciones es un modelo de Kripke en particular.

19 (19) Modelos de Kripke Ejemplos:

20 (20) Lógicas modales (cont.) Las lógicas modales permiten hablar de relaciones entre los mundos. Ejemplos: Desde el mundo w se puede llegar en un paso a un mundo donde vale la fórmula ϕ. Desde el mundo w, todos los mundos conectados en un paso cumplen con la fórmula ψ. Y estas cosas se pueden combinar: llamemos ψ a la primer fórmula y analicemos de nuevo la segunda. Para qué sirve esto? Los mundos pueden ser esquinas y las relaciones las calles que las unen. Los mundos pueden ser días de la semana. Los mundos pueden ser personas y las relaciones los distintos tipos de relaciones entre ellos. Fórmula interesante: Es cierto que existe un mundo que está unido por la relación llamada matrimonio a otros dos mundos?

21 (21) Kripke Saúl Kripke

22 (22) Hablemos del tiempo Es particularmente interesante poder hablar sobre el paso del tiempo. OJO A = B no contiene ninguna noción de temporalidad Pienso, luego existo significa... Pienso, y en consecuencia existo : pienso existo Pienso, y más tarde existo : no podemos representarlo con una implicación. La implicación lógica (A B) tampoco conlleva ninguna noción de temporalidad. Captura la noción de necesariedad. Si A B, significa que A no puede ser verdadero sin que B lo sea a la vez. Aunque a veces lo usemos con cierto sentido temporal en el lenguaje coloquial ( si llueve entonces me mojo ). Por ende, necesitamos alguna otra construcción para hablar de la noción de sucesión temporal.

23 (23) Hablemos del tiempo (cont.) Existen varias lógicas temporales, con distinto nivel de expresividad y distinta complejidad. Una de las más populares: LTL, Linear Temporal Logic. Es una lógica modal que se interpreta sobre modelos de Kripke con las siguientes características. Los mundos representan instantes en el tiempo. Existe una única relación notada que es la de pasaje de una cantidad indeterminada de tiempo. Es decir, si w 1 w 2 significa que w 2 es un instante posterior a w 1. Además, los modelos son irreflexivos (nunca w w), antisimétricos (si w 1 w 2, entonces w 2 w 1 ) y transitivos (w 1 w 2, w 2 w 3 entonces w 1 w 3 ). Por eso se dice que los modelos de LTL son lineales.

24 (24) Hablemos del tiempo (cont.) Las fórmulas de LTL son: Las proposicionales. Until: ϕ U ψ (se interpreta vale ϕ hasta que empieza a valer ψ ) ϕ (se interpreta hay un instante posterior donde vale ϕ ) ϕ (se interpreta en todos los instantes posteriores vale ϕ ) Combinaciones proposicionales de las anteriores.

25 (25) Evaluando fórmulas LTL Cómo se evalúa una fórmula LTL en un modelo de Kripke M? Para empezar, debemos entender que las fórmulas modales se evalúan en un mundo en particular. Entonces, la pregunta a realizarse es si ϕ es satisfacible en un mundo w de un modelo M. Es decir, si M, w = ϕ.

26 (26) Evaluando fórmulas LTL (cont.) Entonces, para saber si M, w = ϕ: Si ϕ es una fórmula proposicional pura, alcanza con ver si w = ϕ, en el sentido de ver si las variables proposicionales de w satisfacen o no a ϕ. Si ϕ es ψ, deberemos ver que no sea cierto que M, w = ψ. Si ϕ es ψ 1 ψ 2, deberemos ver si M, w = ψ 1 o si M, w = ψ 2. Si ϕ es ψ 1 ψ 2, deberemos ver si M, w = ψ 1 y si M, w = ψ 2. (Recordemos que p q p q) Si ϕ es ψ, deberemos ver si existe un w 2 posterior a w (es decir, w w 2 ), tal que M, w 2 = ψ. Si ϕ es ψ, deberemos ver que en todos los w i posteriores a w (es decir, todos los que cumplan que w w i ), valga que M, w i = ψ. Si ϕ es ψ 1 U ψ 2, deberemos ver que M, w = ψ 1 (ψ 1 vale al comienzo) existan w 1... w n tal que w w 1 w 2... w n 1 w n tales que 1 i n 1.M, w i = ψ 1 (existe una secuencia de mundos en los que vale ψ 1) M, w n = ψ 2 (al final vale ψ 2)

27 (27) Evaluando fórmulas LTL (cont.) Vamos a usar eventualmente en el sentido del inglés eventually : indefectiblemente en algún momento indeterminado del futuro. Notar que ϕ es true U ϕ ( eventualmente ϕ se vuelve verdadera). Notar que ϕ es ϕ. Notar que y son de alguna manera los cuantificadores de LTL. Se los llama modalidades.

28 (28) Evaluando fórmulas LTL (cont.) Ejemplo: M, w 1 = p U q M, w 1 = p M, w 1 = q M, w 1 = p M, w 1 = (p q) M, w 3 = (p q) M, w 4 = p M, w 1 = ( (p q))

29 (29) Por qué es interesante LTL para el mundo legal? Podemos pensar que de lo que se trata toda norma es de separar a los hechos del mundo en dos, los que la cumplen y los que no. En realidad, no hechos: más bien secuencias de hechos. A estas secuencias de hechos las llamamos trazas. Las trazas son secuencias de instantes donde en cada uno de ellos hay ciertas proposiciones que son verdaderas y otras falsas. Por ejemplo JuanEstabaVivo U PedroDisparó. Está prohibido robar: robar Está permitido fumar: fumar. Prohibido hablar cuando se enciende la luz: luzencendida (prohibidohablar U luzencendida)