CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS: DE LA INTUICIÓN A LA FORMALIZACIÓN. EL CASO DE LAS CÓNICAS

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1 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar CONSTRUCCIONESGEOMÉTRICAS:DELAINTUICIÓNALAFORMALIZACIÓN.ELCASODE LASCÓNICAS EfrénMarmolejo,GemaMoreno,SilviaHernández,AmínBahena UniversidadAutónomadeGuerrero México Campodeinvestigación: PensamientoGeométrico Nivel: Medio Resumen. Nuestra propuesta, la cual es resultado de una investigación en proceso, se encuentra inserta en el nivel Medio Superior y es relativa a la Geometría Analítica, específicamentealaconstruccióndelascónicas.senutredelplegadodepapelydelusodeun softwaredegeometríadinámica(cabrigeomètreii)comorecursosdidácticos.sureferencia teóricaestábasadaenlosnivelesdelrazonamientogeométricodevanhiele. Caracterizamos, así, la construcción geométrica en tresmomentos: la intuición a través del plegadodepapel;lavisualizaciónvíaunsoftwaredegeometríadinámicacomoherramienta didáctica argumentativa; y por último formalizando las argumentaciones y conjeturas establecidasalanalizarlascónicasvíalatécnicadeldebatecientífico. Palabrasclave:construccióngeométrica,cónicas,intuiciónmatemática Introducción Qué es construir un concepto matemático?, qué procesos tienen lugar durante esta construcción? Específicamente en el campo de la Geometría Analítica, cómo motivar la construccióndelascónicas? Contestarestaspreguntashaconducidoalaexploraciónderecursosestratégicosquepermitan transitar entre los niveles de razonamiento geométrico. Este escrito corresponde a una investigaciónenprocesoquedescansaenlabúsquedadeuncaminohacialaconstrucciónde objetosgeométricos,paraelcasoespecíficodelestudiodelascónicas.elobjetivoesconstruiruna propuestadeaplicaciónenelaulaquepuedaextenderseaotrostópicosmatemáticos. NuestrainvestigacióntomalosnivelesdelrazonamientogeométricodeVanHiele(VanHiele, 1990) como marco para el aprendizaje, vía sus aportaciones acerca de los distintos tipos de razonamientogeométricodelosestudiantesalolargodesuformaciónmatemática,locuálesvan desdeelrazonamientovisualhastaelformalyabstracto.nuestrotrabajoseencuentrainsertoen elnivelmediosuperioryesrelativoalageometríaanalítica. Esampliamentecompartidoqueunadelasdificultadesenelaprendizajedelageometríaesla articulaciónentrelosprocesosdevisualizaciónylosprocesosdejustificación.eldiscursoescolar,a 229 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 este respecto, debe llevar de una argumentación informal que se apoya fuertemente en la visualizaciónyporlotantoesdecarácterdescriptivoaunaorganizacióndiscursivaformalque encadenaproposicionesusandoreglaslógicas. Porello,lametodologíaquehemosdesarrolladosealimentadedosrecursosparalaenseñanza: elplegadodepapelyelusodeunsoftwaredegeometríadinámica.separteentonces,dela intuiciónatravésdeldobladodepapel,seguidadelavisualizaciónvíaunsoftwaredegeometría dinámicacomoherramientadidácticaargumentativa(larios,2007)yporúltimolaformalización delasargumentacionesyconjeturasestablecidasalanalizarlascónicasvíalatécnicadeldebate Científico (Legrand, 1993/2006). Caracterizando así, la construcción geométrica en tres momentos:intuición,argumentaciónyformalización. ApelandoalaIntuición Esatravésdeldoblezdepapelqueintroducimoslafasemanipulativade palpar conceptos, visualizar y modelar propiedades. La manipulación facilita la comprensión de conceptos geométricos, dota de significado a los alumnos y propicia el descubrimiento de propiedades, desarrollalaintuición,fomentalacreatividadysenutreelcarácterlúdico.así,latécnicadel plegadodepapel,comounaestrategiaparalaenseñanzadelageometría,proporcionaunmedio eficazparalamanipulacióndelosobjetosgeométricos. Enestecontexto,laslíneasserándoblecesylospuntosseráninterseccióndedoblecesopuntos marcadosconellápiz.comopreliminar,esimprescindiblededicarunasesióndetrazosbásicos previoaldesarrollodelaconstruccióndelascónicas(líneaperpendicular,líneaparalela,mediatriz ypuntomediodeunsegmento,puntosimétrico,líneasimétrica,bisectrizdeunángulo,etc.). Por lo tanto, en nuestra propuesta para el desarrollo de las construcciones de las cónicas (parábola,elipse,hipérbola),explotamoslaideaderectastangentescomoenvolventesdelas curvascónicas,medianteelplegadodepapel(garcía,s.f.).encadaactividadsondiscutidaslas razonesquesustentantalconstrucción,enfatizandolosargumentosintuitivosquelasvalidan. 230 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Hacialavisualizacióndinámica Enestafase,laconstruccióndelascónicasserealizadeformasemejantealarealizadaconel dobladodepapel,perohaciendousodeunsoftwaredegeometríadinámica(cabrigeomètreii). Sinembargo,aquíseacentúalaaccióndeproporcionarimpulsosquemotivenlaargumentación delosestudiantes. Escogimoselusodeunsoftwaredebidoalassiguientescaracterísticasdelmediogeométrico dinámico(ministeriodeeducaciónnacional,2004): a) Lacapacidaddearrastredelasfigurasconstruidasquefavorecelabúsquedaderasgosque permanecenvivosduranteladeformación. b) El uso extensivo del lugar geométrico y traza (huella que deja una figura geométrica cuandoselearrastra)quepermitevisualizarydescubrirhechosgeométricos. c) La animación de figuras permite presenciar el proceso constructivo de un hecho geométrico. El papel que juegan las construcciones geométricas realizadas en el entorno de la geometría dinámicaesfundamental,puesseconviertenenlosobjetosde experimentación sobrelateoría, sin utilizar de manera directa el discurso. La manera de reaccionar ante los estímulos proporcionadosporelindividuoylosinstrumentosutilizadosparaproporcionartalesestímulos,se puedenconvertirenherramientasparaqueelindividuoexpresesusobservaciones,conjeturaso argumentaciones.deestaforma,secontribuyeasuperarunodelosobstáculosprincipalesdel aprendizaje de la geometría, las tensiones entre los procesos de visualización y su potencial heurísticoenlaresolucióndeproblemasylosprocesosdejustificaciónysupotencialpedagógico paradarsentidoalaorganizacióndeductivadelconocimientomatemático. Consecuentemente, explotamos la capacidad dinámica que tiene un software de geometría dinámica,comounmediadorentreelconocimientogeométricoyelindividuo.elobjetivoesque los estudiantes sistematicen sus observaciones, conjeturas y argumentaciones para que las refinen,einducirunacercamientoalaconstruccióndelascónicas. 231 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Formalización Enestaúltimaetapa,hacemosuso,conmayorénfasis,latécnicadelDebateCientífico(Legrand, 1993/2006).ElDebateCientíficoesentendidocomoaquelqueseinstauraentrelosestudiantesa partirdesituacionesproblemáticasintroducidasporelprofesor,oapropósitodecuestioneso conjeturas que los mismos estudiantes aportan. El debate científico es aquel en el que los enunciadosquesetrabajansonconjeturalesytodoalumnopuedesometersuspropiasconjeturas algrupodetrabajo,cabemencionarlaimportanciadeunambientequepermitaestaaperturasin temoraquelasaseveracionesqueserevelenfinalmenteequívocasnoproduzcanmalestarentre quienlasevocó. Enesesentido,dentrodeestametodología,secaracterizanlasformasdecomportamientodel alumnoydelprofesor,asícomoelestablecimientodelosrolesquedesempeñan. Eljuegodelalumno.Sedaunanegociacióndidácticaenlaqueéstevaaatenderyanalizarlas aseveracionesypropósitosdesusigualesy,porotraparte,debeconvencerlosdequesus participacionessonaceptables.loquesebuscaesnocentrareltrabajoalrededordela opinióndelinstructor. Existe pues un fundamento epistemológico de la didáctica del debate científico se hace necesario tomar en cuenta las conjeturas, como el encadenamiento de ideas que van a considerarse como verdaderas, las pruebas personales para que pueda persuadirse a los demásdelaveracidaddetalesconjeturas.enestesistema,el alumnomatemático tiene porinterlocutorasuminicomunidad,esdecir,conjuntodepersonasconlasqueinteractúa. Eljuegodelprofesor.Exigejugarsimultáneamenteuntriplejuego:epistemológico,didáctico ysocial. Desdeelpuntodevista epistemológico,afindequepercibalosdiferentesnivelesde argumentación que se presenten y ayude al microuniverso a captar lo que está fundamentalmenteenjuego. EneljuegoDidáctico,setrataprimordialmentedepermitiralosestudiantesintroducirse enproblemáticascientíficasdifícilesconservandounsentidoimparcial,construyendoun historial de las ideas fuertes, llevando una bitácora personal, de tal forma que permaneciendoneutro,formeunamemoriadelaclase. 232 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar En el sentido Social, se toman dos perspectivas, por un lado, se hace necesaria su presenciaafindeorganizarlasparticipacionesdelosasistentes,yevitarundescontrol; porelotro,elcoordinadordeberedefinirsuestatussocialyhaceraunladolaimagen tradicionalcomoespecialista;enpocaspalabras,deberenegociarelcontratohabitual. Con este tipo de metodología, se busca que una parte de las conjeturas propuestas por los alumnos,despuésdeserprobadas,seconserven;seleccionandoentrelasintuicionesespontáneas quesonprofundasyquevanaproporcionarafirmacionesyaquellasquesonmuyintuitivasyque desembocanenresultadosfalsos.sepresentaporlotantountripleproblema:loqueesfalso,la identificacióndeprocedimientosparaconservarloprobadocomoverdaderoylaadquisiciónde unsentidocrítico. Loanteriorimplica,queconlaimplementacióndelDebateCientíficopormediodelaconstrucción ydiscusióndeideasgenerales,losrazonamientosenelloutilizadosseannecesarios,accesiblesy naturales,buscarquelosalumnos,puedanmanipularlasmatemáticas,paraquefinalmentea partir de enunciados generales les atribuyan sentidos compatibles con los del matemático profesionalyfinalmenteelaccesoaunaformadediscursoqueconfiereaaquellosqueladominan ciertaautonomíadepensamiento. Hacemos uso de esta técnica con el objetivo de conducir los argumentos empleados por los estudiantes,enlaconstruccióndelascónicas,hacialadefinicióncomolugargeométricoysu definiciónanalítica. Conclusión Enelaula,debendesarrollarseexperienciasquepermitanalestudiantetransitardesuscreencias personalesalasconcepcionesaceptadascomoválidas,conelpropósitodegenerarconviccionesy permitir eliminar ambigüedades en el proceso de elaboración colectiva del conocimiento matemático,esdecir,validarsusaseveraciones. Invitamosalareflexiónacercadelasconcepcionesycreencias,sobrelosdistintosmodosde actuarenelaulaydelosdistintosmomentosqueatraviesaunestudianteenelcaminoala construccióndelascónicas.presentamoslapropuestadeuncaminodeaccesoalaconstrucción delascónicas,víaelreconocimientodelasherramientasheurísticasdelestudianterescatando 233 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 aquellas ideas elementales que conforman la definición de los conceptos matemáticos involucrados,reflexionandosobreelprocesopropiodelaconstrucción. Consideramos pertinente que la actividad de enseñanza sobre la construcción de conceptos geométricos,debetomarlaprecaucióndellevaralestudiantealageneralización,sinbrindar conceptos y definiciones concluyentes de forma inmediata, procurar que se identifique gradualmente con los métodos de la ciencia y desarrollar su independencia de pensamiento mediantelarealizacióndetareascreadoras. Referenciasbibliográficas García,J.,(S.f.) Construcciones geométricas con dobleces de papel.obtenidoennoviembre12, 2006, del sitio Web del Proyecto Estímulo del Talento Matemático: Larios, V. (2007) El software para geometría dinámica como mediador semiótico entre la geometríayelalumno.memoriasdelaxiiconferenciainteramericanadeeducaciónmatemática. (pp )querétaro,méxico. Legrand, M. (2006) Debate científico en cursos de matemáticas y especifidad del análisis (E. Locia)Traducción no publicada. Universidad Autónoma de Guerrero, México. (Trabajo original publicadoen1993). Ministerio de Educación Nacional (2004) Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales.ProyectodeNuevasTecnologíasalCurrículodeMatemáticasdelaEducación BásicaSecundariayMediadeColombia.DireccióndeCalidaddelaEducaciónPreescolar,Básicay Media. Colombia. Obtenido en abril 12, 2006, de VanHiele,P.M.(1990). El problema de la comprensión, en conexión con la comprensión de los escolaresenelaprendizajedelageometría(deproblematiekvanhetinzicht,gademonstreedaan hetinzichtvanschoolkindereninmeetkundeleerstof).tesisdoctoral.universidaddeutrecht, Holanda. 234 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar ElcasodelaElipse Instrucción Construcción Apelandoalaintuición Tomaunrecorteenformadecírculoymarcaunpunto P distintodelcentroo.marcaelpuntoyelcentroporlosdos lados,parafacilitarlavisiónaldoblar. DoblaelcírculodeformaquelacircunferenciapaseporPy desdobla. Repitelaoperaciónvariandoeldoblezdeformaquevaya girandoporlospuntosdelacircunferencia. Quéfiguradelimitanlosdobleces?, Quépapeldesempeñan elpuntopenlafigura,lacircunferenciayo? Essimétricala figura?deserasí, cuántosejesdesimetríatiene? Cuálesla relacióndeéstosconlospuntospyo? Supongamoselradiodelacircunferenciaesryfijémonosen undoblez.marcaelpunto P quealdoblarcaesobre Py desdoblayremarcaconunlápizlalíneadeldoblez.unecon lápiz P conelcentro(así OP = r)yllama Malpuntode interseccióndeop conlalíneamarcadaporeldoblez. Qué podemos decir de P M y MP?, Cuánto suma OM + MP?, Qué argumento geométrico valida tu respuesta?, Sucederálomismoconotrosdobleces? 235 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Hacialavisualizacióndinámica Haciendo uso del software, en un círculo con centro O, escogemosunpuntoparbitrarioydiferentedelcentro.con elcompás,setrazaunacircunferenciadeigualradioquela primera y con centro en P, con centro (mover) en esta segundacircunferenciasetrazaotradeigualradio.aligual que en el doblado de papel, se busca que esta tercera circunferenciaalrotar,siempretoqueelpuntop. Setrazaunarectaquepasaporlainterseccióndelaprimera ylaterceracircunferencia. Ocultando los trazos innecesarios tendría una apariencia similaraladeldobladodepapel. Le damos traza a la recta y animación al punto mover y podemosverlafiguraquedescribenlasrectas. Usandosimetríaaxialseencuentraelsimétrico P de P.La rectaesmediatrizdelsegmentopp,setrazaelradioop.a lainterseccióndelradioylarectalellamamos M.Comoel triángulo MPP es isósceles MP =MP, el radio OP = OM+MP =OM+MP,asílasumadelasdistanciasdeMOyMP essiempreconstante,igualalradioop. Qué puedes decir de los segmentos PM y P M?, Qué importancia tiene los puntos M y O?, Y el radio de la circunferencia? 236 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Le damos traza al punto M y animación a mover, y obtenemoslaimagendeunaelipse. Qué pasa si acercamos P a O?, Qué puedes decir de la longituddelossegmentosmpymp?, Cuáleslalongitudde OP?, CuáleslasumadelaslongitudesdeOMyMP? Hacialaformalización Sehacelaidentificacióndeltriángulocaracterísticoydelas propiedades intuitivamente construidas dando paso mediantesuubicaciónenelplanocartesiano.finalmente, seconstruyelaecuacióncorrespondientea, apartirdelosconceptosdedistanciaydelaubicaciónde puntospreviamentedeldominiodelestudiante. 237 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.