1 Resolución en lógica de proposiciones RESOLUCIÓN. Índice General. César Ignacio García Osorio. Resolución

Transcripción

1 1 en lógica de proposiciones Índice General RESOLUCIÓN César Ignacio García Osorio 1 en lógica de proposiciones Refutación por resolución en lógica de predicados Refutación por resolución Completitud de la resolución 10 4 Agenda 13 Resumen En este capítulo de presenta los fundamentos teóricos del principio de resolución. El principio de resolución supuso uno de los avances más importantes en el campo de la demostración automática de teoremas. En este principio ya no se trabaja de forma explícita con las H-interpretaciones. En vez de generar conjunto de instancias básicas del conjunto de cláusula original, se trabaja directamente con las cláusulas.. En este apartado se definen los principales conceptos del principio de resolución, pero sólo a nivel de lógica de proposiciones. Definición 1 ( binaria, resolvente binario, cláusulas padre) Sean C 1 y C 2 dos cláusulas con λ C 1 y λ C 2 dos literales complementarios. El procedimiento de resolución procede como sigue: 1. Borrar λ de C 1 y λ de C 2, para dar las cláusulas C 1 y C Formar la disyunción C de C 1 y C Eliminar los posibles literales redundantes de C, para obtener C =(C 1 {λ}) (C 0 { λ}). La cláusula resultante C se llama resolvente de C 1 y C 2 respecto a λ 1, y se denota por res λ (C 1,C 2 ). Las cláusulas C 1 y C 2 se dice que son las cláusulas padre del resolvente. Esta forma básica de la regla de inferencia resolución también es conocida con el nombre de resolución binaria, ya que sólo están involucradas dos cláusulas. Ejemplo 1 Sean las cláusulas C 1 = {P } y C 2 = { P, Q}, su resolvente con respecto a P es: res λ (C 1,C 2 ) = ({P } {P}) ({ P, Q} { P }) = {Q} = {Q}. Si se reescriben las cláusulas como fórmulas bien formadas se comprueba que, en este ejemplo, la regla de resolución equivale a aplicar la regla modus ponens sobre las fórmulas originales: C P Q Q El principio de resolución también puede verse como una extensión de la regla del literal único de Davis y Putnam. La resolución tiene la importante propiedad de que cuando dos cláusulas padres son ciertas bajo una interpretación, su resolvente es también cierto bajo la misma interpretación, por tanto: la resolución es una regla de inferencia sólida. El siguiente teorema prueba la solidez de la resolución para la lógica de proposiciones. 1 A λ ya λse les denomina literales de resolución o literales resolventes (del ingles literals resolved upon). César I. G. Osorio 2 LSI Univ. de Burgos

2 Teorema 1 Solidez de la resolución en lógica de proposiciones Sean C 1 y C 2 dos cláusulas que se pueden resolver y sea C su resolvente, entonces C es consecuencia lógica de C 1 y C 2 (C 1,C 2 = C) Demostración: Si C 1 y C 2 se pueden resolver existe λ tal que λ C 1 y λ C 2 y se puede escribir: C 1 = {λ} C 1 C 2 = { λ} C 2 C = C 1 C 2 con C 1 y C 2 cláusulas. Si C 1 y C 2 son ciertas bajo una interpretación I, se pretende demostrar que C también es cierta bajo I. Se tiene que λ o λ (uno de los dos) debe ser falso bajo I. Supóngase que λ es falso bajo I. Entonces C 1 no puede ser una cláusula unitaria, ya que de serlo seria falsa bajo I. Por tanto, C 1 debe ser cierto bajo I. De modo que el resolvente C, es decir C 1 C 2 es cierto en I. Análogamente si λ es falso en I, entonces C λ 2 debe ser cierto en I. Lo que significa que C 1 C 2 debe ser cierto en I. Con lo que el teorema queda demostrado. En el caso particular de que C 1 y C 2 sean cláusulas unitarias se tiene que C 1 = {λ} C 2 = { λ} C = {λ}, { λ} = esto explica el convenio de considerar como inconsistente. Definición 2 (Derivación (por resolución), refutación ) Sea S un conjunto de cláusulas y C una cláusula. Una derivación (por resolución) de C a partir de S (S C), es una secuencia finita de cláusulas C 1,C 2,...,C n,n 1, tales que C n = C y para cada C k se verifica una de las dos condiciones siguientes: C k es una cláusula de S (C k S) existen enteros i<k, j<ky un literal λ tales que C k = res λ (C i,c j ). En otras palabras C k es un resolvente cuyas cláusulas padre le preceden en la secuencia. Si C n =, entonces la derivación se llama refutación (o prueba) des, e indica que S es insatisfacible como se muestra en el corolario del siguiente teorema. Teorema 2 Solidez de la derivación por resolución en lógica de proposiciones Sea S un conjunto de cláusulas y C una cláusula, si existe una derivación por resolución de la cláusula C a partir de las cláusulas de S (S C), entonces C es consecuencia lógica de S (S = G). Demostración: Hay que demostrar que si las cláusulas de S son ciertas, entonces también lo será la cláusula C. Sea C 1,C 2,...,C n = C la derivación por resolución de la cláusula C a partir de S, la demostración se realizará por inducción sobre las cláusulas de la derivación. Partimos de que S es cierto y vamos a ver que también lo es C. Por ser S cierto también lo es C 1, ya que (C 1 S). César I. G. Osorio 3 LSI Univ. de Burgos Suponemos que C j es cierto para todo j<i Si C i S, C i es cierto. Si C i / S, existen los enteros j < i, k < i y la cláusula λ tales que C i = res λ (C j,c k ) y entonces C i es cierto por el teorema 1 Del teorema anterior se deduce que si S es un conjunto de cláusulas inconsistente entonces existe una derivación por resolución de la cláusula vacía a partir de S. Mas adelante se verá que si se deriva por resolución la cláusula vacía a partir de un conjunto de cláusulas S, es porque S es insatisfacible. A continuación se presentan varios ejemplos en los que se muestra como el principio de resolución puede usarse para probar la insatisfacibilidad de un conjunto de cláusulas. Ejemplo 2 Considérese el conjunto de cláusulas: de (1) y (2) se obtiene el resolvente de (4) y (3) se obtiene el resolvente (1) P Q (2) Q (3) P (4) P (5) = S Como se ha derivado por resolución de S, de acuerdo con teorema 2 es consecuencia lógica de S, y como se verá más adelante esto implica que S es insatisfacible. Esta no es la única refutación posible de S 2. En general un conjunto de cláusulas puede tener más de una refutación 3. Ejemplo 3 Para el conjunto (1) P Q (2) P Q (3) P Q (4) P Q = S 2 También es posible obtener la derivación por resolución: P Q, Q, P, Q (de 1 y 3), (de 2 y 4). 3 Como se verá más adelante esto es una de las causas de la ineficiencia de los programas de razonamiento automático. A lo largo de su ejecución se generan cláusulas de más de una refutación, lo ideal sería generar únicamente las cláusulas de una de ellas, esto el lo que buscan las reglas de inferencia y las estrategias: disminuir el número de cláusulas generadas la mínimo necesario para generar una única refutación. César I. G. Osorio 4 LSI Univ. de Burgos

3 1.1 Refutación por resolución P Q P Q P Q Q P Q Q 3. Repetir hasta que se obtenga la cláusula vacía o no se generen nuevas cláusulas: a) Seleccionar dos cláusulas que se puedan resolver, formando su resolvente. b) Si el resolvente no es la cláusula vacía, añadirlo a S. Como la lógica de proposiciones es decidible, el procedimiento siempre para si le asignamos suficientes recursos. Cuando termina hay dos posibilidades: i) Se ha generado la cláusula vacía, lo que significa que S es inconsistente, es decir, S 0 { t} es inconsistente, luego S 0 = t y t es un teorema de T (sistema formal completo). Figura 1: Grafo/árbol de derivación se puede generar los siguientes resolventes (5) Q de (1) y (2) (6) Q de (3) y (4) (7) de (5) y (6) Como se ha derivado, S es insatisfacible. Una derivación como la anterior puede ser representada en un grafo llamado grafo de derivación, que se muestra en la figura 1. En el caso de una refutación, los vértices en el grafo de derivación están restringidos a ser aquellas cláusulas que intervienen directa o indirectamente en la refutación en la refutación. Este grafo de derivación toma la forma de un árbol y usualmente se usa el termino árbol de derivación para designarlo. Las hojas de este árbol son las cláusulas del conjunto original, y la raíz del árbol es la cláusula vacía (o, si en vez de una refutación se trata de una derivación, la cláusula derivada). 1.1 Refutación por resolución A continuación se verán los pasos que hay que dar para probar un teorema de una teoría mediante el uso de la refutación y de la resolución como regla de inferencia. La refutación por resolución consiste en realizar una demostración por refutación empleando la resolución como única regla de inferencia. Para probar que t es un teorema de una teoría T sobre un sistema formal axiomático sólido y completo, se usa el siguiente procedimiento: 1. Convertir los axiomas de T a forma normal conjuntiva. Crear el conjunto S 0 con todas las fórmulas obtenidas. 2. Negar t y convertirlo a forma normal conjuntiva. Añadir las cláusulas obtenidas a S 0, obteniendo S. César I. G. Osorio 5 LSI Univ. de Burgos ii) No se generan nuevos resolventes, lo que significa que S es consistente, es decir S 0 { t} es consistente, luego S 0 = t y t no es un teorema de T (sistema formal sólido). Si no se exige un sistema formal sólido y completo, el procedimiento sólo demuestra la consistencia o inconsistencia de S. El principio de resolución es una regla de inferencia potente. En la siguiente sección se definirá este principio para la lógica de primer orden. Se verá además la completitud del principio de resolución, es decir si un conjunto de cláusulas es insatisfacible se podrá derivar la cláusula vacía utilizando la resolución. 2 en lógica de predicados El mismo principio de resolución aplicable a la lógica de proposiciones, es aplicable a la de predicados. Para poder aplicar el principio de resolución a la lógica de predicados se necesita, sin embargo, introducir el concepto de unificación. Básicamente la unificación es un algoritmo que permite calcular la sustitución de variables por términos que hace que dos expresiones sean sintácticamente iguales. La unificación se explica en detalle en el anexo I, que es conveniente haber leído para entender lo que aquí se explica, no obstante se va a dar una idea general de como se usa este concepto en la obtención de resolventes a través de un par de ejemplos. Ejemplo 4 Se tienen la fórmulas: ( x)( y)( P (x, g(y)) Q(x)) ( v)p (a, v) Se quiere aplicar la regla de inferencia modus ponens pero tal como están la fórmulas no podemos, pero como se tiene el mismo predicado y los cuantificadores universales, se pueden manipular las fórmulas para conseguir la aplicación de la regla de inferencia. César I. G. Osorio 6 LSI Univ. de Burgos

4 La manipulación consistirá en la sustitución de las variables por términos mediante el uso de la regla de inferencia de instanciación universal. Se sustituye la variable x de la primera fórmula por el termino a y la variable v de la segunda por el termino g(y), para obtener la fórmulas P (a, g(y)) Q(a) P (a, g(y)) sobre las que si se puede aplicar la regla de inferencia modus ponens para concluir finalmente: Ejemplo 5 Sea el conjunto de cláusulas: Q(a) (1) P (x 1 ) Q(x 1,y 1 ) (2) P (a) Q(x 2,f(y 2 )) (3) P (b) Q(x 3,y 3 ) (4) P (y 4 ) Q(x 4,f(y 4 )) a partir de este conjunto de cláusulas se puede obtener una serie de resolventes si se combina la resolución con la sustitución de variables por términos 4. (5) P (a) Q(a, f(y 2 )) de (1) al sustituir la variable x 1 por el termino constante a, y la variable y 1 por el termino f(y 2 ) (6) P (a) Q(a, f(y 2 )) de (2) al sustituir la variable x 2 por el termino constante a (7) Q(a, f(y 2 )) de (1) y (2) aplicando la resolución (8) P (b) Q(x 3,f(y 4 )) de (3) al sustituir la variable y 3 por el termino f(y 4 ) (9) P (b) Q(x 3,f(y 4 )) de (4) al sustituir la variable y 4 por el termino b, y la variable x 4 por el termino x 3 (10) Q(x 3,f(b)) de (8) y (9) aplicando la resolución (11) Q(a, f(b)) de (7) al sustituir la variable y 2 por el termino b (12) Q(a, f(b)) de (10) al sustituir la variable x 3 por el termino a (13) de (11) y (12) aplicando la resolución como finalmente se obtiene la cláusula vacía a partir de S, S es inconsistente. 4 Como se ve las cláusulas del ejemplo no tienen variables comunes. Si el conjunto inicial de cláusulas tuviera cláusulas con variables comunes, lo habitual es renombrar la variables comunes para deshacer esta situación, a esta operación de renombrado se la llama normalización por separado. Esta operación es posible ya que las variables son mudas y sólo tienen relevancia en la cláusula en la que aparecen, es decir, una variable llamada x que aparece en una cláusula no tiene nada que ver con una variable llamada x que aparezca en otra cláusula. César I. G. Osorio 7 LSI Univ. de Burgos A continuación se definen los conceptos relativos al principio de resolución para la lógica de primer orden (algunos de ellos son similares, pero otros son nuevos para la lógica de predicados). Definición 3 (Resolvente binario, cláusulas padre, literales de resolución) Sean C 1 y C 2 dos cláusulas que no tienen variables comunes 5. Sean L 1 C 1 y L 2 C 2 dos literales de manera que L 1 y L 2 sean unificables con unificador más general θ. Se denomina resolvente binario de C 1 y C 2 (respecto a L 1 y L 2 ) y se denota, por res L1,L 2 (C 1,C 2 ) a la cláusula: res L1,L 2 (C 1,C 2 )=(C 1 θ {L 1 }θ) (C 2 θ {L 2 }θ) Las cláusulas C 1 y C 2 se llaman cláusulas padres de res L1,L2 (C 1,C 2 ). Y los literales L 1 y L 2 se llaman literales de resolución (literals resolved upon). Ejemplo 6 Sean C 1 = P (x) Q(x) y C 2 = P (a) R(x). Como x aparece en las dos cláusulas se renombra la variable en C 2 para tener C 2 = P (a) R(y). Los literales de resolución son L 1 = P (x) y L 2 = P (a). Como L 1 y L 2 son unificables con unificador más general θ = {a/x} se tiene que res L1,L2 (C 1,C 2 ) = (C 1 θ {L 1 }θ) (C 2 θ {L 2 }θ) = ({P (a),q(a)} {P(a)}) ({ P (a),r(y)} { P(a)}) = {Q(a)} {R(y)} = {Q(a),R(y)} por tanto Q(a) R(y) es un resolvente binario de C 1 y C 2. Ejemplo 7 Sean C 1 = P (x, x) y C 2 = P (y, f(y)), como P (x, x) y P (y, f(y)) no son unificables C 1 y C 2 no se pueden resolver. Definición 4 (Factor, factor unitario, factorización) Si dos o más literales (con el mismo signo) de una cláusula C tienen un unificador más general θ, entonces Cθ se llama factor de C.SiCθ es una cláusula unitaria, Cθ se llama factor unitario de C.Al proceso de obtener el factor de una cláusula se le denomina factorización. Ejemplo 8 Sea C = P (x) P (f(y)) Q(x). Los literales primero y segundo son unificables con unificador más general θ = {f(y)/x}. Por tanto, Cθ = P (f(y)) Q(f(y)) es un factor de C. Definición 5 (Resolvente) Sean C 1 y C 2 dos cláusulas que no tienen variables comunes. Se denomina resolvente de las cláusulas (padre) C 1 y C 2 a cualquiera de los siguientes resolventes binarios: 5 Si tuvieran variables comunes, habría que renombrar las variables para que eso no sucediera (ver nota anterior). César I. G. Osorio 8 LSI Univ. de Burgos

5 2.1 Refutación por resolución 1. resolvente binario de C 1 y C resolvente binario de C 1 y un factor de C resolvente binario de un factor de C 1 y C resolvente binario de un factor de C 1 y un factor de C 2. Ejemplo 9 Sean C 1 = P (x) P (f(y)) R(g(y)) y C 2 = P (f(g(a))) Q(b). Un factor de C 1 es C 1 = P (f(y)) R(g(y)). Un resolvente binario de C 1 y C 2 es R(g(g(a))) Q(b). De modo que R(g(g(a))) Q(b) es un resolvente de C 1 y C 2. Ejemplo 10 Sean C 1 = P (x) P (y) y C 2 = P (u) P (v). Un factor de C 1 es C 1 = P (x) y un factor de C 2 es C 2 = P (u). El resolvente binario de C 1 y C 2 es, por tanto es un resolvente de C 1 y C 2. Claramente el conjunto {C 1,C 2 } es inconsistente pero la resolución binaria sin la factorización no permite obtener la cláusula vacía. Los teoremas teorema 1 y teorema 2 vistos para la lógica de proposiciones se cumplen también para la de predicados pero utilizando la operación de resolución aquí definida. La demostración de estos teoremas se traslada de forma inmediata a la lógica de predicados. Del mismo modo es valida la definición de derivación y de refutación pero como antes considerando la operación de resolución definida en la definición Refutación por resolución El procedimiento de refutación por resolución visto para la lógica de proposiciones también se puede utilizar para la lógica de predicados. Para probar que t es un teorema de una teoría T sobre un sistema formal axiomático sólido y completo, se usa el siguiente procedimiento: 1. Convertir los axiomas de T a forma clausulada. Llama S 0 al conjunto formado con todas las cláusulas obtenidas. 2. Negar t y convertirlo a forma clausulada. Añadir las cláusulas obtenidas a S 0, obteniendo S. 3. Repetir hasta que se obtenga la cláusula vacía, no se generen nuevas cláusulas o se consuman los recursos asignados: a) Seleccionar dos cláusulas que se puedan resolver, formando su resolvente. b) Si el resolvente no es la cláusula vacía, añadirlo a S. Si se obvian las dos condiciones de finalización relativa al consumo de recursos yalaimposi- bilidad de generación de cláusulas, este último paso se puede poner en una notación más próxima a los lenguaje de programación como: César I. G. Osorio 9 LSI Univ. de Burgos procedure (S) cláusulas S; while / cláusulas do {C i, C j } SeleccionarClausulasAResolver(cláusulas); resolvente Resolver(C i, C j ); cláusulas cláusulas {resolvente}; end_while end Las condiciones de terminación para la lógica de predicados son como se ve algo diferentes, esto es debido al hecho de que la lógica de predicados no es decidible. Las posibilidades que se tienen son: i) Se ha generado la cláusula vacía: S inconsistente, S 0 { t} inconsistente, luego S 0 = t y t es un teorema de T (sistema formal completo). ii) No se generan nuevos resolventes: S es consistente, S 0 { t} consistente, luego S 0 = t y t no es un teorema de T (sistema formal sólido). iii) Se agotan los recursos asignados: no se puede concluir nada S consistente: se pueden generar infinitos resolventes sin obtener. S inconsistente: podemos generar sin más que aumentar los recursos. 3 Completitud de la resolución En el teorema 1 se afirmaba que la resolución era una regla de inferencia sólida (si un conjunto S de cláusulas es insatisfacible se va a poder derivar la cláusula vacía a partir de S utilizando la resolución como única regla de inferencia). Aquí se verá que además es una regla de inferencia completa (si se deriva la cláusula vacía a partir de un conjunto de cláusulas S utilizando la resolución como regla de inferencia, S es insatisfacible). Para ello son necesarias las definiciones de los conceptos de número de ocurrencias de literales en una forma cláusulas y de número de literales en exceso, y la demostración del teorema de completitud básica. Además es necesario el teorema de lifting que nos permite pasar del resultado de completitud para cláusulas básicas a la completitud para cláusulas no básicas. Definición 6 (Número de ocurrencias de literales) Se denomina número de ocurrencias de literales en una forma clausulada a la suma de ocurrencias de literales de cada cláusula. César I. G. Osorio 10 LSI Univ. de Burgos

6 Definición 7 (Número de literales en exceso ) Se denomina número de literales en exceso de una forma clausulada al número de ocurrencias de literales menos el número de cláusulas. Ejemplo 11 Ejemplo 1.11 Sea el conjunto de cláusulas S = {P Q, P R, Q} se tienen que: su número de literales es: 2+2+1=5. su número de literales en exceso es: 5 3=2. Teorema 3 Teorema de completitud básica Sea S un conjunto finito de cláusulas básicas. Si S es insatisfacible, existe una derivación por resolución de la cláusula vacía a partir de S. Demostración: Sea S un conjunto inconsistente de cláusulas básicas. i) Si S, se deriva trivialmente de S. ii) Si / S, la existencia de la derivación de a partir de S se demuestra por inducción sobre el número de literales en exceso de S. Sea n el número de literales en exceso de S. Si n =0, todas las cláusulas de S son unitarias, como se tiene que / S la única forma de que S sea inconsistente es que existan dos literales complementarios, a partir de los cuales se obtiene. Se supone que el teorema se cumple para n = k 1(k >0). Para n = k>0 existe al menos una cláusula C con más de un literal ( / S), se selecciona un literal λ C, se forma C = C {λ} y se crean dos nuevas forma clausuladas. S 1 =(S {C}) {C } S 2 =(S {C}) {{λ}} Si S es inconsistente, S 1 y S 2 son inconsistentes 6. Como el número de literales en exceso de S 1 y S 2 es menor que n, por la hipótesis de inducción podemos derivar la cláusula vacía tanto de S 1 como de S 2. Considérese la derivación a partir de S 1. Si C no se usa en esta derivación, se tiene una derivación de a partir de S. Si C se usa, se realiza la siguiente construcción: 1. Añadir λ en C y sus descendientes en la derivación a partir de S Si sigue perteneciendo a la secuencia, ya esta. En caso contrario, en vez de la cláusula se tendrá la cláusula {λ}. Añadiendo la derivación de a partir de S 2 a esta derivación de {λ}, se tendrá una derivación de a partir de S. 6 Esto se sigue por un razonamiento similar al que se vio para la reglas de Davis y Putnam César I. G. Osorio 11 LSI Univ. de Burgos Teorema 4 Lema de lifting Sean C 1 y C 2 dos cláusulas que no tienen variables comunes y C 1 y C 2 particularizaciones básicas de C 1 y C 2 respectivamente. Si C es un resolvente de C 1 y C 2, entonces existe un resolvente C de C 1 y C 2 tal que C es una particularización básica de C. Demostración: En primer, lugar si fuera necesario, se renombran las variables de C 1 y C 2 para que no haya variables en común. Sean L 1 y L 2 los literales de resolución y C =(C 1γ {L 1}γ) (C 2γ {L 2}γ) donde γ es un unificador más general de L 1 y L 2. Dado que C 1 y C 2 son instancias de C 1 ydec 2, existe la sustitución θ tal que C 1 θ = C 1 y C 2 θ = C 2. Sean L 1 1,L 2 i,...,l ri i los literales de C i correspondientes al literal L i (es decir L 1 i θ = L 2 i θ =... = L ri i θ), para i =1, 2.Sir i > 1, se obtiene el unificador más general λ i de {L 1 i,l 2 i,...,l ri i } y sea L i = L 1 i λ i, para i =1, 2 7. Se tiene que L i es un literal en el factor C i λ i de C i.si r i =1, se hace que λ i sea λ i = ɛ y L i = L 1 i λ i. Sea λ = λ 1 λ 8 2, entonces claramente L i es una instancia de L 9 i. Dado que L 1 y L 2 son unificables, también lo son L 1 y L 2. Sea σ el unificador más general de L 1 y L 2,y C = ((C 1 λ)σ L 1 σ) ((C 2 λ)σ L 2 σ) = = ((C 1 λ)σ ({L 1 1,L 2 1,...,L r1 1 }λ)σ) ((C 2 λ)σ ({L 1 2,L 2 2,...,L r2 2 }λ)σ) (C 1 (λ σ) ({L 1 1,L 2 1,...,L r1 1 }(λ σ)) (C 2 (λ σ) ({L 1 2,L 2 2,...,L r2 2 }(λ σ)) C es un resolvente de C 1 y C 2. Claramente, C es una instancia de C puesto que C = (C 1γ L 1γ) (C 2γ L 2γ) = ((C 1 θ)γ ({L 1 1,L 2 1,...,L r1 1 }θ)γ) ((C 2 θ)γ ({L 1 2,L 2 2,...,L r2 2 }θ)γ) = (C 1 (θ γ) ({L 1 1,L 2 1,...,L r1 1 }(θ γ)) (C 2 (θ γ) ({L 1 2,L 2 2,...,L r2 2 }(θ γ)) y (λ σ) es más general que (θ γ) 10, con lo que se completa la demostración del lema. Teorema 5 Teorema de lifting Sea S una forma clausulada y S un conjunto de particularizaciones básicas de cláusulas de S. si existe una derivación por resolución de la cláusula C a partir de S, existe una derivación por resolución de la cláusula C a partir de S y C es una particularización básica de C. 7 L 1 i λ i,l 2 i λ i,...,l ri i λ i son el mismo literal ya que λ i es el unificador más general. 8 Esta operación es una simple unión sin mas, dado que al haber renombrado las variables de C 1 y de C 2 las variables ligadas de las sustituciones de λ 1 y λ 2 no van a ser las mismas. Se tiene por tanto que L 1 i λ = L1 i λ i = L i, para i =1, 2. 9 Recuérdese que L i se ha construido a partir de los literales L 1 i,l2 i,...,lri i, mediante la unificación de los mismos. 10 (λ σ) es más general que (θ γ) ya que la aplicación de (θ γ) sobre C 1 y C 2 da como resultado instancias básicas, mientras que la aplicación de (λ σ) no tiene por que (por otro lado recuérdese que σ es un unificador más general). Por ser (λ σ) más general que (θ γ) debe existir una sustitución µ tal que (θ γ) =(θ γ) µ, y por tanto C = C µ. César I. G. Osorio 12 LSI Univ. de Burgos

7 REFERENCIAS Finalmente se esta en condiciones de enunciar el teorema de completitud que junto con el teorema 2 nos permiten asegurar la solidez y completitud del procedimiento de refutación por resolución. Teorema 6 Teorema de completitud Sea S un conjunto finito de cláusulas. Si S es insatisfacible, existe una derivación por resolución de la cláusula vacía a partir de S. Demostración: Si S es insatisfacible, por el teorema de Herbrand, existe un conjunto de particularizaciones básicas de S, S que es insatisfacible (subconjunto de su expansión de Herbrand). Si S es insatisfacible, el teorema de completitud básica garantiza que existe una derivación por resolución de la cláusula vacía a partir de S. Por el teorema de lifting, podemos convertir esta derivación en una derivación de a partir de S. [WOB91] Larry Wos, Ewing Overbeek, Ross adn Lusk, y Jim Boyle. Automated Reasoning: Introduction and Aplications. McGraw-Hill, Agenda Este capítulo junto con el anterior es uno de los más importantes. Si en el capítulo anterior se daban la parte más importante de los conceptos teóricos para asentar los principios en los que se basa la demostración automática de teoremas, en este capítulo aparece una regla de inferencia que hace que la demostración sea algo práctico. El principio de resolución supone un cambio cualitativo en la forma de resolver los problemas de demostración automática de teoremas. Antes de formularse este principio la demostración pasaba por la generación a partir del conjunto de cláusulas inicial de conjuntos de cláusulas básicas, entonces se utilizaba este conjunto para intentar probar la satisfacibilidad o insatisfacibilidad del conjunto original. Con la regla de resolución se pasa a trabajar directamente con el conjunto dado. Además la eficiencia es mucho mayor. Sin con la introducción de las H-interpretaciones se había eliminado en parte la dependencia semántica de las fórmulas de la lógica de primer orden, al tener que considerar únicamente una interpretación especifica, con el principio de resolución esta dependencia es mucho menor al no considerar ninguna interpretación de forma explícita. Por otra parte el principio de resolución ha sido la base del desarrollo de otras reglas de inferencia posteriores todavía más eficientes. Si hoy en día la demostración automática de teoremas es algo factible, es gracias al principio de resolución. Referencias [CCT73] Chin-Liang Chang y Lee Richard Char-Tung. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Computer science classics. Academic Press, [LVDG91] Peter Lucas y Linda Van Der Gaag. Principles of expert systems. Addison- Wesley, César I. G. Osorio 13 LSI Univ. de Burgos César I. G. Osorio 14 LSI Univ. de Burgos