IIC Matemática Discreta

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1 IIC Matemática Discreta L. Dissett Clase 04 Lógica de predicados. Reglas de inferencia en lógica de predicados.

2 Lógica de predicados Definiciones básicas: Un predicado es una afirmación que depende de una o más variables, y que se transforma en proposición cuando dichas variables son reemplazadas por constantes. Un predicado que no puede ser descompuesto en predicados más simples es llamado atómico. Usamos los predicados para representar relaciones. En un predicado, encontramos símbolos que representan variables (x, y, z, etc.), constantes (0, 1, 2, π, y otros), funciones y operaciones, y otros predicados. 1

3 Interpretaciones y dominios No podemos estudiar un predicado sin asignarle un significado a los distintos símbolos que en él aparecen. Para esto, al analizar un predicado, consideraremos una interpretación, que consiste en un dominio o universo D y en asignaciones de significado a las constantes, símbolos de función y operación y a los símbolos que representan relaciones (predicados atómicos). 2

4 Cuantificadores En matemáticas, muchas afirmaciones son de la forma todos los elementos de D (un dominio dado) satisfacen el predicado P (x) o bien hay al menos un elemento de D que satisface P (x). En el primer caso, abreviaremos usando el símbolo y en el segundo usaremos el símbolo. Así, si P (x) es un predicado que depende sólo de x, podemos formar las proposiciones: x(p (x)) : Si reemplazamos x por cualquier elemento de D, entonces P (x) se hace verdadera. x(p (x)) : En D hay al menos un valor tal que, al reemplazar x por dicho valor, la proposición resultante es verdadera. Los símbolos y son llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. 3

5 Variables libres y ligadas En un predicado, las variables pueden aparecer relacionadas con un cuantificador (ligadas) o libres. Un predicado que no tiene variables libres es una proposición. Un predicado con variables libres es una proposición abierta. 4

6 Interpretaciones y valores de verdad Las proposiciones en lógica de predicados son verdaderas o falsas dependiendo de la interpretación en que sean consideradas. Ejemplo. Sea P (x, y) un predicado binario (con dos argumentos). La proposición x y(p (x, y)) es falsa en la interpretación en que D = N y P (x, y) representa la relación x > y. La misma proposición es verdadera si D = N, y P (x, y) representa la relación x divide a y. 5

7 Proposiciones válidas (lógicamente verdaderas) El concepto de tautología, o proposición lógicamente verdadera de la lógica proposicional tiene su contraparte en lógica de predicados. Si P es una proposición en lógica de predicados, decimos que P es lógicamente verdadera (o válida) si se hace verdadera en toda interpretación. Ejemplo. Sea P (x) un predicado. La proposición es lógicamente verdadera. x(p (x) P (x)) 6

8 Consecuencia lógica Sea Σ un conjunto de proposiciones en lógica de predicados. Sea Q otra proposición en lógica de predicados. Diremos que Q es consecuencia lógica de Σ (o que Σ lógicamente implica Q) si toda interpretación que hace verdaderas todas las proposiciones de Σ necesariamente hace verdadera a Q. Si Σ = {P } (o sea, si Σ consiste de una sola proposición) entonces diremos que Q es consecuencia lógica de P (en lugar de decir que lo es de {P }). Ejemplo. La proposición x y(p (x, y)) es consecuencia lógica de y x(p (x, y)). 7

9 Equivalencia lógica Si P y Q son dos proposiciones en lógica de predicados, diremos que ellas son lógicamente equivalentes si toda interpretación le asigna el mismo valor de verdad a ambas. Ejemplo. La proposición x(q(x) R(x)) es lógicamente equivalente a x(q(x)) x(r(x)). 8

10 Resumen de definiciones Una proposición En lógica En lógica P es... proposicional... de predicados... lógicamente si toda asignación si toda interpretaverdadera... de verdad la ción la hace hace verdadera. verdadera. lógicamente equiva- si toda asignación si toda interpretación lente a otra Q... de verdad las hace las hace ambas ambas verdaderas o verdaderas o ambas ambas falsas. falsas. consecuencia lógica si toda asignación si toda interpretación de otra Q... de verdad que hace que hace verdadera verdadera a Q hace a Q hace verdadera verdadera a P. a P. 9

11 Negación de proposiciones con cuantificadores Para negar proposiciones (o predicados) que contienen cuantificadores pueden usarse las siguientes equivalencias: x(p (x)) x( P (x)), x(p (x)) x( P (x)). 10

12 Especificación universal Reglas de inferencia usando predicados Si se tiene la proposición x(p (x)), y a D es arbitrario, podemos deducir P (a). Generalización existencial Si se tiene la proposición P (a) (donde a D), podemos deducir x(p (x)). Generalización universal Si, dado a D arbitrario, es posible demostrar P (a), entonces es posible deducir x(p (x)). Especificación existencial Si se ha demostrado la proposición x(p (x)), entonces es posible deducir la proposición P (a), donde a D es un elemento arbitrario que no ha sido usado en la demostración de x(p (x)). 11

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