Claúsulas de Horn. Resolución SLD

Transcripción

1 Claúsulas de Horn. Resolución SLD 1 / 114 Refinando la resolución La resolución general es un mecanismo muy potente de demostración... pero tiene un alto grado de indeterminismo: en la selección de las cláusulas con las que hacer resolución y en la selección de los literales a utilizar en la resolución Desde el punto de vista computacional es muy ineficiente. Desde el punto de vista práctico puede sacrificarse algo de expresividad y obtener un mecanismo más eficiente que sustente un lenguaje de programación más realista : restringimos la forma de las cláusulas de modo que a lo sumo tengan un literal positivo. En notación de Kowalski esto quiere decir que a lo sumo tienen un átomo en el lado izquierdo de estudiaremos un método de resolución específico para este tipo de cláusulas. 2 / 114

2 Cláusulas de Horn Una cláusula de Horn es una secuencia de literales que contiene a lo sumo un literal positivo. Al escribirla en notación de Kowalski tendrá una de estas cuatro formas: 1 Hecho: p 2 Regla: p }{{} cabeza q 1,..., q n }{{} cuerpo 3 Objetivo: q 1,..., q n 4 Éxito: Los hechos y las reglas se denominan cláusulas definidas: los hechos representan hechos acerca de los objetos (de nuestro universo de discurso), relaciones elementales entre estos objetos las reglas expresan relaciones condicionales entre los objetos, dependencias. 3 / 114 Cláusulas de Horn (cont.) Las reglas engloban todos los casos en el siguiente sentido: un hecho es una regla con cuerpo vacío un objetivo es una regla con cabeza vacía y el éxito es una regla con cabeza y cuerpo vacíos Nótese que en las cláusulas de Horn trabajamos con secuencias de literales en vez de conjuntos (como veníamos haciendo con las cláusulas generales). Esto implica dos cosas: los literales pueden aparecer repetidos en el cuerpo hay un orden en los literales del cuerpo (podemos hablar del primer literal, segundo literal, etc). 4 / 114

3 Predicados y programas lógicos Un predicado p queda definido por el conjunto de claúsulas (hechos y reglas) cuyas cabezas tienen ese símbolo de predicado. Así pues la definición de un predicado en general tendrá el aspecto: p(t 1,..., t n ) p(s 1,..., s n )... p(u 1,..., u n ) q 1 (...),..., q m (...) p(u 1,..., u n ) r 1 (...),..., r k (...)... (puede haber solo hechos, solo reglas o ambos tipos). Un programa lógico es un conjunto de definiciones de predicados (es decir, un conjunto de claúsulas definidas: hechos y reglas). 5 / 114 Un ejemplo Representación de un grafo mediante hechos: a c b d arco(a, b) arco(a, c) arco(b, d) arco(c, d) arco(c, e) arco(d, e) e 6 / 114

4 Ejemplo (cont.) La relación de conexión entre nodos (caminos) puede expresarse mediante reglas: camino(x, Y ) X = Y camino(x, Y ) arco(x, Z), camino(z, Y ) (la primera regla, también se podría haber escrito como un hecho: camino(x, X ) ) La lectura de estas dos resglas es: hay un camino de un nodo a otro, si son el mismo hay un camino de un nodo X a otro Y si existe un nodo Z tal que hay arco entre X y Z, y hay camino entre Z e Y 7 / 114 Ejemplo (cont.) Ahora, se podría plantear un objetivo, i.e., entendiendo los hechos y las reglas que hemos escrito como premisas podríamos plantear una conclusión y tratar de mostrar la validez de la argumentación. Por ejemplo, podemos plantear los objetivos (o preguntas): arco(b, d) camino(a, d) camino(a, X ) camino(e, Y ) camino(x, Y ) camino(x, b), camino(x, d) los dos primeros son objetivos cerrados porque no contienen variables, mientras que los restantes son objetivos abiertos.... qué deberíamos obtener (por resolución) en cada caso? 8 / 114

5 Variables lógicas en las cláusulas Todas las variables lógicas en de una claúsula están cuantificadas universalmente de forma impĺıcita. Por ejemplo, en la claúsula: impĺıcitamente tenemos: camino(x, Y ) arco(x, Z), camino(z, Y ) X. Y. Z.(camino(X, Y ) arco(x, Z), camino(z, Y )) Ahora bien, esta sentencia es lógicamente equivalente a: X. Y.(camino(X, Y ) Z.(arco(X, Z), camino(z, Y ))) Es decir, las variables que sólo aparecen a la derecha de la claúsula están localmente afectadas de una cuantificación existencial. Se dice que son variables existenciales o extra o locales. Interpretarlas existencialemente facilita la lectura de la cláusula: Para todo X y todo Y, hay un camino entre X e Y si existe Z tal que hay arco de X a Z y hay camino entre Z e Y 9 / 114 Otro ejemplo Podemos definir la suma de naturales (representados como c y s) mediante un hecho y una regla: suma(c, X, X ) suma(s(x ), Y, s(z)) suma(x, Y, Z) y plantear distintos objetivos: suma(s(c), s(s(c)), s(s(s(c)))) suma(x, s(c), s(s(c))) suma(s(c), Y, Z) suma(x, Y, Z) suma(x, X, Z), suma(z, Z, H) 10 / 114

6 SLD-Resolución Selection-rule driven Linear resolution for Definite clauses Es un caso particular de la resolución general, donde: Los resolventes son siempre objetivos (cláusulas sin cabeza). Los programas son conjuntos de claúsulas (de Horn) definidas, i.e., hechos y reglas. Hay una función de selección que selecciona un átomo del resolvente a quien aplicar resolución. 11 / 114 SLD-resolución (cont.) Formalmente: Sea un programa lógico P, un par de objetivos G y G, y una función de selección f s. Una derivación de G a G con SLD-resolución (P {G} SLD G ) es una secuencia de objetivos G 0, G 1,..., G k tal que: G 0 = G G k = G para todo i {0,..., k 1}, G i+1 de obtiene a partir de G i resolviendo (en el sentido de la resolución general) el literal L = f s (G i ) con una variante de una regla de P. Si G, entonces tenemos una SLD-refutación de G a partir de P. 12 / 114

7 Ejemplo Supongamos el programa (c representa cero y s sucesor): suma(c, Y, Y ) suma(s(x ), Y, s(z)) suma(x, Y, Z) y el objetivo suma(s(c), s(c), s(s(c))) (asumimos que f s selecciona el primer objetivo por la izquierda). suma(s(c), s(c), s(s(c))) suma(s(x 1 ), Y 1, s(z 1 )) suma(x 1, Y 1, Z 1 ) θ 1 = [X 1 /c, Y 1 /s(c), Z 1 /s(c)] suma(c, s(c), s(c)) suma(c, Y 2, Y 2 ) θ 2 = [Y 2 /s(c)] 13 / 114 Respuestas correctas Dado un programa P y un objetivo G q 1,..., q n, diremos que una sustitución θ es una respuesta correcta para P {G} si θ únicamente actúa sobre las variables de G y P = X X m (q 1... q n )θ, siendo {X 1,..., X n } el conjunto de variables de G (notación: P = [(q 1... q n )θ] ) Por ejemplo, consideremos la siguiente refutación: G suma(c, s(a), B) suma(c, Y 1, Y 1 ) θ 1 = [Y 1 /s(a), B/s(A)] La sustitución obtenida, θ 1, restringida a las variables del objetivo original G es θ 1 var(g) = [B/s(A)] (la variable Y 1 no aparece en en G). θ = [B/s(A)] es una respuesta correcta para G... por qué? 14 / 114

8 Respuestas correctas (cont.) θ = [B/s(A)] es una respuesta correcta para P {G}: por un lado, aplicando θ tenemos suma(c, s(a), s(a)) y ahora, si consideramos cualquier otra sustitución σ tendremos que P = suma(c, s(a), s(a))σ o lo que es lo mismo (ver pag. 27): P = A.suma(c, s(a), s(a)) P = [suma(c, s(a), s(a))] Intuitivamente, si reemplazamos A por cualquier valor lo que obtenemos pertenecerá al modelo de la primera claúsula de P y por tanto al modelo de P (recordemos que en la página 53 estudiamos un modelo de Herbrand para este programa en el que suma H = {(s m (c), s n (c), s k (c)) m + n = k} 15 / 114 Corección y completitud de la SLD-resolución Teorema Sea P un programa, f s una función de selección y G un objetivo. Tenemos: Corrección: Si P {G} SLD en n pasos y θ = θ 1... θ n es la composición de la secuencia de unificadores usados en la SLD-refutación, entonces: θ = θ var(g) es una respuesta correcta para P {G} Completitud: Sea θ una respuesta correcta para P {G}, entonces existe una SLD-refutación de G a partir de P con una secuencia de unificadores θ 1,..., θ n tal que θ = (θ 1... θ n ) var(g). Nótese que la función de selección concreta que se utilice no es relevante para los resultados de corrección y completitud. 16 / 114

9 Ejemplo Consideremos el programa de los caminos en un grafo: arco(a, b) arco(a, c) arco(b, d) arco(c, d) arco(c, e) arco(d, e) camino(x, X ) camino(x, Y ) arco(x, Z), camino(z, Y ) Y consideremos el objetivo camino(x, e) 17 / 114 Ejemplo (cont.) Una posible refutación (tomando como función de selección la que toma el primer literal por la izquierda): camino(x, e) camino(x 1, Y 1 ) arco(x 1, Z 1 ), camino(z 1, Y 1 ) θ 1 = [X 1 /X, Y 1 /e] arco(x, Z 1 ), camino(z 1, e) arco(a, c) θ 2 = [X /a, Z 1 /c] camino(c, e) 18 / 114

10 Ejemplo (cont.) camino(c, e) camino(x 3, Y 3 ) arco(x 3, Z 3 ), camino(z 3, Y 3 ) θ 3 = [X 3 /c, Y 3 /e] arco(c, Z 3 ), camino(z 3, e) arco(c, e) θ 4 = [Z 3 /e] camino(e, e) camino(x 4, X 4 ) θ 5 = [X 4 /e] 19 / 114 Ejemplo (cont.) La composición de sustituciones obtenidas es: θ = θ 1... θ 5 = [X /a, X 1 /a, Y 1 /e, Z 1 /c, X 3 /c, Y 3 /e, Z 3 /e, X 4 /e] Si consideramos la restricción a las variables del objetivo original, es decir, a X tenemos: θ = θ {X } = [X /a] Por el teorema de corrección θ = [X /a] es una respuesta correcta para el objetivo original. Por el teorema de completitud, este mecanismo debe ser capaz de encontrar además otras respuestas. Intuitivamente es fácil ver que serán [X /b], [X /c], [X /d], [X /e]... cómo se construirían las SLD-refutaciones para encontrar estas respuestas? 20 / 114

11 Hacia Prolog La resolución SLD está mucho más próxima a una implementación realista de la programación lógica porque ha acotado notablemente el indeterminismo con respecto a la resolucion general. Las claúsulas de Horn son lo suficientemente expresivas para utilizarlas como lenguaje de programación. Quedan dos cuestiones por resolver: Qué función de selección utilizamos? (esto, según hemos visto no afecta a la corrección y la completitud). Qué criterio seguimos para seleccionar una de las reglas aplicables para resolver un objetivo? (esto, está relacionado con la completitud). En el último ejemplo, utilizando uno u otro criterio se obtienen distintas respuestas. 21 / 114