Índice. Semántica. Sintaxis ASP. Introducción a Answer Set Programming (I) 2.- Programas Lógicos con Negación. 1.- Programas lógicos sin negación

Transcripción

1 Índice Introducción a Answer Set Programming (I) Rafael Caballero Roldán Máster: Extensiones de Programación Lógica Objetivos Programas estratificados Semántica de punto fijo de los programas Datalog Sintaxis ASP Semántica Más general que en la caso de Datalog y que en Prolog Programa: conjunto finito de reglas Reglas de la forma F G, F y G fórmulas en ASP Fórmulas formadas con Símbolos de proposición: p, q,. Conectivas 0-arias: False ( ), true (T) Conectiva unarias: not Conectivas binarias: conjunción (coma), disyunción (punto y coma) Principales diferencias con Prolog No hay predicados, sólo símbolos de proposición No hay variables En la parte izquierda de una regla se admiten disyunciones (no son cláusulas) Se trata de un nuevo paradigma, diferente a la programación lógica Desaparece la noción de modelo único. Se habla del (de los) answer sets de un programa para representar su semántica En el artículo se definen en 3 pasos: 1 Para programas con cláusulas sin negación 2 Cláusulas incluyendo negación en el cuerpo 3 Reglas generales 1.- Programas lógicos sin negación En este caso el programa consta de cláusulas A 0 A 1,, A n, A i átomos i=1 n En este caso es conocido que existe un único modelo mínimo del programa, que es la intersección de todas las interpretaciones que satisfacen el programa (Van Emden y Kowalski, 1976) El módelo mínimo es el Answer Set del programa Ejemplo: P1 = { {p}, {r s}, {q p,q} }, P2 = {{p q},{q p}} modelos mínimos de esto programas? 2.- Programas Lógicos con Negación Admitimos literales en el cuerpo de la regla A B 1,, B n, A átomo, B i bien o un átomo o un átomo negado Ahora no siempre hay modelo mínimo, hay que buscar una definición alternativa para la semántica Ya hemos visto una solución: restringir la forma en la que se usa la negación evitando recursividad a través de la negación (Datalog) 1

2 Programas reducidos (I) Programas Reducidos (II) Supongamos por un momento que conocemos en Answer Set X del programa Π Programa Π Conjunto de átomos X Veamos cómo reducir Π de forma que obtengamos un programa sin negación con modelo X Método de reducción A este programa se le llamará programa reducido con respecto a X, denotado por Π X Sólo si X es modelo de Π X diremos que es un Answer Set para el programa Π Programa Π X X modelo de Π X? Sí X es Answer Set de Π Método de reducción (I) Entrada: Programa Π, conjunto de átomos X Salida: Programa reducido Π X Método: Para cada regla R= (A B 1,, B n ), R Π Si ningún átomo que aparezca negado en R está en X, entonces incluir R en Π X pero eliminando los literales que incluyen negación. Si algún átomo de los que aparecen negados en R están en X entonces R se elimina, no aparecerá en Π X X= {p} X= {p} no es un Answer Set para Π p r. {q} X= {q} no es un Answer Set para Π X = {r,q} sí es un Answer Set para Π r. r. X= {q} {r,q} X= {r,q} {r,q} 2

3 p not q not r. X= {p} Ejercicio 1.1 X= {p} no es un Answer Set para Π p. {p,q} Propiedades de los Answer Sets (programas tipo 2) (I) Un átomo A que no sea cabeza de una regla no puede estar en un Answer Set Anti-Chain Property: Un answer set no contiene conjuntos propios que sean Answer Sets Ejemplo: Π = { } X = {r,q} answer set. puede haber más? Candidatos: {}, {p}, {r}, {q}, {p,q}, {p,r}, {p,q,r} Propiedades de los Answer Sets (programas tipo 2) (II) Si Π es un programa de tipo 1 (sin negación), entonces tiene un único Answer Set que es el modelo mínimo Si Π es un programa tipo 2 estratificado (es decir es un programa Datalog) entonces tiene un único Answer Set que es el modelo estable del programa La teoría de los Answer Set extiende de forma natural los resultados de programación lógica sin negación y de Datalog restringido a lógica proposicional Ejercicio 1.2 Encontrar un Answer Set para el programa Π n con reglas p 1 not p 2 p 2 not p 3 p n not p n+1 Solución: n par {p 2, p 4,, p n } n impar {p 1, p 3,, p n } Puede haber más Answer sets para Π? Ejercicios 1.3 Encontrar los Answer Set para Π p not q q not p r p r q Solución: {} No, {p} No, {q} No, {r} No, {p,q} No, {p,r} Sí, {q,r} Sí, {p,q,r} No Ejercicio 1.4 Encontrar los Answer Set para Π p not q q not p r not r r p Solución: {} No, {p} No, {q} No, {r} No, {p,q} No, {p,r} Sí, {q,r} Sí, {p,q,r} No 3

4 Varios Answer Sets no es un poco raro? Si lo es si pensamos que varios Answer Sets significa varias semánticas, varios significados No lo es si pensamos que en un programa ASP un Answer Set representa una solución al problema En ASP la semántica adquiere el rango de ciudadano de primera clase: es justamente lo que se desea computar además de seguir representando el modelo (los modelos) del programa Answer Sets, programas tipo 3 (definición general) (I) Definición de reducción de una fórmula F con respecto a un conjunto X : Si F es un átomo, T o : F X = F (F,G) X = F X,G X (F;G) X = F X ;G X (not F) X = si F es cierta en X, T e.o.c. Programa reducido Π X : Π X = { F X G X (F G) Π } Answer Sets, definición general (II) Un conjunto de átomos X es un Answer Set para un programa Π si X hace cierto Π X y es minimal Definición equivalente: X es un Answer Set para un programa Π si X hace cierto Π X y no contiene ningún conjunto que haga cierto Π X Esta definición, válida para programas ASP generales, amplía las que hemos visto para los tipo 1 y 2. Ejercicio 2.1 Encontrar los Answer Sets para los programas a) p;q {} No, {p} Sí, {q} Sí, {p,q} No b) p;q p q {} No, {p} Sí, {q} No, {p,q} No c) p;q p q q p {} No, {p} No, {q} No, {p,q} Sí Ejercicio 2.2 Encontrar los Answer Sets para los programas: a) p;not p {} Sí, {p} Sí b) p not not p {} Sí, {p} Sí A la fórmula (p;not p) se le llama una elección y se denota por {p} c En general la fórmula {F 1,,F n } c denota (F 1 ; not F 1 ) (F n ; not F n } Equivalencia débil y fuerte Dos programas se dicen débilmente equivalentes si tienen los mismos Answer Sets Dos programas se dicen fuertemente equivalentes si al añadir reglas cualesquiera a ambos (las mismas a los dos) se obtienen dos programas débilmente equivalentes Ejercicio 2.3: probar que los programas {p;q} y {p not q, q not p} son débilmente equivalentes pero no fuertemente equivalentes 4

5 Restricciones Las restricciones son fórmulas que no deben cumplirse en ningún Answer Set Tienen la forma F y se abrevian F Teorema: Sean Π un programa, X un conjunto de átomos y F una fórmula. X es un Answer Set para Π U { F} si y sólo si X es un Answer Set para Π y no hace cierta F. Expresiones de cardinalidad (I) Cotas inferiores: Fórmulas de la forma i {F 1,,F n } que indican que al menos i fórmulas del conjunto deben cumplirse en todo Answer Set del programa Abrevian la disyunción de todas las conjunciones de la forma (G 1,,G i ) con {G 1,,G i } fórmulas distintas tales que {G 1,,G i } {F 1,,F n } Cotas superiores: Fórmulas de la forma {F 1,,F n } u que indican que no más de u fórmulas del conjunto deben cumplirse en cualquier Answer Set del programa Abrevian la expresión not (u+1 {F 1,,F n } ) Ambas expresiones pueden usarse simultáneamente: i {F 1,,F n } u significa (i {F 1,,F n }), ({F 1,,F n } u) Expresiones de cardinalidad (II) Otras abreviaturas de cardinalidad {F 1,,F n } c, i {F 1,,F n } 5