Tema 6: Programación Lógica: semántica declarativa. Lenguajes y Paradigmas de Programación

Transcripción

1 Tema 6: Programación Lógica: semántica declarativa Lenguajes y Paradigmas de Programación

2 Teoría de Modelos Se basa en el concepto de INTERPRETACIÓN, que consiste en: elegir un dominio D (en el que tomarán valor las constantes -y variables- de la fórmula) fijar una aplicación que: a cada constante del alfabeto de las fórmulas: le asigna un elemento de D a cada símbolo de función n-ario: le asigna una función de D n a D a cada símbolo de predicado n-ario: le asigna una función de D n a {T, F} (cierto/falso) Un MODELO de un conjunto de fórmulas: es cualquier interpretación en las que las fórmulas se evalúan a cierto

3 Teoría de Modelos Una fórmula G es SATISFACIBLE (o CONSISTENTE) si y sólo si existe una interpretación I tal que G se evalúa a T en I (es decir, si I es modelo de G). Una fórmula G es INSATISFACIBLE (o INCONSISTENTE) si y sólo si no existe una interpretación I que sea modelo de G. Una fórmula G es VALIDA (en símbolos, = G) si y sólo si cada interpretación I de G es modelo de G. Una fórmula G es CONSECUENCIA SEMANTICA (o CONSECUENCIA LOGICA) de un conjunto de fórmulas {G1,..., Gn} (en símbolos, G1,...,Gn = G) si y sólo si cada interpretación I que es modelo de la conjunción (G1... Gn),, es también modelo de G

4 Respuestas Correctas Sea P un conjunto de cláusulas de Horn definidas Sea G A 1,...,A k un objetivo Sea una respuesta para G en P. Entonces, es una respuesta correcta para P { G } sii P = [(A 1... A k ) ]

5 Ejemplo Consideremos el programa: p(x,y) q(x). q(f(a)). con el objetivo: p(z1,z2). Entonces: es respuesta correcta ={Z1/f(a)} no es respuesta correcta ={Z1/a} es respuesta correcta ={Z1/f(a),Z2/a} es respuesta correcta ={Z1/f(a), Z2/f(f(a))} no es respuesta correcta ={Z1/f(a), Z2/b} % ni siquiera es % una respuesta no es respuesta correcta ={Z1/f(a), Z3/a} % idem

6 * si el objetivo es: p(z,z). es respuesta correcta: ={Z/f(a)} no es respuesta correcta ={Z/a} * si el objetivo es: q(f(a)). es respuesta correcta: ={ } no es respuesta correcta ={X/a} % idem, ni siquiera es * si el objetivo es: q (a). no existe respuesta correcta ya que P { q(a}} es satisfacible. % una respuesta

7 Corrección y Completitud (i) TEOREMA DE CORRECCION Y COMPLETITUD DE LA RESOLUCION SLD (i) * CORRECCION: TODA respuesta COMPUTADA para P {G} es una respuesta CORRECTA para P {G}. COMPLETITUD: PARA TODA respuesta CORRECTA para P {G}, EXISTE una respuesta COMPUTADA para P {G} que es MÁS GENERAL que (en lo que respecta a las variables de G). En símbolos: es decir: [Var(G)]. = ( ) [Var(G)]

8 Atención, la relación no se cumple si se elimina la restricción a las variables de G. Es decir, no se cumple. = ( ) [Var(G)] EJEMPLO: P {p(x). q(a)} G p(y). * respuesta computada: ={Y/X} * respuesta correcta: ={Y/a} %(también lo sería ) * existe una sustitución = {X/a} tal que =( ) [Var(G)]= ({Y/X}{X/a}) [{Y}] = {Y/a,X/a} [{Y}] = {Y/a} pero no se cumple que =( )={Y/a,X/a}

9 Teoría de Modelos De acuerdo a la Tesis de Church, la validez de una fórmula es indecidible (no existe un procedimiento finito para decidir si una fórmula es válida o no). Sin embargo, si la fórmula realmente es válida, hay procedimientos de prueba que pueden verificarlo. Estos procedimientos, en general, no terminan si la fórmula no es válida (son procedimientos de semidecisión) Uno de estos algoritmos fué definido por Herbrand en La idea básica es fijar un dominio sintáctico de interpretación especial, llamado Universo de Herbrand, que se puede construir mecánicamente y que tiene la propiedad de que las interpretaciones sobre este dominio son suficientes para caracterizar la validez de la fórmula (si realmente lo es) y pueden ser generadas de forma mecánica también (es decir, automatizable).

10 Teoría de Modelos El dominio: Universo de Herbrand Dado un conjunto de fórmulas L, el Universo de Herbrand H asociado a L es el conjunto de todos los términos bien formados sin variables que se pueden construir con los simbolos del alfabeto de L. Si no hay constantes en este alfabeto, se añade una constante artificial "a". EJEMPLO: L: {p(g(x),f(y)).} C = {a} V = {x,y} = {f/1,g/1} = {p/2} H ={a,f(a),g(a),f(g(a)),g(f(a)),f 2 (a),g 2 (a),...,f n (a),g n (a)}

11 Teoría de Modelos Base de Herbrand La Base de Herbrand B asociada a un conjunto de fórmulas L es el conjunto de todos los átomos básicos que se pueden formar con los símbolos de predicado del alfabeto de L y los términos sin variables del universo de Herbrand de L. EJEMPLO: L: {p(x) q(f(x))} C = {a} V = {x} = {f/1} = {p/1,q/1} B = {p(a), q(a), p(f(a)), q(f(a)),..., p(f n (a)), q(f n (a))}

12 Teoría de Modelos Intepretación de Herbrand I Una Interpretación de Herbrand I de un conjunto de fórmulas L es cualquier subconjunto de la base de Herbrand de L. Todos los átomos que están en la interpretación I se evalúan a verdad y todos los átomos que no están en el conjunto, no son verdad. EJEMPLO: L: {( x)(p(f(x)) q(b))} H = {b, f(b),..., f n (b) B = {p(b), q(b),..., p(f n (b)), q(f n (b))} I 1 = {p(b)} I 2 = {p(f n (b))} I 3 = {q(b), p(f(b)),..., p(f n (b))}

13 Teoría de Modelos Modelo de Herbrand M Un Modelo de Herbrand M para un conjunto L de fórmulas es una interpretación de Herbrand de L que es modelo de todas las fórmulas del conjunto. EJEMPLO: En el ejemplo anterior, I 1, I 2 e I 3 son modelos de L.

14 Teoría de Modelos: cláusulas Horn PROPOSICION: Todo conjunto de cláusulas de Horn definidas tiene al menos un modelo de Herbrand. PROPOSICION: MODELO MINIMO DE HERBRAND y PROPIEDAD DE INTERSECCION DE MODELOS Sea P un conjunto de cláusulas de Horn definidas y sea {M i } i I el conjunto (no vacío) de los modelos de Herbrand de P. Entonces, M P = i I M i es un modelo de Herbrand de P (conocido como el modelo mínimo).

15 Teoría de Modelos: cláusulas Horn NOTA: La propiedad de intersección de modelos sólo se cumple para cláusulas de Horn definidas. Por ejemplo, la cláusula S p V q tiene tres modelos de Herbrand M 1 = {p} M 2 = {q} M 3 = {p, q} cuya intersección es el conjunto vacío, que no es modelo de S. TEOREMA: M P {A B P P = A}

16 Teoría del Punto Fijo Retículo de Interpretaciones Dado un conjunto de cláusulas de Horn definidas P, se define 2 B P = conjunto de todas las interpretaciones posibles de P = {(subconjuntos de B P )} Operador de Consecuencias Lógicas Inmediatas Sea P un conjunto de cláusulas de Horn definidas. Definimos el operador de consecuencias lógicas inmediatas T P como una aplicación T P : 2 B P 2B P definida como: T P (I) = {A B P A A 1,..., A n es una instancia básica de una cláusula de P y {A 1,..., A n } I} donde I es una interpretación de Herbrand para P

17 Teoría del Punto Fijo Se puede demostrar que 2 B P es un retículo completo (conjunto parcialmente ordenado con supremo e ínfimo) bajo el orden parcial (reflexivo, antisimétrico y transitivo) de la inclusión de conjuntos Knaster y Tarski demostraron que toda función continua y monótona sobre un retículo completo tiene un menor punto fijo T P es continua sobre su dominio 2 B P

18 Teoría del Punto Fijo LEMA Sea P un conjunto de cláusulas Horn definidas. Entonces M P lfp(t P ) (M P coincide con el menor punto fijo de T P )

19 Teoría del Punto Fijo POTENCIAS ORDINALES DE T: Definimos la siguiente sucesión de conjuntos de átomos: T 0 = T = T(T ( - 1)) T = < T TEOREMA (Caracterización por punto fijo de M P ) M P lfp(t) = T P Informalmente, dado P un conjunto de cláusulas Horn definidas. Para obtener el modelo mínimo: se aplican las reglas a los hechos para generar nuevos hechos se repite la operación hasta que no se obtengan hechos nuevos.

20 Teoría del Punto Fijo EJEMPLO: P={p(a). p(b). r(x) p(x). t(x,y) p(x), r(y). s(c).} T P 0 = Ø T P 1 = T P (Ø) = {p(a), p(b), s(c)} T P 2 = T P (T P 1 ) = {r(a), r(b), p(a), p(b), s(c)} T P 3 = T P (T P 2 )={t(a,a),t(a,b),t(b,a),t(b,b),r(a),r(b),p(a),p(b), s(c)} T P 4 = T P (T P 3 ) (pto. fijo!)

21 Teoría del Punto Fijo EJERCICIO: Calcular el menor punto fijo de: P={p(a). p(f(x)) p(x).} P={p(X). q(f(x)) p(x).}

22 Corrección y Completitud (ii) TEOREMA DE CORRECCION Y COMPLETITUD DE LA RESOLUCION SLD (ii) Sea P un conjunto de cláusulas de Horn definidas. Entonces, se cumple que: M P = i I M i = lfp(t P ) = T P = {A B P P = A} (COMPLETITUD) = {A B P P { A} * SLD } (CORRECCIÓN) = SS(P) (conjunto de éxitos básicos de P)

23 Programación Lógica SEMANTICA DECLARATIVA TEORIA DE MODELOS El significado M P de un programa lógico P es el conjunto de átomos básicos tales que son consecuencia lógica del programa (i.e., el modelo mínimo de Herbrand M P de P): M P = {A B P P = A} PUNTO FIJO El significado M P de un programa lógico P es el punto fijo de una transformación continua T P asociada a P, definida como: T P : 2 B P 2B P T P (I) = {A B P A A 1,...,A n es una instancia básica de una cláusula de P y {A 1,..., A n } I} y para la que se cumple que M P = lfp(t P ) = T P

24 Programación Lógica SEMANTICA OPERACIONAL El significado operacional de un programa lógico P se define en términos de resolución SLD: SS(P) = {A B P P { A} * SLD } = conjunto de éxitos básicos de P EQUIVALENCIA ENTRE SEMANTICAS SS(P) Semántica Operacional M P Semántica Declarativa Teoría de Modelos T P Semántica Declarativa Punto Fijo

25 Interpretación Procedural CLAUSULA DE PROGRAMA DEFINICION DE PROCEDIMIENTO A A 1,..., A n procedure A call A 1... call A n LITERAL DE UN OBJETIVO LLAMADA A SUBPROGRAMA C 1,..., C k call C 1... call C k UN PASO DE RESOLUCION UN PASO DE EJECUCION UNIFICACION MECANISMO PARA Paso Parámetros Selección y Construcción de datos