Tema 2: (Tecnologías Informáticas) Curso Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

Transcripción

1 y Tema 2: y Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica Informática (Tecnologías Informáticas) Curso

2 Contenido y

3 En este tema presentaremos mecanismos para transformar las fórmulas de las diversas lógicas estudiadas y conseguir expresiones equivalentes con algunas ventajas. Comenzaremos dando procedimientos para transformar fórmulas proposicionales, que hacen uso de las conectivas lógicas. Y posteriormente daremos procedimientos para trabajar con los cuantificadores y así poder transformar fórmulas de lenguajes de primer orden. y

4 en LP Comenzaremos dando una visión algebraica de las fórmulas proposicionales. Si identificamos cada conectiva con su función de verdad, entonces cada fórmula proposicional F, que contenga sólo las variables proposicionales p 1,..., p n, puede considerarse una expresión algebraica (similar a un polinomio), que define una función booleana H F : {0, 1} n {0, 1}. Estas expresiones algebraicas pueden manipularse de manera similar al modo en que reescribimos una expresión aritmética para simplificarla. Conseguiremos así dos formas simples para cada fórmula: la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva. y

5 en LP Dos fórmulas F 1, F 2 son equivalentes (F 1 F 2 ) si, para toda valoración v, v(f 1 ) = v(f 2 ). Es decir, F 1 F 2 si F 1 y F 2 tienen los mismos modelos. F 1 F 2 si y sólo si F 1 = F 2 y F 2 = F 1 Ejemplos: Cualesquiera dos fórmulas insatisfactibles son equivalentes. Dos tautologías cualesquiera son equivalentes.... y

6 Equivalencias (I) Sean A, B PROP. Se tienen las siguientes equivalencias: Conmutatividad: A B B A y A B B A Asociatividad: A (B C) (A B) C y A (B C) (A B) C Distributividad: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) y Doble negación: A A Leyes de De Morgan: (A B) A B y (A B) A B

7 Equivalencias (II) Idempotencia: A A A y A A A Absorción: A (A B) A y A (A B) A Leyes de tautología: Si A es una tautología, entonces A B B y A B A Leyes de inconsistentes: Si A es insatisfactible, entonces y A B A y A B B

8 Dadas A, B PROP si A es una subfórmula de B y A PROP, la sustitución de A por A en B es la fórmula que se obtiene al cambiar cada aparición de A en B por A. Notación: B{A/A }. Si A no es una subfórmula de B, por definición B{A/A } es B. Ejemplo: Si B es p (q r) s, A es q r y A es t r, entonces y { B }} { { B{A/A } }} { p (q r) s }{{} A p (t r) s }{{} A

9 : ejemplos Si B es p q r s entonces: B{r s/p} es p q p. B{q r/q} es B{q r s/p r} es B{p q/p} es p q r s. p p r. p q r s. y Si C es la fórmula (p q) (r p q), entonces C{p q/t} es t (r t). C{p q/t p q} es (t p q) (r (t p q)).

10 El Teorema de Teorema de. Sean B PROP y A, A PROP tales que A A. Entonces B{A/A } B El teorema de sustitución nos permite manipular algebraicamente una fórmula F para obtener otra fórmula más simple y equivalente a F. Este proceso es similar al empleado en la simplificación de expresiones algebraicas. Ejemplo: y B (A (A B)) B (A ( A B)) B (A A) (A B) B (A B) B

11 Literales proposicionales Una fórmula F es un literal si es una variable proposicional o la negación de una variable proposicional. Dos literales, L 1 y L 2, son complementarios (se dice que uno es el complementario del otro) si uno de ellos es la negación del otro. Lema 1. Sean L 1,..., L n literales. Son equivalentes: n 1. L i es una tautología. i=1 2. {L 1,..., L n } contiene un par de literales complementarios. Lema 2. Sean L 1,..., L n literales. Son equivalentes: n 1. L i es insatisfactible i=1 2. {L 1,..., L n } contiene un par de literales complementarios. y

12 en LP Una fórmula está en Forma normal conjuntiva (FNC) si es una conjunción de disyunciones de literales: n m i F = i=1 j=1 Una fórmula está en Forma normal disjuntiva (FND) si es una disyunción de conjunciones de literales: n m i F = i=1 j=1 L i,j L i,j y

13 en LP (II) Lema: Una fórmula en forma normal conjuntiva es una tautología syss cada una de sus disyunciones es una tautología. Una fórmula en forma normal disjuntiva es insatisfactible syss cada una de sus conjunciones es insatisfactible. Teorema. Para toda fórmula G existe F en FNC tal que F G. Para toda fórmula G existe F en FND tal que F G. y

14 Paso a forma normal Procedimiento para transformar G en FNC: 1. Eliminar todas las implicaciones usando: A B A B y A B (A B) (B A) 2. Trasladar las negaciones, mediante las leyes de Morgan: (A B) A B y (A B) A B 3. Eliminar negaciones dobles usando A A. 4. Convertir a FNC utilizando la ley distributiva: y A (B 1 B 2 ) (A B 1 ) (A B 2 ) Para pasar a FND, en 4 utilizamos la ley distributiva: A (B 1 B 2 ) (A B 1 ) (A B 2 )

15 Ejemplo: Para obtener una FNC de ( p q) (q r) p siguiendo el procedimiento anterior: ( p q) (q r) p ( p q) ((q r) p) ( p q) (q r) p p q ( q r) p p q (( q p) ( r p)) (p q q p) (p q r p) ( q p) ( q r p) y Hemos eliminado literales repetidos en una misma cláusula gracias a la equivalencia: A A A. (En la FND utilizaríamos la equivalencia A A A).

16 Cláusulas en LP y Una cláusula es una disyunción de literales L 1 L n. Dada una valoración v y una cláusula L 1 L n : v = L 1 L n Existe i = 1,..., n tal que v = L i Por tanto, el valor de verdad de L 1 L n no depende ni del orden en que aparecen los literales ni de posibles repeticiones de literales. En consecuencia, identificamos la cláusula L 1 L n con el conjunto de literales {L 1,... L n }. Caso especial: la cláusula vacía, correspondiente al conjunto de literales vacío. La denotamos por. Por definición, para toda valoración, v, se tiene v( ) = 0. Notación: L c denota al literal complementario de L.

17 en LP Para toda fórmula F PROP existe un conjunto de cláusulas {C 1,..., C n } tal que para toda valoración, v, v = F v = {C 1,..., C n } {C 1,..., C n } se denomina una forma clausal de F. Podemos obtener una forma clausal a partir de una forma normal conjuntiva. La fórmula en forma normal conjuntiva y (L 1,1 L 1,n1 ) (L m,1 L m,nm ) se escribe en forma clausal: {{L 1,1,..., L 1,n1 }... {L m,1,, L m,nm }}

18 en LP (II) En el caso de un conjunto de fórmulas U existe un conjunto de cláusulas {C 1,..., C n } tal que para toda valoración, v, v = U v = {C 1,..., C n } {C 1,..., C n } se denomina una forma clausal del conjunto U. Podemos obtener una forma clausal de un conjunto U uniendo formas clausales de las fórmulas de U. Ejemplo: y U = {p q, (p q) (r p), p r} }{{}}{{}}{{} (1) (2) (3) Una forma clausal de U es: { p q, p q, r p, p, r} }{{}}{{}}{{} (1) (2) (3)

19 Algoritmo de satisfactibilidad mediante FND Entrada: Una fórmula F. Salida: Satisfactible, si F es satisfactible; Insatisfactible, en caso contrario. Procedimiento Calcular una FND de F, FND(F ) G = G 1 G n FND(F ) para i = 1 hasta n si en G i no ocurren literales complementarios, entonces devolver satisfactible, parar devolver insatisfactible y

20 Algoritmo de validez mediante FNC Entrada: Una fórmula F Salida: Tautologia, si F es una tautología; No-tautologia, en caso contrario. Procedimiento Calcular una FNC de F, FNC(F ) G = G 1 G n FNC(F ) para i = 1 hasta n si en G i no ocurren literales complementarios, entonces devolver No-tautologia; parar devolver Tautologia y

21 Ejemplos F 1 = (p q) (q r) p. Su forma normal conjuntiva es ( p q q p) ( p q r p) Es una tautología (y, por tanto, satisfactible). F 2 = (p q) (p q). La forma normal disyuntiva de F 2 es: y ( p q) p q Por tanto, F 2 es satisfactible. La forma normal conjuntiva de F 2 es ( p q) ( q p q) Por tanto, F 2 no es tautología.

22 en LPO En esta sección veremos cómo obtener formas normales para fórmulas de un lenguaje de primer orden. Para ello, daremos métodos para manipular los cuantificadores y obtener expresiones adecuadas a las que podremos posteriormente aplicar los mecanismos de normalización presentados para la lógica proposicional. y

23 Equivalencia entre fórmulas LPO Recordemos que si F y G son fórmulas de un lenguaje de primer orden, entonces F y G son equivalentes, F G, si y sólo si F G es lógicamente válida. Para fórmulas cerradas, F G si y sólo si F y G tienen los mismos modelos. Para fórmulas no cerradas la equivalencia queda como: F ( x) G( x) sii = x(f ( x) G( x)) Ejemplos: Las equivalencias proposicionales son válidas en lógica de primer orden. Otras equivalencias importantes expresan propiedades de los cuantificadores: x(f G) xf xg. y Utilizaremos las equivalencias para reescribir las fórmulas.

24 Forma normal prenexa Una fórmula F de un lenguaje de primer orden está en forma normal prenexa (o forma prenex) si es de la forma Q 1 x 1 Q 2 x 2 Q n x n G(x 1,..., x n ) donde Q i {, } y G(x 1,..., x n ) es abierta. Es decir, una fórmula en forma prenex está formada por un bloque inicial de cuantificadores seguido por una fórmula abierta. Decimos que una fórmula H es una forma normal prenexa de F si F y H son equivalentes y H está en forma prenex. Objetivo: Dada una fórmula, trasladar todos los cuantificadores a la parte inicial de la fórmula para obtener una forma normal prenexa. y

25 Operación Subfórmula Cambiar por Restricción (P1) xg yg{x/y} y / VL(G) xg yg{x/y} y / VL(G) (P2) xf x F xg x G (P3) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) (P4) xg H x(g H) x / VL(H) xg H x(g H) x / VL(H) (P5) G xh x(g H) x / VL(G) G xh x(g H) x / VL(G) (P6) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) siendo VL(F ) el conjunto de las variables libres de F. y

26 Transformación a forma prenexa Observación: Si F se obtiene de F por aplicación de una operación prenex, entonces F F. Para cada fórmula F existe otra fórmula G en forma prenexa que es equivalente a F. Un método a seguir es: 1. Si aparece la conectiva la expresamos de forma equivalente usando y. 2. Renombramos las variables de cada subfórmula elemental (es decir, de la forma v H, o bien, v H), para que no interfieran las cuantificaciones. Para ello utilizamos la operación (P1). 3. Trasladamos negaciones usando (P2). 4. Aplicamos las reglas (P3) (P6). y

27 Ejemplos Sea F (z, y) x y(x + z = y) z x(x y = 0 + z) 1. x 1 y 1 (x 1 + z = y 1 ) z 2 x 2 (x 2 y = 0 + z 2 ) 2. x 1 ( y 1 (x 1 + z = y 1 ) z 2 x 2 (x 2 y = 0 + z 2 )) 3. x 1 y 1 ((x 1 + z = y 1 ) z 2 x 2 (x 2 y = 0 + z 2 )) 4. x 1 y 1 z 2 ((x 1 + z = y 1 ) x 2 (x 2 y = 0 + z 2 )) 5. x 1 y 1 z 2 x 2 ((x 1 + z = y 1 ) (x 2 y = 0 + z 2 )) Sea G(z, y) x P(x, a) ( z P(x, z) x P(x, a)) 1. x 1 (P(x 1, a) ( z 2 P(x, z 2 ) x 3 P(x 3, a))) 2. x 1 (P(x 1, a) z 2 (P(x, z 2 ) x 3 P(x 3, a))) 3. x 1 (P(x 1, a) z 2 x 3 (P(x, z 2 ) P(x 3, a))) 4. x 1 z 2 x 3 (P(x 1, a) P(x, z 2 ) P(x 3, a)) y

28 Cláusulas en LPO Una fórmula F es un literal si es una fórmula atómica o la negación de una fórmula atómica. Una cláusula es una disyunción de literales. Por tanto, es una fórmula abierta. Como en el caso de la lógica proposicional, identificaremos una cláusula con el conjunto de los literales que aparecen en ella. Denotaremos por a la cláusula vacía. Aunque más adelante continuaremos con las formas clausales en LPO, por ahora basta indicar que podemos seguir el mismo procedimiento visto en el caso proposicional, obteniendo una forma normal conjuntiva de literales (de primer orden) cuando trabajemos con fórmulas abiertas. y

29 Ejemplos H(x, y) (u z P(z, u)) : {{ H(x, y), u = z, P(z, u)}} x < z (x < y y < z) (( (x < z) x < y) ( (x < z) y < z)) y O también {{ (x < z), x < y}, { (x < z), y < z)}}