1. Formas normales en lógica de proposiciones FORMAS NORMALES. Índice. César Ignacio García Osorio Definiciones. Lógica

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1 Lógica Índice FORMAS NORMALES César Ignacio García Osorio 1. Formas normales en lógica de proposiciones Gracias a las leyes asociativas los paréntesis en (F (G H)) oen((f G) H) pueden eliminarse, es decir, se puede escribir (F G H). En general se va a poder escribir sin ambigüedad una fórmula D =(F 1 F 2... F n ) donde F 1, F 2,...,F n son fórmulas. La fórmula D es cierta cuando lo es al menos una de las F i, en caso contrario D es falsa. La fórmula D recibe el nombre de disyunción de las fórmulas F 1, F 2,..., F n. De modo análogo se puede escribir C =(F 1 F 2... F n ) que es cierta cuando lo son F 1, F 2,...,F n, si alguna de las F i es falsa también lo es C. La fórmula C se llama conjunción de F 1, F 2,..., F n. El orden en que aparecen los F i es indiferente debido a la ley conmutativa. 1. Formas normales en lógica de proposiciones Definiciones Método de transformación Formas normales en lógica de predicados Forma normal de prenexa Método de transformación Forma normal de Skolem... 7 Resumen A menudo es necesario transformar una fórmula en otra, sobre todo transformar una fórmula a su forma normal. Esto se consigue transformando la fórmula en otra equivalente y repitiendo el proceso hasta conseguir la forma deseada. En estos apuntes se dan las reglas necesarias para transformar sintácticamente una fórmula en una forma normal más adecuada para la demostración automática y que conserva la semántica de la fórmula original. Por ejemplo se pueden usar estas reglas para derivar la fórmula a partir de otra dada comprobando así la inconsistencia de la fórmula original Definiciones Ahora se pueden definir las formas normales como sigue: Definición 1 (Literal, literales complementarios, par complementario) Un literal es un átomo o la negación de un átomo. Si P, Q, R son átomos P, P, Q, Q, R, R son literales. Dos literales l y l son complementarios si y sólo si l = l. Al conjunto {l, l } se llama par complementario. Definición 2 (Forma normal disyuntiva) Una fórmula F se dice que esta en forma normal disyuntiva si y sólo si F es de la forma F =(F 1 F 2...F n ), donde cada F i es una conjunción de literales. Definición 3 (Forma normal conjuntiva) Una fórmula F se dice que esta en forma normal conjuntiva si y sólo si F es de la forma F =(F 1 F 2... F n ), donde cada F i es una disyunción de literales. Definición 4 (Cláusula, cláusula unitaria, cláusula vacía) Una cláusula es una disyunción de cero o más literales. A veces se utiliza un conjunto de literales como equivalente a una cláusula suponiendo la disyunción entre los literales del conjunto. Así por ejemplo P Q R = {P, Q, R}. Cuando la cláusula tiene un único literal se llama cláusula unitaria. Cuando no contiene ningún literal cláusula vacía, como la cláusula vacía no tiene ningún literal no puede ser satisfecha por ninguna interpretación, la cláusula vacía es siempre falsa y se representa al igual que la fórmula siempre falsa por. César I. G. Osorio 2 LSI Univ. de Burgos

2 Lógica 1.2 Método de transformación Lógica 1.2 Método de transformación Definición 5 (Forma clausulada) Una forma clausulada es un conjunto de cláusulas entre las que se supone la conjunción. Ejemplo 1 Dados los átomos P, Q y R, la fórmula ( P Q) (P Q R) es una fórmula en forma normal disyuntiva, (P Q R) ( P Q) es una fórmula en forma normal conjuntiva, y {P Q R, P Q} es la forma clausulada de la fórmula anterior. {{P, Q,R}, { P,Q}} es otra forma de poner la forma clausulada. Cualquier fórmula se puede transformar en una forma normal. Esta transformación se lleva a cabo mediante la aplicación de las leyes de la El procedimiento es el siguiente Método de transformación Paso 1: Usar las leyes: (L1) F G =(F G) (G F ) y (L2) F G = F G para eliminar las conectivas lógicas y. Paso 2: Usar repetidamente la ley (L10) ( F )=F y las leyes de De Morgan: (L11.a) (F H) = F G y (L11.b) (F H) = F G para disminuir el alcance de la negación a un único literal. Paso 3: Usar de forma repetida las leyes distributivas: (L5.a) F (G H) =(F G) (F H) y (L5.b) F (G H) =(F G) (F H) y las otras leyes para obtener la forma normal. Ejemplo 2 Obtener la forma normal conjuntiva de la fórmula (P (Q R)) S. (P (Q R)) S = (P ( Q R)) S por L2 = (P ( Q R)) S por L2 = ( P ( Q R)) S por L11.b = ( P ( ( Q) R)) S por L11.a = ( P (Q R)) S por L10 = (( P Q) ( P R)) S por L6.a = S (( P Q) ( P R)) por L3.a = (S (( P Q)) (S ( P R)) por L6.a = (S P Q) (S P R) por L4 César I. G. Osorio 3 LSI Univ. de Burgos Por tanto una forma normal conjuntiva de (P (Q R)) S es (S P Q) (S P R) la forma clausulada para esta fórmula será: {{S, P, Q}, {S, P, R}}. Ejemplo 3 Dadas las fórmulas: F 1 =(P Q), F 2 = Q, G = P. Demostrar que G es consecuencia lógica de F 1 y F 2. Esto se podría hacer mediante el uso de tablas de verdad para comprobar que todo modelo de F 1 ydef 2 es también modelo de G. Pero se puede hacer también usando los resultados del teorema de refutación en combinación con el procedimiento de normalización de una fórmula. Usando el punto 2 del citado teorema y llevando la fórmula (((P Q) Q) P ) a forma normal conjuntiva, tenemos: (((P Q) Q) P ) = ((P Q) Q) P por L2 = (( P Q) Q) P por L2 = (( P Q) (Q Q)) P por L5.b = (( P Q) ) P por L8.b = (( P Q)) P por L6.a = (P Q) P por L11.b = (Q P ) P por L3.a = Q (P P ) por L4.a = Q por L8.a = por L7.a Como la fórmula (((P Q) Q) P ) es válida (ya que es equivalente a n que es cierta para todo modelo) por el G es consecuencia lógica de F 1 y F 2. Usando el punto 3 del citado teorema de refutación ((P Q) Q P ) a forma normal disyuntiva, tenemos: ((P Q) Q P ) = ( P Q) Q P por L2 = ( P Q P ) (Q Q P ) por L5.b = por L8.b = por L6.a Como la fórmula ((P Q) Q P ) es inconsistente (ya que es equivalente a que siempre es falsa) por el G es consecuencia lógica de F 1 y F 2. Este último método de probar la inconsistencia de una fórmula transformándola en se llama método de multiplicación, porque el proceso de César I. G. Osorio 4 LSI Univ. de Burgos

3 Lógica Lógica 2.1 Forma normal de prenexa transformación es muy similar al de. En el ejemplo anterior se ha mostrado que la conclusión (G) se sigue de unos hechos dados (F 1 y F 2 ), llamados axiomas. La demostración de que la conclusión se sigue de los axiomas se llama prueba. Un procedimiento para encontrar una prueba se llama procedimiento de prueba.. 2. Formas normales en lógica de predicados Al igual que en la lógica proposicional en la lógica de predicados también existen formas normales, un primer paso en la obtención de la forma normal más adecuada para los procedimientos de deducción automática es llevar todos los cuantificadores a la parte izquierda de la fórmula: forma normal prenexa, a continuación se transforma la parte de la fórmula sin cuantificadores a la forma normal conjuntiva de un modo análogo al visto para la lógica de proposiciones, por último se eliminan los cuantificadores universales para obtener la forma normal de Skolem. Ahora todos los cuantificadores son universales. Podemos representar la formula como un conjunto de cláusulas siempre y cuando tengamos presente la mencionada cuantificación universal de las variables Forma normal de prenexa Definición 6 (Forma normal prenexa) Una fórmula F de la lógica de predicados se dice que esta en forma normal prenexa si y sólo si la F tiene la forma: (Q 1 x 1 )(Q 2 x 2 ) (Q n x n )M[x 1,x 2,...,x n ] Donde los Q i son cuantificadores: o bien o bien, ym[x 1,x 2,...,x n ] es una fórmula que no contiene cuantificadores cuyas únicas variables (que son libres) son x 1,x 2,...,x n. (Q 1 x 1 )(Q 2 x 2 ) (Q n x n ) se llama prefijo yam se le llama matriz de la fórmula F Método de transformación Transformación de una fórmula a su forma normal prenexa. Paso 1: Usar las leyes (L1) F G =(F G) (G F ) y (L2) F G = F G César I. G. Osorio 5 LSI Univ. de Burgos para eliminar las conectivas lógicas y. Paso 2: Usar repetidamente: la ley de doble negación (L10) ( F )=F, las leyes de De Morgan: (L11.a) (F H) = F G y (L11.b) (F H) = F G, y las leyes de De Morgan para cuantificadores: (L13.a) ( x)f [x] =( x)( F [x]) y (L13.b) (( x)f [x]) = ( x)( F [x]) para llevar los signos de negación inmediatamente delante de los átomos. Paso 3: Renombrar las variables ligadas si fuese necesario (para poder aplicar las leyes L15). Paso 4: Usar las leyes: (L12.a) G (Qx)F [x] =(Qx)(G F [x]), (L12.b) G (Qx)F [x] =(Qx)(G F [x]), (L14.a) ( x)f [x] ( x)h[x] =( x)(f [x] H[x]), (L14.b) ( x)f [x] ( x)h[x] =( x)(f [x] H[x]), (L15.a) (Q 1 x)f [x] (Q 2 x)h[x] =(Q 1 x)(q 2 z)(f [x] H[z]) y (L15.b) (Q 3 x)f [x] (Q 4 x)h[x] =(Q 3 x)(q 4 z)(f [x] H[z]) para mover los cuantificadores a la izquierda de la fórmula para obtener la forma normal prenexa 1. Ejemplo 4 Obtener la forma normal prenexa de la fórmula: ( x)( y)(( z)p (x, y, z) (( u)q(x, u) ( v)q(y, v))). ( x)( y)(( z)p (x, y, z) (( u)q(x, u) ( v)q(y, v))) = ( x)( y)(( z)p (x, y, z) ( ( u)q(x, u) ( v)q(y, v))) por L2 = ( x)( y)(( z)p (x, y, z) (( u) Q(x, u) ( v)q(y, v))) por L13.b = ( x)( y)( z)( u)( v)(p (x, y, z) Q(x, u) Q(y, v)) usando L12 1 En este último paso es conveniente cuando que los cuantificadores existenciales queden lo más a la izquierda posible. Los motivos de esto se verán en el capítulo siguiente (cuando se introduzca el concepto de funciones de Skolem). César I. G. Osorio 6 LSI Univ. de Burgos

4 Lógica 2.2 Forma normal de Skolem Lógica 2.2 Forma normal de Skolem La forma normal prenexa es uno de los pasos que hay que seguir para poder transformar una formula en una cláusula, es decir, una formula cerrada de la forma: ( x 1 ) ( x s )(L 1 L m ) donde cada L i, i =1,...,m, m 0, es un literal con L i L j para cada i j, y x 1,...,x s, s 0, son variables que ocurren en (L 1 L m ) Forma normal de Skolem En el proceso de llevar una fbf a forma clausulada se llega a un punto en el que hay que eliminar los cuantificadores existenciales. Esto se consigue introduciendo las llamadas funciones de Skolem. En esta sección se explica la forma de proceder para hacer esto. Además se enuncia y demuestra un importante teorema que relaciona la insatisfacibilidad de una fbf con la de su forma normal de Skolem. Sea G una fórmula que ya está en forma normal prenexa (Q 1 x 1 )(Q 2 x 2 )...(Q n x n )M[x 1,x 2,...,x n ] donde M[x 1,x 2,...,x n ] está en forma normal conjuntiva. Sea Q r un cuantificador existencial del prefijo (1 r n). Q r se elimina del prefijo y se realizan los siguientes cambios: (a) Si no hay ningún cuantificador universal delante de Q r elegir una constate c que no ocurra en M. reemplazar todas las ocurrencias de x r en M por c. (b) Sean Q s1,q s2,...,q sm todos los cuantificadores universales que aparecen delante de Q r con (1 s 1 <s 2...s m <r). elegir una función m-aria f r que no ocurra en M. reemplazar todas las ocurrencias de x r en M por f r (x s1,x s1...,x sm ). Cuando todos los cuantificadores existenciales han sido eliminados por este procedimiento, la última fórmula obtenida G s es la forma estándar de Skolem de G. Las constantes y funciones utilizadas para reemplazar las variables cuantificadas existencialmente reciben el nombre de funciones de Skolem. César I. G. Osorio 7 LSI Univ. de Burgos Ejemplo 5 Obtener la forma estándar de Skolem de la fórmula: ( x)( y)( z)( u)( v)( w)p (x, y, z, u, v, w) Como ya está en forma normal prenexa y la matriz en forma normal conjuntiva, simplemente tenemos que hacer las eliminaciones de cuantificadores existenciales. Como ( x) no está precedido de ningún cuantificador universal, la variable x se sustituye por una constante, por ejemplo a. Como ( u) esta precedido por los cuantificadores universales sobre las variables y y z la variable u se sustituye por la función f(y, z). Por último como ( w) está precedido por los cuantificadores universales sobre las variables y, z y v se sustituirá por una función, como por ejemplo g(y, z, v). Con lo cual se obtiene: ( y)( z)( v)p (a, y, z, f(y, z), v, g(y, z, v)) Ya se había introducido el concepto de cláusula como una disyunción de cero o más literales, también se ha visto que una cláusula podía representarse como un conjunto de literales entre los que se supone la disyunción. Del mismo modo un conjunto de cláusulas S se puede ver como la conjunción de todas las cláusulas en S, donde cada variable en S se considera que está gobernada por un cuantificador universal. Como ya se ha dicho los cuantificadores existenciales pueden ser eliminados sin afectar a la propiedad de inconsistencia. Esto es lo que nos dice el siguiente teorema. Teorema 1 Sea G una sentencia y G s su forma estándar de Skolem. G es inconsistente si y sólo si G s es inconsistente. Demostración: Sin perdida de generalidad se puede suponer que G está en forma normal prenexa, es decir: G =(Q 1 x 1 )(Q 2 x 2 )...(Q n x n )M[x 1,x 2,...,x n ] Sea Q r el primer cuantificador existencial de G y G 1 igual a: G 1 =( x 1 )...( x r 1 )(Q r+1 x r+1 )...(Q n x n ) M[x 1,...,x r 1,f(x 1,...,x r 1 ),x r+1,...,x n ] con f la función de Skolem correspondiente a x r. Se va a demostrar que G es inconsistente si y sólo si G 1 es inconsistente. El razonamiento será por reducción al absurdo. César I. G. Osorio 8 LSI Univ. de Burgos

5 Lógica 2.2 Forma normal de Skolem Lógica REFERENCIAS G inconsistente G 1 inconsistente. Sea G inconsistente y supongamos G 1 consistente. Por ser G 1 consistente existe una interpretación I tal que bajo esa interpretación G 1 es cierta. Es decir para todo x 1,...,x r 1 existe al menos un elemento del dominio, d r = f(x 1,...,x r 1 ), tal que la sentencia: (Q r+1 x r+1 )...(Q n x n )M[x 1,...,x r 1,d r,x r+1,...,x n ] es cierta en I. Es decir la sentencia: (Q r+1 x r+1 )...(Q n x n )M[x 1,...,x r 1,x r,x r+1,...,x n ] es cierta en I para todo x 1,...,x r 1 y para algún x r (en concreto existe el x r = d r ). Esto es, G es cierto en I, lo que contradice la asunción de que G es inconsistente. Por tanto G 1 no puede ser consistente. G 1 inconsistente G inconsistente. Sea G 1 inconsistente y supongamos G consistente, por ser G consistente existe una interpretación I sobre un dominio D tal que G es cierta bajo I. Es decir para todo x 1,...,x r 1 existe un elemento x r tal que la sentencia: (Q r+1 x r+1 )...(Q n x n )M[x 1,...,x r 1,x r,x r+1,...,x n ] es cierta en I. Extendamos la interpretación I con una función f de aridad (r 1) que vaya de (x 1,...,x r 1 ) en x r para todo x 1,...,x r 1 en D, es decir f(x 1,...,x r 1 )=x r. Llamaremos I a esta nueva interpretación. Con esta definición está claro que la sentencia: (Q r+1 x r+1 )...(Q n x n )M[x 1,...,x r 1,f(x 1,...,x r 1 ),x r+1,...,x n ] es cierta en I para todo x 1,...,x r 1. Pero esto contradice la asunción de que G 1 fuera inconsistente. Por tanto G debe ser inconsistente. La demostración del teorema ya es inmediata, por inducción sobre el número total de cuantificadores existenciales. Si m es el número total de cuantificadores existenciales, hacemos G 0 = G y G k será la fórmula obtenida a partir de G k 1 reemplazando el primer cuantificador existencial por una función de Skolem para k =1, 2,...,m. Claramente G s = G m. La demostración por inducción sobre G i utiliza los mismos argumentos que el paso de G a G 1. Por tanto se concluye que G es inconsistente si y sólo si G s es inconsistente. César I. G. Osorio 9 LSI Univ. de Burgos Sea G s la forma estándar de Skolem de una fórmula G. SiG es inconsistente, entonces por el teorema 1 G G s.sig no es inconsistente, hay que hacer notar que en general G no es equivalente a G s. Ejemplo 6 Sea G =( x)p (x) y G s = P (a). Claramente G s es la forma estándar de Skolem de G. Sin embargo, para la interpretación I definida como: Dominio: D = {1, 2} Asignación para a: a 1 Asignación para P : P (1) P (2) F T claramente, G es cierta en I, pero G s en falsa en I. Por tanto G G s. Es evidente que una fórmula puede tener más de una forma normal de Skolem, por simplicidad cuando se transforma una fórmula G en su forma estándar G s es conveniente reemplazar los cuantificadores existenciales por funciones de Skolem que sean lo más simples posibles, esto significa que tengan el menor número de variables posibles. Cuando se tiene una fórmula como F = F 1... F n,se puede obtener el conjunto de cláusulas S que representa la forma estándar de Skolem de F hallando los conjuntos de cláusulas S i que representan las formas normales de Skolem de cada F i y calculando la unión de los mismos. Se tiene que S = S 1... S n. Usando argumentos similares a los dados en el teorema 1 no es difícil ver que F es inconsistente si y sólo si S es inconsistente. Referencias [CCT73] Chin-Liang Chang y Lee Richard Char-Tung. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Computer science classics. Academic Press, [LVDG91] Peter Lucas y Linda Van Der Gaag. Addison-Wesley, Principles of expert systems. César I. G. Osorio 10 LSI Univ. de Burgos